Laboratorio de Simulación. Trimestre 08P Grupo CC03A Pablo Lonngi. Lección 4
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- Víctor Cordero Villalba
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1 Laboratorio de Simulación Trimestre 08P Grupo CC03A Pablo Lonngi Lección 4 Números Complejos. IIª parte. Representación polar de un complejo En la forma polar, llamada también forma trigonométrica, un número complejo se expresa con los números reales r,, los cuales pueden escribirse juntos como r, o como r. De la figura que ubica a un vector complejo en el plano, se obtienen las relaciones entre componentes rectangulares y polares. Las coordenadas cartesianas x,y forman los catetos de un triángulo rectángulo que hace el ángulo en el origen entre el vector y la dirección positiva del eje de las abscisas, y la hipotenusa del triángulo es de longitud r, el módulo del número complejo. Por consiguiente, suponiendo que conocemos x,y, el número complejo que en coordenadas cartesianas es z x iy puede escribirse en forma polar como z r cos isin r, con y dado por cualquiera de las relaciones r x 2 y 2 tan y x, cos x r o sin y r Nótese que para aplicar correctamente la fórmula de la tangente es necesario tener presente el cuadrante del plano complejo en el que se encuentra z, porque al tomar el cociente se pierde la información sobre los signos de cada componente cartesiana. Las distintas posibilidades y los cuadrantes correspondientes están dados en la siguiente tabla: signo x signo y cuadrante I - II - - III - IV Las partes real e imaginaria de z son claramente
2 Re z x r cos, Im z y r sin las cuales nos dan la transformación inversa, de la forma polar a la forma rectangular del complejo. La coordenada r de la forma polar del complejo, que es también el módulo del número complejo, es la distancia que separa del origen de coordenadas al punto que lo representa, mientras que el ángulo, que recibe el nombre de argumento del complejo, se toma positivo en sentido contrario a las manecillas del reloj desde el eje real hasta el vector del origen al punto. Nótese que si consideramos un argumento 2 k con k cualquier entero, se obtiene el mismo número complejo. Comúnmente se elige a 0,2 o a, como el intervalo del valor principal del argumento. Basándonos en el significado geométrico del módulo, tenemos que si z y a son dos números complejos cualesquiera, z a representa la distancia entre ellos. Por consiguiente, la expresión z a const., considerando a a fijo y z variable, representa una circunferencia con centro en a, mientras que z a const. representa los puntos interiores de un círculo con centro en a. En ambos casos, el radio de la circunferencia es igual al valor de la constante del lado derecho. Estos son ejemplos de lugares geométricos, regiones o curvas en el plano cartesiano que satisfacen expresiones que pueden ser ecuaciones o inecuaciones. En este caso, los lugares geométricos "puntos sobre una circunferencia" y "puntos del interior del círculo" están definidos, respectivamente, por medio de las fórmulas z a const. y z a const. Fórmula de Euler La fórmula, identidad o ecuación de Euler es e i cos isin Se demuestra aplicando la serie de potencias para la función exponencial: haciendo x i : e x 1 x x2 2! x3 3! x4 4! e i 1 i i 2 i 3 i 4 2! 3! 4! La serie se separa naturalmente en términos reales e imaginarios al tomar en cuenta que i 2 1, de manera que al agrupar para obtener la parte real e imaginaria de e i, coinciden con las series de potencias para el coseno y el seno de, respectivamente. Esto también se puede hacer, más fácilmente, con la fórmula del término general de las series. Obsérvese que la identidad de Euler establece que e i es un número complejo con módulo unitario. Una aplicación inmediata de la identidad de Euler es que podemos escribir cualquier número complejo z como z x iy re i El producto y el cociente con la forma polar Aprovechando la fórmula de Euler, la forma polar proporciona fórmulas muy simples para las operaciones de multiplicación, división y potenciación de los números complejos. Igual que para números reales, para complejos se define la potencia n-ésima como el producto de un número por sí mismo repetido n veces, con n un entero positivo. Sean dos números complejos dados con sus componentes rectangulares z 1 x 1 iy 1 y z 2 x 2 iy 2 y que en su forma polar son z 1 r 1 e i 1 y z 2 r 2 e i 2. Su producto, que se dió antes en coordenadas rectangulares, es particularmente simple en la forma polar, a saber:
