Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2011 Semana 13: Lunes 30 de Mayo Viernes 3 de Junio. Contenidos

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2011 Semana 13: Lunes 30 de Mayo Viernes 3 de Junio. Contenidos"

Transcripción

1 Complemeto Coordiació de Matemática I (MAT01) 1 er Semestre de 011 Semaa 13: Lues 30 de Mayo Vieres 3 de Juio Coteidos Clase 1: Forma Polar de u Número Complejo. Teorema de Moivre. Clase : Raíces de la uidad. Geometría de cojutos 1 Clase Apredizajes esperados Iterpreta gráficamete los úmeros complejos, cojugado y módulo. Recooce y utiliza la forma polar de u úmero complejo y la otació cis (θ). Aplica el teorema de Moivre al cálculo de raíces -ésimas, idetidades trigoométricas, etc. Resuelve ecuacioes e C. 1. Forma Polar de u Número Complejo Sea z C de modo que z = x + iy co x, y R. De aquí se observa que x = R cos θ, y = R si θ y R = z = x + y. Además se tedrá que ta θ = y/x. A partir de esto: arcta y x, si x = 0 z está e el primer o cuarto cuadrate θ = arcta y x + π π π, si x = 0 z está e el segudo o tercer cuadrate, si x = 0 y > 0, si x = 0 y < 0 MAT01 (Complemeto) 1

2 Notar que z = x + iy = z (cos θ + i si θ). Si se defie cis θ = cos θ + i si θ, etoces todo úmero complejo podrá ser expresado de la forma z = z cis θ. Por otro lado, si se utiliza la otació e iθ = cos θ + i si θ, etoces todo úmero complejo podrá ser expresado de la forma z = z e iθ. Observació 1.1. Depedieto del ivel de profudidad que ecuetre apropiado para su paralelo, se sugiere idicar de dode proviee la otació expoecial. Se sugiere privilegiar esta otació dado que les puede ser de utilidad a los estudiates utilizar las propiedades de operatorias (de expoeciales de igual base) ya coocidas (multiplicació, divisió, etc). Propiedades 1.1. Sea z 1, z C de modo que z 1 = z 1 cis θ 1 = z 1 e iθ1 tiee que: y z = z cis θ = z e iθ. Etoces se 1. z 1 z = z 1 z cis (θ 1 + θ ) = z 1 z e i(θ1+θ).. z 1 z = z1 z cis(θ 1 θ ) = z1 z ei(θ1 θ). 3. z 1 = z 1 cis( θ 1 ). 4. z 1 1 = 1 z 1 cis ( θ 1) = 1 z 1 e iθ1, si z = 0. Ejemplo 1.1. Como ejemplo de ua aplicació de esta forma de represetar a los úmeros complejos, cosidere la fució φ : C C defiida por φ(z) = iz. Esta fució represeta ua rotació e el plao complejo. E efecto, se tiee que z = z cis θ e i = cis π, luego φ(z) = z cis ( θ + π ). Ejercicio 1.1. Estudiar el efecto de la trasformació φ : C C defiida por φ(z) = z. Si z = z cis θ etoces φ(z) = z = ( z cis θ) = z cis (θ) E que se trasforma el cojuto A = {z R : Re (z) > 0 Im (z) > 0} a través de la fució φ(z)? 1.3 Teorema de Moivre Sea z 1, z C de modo que z 1 = z 1 cis θ 1 y z = z cis θ. Si z 1 = z etoces se tedrá que z 1 = z y que cis θ 1 = cis θ. Por la igualdad de úmeros complejos se cocluye que θ 1 = θ + kπ co k Z. Teorema 1.1. Sea z C de modo que z = z cis θ, y N. Etoces se cumple que z = z cis(θ). La demostració de este teorema es por iducció sobre. Ua aplicació de este teorema es la obteció de las raíces -ésimas de u úmero complejo (e particular, u úmero real). Para ilustrar esto primero se cosiderará u ejemplo y luego se dará ua formulació geeral. Ejemplo 1.. Obteer las raíces -ésimas de la uidad. Resolver este problema es ecotrar úmeros w, de modo que w = 1. Por otació se tedrá que w = 1. Se tiee que w = w cis θ y que 1 = cis 0. Por el teorema de Moivre, w = w cis(θ). Por hipótesis teemos que w = 1 cis 0, luego se cocluye que w = 1 y cis(θ) = cis 0. De aquí: w = 1 y θ = kπ co k Z. MAT01 (Complemeto)

3 k = 0, θ 0 = 0, w 0 = 1 k = 1, θ 1 = π/, w 1 = cis(π/) k =, θ = 4π/, w = cis(4π/).,.,. k = 1, θ 1 = ( 1)π/, w 1 = cis(( 1)π/) k =, θ = π, w = 1 Notar que para k = se empieza a repetir la solució. Luego las raíces de la uidad viee dadas por: w = cis( kπ ) co k = 0, 1,..., 1. Sea z C y N. Se calculará la raíz -ésima de z, esto es, ecotrar úmeros w de modo que w = z. Se tiee que z = z cis θ z y w = w cis θ w. Por el teorema de Moivre, w = w cis(θ w ). Luego w = z y θ w = θ z + kπ co k = 0, 1,..., 1. Las raíces -ésima de z, z, viee dadas por: ( z cis θz+kπ ) co k = 0, 1,..., 1. Ejercicios Propuestos 1. Exprese los siguietes úmeros complejos e su forma polar, y luego ubíquelos e el plao complejo. a) i b) 1 + 3i c) + i d) i e) 3 i f) 3 3i g) 7 h) 1 + i i) 3 + 3i. Resuelva las siguietes ecuacioes e el campo de los úmeros complejos. a) z 4 + 8iz = 0 b) z 4 + z + = 0 c) z 3 + 3z + z 5 = 0 d) 9z + 6(4 3i)z (1 + 9i) = 0 e) z i = 0 f) z 4 + z z + 1 = 0 (raíz cúbica de la uidad es ua raíz) MAT01 (Complemeto) 3

