Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2011 Semana 13: Lunes 30 de Mayo Viernes 3 de Junio. Contenidos
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- José Miguel Ortíz Páez
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1 Complemeto Coordiació de Matemática I (MAT01) 1 er Semestre de 011 Semaa 13: Lues 30 de Mayo Vieres 3 de Juio Coteidos Clase 1: Forma Polar de u Número Complejo. Teorema de Moivre. Clase : Raíces de la uidad. Geometría de cojutos 1 Clase Apredizajes esperados Iterpreta gráficamete los úmeros complejos, cojugado y módulo. Recooce y utiliza la forma polar de u úmero complejo y la otació cis (θ). Aplica el teorema de Moivre al cálculo de raíces -ésimas, idetidades trigoométricas, etc. Resuelve ecuacioes e C. 1. Forma Polar de u Número Complejo Sea z C de modo que z = x + iy co x, y R. De aquí se observa que x = R cos θ, y = R si θ y R = z = x + y. Además se tedrá que ta θ = y/x. A partir de esto: arcta y x, si x = 0 z está e el primer o cuarto cuadrate θ = arcta y x + π π π, si x = 0 z está e el segudo o tercer cuadrate, si x = 0 y > 0, si x = 0 y < 0 MAT01 (Complemeto) 1
2 Notar que z = x + iy = z (cos θ + i si θ). Si se defie cis θ = cos θ + i si θ, etoces todo úmero complejo podrá ser expresado de la forma z = z cis θ. Por otro lado, si se utiliza la otació e iθ = cos θ + i si θ, etoces todo úmero complejo podrá ser expresado de la forma z = z e iθ. Observació 1.1. Depedieto del ivel de profudidad que ecuetre apropiado para su paralelo, se sugiere idicar de dode proviee la otació expoecial. Se sugiere privilegiar esta otació dado que les puede ser de utilidad a los estudiates utilizar las propiedades de operatorias (de expoeciales de igual base) ya coocidas (multiplicació, divisió, etc). Propiedades 1.1. Sea z 1, z C de modo que z 1 = z 1 cis θ 1 = z 1 e iθ1 tiee que: y z = z cis θ = z e iθ. Etoces se 1. z 1 z = z 1 z cis (θ 1 + θ ) = z 1 z e i(θ1+θ).. z 1 z = z1 z cis(θ 1 θ ) = z1 z ei(θ1 θ). 3. z 1 = z 1 cis( θ 1 ). 4. z 1 1 = 1 z 1 cis ( θ 1) = 1 z 1 e iθ1, si z = 0. Ejemplo 1.1. Como ejemplo de ua aplicació de esta forma de represetar a los úmeros complejos, cosidere la fució φ : C C defiida por φ(z) = iz. Esta fució represeta ua rotació e el plao complejo. E efecto, se tiee que z = z cis θ e i = cis π, luego φ(z) = z cis ( θ + π ). Ejercicio 1.1. Estudiar el efecto de la trasformació φ : C C defiida por φ(z) = z. Si z = z cis θ etoces φ(z) = z = ( z cis θ) = z cis (θ) E que se trasforma el cojuto A = {z R : Re (z) > 0 Im (z) > 0} a través de la fució φ(z)? 1.3 Teorema de Moivre Sea z 1, z C de modo que z 1 = z 1 cis θ 1 y z = z cis θ. Si z 1 = z etoces se tedrá que z 1 = z y que cis θ 1 = cis θ. Por la igualdad de úmeros complejos se cocluye que θ 1 = θ + kπ co k Z. Teorema 1.1. Sea z C de modo que z = z cis θ, y N. Etoces se cumple que z = z cis(θ). La demostració de este teorema es por iducció sobre. Ua aplicació de este teorema es la obteció de las raíces -ésimas de u úmero complejo (e particular, u úmero real). Para ilustrar esto primero se cosiderará u ejemplo y luego se dará ua formulació geeral. Ejemplo 1.. Obteer las raíces -ésimas de la uidad. Resolver este problema es ecotrar úmeros w, de modo que w = 1. Por otació se tedrá que w = 1. Se tiee que w = w cis θ y que 1 = cis 0. Por el teorema de Moivre, w = w cis(θ). Por hipótesis teemos que w = 1 cis 0, luego se cocluye que w = 1 y cis(θ) = cis 0. De aquí: w = 1 y θ = kπ co k Z. MAT01 (Complemeto)