3 z 1 z 2 r 1 e i 1 r 2 e i 2 r 1 r 2 e i 1 2 r 1 r 2 cos 1 2 isin 1 2 que muestra que el módulo del producto es el producto de los módulos de los factores y el argumento del producto es la suma de los argumentos de los factores. La última fórmula nos permite identificar con facilidad la parte real e imaginaria del producto. De modo similar, tenemos para el cociente z 1 z 2 r 1e i 1 r 2 e i 2 r 1 r 2 e i 1 2 r 1 r 2 cos 1 2 isin 1 2. Fórmula de De Moivre Elevando la fórmula de Euler a la potencia m, con m cualquier entero positivo, que es el teorema o fórmula de de Moivre. e i m cos isin m e im cos m isinm La potencia en la forma polar Este resultado facilita el cálculo de la potencia n (enésima) de cualquier número complejo z mediante su representación polar y la fórmula de de Moivre: z n x iy n r cos isin n r n cos n isinn re i n r n e in r n n Vemos que el módulo de la potencia n de z es la potencia n del módulo de z, mientras que el argumento de la potencia es n veces el argumento de z. Obsérvese que: esta fórmula es válida para n un número real entero positivo o negativo, y aunque 0,2, n puede estar fuera de ese intervalo, pero al calcular cos n y sinn se obtiene el mismo resultado que si al argumento n se le resta primero un múltiplo entero de 2, pues ambas funciones tienen periodo 2. Raíces n-ésimas de números complejos La operación de extraer raíz es la opuesta de elevar a una potencia. Cuando la potencia de un número, real o complejo se toma igual al recíproco de algún número entero, z 1/n, se representa la raíz n-ésima de z. Por ejemplo, z 1/2, z 1/3, etc., son la raíz cuadrada y raíz cúbica respectivamente de z. Para resolver el problema de encontrar una raíz n-ésima de un número complejo z x iy r cos isin, suponemos que se representa como v z 1/n a ib t cos isin. Por consiguiente, v n z que aplicando la fórmula de de Moivre nos permite escribir t n e in re i 2 k con k entero. Igualando módulo y argumento de cada lado de la ecuación, obtenemos para t y de la raíz n-ésima t n r r 1/n real y positivo 2 k n k, con k 0, 1, 2,,n 1 # Entonces la raíz n-ésima de un número complejo z x iy r cos isin está dada por los n números v r 1/n cos 2 k n isin 2 k n k 0, 1, 2,,n 1 Al tomar k los n valores sucesivos que se indican, se obtienen n raíces n-ésimas distintas
4 de cualquier número z distinto de cero, las cuales son en general complejas. Si extraemos la raíz n-ésima a un número z real, su argumento es 0 o, de modo que tendrá por lo menos una raíz real, la correspondiente a k 0. De la misma fórmula vemos que si además n es par, tendrá también la raíz real correspondiente a k n/2, de signo opuesto a la anterior. Aplicaciones Entre las áreas de la física y las ingenierías en las que es importante la aplicación de los números complejos están los circuitos eléctricos, las vibraciones mecánicas, las oscilaciones y ondas de cualquier tipo, como acústicas, sísmicas y electromagnéticas. La fórmula de Euler simplifica los desarrollos algebraícos en problemas lineales en los que la cantidad de interés tiene una dependencia senoidal con la posición, el tiempo o cualquier otra variable independiente, generalmente asociando la variable física dependiente con la parte real de la correspondiente variable compleja. Todo el desarrollo algebraico, incluyendo el cálculo de derivadas e integrales, se realiza con cantidades complejas y al final, se toma la parte real de la solución compleja encontrada. Límite de una sucesión de números complejos Al igual que con números reales, podemos formar progresiones o sucesiones de números complejos z n, donde cada término de la sucesión, por ser complejo, es z n x n iy n. Los reales x n e y n pueden tener comportamientos independientes, si se desea, y además, es posible