4 3. Calcule: a) ( 3 i) 1 b) ( 4 + 4i) 1 5 c) ( + 3i) 1 3 d) ( 16i) 1 4 e) 3 8 f) 4 16 g) ( 8 8 3i) 1 4 h) i 4. Ecuetre z C que cumpla co θ [π, 3π/], Re(z) = 3 Im(z) y que z + 3 z z 4 = Pruebe las siguietes idetidades trigoométricas utilizado la forma compleja del seo y del coseo. (a) si 3 θ = 3 4 si θ 1 si 3θ. 4 (b) cos 4 θ = 1 8 cos θ + 1 cos θ Clase 3.1 Apredizajes esperados Idetifica el cocepto de raíz de -ésima de la uidad. Calcula raíces -ésimas de la uidad, las represeta gráficamete y maipula a través de sus propiedades algebráicas. Relacioa las raíces -ésimas de u úmero complejo co las raíces de la uidad. Recooce y aplica la forma expoecial de u úmero complejo. 3. Raíces de la Uidad Sea z = z cis(θ z ) C y N, las raíces -ésimas de z, z, viee dadas por (deducir): ( ) θz + kπ z cis co k = 0, 1,..., 1. De la fórmula aterior, se cocluye que las raíces -ésimas de la uidad, digamos los úmeros complejos w, tales que w = 1 esta dados por: ( ) kπ w k = cis co k = 0, 1,..., 1. El gráfico e el plao complejo de las raíces -ésimas de la uidad, w 0,..., w 1, forma los vértices de u polígoo regular de lados (polígoo -regular). Esto es, uiedo co ua líea recta los putos w 0 co w 1, w 1 co w, y así hasta uir w 1 co w 0. Observació 3.1. Se sugiere como ejemplo, las raíces cúbicas de la uidad y graficarlas. Esto es: w 0 = 1 ( ) π w 1 = cis ( 3 4π w = cis 3 = cos π 3 + i si π 3 = 1 + i 3 ) = cos 4π 3 + i si 4π 3 = 1 i 3 MAT01 (Complemeto) 4

5 Observació 3.. Todas las raíces de la uidad se ecuetra e la circuferecia uitaria. Esto quiere decir que si w es ua raíz de 1 etoces w = 1. Observació 3.3. Las raíces -ésimas de u complejo z puede ser obteidas coociedo sólo ua de ellas, a partir de las raíces de la uidad. E efecto, sea w 0,..., w 1 so raíces de la uidad, y sea u ua raíz -ésima cualquiera de z. Etoces, las raíces -ésimas de z está dadas por: uw 0,..., uw 1 Ejercicio 3.1. Sea ε 0, ε 1,..., ε 1 las raíces -ésimas de la uidad. Muestre que 1 ε k j = j=0 { si k 0 e otro caso Ejercicio 3.. Sea P 0 P 1... P 1 los putos de u polígoo regular (e el plao complejo) iscrito e u círculo de radio 1, muestre que P 0 P 1 P 0 P P 0 P 1 = 3.3 Forma Expoecial E esta parte se poe éfasis e la otació expoecial de u úmero compleja la que debe haber sido itroducida previamete. Sea z C de modo que z = x + iy co x, y R, el que puede ser expresado por z = z cis θ. La Fórmula de Euler, os dice e iθ = cos θ + i si θ Así, podemos itroducir la Forma expoecial del complejo z por, z = z e iθ Observació 3.4. Ua expresió curiosa se obtiee al sustituir θ = π e la fórmula de Euler: e iπ + 1 = 0. Propiedades 3.1. Sea α, β, R, etoces se tiee que: 1. e iα e iβ = e i(α+β). (e iθ ) = e iθ Observació 3.5. Notar que e a+ib = e a e ib = e a (cos b + i se b) De la seguda parte de la proposició se cocluye que (cos θ + i si θ) = cos (θ) + i si (θ). MAT01 (Complemeto) 5

6 3.4 Ejercicios Propuestos 1. Calcule las raíces de los siguietes úmeros. a) ( 3 i) 1 b) ( 4 + 4i) 1 5 c) ( + 3i) 1 3 d) ( 16i) 1 4 e) 3 8 f) 4 16 g) ( 8 8 3i) 1 4 h) i. Calcular la forma expoecial de los úmeros 1, i, i 14, ( 3 i) 10. MAT01 (Complemeto) 6

(MAT021) 1 er Semestre de z + e = (x + iy) + (e 1 + ie 2 ) = (x + e 1 ) + i(y + e 2 ) = x + iy

(MAT021) 1 er Semestre de z + e = (x + iy) + (e 1 + ie 2 ) = (x + e 1 ) + i(y + e 2 ) = x + iy (MAT01) 1 er Semestre de 010 1 Números Complejos Se define el conjunto de los números complejos como: C = {a + bi / a, b R, i = 1} Definición 1.1. Sea z, w C tal que z = x + iy en donde x, y R. Se define:

Más detalles

cuadrado sea igual a -1. El conjunto de los números complejos es una ampliación del conjunto de los números reales.

cuadrado sea igual a -1. El conjunto de los números complejos es una ampliación del conjunto de los números reales. NUMEROS COMPLEJOS El cojuto de los úmeros complejos fue creado para poder resolver alguos problemas matemáticos que o tiee solució detro del cojuto de los úmeros reales. Por ejemplo x 2 + 1 = 0 o tiee

Más detalles

Universidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales

Universidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales Uiversidad Atoio Nariño Matemáticas Especiales Guía N 1: Números Complejos Grupo de Matemáticas Especiales Resume Se preseta el cojuto de los úmeros complejos juto co sus operacioes y estructuras relacioadas.

