Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Inferencia Estadística de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

Transcripción

1 Solucoes de los ejeccos de Selectvdad sobe Ifeeca Estadístca de Matemátcas Aplcadas a las Cecas Socales II Atoo Facsco Roldá López de Heo * Covocatoa de 007 Las sguetes págas cotee las solucoes de los ejeccos popuestos paa las puebas de acceso a la Uvesdad e Adalucía de la asgatua Matemátcas aplcadas a las Cecas Socales II sobe Ifeeca Estadístca. Cada uo lleva u códgo como el sguete B-4, que sg ca ejecco 4 de la opcó B del modelo 6 de la covocatoa de Alguas otas sobe la esolucó de los ejeccos de Ifeeca Estadístca La mayo pate de los ejeccos de Ifeeca Estadístca que se popoe e las puebas de acceso a la Uvesdad so muy paecdos. Se basa e cuato fómulas que ay que cooce muy be y sabe cuádo se debe utlza. Paa la meda poblacoal Paa la popocó Itevalo de co aza x z p # ^p (1 ^p z ^p) Tamaño mímo z E 0 z E 0 E cada ua de éstas fómulas se utlza u valo cítco z asocado a u ceto vel de co aza p (o, lo que es lo msmo, a u ceto vel de sg cacó 1 p). El cálculo de este * Pofeso del I.E.S. Acc de Guadx (Gaada) - ttp// 1

2 Selectvdad Matemátcas Aplcadas a las Cecas Socales II valo es u poceso automátco. Po eso, o lo vamos a explca e cada ejecco. Smplemete damos, e la sguete tabla, los valoes cítcos asocados a los veles de co aza más usuales. p 90 % 9 % 93 % 95 % 96 % 97 % 98 % 99 % % p z Úcamete e los ejeccos que aya sdo popuestos e las covocatoas de juo o septembe escbemos cómo deduc estos valoes cítcos (auque, debemos obseva que, paa que u ejecco esté completo, se debe explca cómo obtee el coespodete valo cítco e cluso ace ua gua adecuada como la que pesetaemos).. Ejeccos de Selectvdad Ejecco 1 (007-1-A-4) [] El salao de los tabajadoes de ua cudad sgue ua dstbucó Nomal co desvacó típca 15 euos. Se quee calcula u tevalo de co aza paa el salao medo co u vel de co aza del 98 %. Deteme cuál es el tamaño mímo de la muesta que se ecestaía ecoge paa que el tevalo de co aza tega ua ampltud, como máxmo, de 6 euos. Solucó Sea X la vaable aleatoa que mde el salao (e euos) de u tabajado, elegdo al aza. Segú dca el poblema, de esta vaable sabemos que X,! N (; 15), sedo la meda descoocda. Paa u vel de co aza p , el valo cítco coespodete es z S queemos que la ampltud máxma del tevalo de co aza sea de 6 e, el eo máxmo admsble debe se E 0 3 e ( cudado, el poblema dca la ampltud máxma y o el eo máxmo!) Po tato, el tamaño mímo que debemos toma e ua muesta paa tee u eo feo a 3 e ve ca z E Esto sg ca que, paa obtee u eo máxmo de 3 e, al 99 % de co aza, debemos toma ua muesta co, al meos, 136 tabajadoes. Adalucía Atoo Roldá

