GEOMETRÍA ANALÍTICA. La idea de línea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometría (como son también el punto y el plano).

Transcripción

1 GEOMETRÍA ANALÍTICA La idea de línea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometría (como son también el punto y el plano). LA RECTA.- La recta es un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección. Vista en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a la derecha). ECUACIÓN DE LA RECTA.- nombre que recibe la expresión algebraica (función) que determina a una recta dada y = mx + b Donde: (x, y) (m) b corresponde a las coordenadas de cualquier punto de la recta la pendiente el punto de intercepción en la ordenada b En el gráfico de la izquierda, m representa la pendiente de la recta y permite obtener su grado de inclinación (en relación a la horizontal o abscisa), y b es el coeficiente de posición, el número que señala el punto donde la recta interceptará al eje de las ordenadas (y). FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA y y 1 = m(x x 1) Se usa para hallar la ecuación de la recta cuando se conoce la pendiente m, y un punto de la recta (x 1, y 1) PENDIENTE DE LA RECTA.- inclinación de la recta, es la tangente de la recta y se lo calcula con la siguiente expresión: m = (x 2 x 1)/ (y 2 y 1) Pendiente positiva negativa cero no definida Tipo de recta recta ascendente recta descendente recta horizontal recta vertical

2 Gráficos de la recta para las siguientes pendiente m>0 m<0 m no esta definida m = 0

3 Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo cual indica que interceptará al eje y en el punto (0, 7). Ejercicio 1: Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10. Tenemos que hallar la ecuación de la recta: y = mx + b. Usamos la información que tenemos: m = 3 y b = 10 y sustituimos en la ecuación La ecuación que se pide es: y = 3x + 10 Ejemplo 2: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente m = 5. Solución: Tenemos que hallar la ecuación de la recta: y = mx + b. 1.- Reemplazamos m = 5 en la ecuación: y = 5x + b 2.- Hallamos b con el punto (1, 2), que corresponde a x = 1, y = 2 y reemplazamos en la ecuación quedando estamos buscando: 2 = 5 (1) + b 3.- Despejamos la variable b en: 2 = 5 (1) + b 2 = 5 + b = b b = Obteniendo la recta: y = - 5x + 7. Paralelismo y perpendicularidad Rectas paralelas.- Dos rectas paralelas tienen el mismo ángulo de inclinación, esto implica que sus tangentes son iguales, es decir, las pendientes coinciden. Condición de Paralelismo: Dos rectas L1 y L2 son paralelas si y solo si, sus pendientes son iguales >>>>>> m1 = m2 <<<<<<<<

4 Grafico de rectas paralelas: Fig1) 3 y = 2x +3 y = 2x + 2 y = 2x Fig2) y = 2x y = 2x y = -3x - 1 y = -3x 3 y = -3x + 3 y = -3x +1 y = -3x Rectas Perpendiculares Dos rectas perpendiculares tienen ángulos de inclinación que difieren en 90 grados, esto implica que sus tangentes son reciprocas y difieren en signo, es decir, el producto de sus pendientes es -1 Condiciones de perpendicularidad.- Dos rectas L1 y L2 son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es -1 >>>>>>> m1.m2 = -1 <<<<<<< Resumen de ecuaciones para la recta Punto pendiente y y m x 1 x 1 y 2 1 Que pasa por dos puntos y y x y 1 x1 x2 x1 Pendiente ordenada en el origen y m. x b Ecuación general Ax By C 0 Rectas paralelas m1 m2 Rectas perpendiculares 1 m1 m2 1 m1 m Recta horizontal Recta vertical y k x k 2

5 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas. Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es = 9 unidades. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación: Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x 1,y 1) y B(x 2,y 2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de pitágoras. Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1) d = 5