Más detalles

INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS

INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS Capítulo INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS Problema Calcula las partes real e imagiaria de los siguietes úmeros complejos: a) i + + i, b) + i i + i + i + i, c) d) + i), + ), + i e) f) ) + i 04, i +

Más detalles

Ejemplo: 0+0i y -3+0i representan los números reales 0 y 3 respectivamente. Si a=0 se considera un número imaginario puro a 0+bi

Ejemplo: 0+0i y -3+0i representan los números reales 0 y 3 respectivamente. Si a=0 se considera un número imaginario puro a 0+bi u_miii.doc EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS: No eiste u úmero real que satisfaga la ecuació +0 Para resolver este tipo de ecuacioes es ecesario itroducir el cocepto de úmero complejo. U úmero complejo

Más detalles

Tema 1: Números Complejos

Tema 1: Números Complejos Números Complejos Tema 1: Números Complejos Deició U úmero complejo es u par ordeado (x, y) de úmeros reales Éste puede iterpretarse como u puto del plao cuya abscisa es x y cuya ordeada es y El cojuto

Más detalles

Números Complejos. Capítulo Los números complejos. 1.2 El plano complejo. 2 Matemáticas 1 : Preliminares

Números Complejos. Capítulo Los números complejos. 1.2 El plano complejo. 2 Matemáticas 1 : Preliminares 2 Matemáticas 1 : Prelimiares Capítulo 1 Números Complejos Este tema de úmeros complejos es más iformativo que recordatorio, siedo el uso explícito de los complejos escaso e las asigaturas de Matemáticas

Más detalles

Tema 3.- Números Complejos.

Tema 3.- Números Complejos. Álgebra. 2004-2005. Igeieros Idustriales. Departameto de Matemática Aplicada II. Uiversidad de Sevilla. Tema 3.- Números Complejos. Los úmeros complejos. Operacioes. Las raíces de u poliomio real. Aplicacioes

Más detalles

con operacion inversa la resta (suma de opuestos) y una operacion producto escalar, que no es interna,

con operacion inversa la resta (suma de opuestos) y una operacion producto escalar, que no es interna, Tema 9 El plao complejo 9. Números complejos E IR, las operacioes suma producto de úmeros reales so operacioes iteras (el resultado de operar es otro úmero real) que permite la existecia de operacioes

Más detalles

- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura. Cálculo I

- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura. Cálculo I - Ferado Sáchez - - Números Cálculo I complejos 09 0 07 E el cuerpo de los úmeros reales ecuacioes como x + = 0 o tiee solució: el poliomio x + o tiee raíces reales. Hace falta exteder el cocepto de úmero

Más detalles

- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura

- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura - Ferado Sáchez - - 5 Números Cálculo I complejos 14 10 2015 E el cuerpo de los úmeros reales ecuacioes como x 2 + 1 = 0 o tiee solució: el poliomio x 2 + 1 o tiee raíces reales. Hace falta exteder el

Más detalles

Apéndice Números Complejos

Apéndice Números Complejos Aédice Números Comlejos 1 Números comlejos. Geeralidades. Oeracioes co úmeros comlejos Potecia y raíz de úmeros comlejos. 4 Fució exoecial y forma exoecial. E.U.Politécica de Sevilla. Fudametos Matemáticos

Más detalles

Dinámica compleja. Conjuntos de Julia y Mandelbrot Método de Newton

Dinámica compleja. Conjuntos de Julia y Mandelbrot Método de Newton Estalmat Madrid Miguel Reyes Diámica compleja Cojutos de Julia y Madelbrot Método de Newto Los úmeros complejos Los úmeros complejos so los úmeros de la forma a dode a y b so úmeros reales e i es la uidad

Más detalles

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS APLICACIONES.

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS APLICACIONES. AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS APLICACIONES. Ejemplo 1. La ecuació poliómica x 2 + 2x + 2 = 0, co coeficietes reales, tiee dos solucioes complejas cojugadas: 1 + i y 1 i. Este o es u hecho aislado. Proposició

Más detalles

MATEMÁTICAS 2. GIE. El cuerpo de los números complejos.

MATEMÁTICAS 2. GIE. El cuerpo de los números complejos. MATEMÁTICAS. GIE. El cuerpo de los úmeros complejos.. Expresar los siguietes úmeros complejos e forma biómica: (a) ( + i) 3 (c) +3i 3 4i (e) i 5 + i 6 (g) + i + i + i 3 (b) i (d) (+i 3) 3 (f) π/ (h) π/4.

Más detalles

E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Grados E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación. Tema 1: Números complejos

E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Grados E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación. Tema 1: Números complejos Grados E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Asigatura: Cálculo I Coocimietos previos Para poder seguir adecuadamete este tema, se requiere que el alumo repase y poga al día sus coocimietos e los siguietes

Más detalles

Universidad Diego Portales Facultad de Ingeniería. Laboratorio Nº 11. Números Complejos

Universidad Diego Portales Facultad de Ingeniería. Laboratorio Nº 11. Números Complejos Uiversidad Diego Portales Facultad de Igeiería Istituto de Ciecias Básicas Asigatura: Álgebra Laboratorio Nº Números Complejos Coteidos Álgebra de úmeros complejos Resolució de ecuacioes complejas Forma

Más detalles

Departamento de Ingeniería Matemática - Universidad de Chile

Departamento de Ingeniería Matemática - Universidad de Chile 12.4. Raíces de la uidad Igeiería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Itroducció al Álgebra 08-1 Importate: Visita regularmete http://www.dim.uchile.cl/~algebra.

Más detalles

Teoría: Números Complejos. Necesidad de ampliar el conjunto de los números reales

Teoría: Números Complejos. Necesidad de ampliar el conjunto de los números reales Necesidad de ampliar el cojuto de los úmeros reales Defiició El cojuto de los úmeros complejos se defie como el cojuto R co la suma y el producto complejo defiido ateriormete. Es decir, = (, +,*) C R.