3 Selectvdad Matemátcas Aplcadas a las Cecas Socales II Ejecco (007-1-B-4) [] E ua ecuesta epesetatva ealzada a 130 pesoas de ua cudad, se obtuvo como esultado que 654 de ellas va al ce los es de semaa. Calcule u tevalo de co aza, al 97 %, paa la popocó de assteca al ce los es de semaa e dca cudad. Solucó La popocó muestal de pesoas que va al ce los es de semaa, e ua muesta de tamaño 130, es de ^p Al 97 % de co aza, el valo cítco asocado es z Dado que 30, ^p y (1 ^p) , podemos utlza la apoxmacó de De Move paa obtee la fómula de tevalo del co aza paa la popocó de pesoas que va al ce los es de semaa e esa cudad, que es # ^p (1 IC ^p z ^p) # ; Esto sg ca que, al 97 % de co aza, la popocó de pesoas que va al ce los es de semaa e esa cudad está ete el 50 1 % y el 56 3 %. Ejecco 3 (007--A-4, Juo) E ua muesta aleatoa de 56 dvduos se a obtedo ua edad meda de años. Se sabe que la desvacó típca de la poblacó Nomal de la que pocede esa muesta es de años. 130 a) [1] Obtega u tevalo de co aza al 95 % paa la edad meda de la poblacó. b) [1] Cuál debe se el tamaño mímo de la muesta paa que el coespodete tevalo de co aza, al 90 %, tega de ampltud a lo sumo 0 0 5? Solucó (Apatado a) Sea X la vaable aleatoa que mde la edad de ua pesoa, elegda al aza, de esa poblacó. De esta vaable sabemos que X,! N (; ), sedo la meda descoocda. Se elge ua muesta de tamaño 56, que aoja ua meda muestal de x años. Como la poblacó de patda es Nomal, el tevalo de co aza solctado es IC x z p Paa aplca esta fómula, es ecesao calcula el valo cítco z al vel de co aza del 95 % (o lo que es lo msmo, a u vel de sg cacó 5 % ). Paa ello, ecodamos que el úmeo z es el úco úmeo eal que cumple que p Z > z , sedo Z ua vaable co dstbucó Nomal estáda. Como dspoemos de ua tabla de colas a la zqueda, Adalucía 3 Atoo Roldá

4 Selectvdad Matemátcas Aplcadas a las Cecas Socales II taducmos esta codcó co el suceso opuesto, es dec, p Z z Buscamos este valo e la tabla de la dstbucó Nomal estáda, ecotado el valo cítco z y 0'95 0'05 0'05 _ z 0'05 z 0'05 Z,! N (0; 1) De esta foma, el tevalo de co aza es IC x z p p x ; Esto sg ca que la edad meda de la poblacó está, al 90 % de co aza, ete y años. (Apatado b) Po oto lado, paa que la ampltud del tevalo de co aza sea A años, su eo máxmo admtdo seá E A años. Razoado como ates peo aoa al 90 % de co aza, buscamos e la tabla de la dstbucó Nomal estáda el valo (1 + p) ( ) , lo que os popocoa el valo cítco z (seía aceptables las apoxmacoes po defecto y po exceso , auque osotos emos tomado u valo temedo). Co estos datos, el tamaño mímo que debemos toma e ua muesta es z E Po tato, debeá tomase ua muesta de, al meos, 174 dvduos. Ejecco 4 (007--B-4, Juo) E ua gaja avícola se a tomado ua muesta aleatoa de 00 polluelos de pato, ete los cuales se ecotao 10 embas. Adalucía 4 Atoo Roldá

5 Selectvdad Matemátcas Aplcadas a las Cecas Socales II a) [1 5] Halle u tevalo de co aza, co u vel del 98 %, paa la popocó de embas ete estos polluelos. b) [0 5] Razoe, a la vsta del tevalo ecotado, s a ese vel de co aza puede admtse que la vedadea popocó de embas de pato e esa gaja es 0;5. Solucó (Apatado a) Como ay 10 embas e ua muesta de tamaño 00, la popocó muestal de embas ete los polluelos de pato es ^p Dado que 30, ^p y (1 ^p) , podemos utlza la apoxmacó de De Move paa obtee la fómula de tevalo del co aza paa la popocó poblacoal de embas, que es # IC ^p z Paa aplca esta fómula, es ecesao calcula el valo cítco z al vel de co aza del 98 % (o lo que es lo msmo, a u vel de sg cacó % 0 0 0). Paa ello, ecodamos que el úmeo z es el úco úmeo eal que cumple que p Z > z , sedo Z ua vaable co dstbucó Nomal estáda. Como dspoemos de ua tabla de colas a la zqueda, taducmos esta codcó co el suceso opuesto, es dec, p Z z Buscamos este valo e la tabla de la dstbucó Nomal estáda, ecotado el valo cítco z 0 35 (també seía aceptables las apoxmacoes po defecto 0 3 y po exceso 0 33). y 0'98 0'01 0'01 _ z 0'01 z 0'01 Z,! N (0; 1) x De esta foma, el tevalo de co aza es # # 0 IC ^p z ; Esto sg ca que, al 98 % de co aza, la popocó de embas e toda la poblacó está ete el 5 % y el 68 %. Adalucía 5 Atoo Roldá