3 k = 0, θ 0 = 0, w 0 = 1 k = 1, θ 1 = π/, w 1 = cis(π/) k =, θ = 4π/, w = cis(4π/).,.,. k = 1, θ 1 = ( 1)π/, w 1 = cis(( 1)π/) k =, θ = π, w = 1 Notar que para k = se empieza a repetir la solució. Luego las raíces de la uidad viee dadas por: w = cis( kπ ) co k = 0, 1,..., 1. Sea z C y N. Se calculará la raíz -ésima de z, esto es, ecotrar úmeros w de modo que w = z. Se tiee que z = z cis θ z y w = w cis θ w. Por el teorema de Moivre, w = w cis(θ w ). Luego w = z y θ w = θ z + kπ co k = 0, 1,..., 1. Las raíces -ésima de z, z, viee dadas por: ( z cis θz+kπ ) co k = 0, 1,..., 1. Ejercicios Propuestos 1. Exprese los siguietes úmeros complejos e su forma polar, y luego ubíquelos e el plao complejo. a) i b) 1 + 3i c) + i d) i e) 3 i f) 3 3i g) 7 h) 1 + i i) 3 + 3i. Resuelva las siguietes ecuacioes e el campo de los úmeros complejos. a) z 4 + 8iz = 0 b) z 4 + z + = 0 c) z 3 + 3z + z 5 = 0 d) 9z + 6(4 3i)z (1 + 9i) = 0 e) z i = 0 f) z 4 + z z + 1 = 0 (raíz cúbica de la uidad es ua raíz) MAT01 (Complemeto) 3
4 3. Calcule: a) ( 3 i) 1 b) ( 4 + 4i) 1 5 c) ( + 3i) 1 3 d) ( 16i) 1 4 e) 3 8 f) 4 16 g) ( 8 8 3i) 1 4 h) i 4. Ecuetre z C que cumpla co θ [π, 3π/], Re(z) = 3 Im(z) y que z + 3 z z 4 = Pruebe las siguietes idetidades trigoométricas utilizado la forma compleja del seo y del coseo. (a) si 3 θ = 3 4 si θ 1 si 3θ. 4 (b) cos 4 θ = 1 8 cos θ + 1 cos θ Clase 3.1 Apredizajes esperados Idetifica el cocepto de raíz de -ésima de la uidad. Calcula raíces -ésimas de la uidad, las represeta gráficamete y maipula a través de sus propiedades algebráicas. Relacioa las raíces -ésimas de u úmero complejo co las raíces de la uidad. Recooce y aplica la forma expoecial de u úmero complejo. 3. Raíces de la Uidad Sea z = z cis(θ z ) C y N, las raíces -ésimas de z, z, viee dadas por (deducir): ( ) θz + kπ z cis co k = 0, 1,..., 1. De la fórmula aterior, se cocluye que las raíces -ésimas de la uidad, digamos los úmeros complejos w, tales que w = 1 esta dados por: ( ) kπ w k = cis co k = 0, 1,..., 1. El gráfico e el plao complejo de las raíces -ésimas de la uidad, w 0,..., w 1, forma los vértices de u polígoo regular de lados (polígoo -regular). Esto es, uiedo co ua líea recta los putos w 0 co w 1, w 1 co w, y así hasta uir w 1 co w 0. Observació 3.1. Se sugiere como ejemplo, las raíces cúbicas de la uidad y graficarlas. Esto es: w 0 = 1 ( ) π w 1 = cis ( 3 4π w = cis 3 = cos π 3 + i si π 3 = 1 + i 3 ) = cos 4π 3 + i si 4π 3 = 1 i 3 MAT01 (Complemeto) 4
5 Observació 3.. Todas las raíces de la uidad se ecuetra e la circuferecia uitaria. Esto quiere decir que si w es ua raíz de 1 etoces w = 1. Observació 3.3. Las raíces -ésimas de u complejo z puede ser obteidas coociedo sólo ua de ellas, a partir de las raíces de la uidad. E efecto, sea w 0,..., w 1 so raíces de la uidad, y sea u ua raíz -ésima cualquiera de z. Etoces, las raíces -ésimas de z está dadas por: uw 0,..., uw 1 Ejercicio 3.1. Sea ε 0, ε 1,..., ε 1 las raíces -ésimas de la uidad. Muestre que 1 ε k j = j=0 { si k 0 e otro caso Ejercicio 3.. Sea P 0 P 1... P 1 los putos de u polígoo regular (e el plao complejo) iscrito e u círculo de radio 1, muestre que P 0 P 1 P 0 P P 0 P 1 = 3.3 Forma Expoecial E esta parte se poe éfasis e la otació expoecial de u úmero compleja la que debe haber sido itroducida previamete. Sea z C de modo que z = x + iy co x, y R, el que puede ser expresado por z = z cis θ. La Fórmula de Euler, os dice e iθ = cos θ + i si θ Así, podemos itroducir la Forma expoecial del complejo z por, z = z e iθ Observació 3.4. Ua expresió curiosa se obtiee al sustituir θ = π e la fórmula de Euler: e iπ + 1 = 0. Propiedades 3.1. Sea α, β, R, etoces se tiee que: 1. e iα e iβ = e i(α+β). (e iθ ) = e iθ Observació 3.5. Notar que e a+ib = e a e ib = e a (cos b + i se b) De la seguda parte de la proposició se cocluye que (cos θ + i si θ) = cos (θ) + i si (θ). MAT01 (Complemeto) 5
6 3.4 Ejercicios Propuestos 1. Calcule las raíces de los siguietes úmeros. a) ( 3 i) 1 b) ( 4 + 4i) 1 5 c) ( + 3i) 1 3 d) ( 16i) 1 4 e) 3 8 f) 4 16 g) ( 8 8 3i) 1 4 h) i. Calcular la forma expoecial de los úmeros 1, i, i 14, ( 3 i) 10. MAT01 (Complemeto) 6
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