Más detalles

MATEMATICAS ESPECIALES I PRACTICA 1 Conjuntos en C - Topología en C - Sucesiones de números complejos

MATEMATICAS ESPECIALES I PRACTICA 1 Conjuntos en C - Topología en C - Sucesiones de números complejos MATEMATICAS ESPECIALES I - 07 PRACTICA Cojutos e C - Topología e C - Sucesioes de úmeros complejos. Represetar e el plao complejo la familia de curvas defiidas por: a) Re( z ) = c b) Re(z ) = c c) Im(z)

Más detalles

Unidad 1: Números Complejos

Unidad 1: Números Complejos Uidad : Números Complejos. Itroducció Además de los cojutos de úmeros aturales, eteros, racioales y reales existe el cojuto de úmeros complejos que juega u rol importate o solo e matemáticas sio e las

Más detalles

Listado para la Evaluación 2 Cálculo II (527148)

Listado para la Evaluación 2 Cálculo II (527148) Uiversidad de Cocepció Facultad de Ciecias Físicas y Matemáticas Departameto de Matemática Área, Volume y Logitud de arco. Listado para la Evaluació Cálculo II (5748). Calcular el área ecerrada por la

Más detalles

DERIVADA DE FUNCIONES DEL TIPO f ( x) c, donde c es una constante, la derivada de esta función es siempre cero, es decir:

DERIVADA DE FUNCIONES DEL TIPO f ( x) c, donde c es una constante, la derivada de esta función es siempre cero, es decir: DERIVADA DE FUNCIONES DEL TIPO f ( ) c Coceptos clave: 1. Derivada de la fució costate f ( ) c, dode c es ua costate, la derivada de esta fució es siempre cero, es decir: f '( ) 0 c. Derivada de ua fució

Más detalles

Funciones de variable compleja

Funciones de variable compleja Tema 10 Fucioes de variable compleja 10.1 Fucioes complejas de variable compleja Defiició 10.1 Ua fució compleja de variable compleja es ua aplicació f: A C dode A C. Para cada z A, fz) C, luego fz) =

Más detalles

TRABAJO DE GRUPO Series de potencias

TRABAJO DE GRUPO Series de potencias DPTO. MATEMÁTICA APLICADA FACULTAD DE INFORMÁTICA (UPM) TRABAJO DE GRUPO Series de potecias CÁLCULO II (Curso 20-202) MIEMBROS DEL GRUPO (por orde alfabético) Nota: Apellidos Nombre Este trabajo sobre

Más detalles

NÚMERO COMPLEJO. Nota decimos que a es su parte real (anotamos Re(z) = a ) y b su parte imaginaria (anotamos Im(z) = b )

NÚMERO COMPLEJO. Nota decimos que a es su parte real (anotamos Re(z) = a ) y b su parte imaginaria (anotamos Im(z) = b ) NÚMERO COMPLEJO Fudametos de la Matemática 1 Defiició Si llamamos C = R R y defiimos: : C C C ; ( a, a ') ( b, b ') = ( a b, a ' b ') : C C C ; ( a, b) ( a ', b ') = ( aa ' bb ', ab ' a ' b) A la estructura

Más detalles

Los números complejos ( )

Los números complejos ( ) Los úmeros complejos (15.06.016) 1. Itroducció Estas otas se propoe u doble objetivo. Co los apartados a 8 se pretede dar uas ocioes básicas sobre los úmeros complejos que ayude a fijar los coceptos expuestos

Más detalles

Tema 4: Números Complejos

Tema 4: Números Complejos Tema : Números Complejos 1.- Itroducció.- Forma biómica del úmero Complejo.- Operacioes e forma biómica.- Propiedades algebraicas de los úmeros Complejos 5.- Forma Polar y trigoométrica del úmero Complejo

Más detalles

Tema 4: Números Complejos

Tema 4: Números Complejos Tema : Números Complejos 1.- Itroducció.- Forma biómica del úmero Complejo.- Operacioes e forma biómica.- Forma Polar y trigoométrica del úmero Complejo 5.- Operacioes e forma Polar 6.- Radicació de úmeros

Más detalles

Semana 10 [1/24] Sucesiones (II) 2 de mayo de Sucesiones (II)

Semana 10 [1/24] Sucesiones (II) 2 de mayo de Sucesiones (II) Semaa 0 [/24] 2 de mayo de 2007 Sadwich de sucesioes Semaa 0 [2/24] Límites y Orde. Teorema Sea u ) y w ) sucesioes covergetes a u y w, respectivamete. Si 0 tal que para 0 se cumple que etoces u w. u w

Más detalles

Prueba Integral Lapso / Área de Matemática Fecha: MODELO DE RESPUESTA (Objetivos del 01 al 11)

Prueba Integral Lapso / Área de Matemática Fecha: MODELO DE RESPUESTA (Objetivos del 01 al 11) Prueba Itegral Lapso 016-1 175-176-177 1/7 Uiversidad Nacioal Abierta Matemática I (Cód 175-176-177) Vicerrectorado Académico Cód Carrera: 16 36 80 508 51 54 610 611 61 613 Fecha: 19 11 016 MODELO DE RESPUESTA

Más detalles

Los números complejos

Los números complejos Los úmeros complejos Los úmeros complejos Forma biómica Defiició z = a + bi, o bie, z = (a, b) siedo a la parte real y b la parte imagiaria. a = r cos α b = r se α Opuesto z = a bi Cojugado z = a bi Represetació

Más detalles

Práctica 4. Re(z n ) y Im(z n ) n=1 convergen (absolutamente). z n. n=1. n=1. n αn? Demostrarlo. n=0 converge si z < 1 diverge si z > 1. para z < 1.

Práctica 4. Re(z n ) y Im(z n ) n=1 convergen (absolutamente). z n. n=1. n=1. n αn? Demostrarlo. n=0 converge si z < 1 diverge si z > 1. para z < 1. MATEMATICA 4 er Cuatrimestre de 205 Práctica 4. Sea (z ) ua sucesió de úmeros complejos. Probar a) z coverge (absolutamete) si y sólo si las series Re(z ) y Im(z ) coverge (absolutamete). b) si z coverge

Más detalles

CAPÍTULO I. Conceptos Básicos de Estadística

CAPÍTULO I. Conceptos Básicos de Estadística CAPÍTULO I Coceptos Básicos de Estadística Capítulo I. Coceptos Básicos de Estadística. CAPÍTULO I CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA Para realizar estudios estadísticos es ecesario registrar la ocurrecia

Más detalles

162 ÁLGEBRA Y FUNDAMENTOS: UNA INTRODUCCIÓN. (i) Efectuando el producto, tenemos. (ii) De forma semejente, si z 2 6= 0, tenemos

