Estadística Fundamental

Transcripción

1 Estadístca Fundamental Conceptos y Defncones Prof. (Ing.) Andrés Scott Velásquez Según Syllabus del I.U.G.T.

2 ÍNDICE TÍTULOS CAPÍTULO TEMA PÁGINA I 0 Resumen de Conceptos y defncones 03 0 Dstrbucón de Frecuencas 09 II 03 Meddas de Tendenca Central 04 Meddas de Poscón 6 05 Meddas de Dspersón o Desvacón 3 06 Estudo de la curva orgnada por un Polígono de Frec. 36 III 07 Estudo de las Probabldades 5 08 Dstrbucón de Probabldades Dstrbucones Especales de Varables Dscretas 88 0 Dstrbucón de Varables Contnua (Dst. Normal o Z) 93 IV Teoría del Muestreo y Teorema del Límte Central 06 Estmacón 3 3 Prueba de Hpótess V 4 Análss de Varanza (ANOVA) 40 5 Prueba No Paramétrca del Ch-Cuadrado 45 VI 6 Correlacón Lneal y Recta de Regresón Lneal 59 7 Seres Temporales, Cronológcas o de Tempo 68 8 Número Índces 8 Apéndces Tabla y Cuadros 99

3 3 TÍTULO I Capítulo 0 ESTADISTICA RESUMEN DE CONCEPTOS Y DEFINICIONES. Hstora, fnes e mportanca de la Estadístca..-Datos Hstórcos. S hacemos una revsón del concepto elemental de Estadístca podemos ntur que este conocmento parte desde el momento cuando se realza el prmer censo de propedades con fnes de cobrar mpuestos para mantener la estructura de estado que ya se comenzaba a organzar. Fueron los bablonos, los persas, los egpcos, los gregos y los chnos quenes comenzaron con este tpo práctcas. Nos refleja la bbla dos hechos que tenen que ver con el nacmento de la recoleccón de datos base de la estadístca; en prmer lugar el censo que realzó Mosés para conocer el número de personas que consttuía su pueblo, y en segundo lugar, cuando nace Jesús sus padres ban a empadronarse en el censo que peródcamente llevaba a cabo el mpero romano para conocer los detalles de estado que tenía que ver con sus domnos. Se tene escasas notcas de que en Amérca tanto los Aztecas como los Incas realzaban censos para darle forma económca y socalmente a sus pueblos. Haca el Sglo VI, cuando se tene conocmento de los prmeros estudos de Probabldades, la Estadístca toma un gran mpulso. En el sglo VII la Estadístca aplcada a las Matemátcas toma un gran mpulso, contnuando su desarrollo en Sglo VIII cuando se profundza los estudos de la Estadístca Inductva o Inferencal, los estudos demográfcos, se da la base para la ncacón de los negocos con los seguro de vda cuando se realza el prmer nventaro sobre la mortaldad. En ese msmo sglo nace la Socometría y en el Sglo VIII la Bometría. Es tal la mportanca a la que ha llegado la estadístca hoy en día, que no exste cencas tanto naturales como socales, n dscplna que no se apoye en los métodos estadístcos para darle sentdo a sus nvestgacones. Se puede señalar que personaldades como: Grolano Gargano, Gottfrend Achenwall, Juan Pedro Sussmlch, Antono Deparcoux, Jacques Bernoull, Pedro Smón Laplace, Carl Fredrch Gauss, Lambert Jacques Quetelet, Pafnut Lvovch Chevyshev, Grégor Johann Méndel, Francs Gaston, Karl Pearson, Ronald Fsher, John van Neumann y Wllam Féller, son los padres de la Estadístca tal como la conocemos en la actualdad. Sus aportes han sdo de una gran valía, porque ello ha contrbudo en gran parte a los avances en el mundo de lo centífco, lo socal, lo económco, lo polítco y lo cultural.

