PENDIENTES DE 1º BACH MATEMÁTICAS I EJERCICIOS BLOQUE II

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1 PENDIENTES DE 1º BACH MATEMÁTICAS I EJERCICIOS BLOQUE II

2 5. Geometría analítica 1.- Calcula el módulo y el argumento del vector v ( 3, 4) v = 5, a = Dados los puntos A( 5, 3) y B(, 7), calcula las coordenadas del vector AB AB(7, 4) 3.- Dado el punto A(1, 3) calcula las coordenadas del punto B tal que AB(5, 1) B(, y) Þ AB( 1, y 3) = (5, 1) Þ = 6, y = 4.- Dados los vectores u(, 1) y v( 5, 3) calcula 3u v 3u v = ( , 3 6) = (4, 3) 5.- Halla el producto escalar de los vectores: u(5, ) y v( 3, 4) u v = = Calcula el ángulo que forma los vectores: u(, 3) y v ( 5, 4) (- 5) + (- 3)( - 4) cos a = Þa = 85 1' 49" Halla el valor de para que los vectores u(, 4) y v(, 3) sean perpendiculares. u v = 0 Þ 1 = 0 Þ = Un cuadrado tiene por vértices contiguos los puntos A(, 3) y B(4, ). Calcula sus otros dos vértices. Dado AB(, 1), hay dos vectores perpendiculares: AC ^ AB es AC(1, ) AC ^ AB es AC ( 1, ) OC = OA + AC Þ OC = (, 3) + (1, ) = (3, 5) OC = OA + AC Þ OC = (, 3) + ( 1, ) = (1, 1) OD = OB + AC Þ OD = (4, ) + (1, ) = (5, 4) OD = OB + AC Þ OD = (4, ) + ( 1, ) = (3, 0) 9.- Dibuja la recta que pasa por el punto A(3, 1) y tienen como vector director v( 1, ) y halla su pendiente.

3 m = 10.- Dibuja la recta que pasa por los puntos A( 3, ) y B(3, 1), calcula el vector director y la pendiente de la recta. v = AB = (6, 3) (, 1) m = 1/ 11.- Comprueba si los puntos A( 3, 4), B( 1, 3) y C(3, 1) están alineados m AB = = -, m BC = = - Þ Están alineados Halla las ecuaciones vectorial, paramétricas, continua, general y eplícita de la recta determinada por el punto A( 1, 5) y el vector director v(, 3) Ecuación vectorial: (, y) = ( 1, 5) + t(, 3); t Î R Ecuaciones paramétricas: = -1+ tü ý t Î R y = 5-3t þ Ecuación continua: + 1 y - 5 = - 3 Ecuación general: 3 + y 7 = 0 Ecuación eplícita: 3 7 y = Dada la siguiente recta, escribe el tipo de ecuación, halla un punto, un vector director y la pendiente: (, y) = ( 3, ) + t(5, 1), t Î R Ecuación vectorial, A( 3, ); v(5, 1), m = 1/ Dada la siguiente recta, escribe el tipo de ecuación, halla un punto, un vector director y la pendiente: = 3 + tü ý t Î R y = 5 - tþ Ecuaciones paramétricas, A(3, 5); v(, 1), m = 1/

4 15.- Dada la siguiente recta, escribe el tipo de ecuación, halla un punto, un vector director y la pendiente: y = 5 Ecuación continua, A(3, 4); v(1, 5), m = Dadas la siguiente recta, escribe el tipo de ecuación, halla un punto, un vector director y la pendiente: 4 y + 1 = 0 Ecuación general, A(0, 1); v(1, 4), m = Dada la siguiente recta, escribe el tipo de ecuación, halla un punto, un vector director y la pendiente: y = + 3 Ecuación eplícita, A(0, 3); v(1, 1), m = Escribe la ecuación en forma punto pendiente de la recta que pasa por el punto A( 4, 3) y tiene pendiente y = ( + 4) + 3 Þ y = Escribe la ecuación en forma punto pendiente de la recta que pasa por el punto A( 4, 3) y tiene pendiente y = ( + 4) + 3 Þ y = 5 Dada la recta r º 3 + 4y 1 = 0, halla una recta s paralela a r que pase por el punto P(3, ) m r = - Þ m s = - Þ y = - ( 3) Þ r º 3 + 4y 1 = Halla la ecuación de la recta s que pase por el punto A(3, 1) y es perpendicular a la recta r que pasa por los puntos B(1, ) y C(, 1) m r = 3 Þ m s = 1/3 Þ y = 3 1 ( 3) + 1 Þ r º 3y = Determina la posición relativa de las siguientes rectas: r º (, y) = ( 3, 3) + t(, 1), t Î R - 3 y - 5 s º = 1-1 v r (, -1); vs (1, ) Þ ¹ Þ Las rectas son secantes. 1.- Determina la posición relativa de las siguientes rectas: ì = 1-10t r º í t Î R îy = 4t s º + 5y 10 = 0

5 -10 4 v r (- 10, 4); vs (5, - ) Þ = Þ Las rectas son paralelas Halla la distancia que hay entre los puntos A(, 3) y B(5, 1) d(a, B) = d ( A, B) = (5 - ) + (1 + 3) = = 5 u 4.- Halla la distancia del punto A(, 3) a la recta Ecuación general de la recta: r º 3 4y + 11 = (-3) d ( A, r) = = = 5,8 u r º + 1 y - = 4 3 ì = 4 + t 5.- Halla la distancia del punto A(1, 5) a la recta r º í t Î R îy = -3 + t Ecuación general de la recta: r º y 11 = d ( A, r) = = = u + (-1) Halla el ángulo que forman las rectas ì = t r º í îy = 4 + t t Î R s º y = 3( 1) + Ecuaciones generales de las rectas: r º y + 8 = 0, s º 3 y 1 = 0 cos a = = = Þ a = Halla la ecuación de la mediatriz del segmento que tiene los etremos en los puntos A(1, ) y B(3, 4) M(, 3), m AB = 1 Þ m^ = 1; y = ( ) + 3, y = Calcula las ecuaciones de las bisectrices de r º 3 4y = 0 y s º 8 + 6y + 3 = 0 3-4y 8 + 6y + 3 d(p, r) = d(p, s), =, + 14y + 3 = 0, 14 y + 3 =