162 ÁLGEBRA Y FUNDAMENTOS: UNA INTRODUCCIÓN. (i) Efectuando el producto, tenemos. (ii) De forma semejente, si z 2 6= 0, tenemos 162 ÁLGEBRA Y FUNDAMENTOS: UNA INTRODUCCIÓN (i) Efectuado el roducto, teemos z 1 z 2 = jz 1 jjz 2 j (cos ' 1 + i se ' 1 )(cos ' 2 + i se ' 2 ) = jz 1 jjz 2 j [(cos ' 1 cos ' 2 se ' 1 se ' 2 )+(se ' 1 cos

Más detalles

La Teoría Introducción:

La Teoría Introducción: La Teoría Itroducció: La ecesidad de dar salida a ecuacioes del tipo x + 1=0, así como el coflicto que geera el hecho de o teer solució e el cuerpo de los úmeros reales el cálculo de radicales de ídice

Más detalles

De esta forma, el problema de encontrar la mejor recta se concentra en calcular los valores de la pendiente (m) y de la ordenada al origen (b)

De esta forma, el problema de encontrar la mejor recta se concentra en calcular los valores de la pendiente (m) y de la ordenada al origen (b) MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS E muchos de los experimetos que se realiza e Física, se obtiee u cojuto de parejas de úmeros (abscisa, ordeada) por los cuales ecesitamos, para obteer u modelo matemático que

Más detalles

MATEMATICA 4 Segundo Cuatrimestre Práctica 4 A = R

MATEMATICA 4 Segundo Cuatrimestre Práctica 4 A = R MATEMATICA 4 Segudo Cuatrimestre 2007 Práctica 4. Hallar el límite putual de la sucesió (f ) defiida sobre A R, e los siguietes casos: a) f (x) = x A = (, ] b) f (x) = x + x 2 A = R c) f (x) = 2 x( x 2

Más detalles

LOS NÚMEROS COMPLEJOS

LOS NÚMEROS COMPLEJOS º BCT DPTO DE MATEMÁTICAS T4: NÚMEROS COMPLEJOS - LOS NÚMEROS COMPLEJOS.- INTRODUCCIÓN: LAS ECUACIONES DE º GRADO CON SOLUCIONES IMPOSIBLES Desde el siglo XVI al XVIII llamaro la ateció, por la forma de

Más detalles

Números reales Números. irracionales. Figura 3.1. Construcción del conjunto de los números complejos.

Números reales Números. irracionales. Figura 3.1. Construcción del conjunto de los números complejos. Números Complejos El cojuto de los úmeros complejos La supremacía de los úmeros reales como cojuto umérico máximo duró poco; o existe u úmero real a que satisfaga la ecuació x 2 + a = 0. Para ello, es

Más detalles

Funciones Exponencial y Logaritmo

Funciones Exponencial y Logaritmo . 9th May 2007 La fució expoecial Itroducció. Recuerdo Sabemos lo siguiete para la sucesió a = + h ) Si lim h 2, 0) etoces lim a = 0. 2 Si lim h / [ 2, 0] etoces lim a o existe. 3 Si lim h = 0 y lim h

Más detalles

Práctica 4 Series de funciones y de potencias

Práctica 4 Series de funciones y de potencias MATEMATICA 4 - Aálisis Matemático III Primer Cuatrimestre de 208 Práctica 4 Series de fucioes y de potecias. (*) Aalizar la covergecia putual y uiforme de las siguietes sucesioes de fucioes e los cojutos

Más detalles

Trabajo Práctico Nro. 9 ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y SERIES DE FOURIER

Trabajo Práctico Nro. 9 ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y SERIES DE FOURIER F.I.U.B.A AÁLISIS AEÁICO III rabajo Práctico ro. 9 rabajo Práctico ro. 9 ECUACIOES DIFERECIALES E DERIVADAS PARCIALES Y SERIES DE FOURIER I.- Itroducció a las Ecuacioes Difereciales e Derivadas Parciales

Más detalles

Convolución discreta cíclica

Convolución discreta cíclica Covolució discreta cíclica Estos aputes está escritos por Darío Coutiño Aquio y Egor Maximeko. Objetivos. Defiir la covolució discreta cíclica y demostrar el teorema sobre la covolució discreta cíclica

Más detalles

Introducción a los métodos lineales en dominio de la frecuencia.

Introducción a los métodos lineales en dominio de la frecuencia. Dr. Mario Estévez Báez Capítulo 5 Itroducció a los métodos lieales e domiio de la frecuecia. 1.1 Aálisis armóico. El aálisis armóico surgió y se desarrolló iicialmete como ua útil herramieta para la Física

Más detalles

Límite y Continuidad de Funciones.

Límite y Continuidad de Funciones. Límite Cotiuidad de Fucioes. Eleazar José García. eleagarcia9@hotmail.com. Límite de ua fució.. Defiició de límite de ua fució.. Ifiitésimo.. Ifiitésimos equivalete.. Límite por la izquierda.. Límite por

Más detalles

b) Encontrar: τ o σ ; π o σ ; σ y τ. 2. Usar la definición de determinante para encontrar: 4. Calcular los determinantes de las siguientes matrices:

b) Encontrar: τ o σ ; π o σ ; σ y τ. 2. Usar la definición de determinante para encontrar: 4. Calcular los determinantes de las siguientes matrices: EJERCICIOS PROPUESTOS. Tarea 3. Cosiderar las siguietes particioes de S 5 σ = 354 τ = 354 π = 453. a) Determiar el sigo de cada ua de las ateriores particioes. b) Ecotrar: τ o σ ; π o σ ; σ y τ.. Usar

Más detalles

Guía Semana 9 1. RESUMEN. Universidad de Chile. Ingeniería Matemática

Guía Semana 9 1. RESUMEN. Universidad de Chile. Ingeniería Matemática 1. RESUMEN Igeiería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo e Varias Variables 08-1 Igeiería Matemática Guía Semaa 9 Teorema de los multiplicadores de Lagrage

Más detalles

UNIVERSIDAD CATÓLICA DE TEMUCO FACULTAD DE INGENIERÍA DEPTO. DE CIENCIAS MATEMÁTICAS Y FÍSICAS SERIES DE POTENCIAS

UNIVERSIDAD CATÓLICA DE TEMUCO FACULTAD DE INGENIERÍA DEPTO. DE CIENCIAS MATEMÁTICAS Y FÍSICAS SERIES DE POTENCIAS UNIVERSIDAD CATÓLICA DE TEMUCO FACULTAD DE INGENIERÍA DEPTO. DE CIENCIAS MATEMÁTICAS Y FÍSICAS Asigatura : Cálculo Numérico, MAT-23. Profesor : Emilio Cariaga L. Periodo : er. Semestre 205. SERIES DE POTENCIAS