4 4..- Fnes e Importanca de la Estadístca Para conocer los fnes e mportanca de la Estadístca debemos conocer de dónde vene este vocablo. La voz latna STATUS es el orgen de la palabra estadístca, referda fundamentalmente a la recoleccón de datos requerdos por su utldad al Estado como Nacón o al Estado como tal. Cualquer estudo sobre datos tomados de las realdades para escrutar nformacón sobre ellos, que permtan llegar a análss lógcos y concluyentes sobre fenómenos naturales o socales, que nos permta tomar decsones acertadas señalan de por s la mportanca de la estadístcas. Los cuadros y gráfcos estadístcos por sí solo no nos señalan un camno a segur. Se requere profundzar ese prmer conocmento con una sere de defncones metodológcas que afnen una conclusón fnal que orente con acerto la toma de decsones efectvas. La polítca, la socología, la pscología, la medcna, la economía y la ngenería por decr algunas actvdades de la vda dara se les hace ndspensable recurrr a la Estadístca para la toma de decsones, es por eso que muchos académcos la consderan como una cenca auxlar de las cencas madres.. Estadístca Estadístca es una cenca auxlar que establece los métodos para recoplar, organzar, presentar, analzar e nterpretar nformacón para orentar en la toma de decsones más efectvas...- Tpos de estadístcas.... Estadístca Descrptva o Deductva: La cual defne el conjunto de métodos para recoplar, organzar, resumr y presentar los datos de manera nformatva. Tambén podemos defnrla como el conjunto de métodos tantos numércos como gráfcos que luego de recolectada la nformacón de los datos de la poblacón o muestra sometda al estudo se utlza para resumrla y procesarla para transformarla y presentarla para analzarla....- Estadístca Inferencal o Inductva: La cual defne el conjunto de métodos para determnar algún atrbuto medble acerca de una poblacón en base a una muestra representatva de la msma. Podemos agregar que la Estadístca Inferencal consttuye la base para formular predccones, prevsones y estmacones que se utlzan para transformar la nformacón en conocmento. Este tpo de estadístca toma como basamentos los fundamentos de la Teoría de las Probabldades y de la Teoría del Muestreo.... Poblacón: Es el conjunto de todos los ndvduos, objetos o meddas de nterés o a estudar.... Elemento: Son las undades smples (ndvduos, objetos o meddas) que ntegran una poblacón....3 Poblacón Fnta: Cuando el número de elementos que forman una poblacón es lmtado.

5 5...4 Poblacón No Fnta: Son poblacones formadas por una cantdad nfnta o muy grande de elementos, cuyo comportamento puede asumrse como el de una poblacón de nfntos elementos....5 Característca: Son los rasgos, cualdades o propedades que poseen los elementos o las undades que consttuyen la poblacón o la muestra....6 Parámetro: Característca asocada a una poblacón....7 Muestra: Es una porcón o parte representatva de la poblacón de nterés sometda a estudo....8 Marco: Conocdo tambén como Marco Muestral o Marco de Referenca, lo consttuye la lsta, el mapa o cualquer otro materal aceptable, que contenga todas las undades o elementos perfectamente dentfcadas y actualzadas, de la cual se seleccona la muestra....9 Estadístco: Característca asocada a una muestra...0 Estadígrafo o Estmador: Es la descrpcón numérca de una característca correspondente a cualquer elemento de una muestra.... Atrbuto: Característca no mensurable, pero s cuantfcable de una poblacón o muestra. Son atrbutos: profesón, cargo, marcas, caldad, etc.; como se observa son característcas no mensurables pero que s se pueden cuantfcar.... Censo: Es una coleccón e datos de cada un de los membros de una poblacón....3 Dato: Valores que han sdo recoplados como resultado de observacones y que se referen a alguna varable en partcular....4 Observacón: Es cualquer regstro de nformacón ya sea numérco o categórco...5 Muestra Probablístca: Son muestras donde sus elementos o undades se toman al azar o de manera aleatora, es decr todos los elementos de la poblacón a estudar tenen la msma posbldad de ser selecconados....6 Muestras No Probablístca: Conocdas tambén como muestras errátcas o crcunstancales, son aquellas muestras donde los elementos de la poblacón son selecconados de manera convenente o caprchosa del nvestgador. 3. Varable o Undad Estadístca Es una de las tantas partculardades o característca que conforman un fenómeno estadístco de la poblacón o muestra que se está estudando o analzando. 3. Varable Cualtatva: Varable que presenta observacones no numércas. Ejemplos: Gentlcos, Relgones, Profesones, Colores, etc. 3. Varable Cuanttatva: Varable que presenta observacones numércas. Ejemplos: Las Notas, Edades, Pesos, Longtudes, Áreas, Volúmenes, Compras, Ventas, etc... Varable Cuanttatva Dscreta: Varable numérca que representa valores claramente contables, generalmente números enteros (ndvduos y objetos). Ejemplo: Personas, Anmales, Números de Vsas Conceddas, Numero de Carros, etc... Varable Cuanttatva Contnua: Varable numérca que toma cualquer valor dentro de los nfntos valores de un rango determnado (todo número real