6 Selectvdad Matemátcas Aplcadas a las Cecas Socales II (Apatado b) Desde luego, a este vel de co aza, emos de ecaza la a macó que establece que la popocó de embas de pato e esa gaja sea del 50 % ya que el úmeo o está deto del tevalo de co aza que emos detemado. Ejecco 5 (007-3-A-4, Septembe) Se sabe que las putuacoes de u test sgue ua ley Nomal de meda 36 y desvacó típca 4 8. a) [1] S se toma ua muesta aleatoa de 16 dvduos, cuál es la pobabldad de que la meda de esta muesta sea supeo a 35 putos? b) [1] Qué pocetaje de muestas de tamaño 5 tee ua meda compedda ete 34 y 36? Solucó (Apatado a) Sea X la vaable aleatoa que mde la putuacó obteda e el test po ua pesoa elegda al aza. De esta vaable sabemos que X,! N ( 36; 4 0 8). Llamemos X 16 a la vaable aleatoa que mde la meda obteda al toma muestas depedetes de tamaño 16. Etoces sabemos que X 16,! N ; p N y tas tp ca la vaable aleatoa, Z X ; p 16 N 36; 1 0 ;,! N (0; 1) Etoces la pobabldad de que la meda de ua muesta de tamaño 16 sea supeo a 35 putos es p X 16 > 35 X16 36 p 1 0 > p Z > p Z mado la tabla de la omal N (0; 1) (Apatado b) Llamemos aoa X 5 a la vaable aleatoa que mde la meda obteda al toma muestas depedetes de tamaño 5. Razoado como ates, sabemos que 4 X 0 8 5,! N ; p N 36; p N 36; X ) Z ,! N (0; 1) 96 Etoces, el pocetaje de muestas de tamaño 5 que tee ua meda muestal compedda Adalucía 6 Atoo Roldá

7 Selectvdad Matemátcas Aplcadas a las Cecas Socales II ete 34 y 36 es p 34 < X 5 < p < X < p 0 08 < Z < 0 96 p 0 < Z < 0 08 p Z 0 08 p (Z 0) %. Ejecco 6 (007-3-B-4, Septembe) Se sabe que ( ; ) es u tevalo de co- aza, al 95 %, paa la meda de ua vaable aleatoa que sgue ua dstbucó Nomal co desvacó típca 15. a) [0 5] Cuál es el eo cometdo? b) [1 5] Calcule, co el msmo vel de co aza, el tamaño muestal mímo ecesao paa que el eo cometdo o sea supeo a Solucó (Apatado a) Como el tevalo de co aza paa la meda es ( ; ), la meda muestal obteda es el puto medo ete sus extemos x ; y el eo máxmo cometdo al calcula el tevalo es la dstaca ete la meda y cualquea de los extemos del tevalo de co aza, es dec E (Apatado b) Po ota pate, supogamos que queemos comete u eo máxmo E E al p 1 95 % de co aza. Etoces el tamaño mímo muestal que se debe toma debe cumpl z ; E 0 dode 15 es la desvacó típca, E es el máxmo eo admsble y z es el úco úmeo eal que cumple que p Z > z , sedo Z ua vaable co dstbucó Nomal estáda. Como dspoemos de ua tabla de colas a la zqueda, taducmos esta codcó co el suceso complemetao, es dec, p Z z Buscamos este Adalucía 7 Atoo Roldá