Más detalles

Series de números reales

Series de números reales Tema 6 Series de úmeros reales 6. Series de úmeros reales. Defiició 6. Sea {a } ua sucesió de úmeros reales y cosideremos la sucesió {S }, defiida por S = a + a + + a, para cada IN, que llamaremos sucesió

Más detalles

ECUACIONES DIFERENCIALES (0256)

ECUACIONES DIFERENCIALES (0256) ECUACIONES DIFERENCIALES (056) SEMANA 0 CLASE 0 LUNES 09/04/. Presetació de la asigatura. Coteido programático, pla de evaluació, software de apoyo, bibliografía recomedada. Se sugiere ver los archivos

Más detalles

Cód. Carrera: Área de Matemática Fecha: MODELO DE RESPUESTAS Objetivos 1 al 11.

Cód. Carrera: Área de Matemática Fecha: MODELO DE RESPUESTAS Objetivos 1 al 11. rueba Itegral Lapso 03-7-76-77 /0 Uiversidad Nacioal Abierta Matemática I (Cód. 7-76-77) icerrectorado Académico Cód. Carrera: 6-36-80-08- -60-6-6-63 Fecha: 0 0-0 MODELO DE RESUESTAS Objetivos al. OBJ

Más detalles

Ejercicios de preparación para olimpiadas. Funciones

Ejercicios de preparación para olimpiadas. Funciones Ejercicios de preparació para olimpiadas. Fucioes 5 de diciembre de 04. Fucioes covexas Comezamos estas otas hablado de fucioes covexas. Auque la covexidad de ua fució se puede estudiar por técicas de

Más detalles

1. Definiciones y propiedades básicas - C como extensión de R.

1. Definiciones y propiedades básicas - C como extensión de R. Facultad de Ciecias Exactas, Igeiería y Agrimesura Departameto de Matemática - Escuela de Ciecias Exactas y Naturales ÁLGEBRA y GEOMETRÍA ANALÍTICA I Liceciatura e Física - 2015 Equipo docete: Viviaa del

Más detalles

LAS SUCESIONES Y SU TENDENCIA AL INFINITO

LAS SUCESIONES Y SU TENDENCIA AL INFINITO LAS SUCESIONES Y SU TENDENCIA AL INFINITO Sugerecias al Profesor: Resaltar que las sucesioes geométricas ifiitas so objetos matemáticos que permite modelar alguos procesos ifiitos, y que a la vez su costrucció

Más detalles

Convergencia de variables aleatorias

Convergencia de variables aleatorias Capítulo Covergecia de variables aleatorias El objetivo del presete capítulo es estudiar alguos tipos de covergecia de variables aleatorias. Iiciaremos co la defiició de los distitos modos de covergecia...

Más detalles

UNIDAD 10.- DERIVADAS

UNIDAD 10.- DERIVADAS UNIDAD.- DERIVADAS. DERIVADA DE UNA EN UN PUNTO. DERIVADAS LATERALES Defiici.- Se llama derivada de ua fuci f ( e u puto de abscisa al siguiete ite si eiste: f ( f '( sigifica lo mismo. f (. Se suele represetar

Más detalles

ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL. Primer Semestre CAPITULO 5

ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL. Primer Semestre CAPITULO 5 ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL 520142 Primer Semestre CAPITULO 5 DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición: Números Complejos Se define el conjunto de los

Más detalles

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial Boletín n o 7

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial Boletín n o 7 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS Igeiería Técica Idustrial. Especialidad e Electróica Idustrial Boletí o 7. Dibujar las gráficas y hallar el desarrollo e serie de Fourier de las siguietes fucioes periódicas de

Más detalles

1 SISTEMA DE NUMEROS COMPLEJOS

1 SISTEMA DE NUMEROS COMPLEJOS UNIVERSIDAD DEL VALLE FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Prof DORIS HINESTROZA SISTEMA DE NUMEROS COMPLEJOS Sea C el cojuto de parejas ordeadas (a, b) deúmeros reales, esto es C = {(a, b)

Más detalles

Unidad 1: Las Ecuaciones Diferenciales y Sus Soluciones

Unidad 1: Las Ecuaciones Diferenciales y Sus Soluciones Uidad : Las Ecuacioes Difereciales y Sus Solucioes. Itroducció. Tato e las ciecias como e las igeierías se desarrolla modelos matemáticos para compreder mejor los feómeos físicos. Geeralmete, estos modelos

Más detalles

Hoja de Problemas Tema 3. (Sucesiones y series)

Hoja de Problemas Tema 3. (Sucesiones y series) Depto. de Matemáticas Cálculo (Ig. de Telecom.) Curso 23-24 Hoja de Problemas Tema 3 (Sucesioes y series) Sucesioes de úmeros reales. Sea {a } N, {b } N sucesioes de úmeros reales. Demostrar o refutar

Más detalles

Sucesiones y series de números reales

Sucesiones y series de números reales 38 Matemáticas : Cálculo diferecial e IR Capítulo Sucesioes y series de úmeros reales Sucesioes Defiició 37- Llamaremos sucesió de úmeros reales a cualquier aplicació f: N R y la represetaremos por { a,

Más detalles

Sesión No. 6. Contextualización. Nombre: Funciones exponenciales y logarítmicas y el uso de las MATEMÁTICAS. progresiones aritméticas y geométricas.