6 6 para señalarla). Ejemplo: Estaturas, Monto de Gastos, Sueldos, Monto de Inversones, etc. 4. Escala de Meddas o Nveles de Medcón Rge los cálculos que se llevan a cabo con el fn de resumr y presentar los datos. Es la manera de clasfcar los datos para su presentacón. 3. Meddas en Escala Nomnal: Escala no numérca de nombres o clasfcacones que se utlzan para presentar datos en categorías dstntas y separadas. Ejemplo: Fuente Mllones de Porcentajes OPEP OCDE (Inc. a USA) Rusa Chna Otra Barrles Daros 3,9,76,33 3,6,35 8,97 39,7 7,4 3,7 4,4 4,8 00,0 TABLA.- Sumnstro mundal de petróleo para 004 Se observa en la tabla presentada un nvel de medcón que no responde a un orden en partcular en las categorías. Propedades: a) Las categorías de datos la representan los nombres clasfcados y b) Aun cuando los nombres se codfquen con valores, las categorías de datos no sguen un orden lógco Meddas en Escala Ordnal: Escala no numérca de nombres o clasfcacones que se utlzan para presentar los datos en categorías dstntas y separadas pero sguendo un orden sgnfcatvo. Ejemplo: Orden Fuente Mllones de Porcentajes Prmero Segundo Tercero Cuarto Qunto OPEP OCDE (Inc. a USA) Otra Rusa Chna Barrles Daros 3,9,76,35,33 3,6 8,97 39,7 7,4 4,8 3,7 4,4 00,0 TABLA.- Sumnstro mundal de petróleo para 004 En esta tabla ya se observa un orden de acuerdo a los volúmenes de barrles de petróleo sumnstrado por países o grupo de países. Propedades: a) Las clasfcacones de los datos se encuentran representados por conjuntos de nombres (Sobresalente, Bueno, Regular, Malo), las cuales representan valores relatvos y b) Estos valores relatvos permten la clasfcacón atendendo a un orden lógco. Para defnr las meddas en escalas de ntervalo debe conocerse las propedades sguentes: a) de la MUTUA ECLUSION: propedad de un grupo o conjunto de categorías por la cual un ndvduo, objeto o medcón se ncluye en una sola categoría y b) del EHAUSTIVO COLECTIVO: propedad de un grupo o conjunto de categorías