6 6. Números complejos 1.- Representa los afijos de los siguientes números complejos en el plano de Gauss. z 1 = + 3i z = 1 + 4i z 3 = 3i z 4 = 5.- Halla los números complejos representados en el siguiente plano de Gauss por sus afijos: z 1 = 4 + 3i; z = 4i; z 3 = 4 + i; z 4 = 5 4i; z 5 = 3.- Sean z 1 = + 3i y z = 5 i. Calcula z 1 + z y z 1 z z 1 + z = 7 + i z 1 z = i 4.- Sean z 1 = 5 i y z = + i. Calcula z 1 z y z 1 / z z 1 z = 1 + i z 1 /z = i 5.- Sean z 1 = 6 i y z = 1 + i. Calcula z 1 z y z 1 / z z 1 z = i 14 z 1 / z = i Calcula: (1 i)(1 + i) ( + 3i)/( i) 6 3i 7.- Dados z 1 = 3i y z = 1+ 4i, calcula: a) z 1 + z b) z 1 z c) z 1 : z d) z 1

7 a) z 1 + z = 1 + i b) z 1 z = i 14 5 c) z 1 : z = - - i d) z = 5 + 1i Representa en el plano de Gauss el siguiente número complejo y pásalo a forma polar y trigonométrica: z = 1 3 i z = 300 Þ z = (cos i sen 300 ) 9.- Representa en el plano de Gauss el siguiente número complejo y pásalo a forma trigonométrica y binómica: z = 4 5 æ z = 4(cos 5 + i sen 5 ) = 4ç - è - ö i = - - i ø 10.- Representa en el plano de Gauss el siguiente número complejo y pásalo a forma polar y binómica: z = (cos i sen 150 ) æ ö z = 150 = ç i = i è ø 11.- Pasa a forma binómica el número complejo z representado en la gráfica:

8 z = 4(cos 60 + i sen 60 ) = + 3 i 1.- Sean z 1 = 3 45, z = 30, z 3 = 4 60 Calcula z 1 z y z 3 / z z 1 z = 6 75 z 3 = 30 z 13.- Sean z 1 = 4 150, z = 60, z 3 = 8 5 Calcula z 1 z y z 3 / z z 1 z = 8 10 z 3 = 4165 z 14.- Sean z 1 = 4 150, z = Calcula z 1 y z z = z = Halla las raíces quintas de z = 3i. Represéntalas gráficamente y une mediante una línea poligonal los afijos obtenidos, qué polígono regular se obtiene? z = 3 70 r = ; 70 /5 = 54 z 1 = 54 z = 16 z 3 = 198 z 4 = 70 z 5 = 34 Se obtiene un pentágono regular Halla las raíces quintas de z = 43. Represéntalas gráficamente y une mediante una línea poligonal los afijos obtenidos, qué polígono regular se obtiene?

9 z = 43 0 r = 3; 0 /5 = 0 z 1 = 3 0 z = 3 7 z 3 = z 4 = 3 16 z 5 = 3 88 Se obtiene un pentágono regular Halla las raíces cúbicas de z = 1 + i. Represéntalas gráficamente y une mediante una línea poligonal los afijos obtenidos, qué polígono regular se obtiene? z = 1 + i = ( ) 45 r = ( ) 6 ; 45 /3 = 15 z 1 = ( 6 ) 15 z = ( 6 ) 135 z 3 = ( ) 6 55 Se obtiene un triángulo equilátero.

10 7.- Derivadas 1.- Calcula la función derivada aplicando las reglas de derivación: a) y = ( 3 ) b) y = ln ( 3) a) y = ( 3 )(6-3 1) b) y = Calcula la función derivada aplicando las reglas de derivación: a) y = e sen b) y = + 1 a) y = e cos + e - + sen b) y = + 1 ( ) 3.- Calcula la función derivada aplicando las reglas de derivación: a) y = sen ln b) y = + 1 ( + 1) cos - sen a) y = ln + b) y = ( + 1) 4.- Calcula la función derivada aplicando las reglas de derivación: a) y = e cos b) y = ln a) y = sen e cos b) y = 1 ln 5.- Calcula la función derivada aplicando las reglas de derivación: e a) y = ln a) y = e ln - e ( ln ) b) y = b) y = 6.- Calcula la función derivada aplicando las reglas de derivación: 3e a) y = a) y = 3 - ( b) y = tg ( 1) - - ) e b) y = sec ( 1) 7.- Calcula la función derivada aplicando las reglas de derivación: 3 - a) y = b) y = sen cos a) y = ( 3 1) ln b) y = cos sen 8.- Calcula la función derivada aplicando las reglas de derivación: a) y = b) y =

11 a) y = 4-3 ( ) b) y = 3 8. Análisis de funciones Realiza un estudio completo y representa las siguientes funciones: 1.- f ( ) = f ( ) = f = ( ) 4.- f ( ) 5.- f ( ) 6.- f ( ) 7.- f ( ) -1 = - + = = -1 = - 4