Sesión No. 6. Contextualización. Nombre: Funciones exponenciales y logarítmicas y el uso de las MATEMÁTICAS. progresiones aritméticas y geométricas. Matemáticas Sesió No. 6 Nombre: Fucioes expoeciales y logarítmicas y el uso de las progresioes aritméticas y geométricas. Cotextualizació Las fucioes expoeciales y logarítmicas se les cooce como trascedetes,

Más detalles

LAS SERIES GEOMÉTRICAS Y SU TENDENCIA AL INFINITO

LAS SERIES GEOMÉTRICAS Y SU TENDENCIA AL INFINITO LA ERIE GEOMÉTRICA Y U TENDENCIA AL INFINITO ugerecias al Profesor: Al igual que las sucesioes, las series geométricas se itroduce como objetos matemáticos que permite modelar y resolver problemas que

Más detalles

2 Algunos conceptos de convergencia de sucesiones de variables aleatorias

2 Algunos conceptos de convergencia de sucesiones de variables aleatorias INTRODUCCIÓN A LA CONVERGENCIA DE SUCESIONES DE VARIABLES ALEATORIAS Juliá de la Horra Departameto de Matemáticas U.A.M. 1 Itroducció Se puede utilizar diferetes coceptos de covergecia para las sucesioes

Más detalles

Unidad I: Números Complejos

Unidad I: Números Complejos Uidad I: Números Complejos INTRODUCCIÓN Desde Al'Khwarimi (800 DC), quie fuera precursor del Álgebra, sólo se obteía las solucioes de las raíces cuadradas de úmeros positivos El matemático italiao Girolamo

Más detalles

Los números complejos ( )

Los números complejos ( ) Los úmeros complejos (15.06.016) 1. Itroducció Estas otas se propoe u doble objetivo. Co los apartados a 8 se pretede dar uas ocioes básicas sobre los úmeros complejos que ayude a fijar los coceptos expuestos

Más detalles

1 Sistemas Numéricos

1 Sistemas Numéricos Sistemas Numéricos. Sistemas Numéricos Los úmeros eteros positivos que os permite eumerar y ordear como,,3 los llamamos úmeros aturales y los represetamos como. Sobre ellos podemos utilizar la adició pero

Más detalles

Tema 8. Derivabilidad y reglas de derivación. 8.1 Derivada de una función

Tema 8. Derivabilidad y reglas de derivación. 8.1 Derivada de una función Tema 8 Derivabilidad y reglas de derivació 8. Derivada de ua fució f : I R es derivable e a I si eiste el límite que llamaremos f 0 (a) f() f(a) lim a a Ejercicio 8.. Si f() 3 calcular f 0 () f(a + ) f(a)

Más detalles

R. Urbán Introducción a los métodos cuantitativos. Notas de clase Sucesiones y series.

R. Urbán Introducción a los métodos cuantitativos. Notas de clase Sucesiones y series. R. Urbá Itroducció a los métodos cuatitativos. Notas de clase Sucesioes y series. SUCESIONES. Ua sucesió es u cojuto umerable de elemetos, dispuestos e u orde defiido y que guarda ua determiada ley de

Más detalles

Métodos Numéricos. La solución es una relación funcional entre dos variables. No todas las ecuaciones diferenciales tienen solución analítica.

Métodos Numéricos. La solución es una relación funcional entre dos variables. No todas las ecuaciones diferenciales tienen solución analítica. Métodos Numéricos Métodos aalíticos Solució de ecuacioes difereciales Métodos Numéricos Métodos aalíticos: La solució es ua relació fucioal etre dos variables. No todas las ecuacioes difereciales tiee

Más detalles

Números de Bernoulli y su Relación con la Función Zeta de Riemann

Números de Bernoulli y su Relación con la Función Zeta de Riemann Números de Beroulli y su Relació co la Fució Zeta de Riema Jua Camilo Torres Chaves Mayo 9 de 26 Resume Itroducimos los úmeros de Beroulli y demostramos alguas de sus propiedades más importates. Usamos

Más detalles

PRÁCTICA # 3 PREPARACIÓN DE GRÁFICAS GRÁFICAS LINEALES

PRÁCTICA # 3 PREPARACIÓN DE GRÁFICAS GRÁFICAS LINEALES TEORIA PRÁCTICA # 3 PREPARACIÓN DE GRÁFICAS GRÁFICAS LINEALES Cuado se realiza experimetos usualmete se obtiee ua serie de datos, por ejemplo los mostrados e la tabla. Geeralmete, lo que se quiere es ecotrar

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas

Sistemas de Ecuaciones Lineales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas Sistemas de Ecuacioes Lieales M. e I. Gerardo Avilés Rosas Octubre de 206 Tema 5 Sistemas de Ecuacioes Lieales Objetivo: El alumo formulará, como modelo matemático de problemas, sistemas de ecuacioes lieales

Más detalles

MATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS

MATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS Defiició de límite de ua fució (segú Heie) Sea f : D R ua fució y a R (D R) Diremos que se cumple que f() L R a f( ) L si para cualquier sucesió { } D { a} tal que a Ejemplos: ) Probar que Demostració:

Más detalles

CUADRATURA GAUSSIANA

CUADRATURA GAUSSIANA CUADRATURA GAUSSIANA Este método de basa e muestrear el itegrado de la fució cuya itegral se desea ecotrar, a valores que represeta raíces de poliomios ortogoales Los más populares de éstos so los poliomios

Más detalles

SESIÓN 8 DESCRIPCIONES DE UNA RELACIÓN

SESIÓN 8 DESCRIPCIONES DE UNA RELACIÓN SESIÓN 8 DESCRIPCIONES DE UNA RELACIÓN I. CONTENIDOS: 1. Regresió lieal simple.. Iterpretació de gráficas de regresió. 3. Cálculo de coeficiete de correlació. 4. Iterpretació del coeficiete de correlació.

Más detalles

INSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA. GUIA Nº 3: Sucesiones, Límite de Sucesiones y Límite de Funciones en R

INSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA. GUIA Nº 3: Sucesiones, Límite de Sucesiones y Límite de Funciones en R P á g i a INSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA GUIA Nº 3: Sucesioes, Límite de Sucesioes y Límite de Fucioes e R GRADO: º AREA: MATEMÁTICAS PROFESORA: Ebli Martíez M. ESTUDIANTE: PERIODO: III

Más detalles

DESIGUALDADES. 1. Desigualdad de Cauchy-Schwarz. Para todo a 1,a 2,...,a n,b 1,b 2,...,b n números reales se cumple que:

DESIGUALDADES. 1. Desigualdad de Cauchy-Schwarz. Para todo a 1,a 2,...,a n,b 1,b 2,...,b n números reales se cumple que: DESIGUALDADES E las olimpiadas de matemáticas es frecuete la aparició de problemas cosistetes e la demostració de determiadas desigualdades. Auque o existe ua estrategia geeral para resolver los problemas

Más detalles

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL 1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL 1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. DEFINICIONES DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES. Ua fució de variable es u cojuto de pares ordeados de la forma

Más detalles

INECUACIONES. Ejemplo: La desigualdad 2x+l>x+5, es una inecuación por que tiene una incógnita "x" que se verifica para valores mayores que 4.