7 7 según la cual cada uno de los ndvduos, objetos o medcones deben ntegrarse por lo menos a una de las categorías. 4. Meddas en Escala de Intervalo: Son escalas numércas donde el valor cero se toma de manera arbtrara, sendo sgnfcatva la dferenca entre sus valores. Asume todas las característcas del nvel ordnal. Ejemplo: Las escalas de temperaturas, en las cuales el cero no sgnfca que no haya calor o frío, la mejor manera de observar este hecho es que nnguna de las escalas de temperaturas exstentes concden en el cero. La escala de Tempo entre las dferente eras y edades de nuestro momentos hstórcos, el cero de la era actual no sgnfca que en ese momento no haya habdo hechos hstórcos. Propedades: a) Las clasfcacones de datos se ordenan en correspondenca con el grado que posea de la característca en estudo y b) Dferencas guales en la característca representa dferencas guales en las medcones. 4. Meddas en Escala de Razón: Son escalas numércas, que a dferenca de la escala de ntervalo el valor cero será fjo y tene sgnfcado. Asume todas las característcas del nvel de ntervalo. Ejemplo: El dnero, s tene tantos bolívares, tenes dnero; s tene cero bolívares entonces no tenes dnero. S se compra cero gramos de un producto entonces no se tene el producto Propedades: a) Las clasfcacones de datos se ordenan de acuerdo de acuerdo a la cantdad de característca que posee, b) Dferenca guales en la característca representa dferencas guales a los números asgnados en las clasfcacones y c) El punto cero representa la ausenca de característcas y la razón entre dos números es sgnfcatva. Ejerccos Resueltos Ejercco 0.- Tomando una nformacón hpotétca de las cnco cudades de las más mportantes de Venezuela sobre las condcones y estlo de vdas, cuyos hpotétcos datos se presentan a contnuacón: Cudad Poblacón (En Mllones) Ingreso Medo por Famla (Mles de bolívares) Mejor negoco hotelero Atraccón más vstada Tasa de crmnaldad por cada Caracas 3,8 9, Hotel Tamanaco Galpán 49,67 Maracabo,8 8,9 Hotel Cruma Snamaíca 5,3 Valenca,3 0, Hotel Intercontnental El Acuaro 90,0 Barqusmeto 0,9 5,4 Hotel La hostería Quíbor-Ttorero 85,6 Maracay 0,8 7,7 Hotel Ppo Bahía de Cata 8,4 Responder: a) Identfcar las varables cualtatvas y cuanttatvas, b) Cuáles son las Dscretas y cuáles las contnuas?, c) Identfcar cada varable como nomnal, ordnal, o de razón y d) Cuáles son descrptvas y cuales son nferencales? Respuestas: a) Cualtatvas: cudad, mejor negoco hotelero y atraccón más vstada; y Cuanttatvas: Poblacón, Ingreso Medo por Famla y tasa de crmnaldad; b) Dscretas: Poblacón; y Contnuas: Ingreso Medo por Famla y Tasa de Crmnaldad; c) Nomnal: cudad; Ordnal: Mejor Negoco Hotelero y Atraccón más Vstada; o De Razón: Poblacón, Ingreso Medo por Famla y Tasa de Crmnaldad; y d) Descrptvas: Cudad, Poblacón, Mejor Negoco Hotelero y Atraccón más Vstada; e Inferencales: Ingreso medo por Famla y Tasa de Crmnaldad.