8 Selectvdad Matemátcas Aplcadas a las Cecas Socales II valo e la tabla de la dstbucó Nomal estáda, ecotado el valo cítco z y 0'95 0'05 0'05 _ z 0'05 z 0'05 Z,! N (0; 1) x Así, el tamaño mímo muestal debe cumpl z E 0 po lo que tomaemos ua muesta de, al meos, 67 dvduos ; 3 9 Ejecco 7 (007-4-A-4) E ua Uvesdad se toma, al aza, ua muesta de 400 alumos y se obseva que 160 de ellos a apobado todas las asgatuas. (a) [1] Halle u tevalo de co aza, al 97 %, paa estma el pocetaje de alumos de esa Uvesdad que apueba todas las asgatuas. (b) [1] A la vsta del esultado ateo se petede epet la expeeca paa cosegu que el eo o sea supeo a 0.04, co el msmo vel de co aza. Cuátos alumos, como mímo, a de tee la muesta? Solucó (Apatado a) La popocó muestal de alumos que a apobado todas las asgatuas, e ua muesta de tamaño 400, es de ^p Al 97 % de co aza, el valo cítco asocado es z Dado que 30, ^p y (1 ^p) , el tevalo del co aza paa la popocó de alumos que a apobado todas las asgatuas e esa Uvesdad es # ^p (1 IC ^p z ^p) # ; Adalucía 8 Atoo Roldá

9 Selectvdad Matemátcas Aplcadas a las Cecas Socales II Esto sg ca que, al 97 % de co aza, el pocetaje de alumos de esa Uvesdad que apueba todas las asgatuas está ete el 3 % y el 56 8 %. (Apatado b) S el eo máxmo admsble se ja e E , etoces el tamaño muestal debe ve ca z E Esto sg ca que paa cosegu que el eo sea feo a , al 97 % de co aza, debemos toma ua muesta aleatoa de, al meos, 707 alumos. Ejecco 8 (007-4-B-4) [] Paa ealza ua ecuesta e u Isttuto se seleccoa, aleatoamete, ua muesta de 50 alumos y se les peguta s tee epoductoes de mp3, cotestado a matvamete 0 de ellos. Calcule u tevalo de co aza, al 96 %, paa la popocó de alumos que posee epoductoes de mp3 e la poblacó total de alumos del Isttuto. Solucó La popocó muestal de alumos que posee u epoducto de MP3, e ua muesta de tamaño 50, es de ^p Al 96 % de co aza, el valo cítco asocado es z Dado que 30, ^p 0 5 y (1 ^p) , el tevalo del co aza paa la popocó de alumos que posee u epoducto de MP3 es # # 0 IC ^p z ; Esto sg ca que, al 96 % de co aza, el pocetaje de alumos posee u epoducto de MP3 está ete el 5 % y el 55 %. Ejecco 9 (007-5-A-4) Se a lazado al ae ua moeda 00 veces y se a obtedo caa e 10 ocasoes. (a) [1] Estme, medate u tevalo de co aza, al 90 %, la pobabldad de obtee caa. (b) [1] Se petede epet la expeeca paa cosegu que el eo cometdo sea feo a 0.03, co u vel de co aza del 97 %. Cuál debe se el tamaño mímo de la muesta? Adalucía 9 Atoo Roldá