INECUACIONES. Ejemplo: La desigualdad 2x+l>x+5, es una inecuación por que tiene una incógnita x que se verifica para valores mayores que 4. INECUACIONES DEFINICIÓN: Ua iecuació es ua desigualdad e las que hay ua o más catidades descoocidas (icógita) y que sólo se verifica para determiados valores de la icógita o icógitas. Ejemplo: La desigualdad

Más detalles

Matemáticas Discretas Inducción y Recursión

Matemáticas Discretas Inducción y Recursión Coordiació de Ciecias Computacioales - INAOE Matemáticas Discretas Iducció y Recursió Cursos Propedéuticos 00 Ciecias Computacioales INAOE Iducció y recursió Geeralidades Iducció de úmeros aturales Iducció

Más detalles

) se obtiene un valor específico del estimador que recibe el nombre de estimación del parámetro poblacional θ y lo notaremos por = g ( x 1

) se obtiene un valor específico del estimador que recibe el nombre de estimación del parámetro poblacional θ y lo notaremos por = g ( x 1 ESTIMACIÓN PUNTUAL. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA. 1. INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA El objetivo básico de la iferecia estadística es hacer iferecias o sacar coclusioes sobre la població

Más detalles

Series infinitas de números reales. Series convergentes

Series infinitas de números reales. Series convergentes Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes Las sucesioes de úmeros reales se itrodujero co la iteció de poder cosiderar posteriormete sus sumas

Más detalles

Elementos Primitivos Para Euclides es el punto, la recta, la relación de mediación y la relación de congruencia.

Elementos Primitivos Para Euclides es el punto, la recta, la relación de mediación y la relación de congruencia. Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Escuela de Formació de Profesores de Eseñaza Media EFPEM- Resume: Geometría Básica Geometría Euclidiaa Se refiere a la geometría iicial que fue propuesta por Euclides

Más detalles

Coeficientes binomiales

Coeficientes binomiales Coeficietes biomiales (Ejercicios Objetivos Defiir coeficietes biomiales y estudiar sus propiedades pricipales Coocer su aplicació e la fórmula para las potecias del biomio y su setido combiatorio (si

Más detalles

PyE_ EF2_TIPO1_

PyE_ EF2_TIPO1_ UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA SEGUNDO EXAMEN FINAL RESOLUCIÓN

Más detalles

6. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 6.1. SUCESIONES NUMÉRICAS

6. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 6.1. SUCESIONES NUMÉRICAS Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM. 6. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 6... Sucesioes de úmeros reales 6.. SUCESIONES NUMÉRICAS Se llama sucesió de úmeros reales a cualquier

Más detalles

Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. Facultad de Ingeniería Eléctrica. Apuntes para la Materia de. Cálculo IV

Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. Facultad de Ingeniería Eléctrica. Apuntes para la Materia de. Cálculo IV Uiversidad Michoacaa de Sa Nicolás de Hidalgo Facultad de Igeiería Eléctrica Aputes para la Materia de Cálculo IV f()= + Para las Carreras: Igeiería Eléctrica Igeiería Electróica Igeiería e Computació.

Más detalles

bc (b) a b + c d = ad+bc a b = b a

bc (b) a b + c d = ad+bc a b = b a 1 Cojutos 1 Describa los elemetos de los siguietes cojutos A = { x x 1 = 0 } D = { x x 3 x + x = } B = { x x 1 = 0 } E = { x x + 8 = 9 } C = {x x + 8 = 9} F = { x x + 16x = 17 } Para los cojutos del ejercicio

Más detalles

Apellidos y Nombre: Aproximación lineal. dy f x dx

Apellidos y Nombre: Aproximación lineal. dy f x dx INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN HOJA 0 Aproximació lieal Defiició (Diferecial).- Sea y = f ( x) ua fució derivable e u itervalo abierto que cotiee al úmero x, - La diferecial de x es igual al icremeto de

Más detalles

Sumatoria, Progresiones y Teorema del Binomio

Sumatoria, Progresiones y Teorema del Binomio Capítulo Sumatoria, Progresioes y Teorema del Biomio.. Símbolo Sumatorio Es u símbolo muy útil y coveiete que permite escribir sumas e forma abreviada. Este símbolo se represeta mediate la letra griega

Más detalles

una sucesión de funciones de A. Formemos una nueva sucesión de funciones {S n } n=1 de A de la forma siguiente:

una sucesión de funciones de A. Formemos una nueva sucesión de funciones {S n } n=1 de A de la forma siguiente: Tema 8 Series de fucioes Defiició 81 Sea {f } ua sucesió de fucioes de A Formemos ua ueva sucesió de fucioes {S } de A de la forma siguiete: S (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + + f (x) = f k (x) Al par de sucesioes

Más detalles

TEOREMA DE PITAGORAS

TEOREMA DE PITAGORAS TEOREMA DE PITAGORAS INTRODUCCION El Teorema de Pitágoras lleva este ombre porque su descubrimieto recae sobre la escuela pitagórica. Ateriormete, e Mesopotamia y el Atiguo Egipto se coocía teras de valores

Más detalles

NÚMEROS COMPLEJOS. el conjunto de todos los pares ordenados

NÚMEROS COMPLEJOS. el conjunto de todos los pares ordenados NÚMEROS COMPLEJOS 0.- INTRODUCCIÓN Represetareos por reales: el cojuto de todos los pares ordeados Dicho cojuto se deoia plao cartesiao. xy, : xy, x, y de úeros Recuerda que sabeos suar pares ordeados

Más detalles