Números complejos. Sesión teórica 2 (págs ) 21 de septiembre de Potencias de complejos

Transcripción

1 Números complejos Sesión teórica 2 (págs ) 21 de septiembre de 2010 Llamaremos números complejos a los elementos del conjunto: C = {a + bi a, b R}. La expresión a + bi se denomina forma binómica del número complejo. Importante Todo número real es un número complejo simplemente identificando cualquier número real a R con el complejo z = a + 0 i. Partes real e imaginaria: Dado un número complejo z = a + bi, llamaremos parte real de z al número real a, y lo denotaremos por Re(z). Llamaremos parte imaginaria de z al número real b, y lo denotaremos por Im(z). Así tenemos z = Re(z)+Im(z)i Si Re(z) =0 entonces z se llama imaginario puro Si Im(z) =0 entonces z es un número real

2 Plano complejo Re(z):Proyección sobre el eje real Im(z): Proyección sobre el eje imaginario Punto del plano que representa a z: afijo de z Operaciones con complejos Propiedades de la suma de complejos SUMA: (a + bi)+(c + di) =(a + c)+(b + d)i PRODUCTO: (a+bi)(c +di) =ac +adi +bci +bdi 2 = ac bd +(ad +bc)i (1) Asociativa: (z1 + z2)+z3 = z1 +(z2 + z3). (2) Conmutativa: z1 + z2 = z2 + z1. (3) Elemento neutro: 0. (4) Existencia de elemento opuesto: Siz = a + bi entonces z = a bi. Es decir, (C, +) es un grupo abeliano.

3 Propiedades del producto de complejos (1) Asociativa: (z1z2)z3 = z1(z2z3). (2) Conmutativa: z1z2 = z2z1. (3) Elemento neutro: 1. (4) Existencia de inverso para complejos no nulos: Para todo número complejo z 0 existe otro número complejo, denotado por 1 1, tal que z = 1. Demostrar!! z z (5) Distributiva: (z1 + z2)z3 = z1z3 + z2z3. Resumiendo, (C, + ) tiene estructura de cuerpo. Conjugado de un número complejo Algunas propiedades del conjugado Conjugado de z = a + bi: z = a bi Para todo z, w C: 1 z = z siysólo si z R 2 z + w = z + w 3 z = z 4 z z = Re(z) 2 + Im(z) 2 R 5 Re(z) = z+z 2 y Im(z) = z z 2i

4 Módulo y argumento Módulo y argumento Dado z = a + bi C llamaremos módulo de z a z = a 2 + b 2 Dado z = a + bi C \{0} llamaremos argumento de z, denotado por arg(z), a cualquier número real θ (ángulo) tal que a = z cos(θ) y b = z sen(θ). El argumento no es único!: Si θ es argumento entonces también lo es θ + 2kπ para todo entero k. Argumento principal de z 0: El único argumento de z en el intervalo ( π, π], denotado por Arg(z). Módulo y argumento de z = x + yi (r,θ) se denominan coordenadas polares del punto z del plano complejo. Forma polar de z: rθ. Forma trigonométrica de z: z = z cos(θ)+ z sen(θ)i = z (cos(θ)+ sen(θ)i) Paso de forma binómica a polar (o trigonométrica) Propiedades del módulo Si z = a + bi, r = z y θ = arg(z) entonces: r =+ a 2 + b 2 tg(θ) = b a, si a 0 θ = π/2 + 2kπ ó θ = π/2 + 2kπ con k Z, si a = 0 Observación: hay 2 posibles valores para θ (salvo suma de múltiplo de 2π); se determinará cual es a partir del cuadrante en el que se encuentra el afijo de z. 1 z 0 para todo z C. 2 z = 0siysólo si z = 0. 3 z = z para todo z C. 4 z1z2 = z1 z2 para todo z1, z2 C. 5 z1 = z1 para todo z1, z2 C con z2 0. z2 z2 6 (Desigualdad triangular) z1 + z2 z1 + z2 para todo z1, z2 C. z1 z2 z1 z2 z1, z2 C. 7 z 2 = zz para todo z C.

5 Propiedades del argumento 1 El argumento del producto de dos números complejos es igual a la suma de los argumentos (módulo 2π). 2 El argumento del cociente de dos números complejos es igual a la resta de los argumentos (módulo 2π). Por tanto: rα sβ =(rs)α+β rα/sβ =(r/s)α β Fórmula de Moivre Notación exponencial Fórmula de Euler De las dos fórmulas anteriores se deduce inmediatamente la llamada Fórmula de Moivre, que permite calcular fácilmente las potencias (con exponente entero) de un número complejo a partir de su forma polar: (rα) n =(r n )nα Ejercicio: Calcular todas las potencias de i a partir de la forma binómica y a partir de la fórmula de Moivre. e θi = cos(θ)+sen(θ)i FORMA POLAR (usando notación exponencial): Todo número complejo z 0 puede expresarse de la siguiente forma: z = z e θi (= z (cos(θ)+sen(θ)i). Cuando se hable de forma polar de un número complejo se usará, normalmente, notación exponencial. Fórmula de Moivre (usando notación exponencial): Si z = z e θi y n Z entonces z n = z n e nθi. Ejercicio: Proporciona una expresión del producto y el cociente de dos números complejos usando la forma polar (con notación exponencial).