generalizar las definiciones de sucesiones aritméticas y geométricas a términos y razones complejos, lo cual produce que el comportamiento de los términos de las sucesiones complejas sea más variado y rico. Conforme crece el índice de los términos de algunas sucesiones complejas, la distancia z n z n 1 entre términos sucesivos se va haciendo más y más pequeña, de modo que en el límite tiende a 0. El punto complejo z que así resulta recibe el nombre de límite de la sucesión y se escribe como z lim n z n o como z n z. Sucesión de las potencias de complejos Podemos formar una progresión geométrica z n de complejos en los que el primer término es el complejo z, es decir, z 1 z y tomar a z también como razón, de modo que cada término sucesivo se obtiene multiplicando por z al anterior: z n z z n 1. Así, los términos sucesivos son z, z 2, z 3, z 4,, z n,, es decir, las potencias sucesivas de z, con z n z n. De hecho, podemos tomar como primer término el correspondiente a n 0 con lo que los términos sucesivos son 1, z, z 2, z 3, z 4,, z n, Al aplicar la fórmula de de Moivre, con z re i, los términos sucesivos son 1, re i, re i 2,, re i n, Bibliografía 1. R. V. Churchill, Complex Variables and Applications. McGraw-Hill, New York (1960). 2. L. E. Dickson, New First Course in the Theory of Equations. John Wiley, New York (1930). 3. E. Kreyszig, Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. Vol. II, Cap. 12 y Cap. 14. Limusa, México (1993). 4. H. H. Skilling, Electrical Engineering Circuits. John Wiley, New York (1963). Ejercicios 1. Para cada número complejo, identifica y da el valor numérico de su parte real x, su
5 parte imaginaria y, su módulo r y su argumento. Resume al final los resultados en forma tabular, con las columnas x, y, r, (grados) y (radianes) y cada inciso en un renglón. a. 3 3i b. 1 i c. 3 i d. 1 i 3 e. 1 i f. 1 i g. i 2 2 h. 2 cos isin 6 6 i. 1 i 1 i 2 2. Encuentra la solución para las x,y reales en las siguientes ecuaciones complejas: a. x iy 2 3i x iy (desarrollar el producto del segundo miembro) b. x 2y 3 i 3x y 1 0 c. 2ix 3 y i 3. Identificar y explicar con palabras el lugar geométrico de los puntos para los cuales: a. z 1 1 b. z z 6i c. arg z 4 d. z 1 z Un vector de longitud l con su origen en el origen de coordenadas gira alrededor de éste con velocidad angular constante. Suponiendo que al tiempo t 0 coincide con la parte positiva del eje de las abscisas, encontrar sus proyecciones sobre el eje de las abscisas y de las ordenadas a cualquier tiempo t. (Sugerencia: Cuál es valor del ángulo entre el vector y el eje de las abscisas? 5. Convirtiendo cada factor a su forma polar, encontrar el valor de: a. 4 3i 5 12i 7 24i 40 9i b i 8 15i 12 35i 16 63i 6. Encontrar todos los valores de las raíces siguientes. Expresar los resultados en forma rectangular y forma polar. Si hay raíces que forman parejas conjugadas, escribirlas en la forma x iy. a (raíz séptima) b (raíz octava) c. 4 36i (raíz cuarta) 7. En los circuitos de corriente alterna, la tensión E y la corriente I se consideran vectores complejos o fasores que giran alrededor del origen con una frecuencia angular 2 f, de modo que I I e i t pero E E e i t con el ángulo de fase entre esos fasores. Las cantidades físicas se asocian con la parte real del fasor. En un circuito con R, L y C (resistencia, inductancia y capacitancia) en serie, la tensión está dada por la ecuación E RI L di dt C 1 Idt Sustituir en cada término de la ecuación I por el fasor complejo correspondiente, aplicando las fórmulas conocidas para la derivada y la integral (con constante aditiva nula) de la función exponencial. Demostrar que el resultado puede escribirse como E ZI, con Z un complejo, que es la ley de Ohm para circuitos de corriente alterna.
6 Encontrar la expresión para Z, que recibe el nombre de impedancia compleja. Tomar al final la parte real del resultado e indicar la relación entre los módulos de la tensión, de la impedancia compleja y de la corriente. Encontrar la expresión para el ángulo de fase que muestre su dependencia con la frecuencia angular.
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