10 Selectvdad Matemátcas Aplcadas a las Cecas Socales II Solucó (Apatado a) La popocó muestal de las caas que se a obtedo, e ua muesta de tamaño 00, es de ^p Al 90 % de co aza, el valo cítco asocado es z Dado que 30, ^p 10 5 y (1 tevalo del co aza paa la popocó de caas es # # 0 IC ^p z ; ^p) , el Esto sg ca que, al 90 % de co aza, el pocetaje de caas que apaeceá al laza la moeda está ete el 54 3 % y el 65 7 %. (Apatado b) S el eo máxmo admsble se ja e E , al 97 % de co aza (co valo cítco asocado 0 17), el tamaño muestal debe ve ca z E Esto sg ca que paa cosegu que el eo sea feo a , al 97 % de co aza, debemos toma ua muesta aleatoa de, al meos, 156 lazametos de la moeda. Ejecco 10 (007-5-B-4) Co los datos de ua muesta aleatoa se estma que el pocetaje de ogaes co coexó a Iteet es del 30 %, co u eo máxmo de la estmacó de 0.06 y u vel de co aza del 93 %. (a) [0 5] Obtega el tevalo de co aza, al 93 %, de la popocó de ogaes co coexó a Iteet. (b) [1 5] Calcule el tamaño mímo de la muesta utlzada. Solucó (Apatado a) La popocó muestal de ogaes co coexó a Iteet es de ^p Como el eo máxmo que se a cometdo e la apoxmacó es ^p (1 E z ^p) ; Adalucía 10 Atoo Roldá

11 Selectvdad Matemátcas Aplcadas a las Cecas Socales II el tevalo de co aza paa la popocó de ogaes co coexó a Iteet e la poblacó estudada es IC # ^p (1 ^p z ; ^p) ^p E (Apatado b) Al 93 % de co aza, el valo cítco asocado es z S el eo máxmo admsble es E , el tamaño muestal debe ve ca z E Esto sg ca que paa cosegu que el eo sea feo a , al 93 % de co aza, debemos toma ua muesta aleatoa de, al meos, 19 ogaes. Ejecco 11 (007-6-A-4) E ua poblacó ua vaable aleatoa sgue ua ley Nomal co desvacó típca 8. Se a elegdo, al aza, ua muesta de tamaño 100 y su meda a sdo 67. (a) [1] Calcule el tevalo de co aza, al 93 %, paa la meda de la poblacó. (b) [1] Cuátos datos, como mímo, so ecesaos paa estma, co u vel de co aza del 99 %, la meda de la poblacó co u eo o supeo a? Solucó (Apatado a) Sea X la vaable aleatoa de la que sabemos que X,! N (; 8), sedo la meda descoocda. Se toma ua muesta de tamaño 100 cuya meda esulta se x 67. A u vel de co aza p , el coespodete valo cítco es z Po tato, el tevalo de co aza paa la meda poblacoal es IC x z p p ; Esto sg ca que, al 93 % de co aza, la meda poblacoal está compedda ete y Adalucía 11 Atoo Roldá

12 Selectvdad Matemátcas Aplcadas a las Cecas Socales II (Apatado b) Al vel de co aza p , el coespodete valo cítco es z S jamos E 0 como eo máxmo admsble, etoces la muesta debe tee u tamaño que ve que z ; es dec, debemos toma ua muesta de, al meos, 107 dvduos. E 0 Ejecco 1 (007-6-B-4) [] Paa estma la popocó de estudates de ua Uvesdad que está a favo de u aumeto del mpote de las becas, se etevstó, aleatoamete, a 500 estudates, de los cuales 465 espodeo a matvamete. Calcule el tevalo de co aza, al 98 %, e el cual se allaá la popocó de la poblacó uvestaa que está a favo del aumeto de la cuatía de las becas. Solucó La popocó muestal de estudates que está a favo de u aumeto del mpote de las becas, e ua muesta de tamaño 500, es de ^p Al 98 % de co aza, el valo cítco asocado es z Dado que 30, ^p y (1 ^p) , el tevalo del co aza paa la popocó de estudates de esa Uvesdad que está a favo de u aumeto del mpote de las becas es # # 0 IC ^p z ; Esto sg ca que, al 98 % de co aza, el pocetaje de estudates de esa Uvesdad que está a favo de u aumeto del mpote de las becas está ete el % y el %. Adalucía 1 Atoo Roldá