8 8 Ejercco 0.- El Drector Gerente de una nsttucón benéfca desea tomar una muestra de las opnones de 86 de sus membros respecto a las actvdades a realzar en las próxmas fechas navdeñas. Responder: a) Cuál es la poblacón? Y b) Cuál es la mejor forma como debe tomarse la muestra? Respuestas: a) La poblacón la consttuye todos los ntegrantes de la nsttucón benéfca y b) La mejor forma de tomarla muestra es a través de una seleccón aleatora, usando cualquera de los métodos establecdos para la nvestgacón. Ejercco 03.- Una comsón trpartta ntegradas por membros del sector públco, del sector prvado y del sector sndcal, le encomendó a una empresa que realza estudos de opnón, para que tomara una muestra de.000 de trabajadores para consultarle s estaban de acuerdo con las últmas mejoras salarales. De la muestra 78 se mostraron de acuerdo, 96 mostraron su desacuerdo y el resto 86 manfestaron que le daba lo msmo. Se pregunta: a) Qué podría nformar la empresa que realza estudos de opnón a la comsón trpartta? y b) Es un ejemplo de Estadístca Descrptva o Estadístca Inferencal? Explcar. Respuestas: a) La nformacón sería que: el 7,8% están de acuerdo; el 9,6% están en desacuerdo y al 8,6% le era ndferente y b) Es un ejemplo de Estadístca Inferencal porque partendo de una muestra se llegó a una conclusón. Ejercco 04.- Cuál es el Nvel de Medcón o Escala que reflejan los sguentes datos? a) Los pesos en klogramos de 0 bultos de lbros que llegaron a los depóstos de un puerto del país son; y b) En una encuesta realzada a 0 trabajadores que transtaban por el Boulevard de Sabana Grande sobre el lugar donde trabajaban, 48 manfestaron que trabajaban en Sabana Grande, 3 en Chacaíto, 6 en Chacao, en Altamra y 3 en Los Cortjos de Lourdes. Respuestas: a) El peso de los bultos es una varable de razón, ya que s el bulto pesa cero klogramos es porque no ha lbro, y s comparamos un bulto que pesa 6 klogramos contra uno que pesa 04 klogramos, observamos que le lleva klogramos, b) Es una escala nomnal porque se es ndferente la ordenacón de los lugares. Ejercco 05.- En la lsta de varables de varables que se dan a anexa, decr a qué tpo de varables corresponden: a) Salaro, b) Género c) Volúmenes de ventas de textos de estudo, d) Preferenca por los tpos de cervezas, e) Temperatura, f) Lugar que ocupa un estudante en clase, g) Cantdad de computadoras doméstcas, h) Calfcacones de un profesor de Estadístca e ) Resultados de un cuestonaro. Respuestas: a.- Salaro (Cuanttatva, Contnua y Ordnal). b.- Género (Cualtatva y Dscreta), c.- Volúmenes de Ventas de Textos (Cuanttatva, Contnua, Ordnal y de Razón), d.- Preferenca por los tpos de cervezas (Cualtatva y Ordnal), e.- Temperatura (Contnua y de Intervalo), f.- Lugar que ocupa un estudante en la clase (Cuanttatva, Ordnal y Dscreta), g.- Cantdad de Computadoras Doméstcas (Cuanttatva, Dscreta y Ordnal), h.- Calfcacones de un profesor de Estadístca (Cuanttatva, Dscreta y ordnal) e.- Resultados de un cuestonaro (Cuanttatva, Dscreta y de Razón)

9 9 Capítulo 0 DISTRIBUCION DE FRECUENCIA TABLAS Y GRAFICAS ESTADISTICAS. Dstrbucón de Frecuenca: Son tablas estadístcas donde se presentan los datos organzado en categorías mutuamente excluyente (clases o los datos como tal) mostrando el número de observacones de cada una de las categorías. Las categorías son las clasfcacones ordenadas en orden crecente o decrecente medante la cual presentamos los datos en una Tabla Estadístca. Las categorías pueden ser presentadas medante los datos como tal o datos sueltos en datos no agrupados y medante clases o ntervalo de clases en datos agrupados. Cuando estudamos una dstrbucón de frecuenca de datos no agrupados o sueltos (Máxmo 0 datos; conveno) haremos su grafcacón a través de barras o representacón dentro de un crculo o dagrama de torta o pastel. Cuando la dstrbucón de frecuenca sea de datos agrupados (más de 0 datos, se agrupan; conveno) haremos su grafcacón a través de hstograma, polígonos de frecuenca y ojva.. Pasos a segur para desarrollar o crear una dstrbucón de frecuenca (se ordenan los datos en orden crecente o decrecente según sea el caso, por lo general en orden crecente).. Datos no agrupados o sueltos PRIMERO: Determnar la frecuenca absoluta (f) de cada dato, sendo ésta el número de veces que se repte un dato, o es el número de observacones que de él se tene. SEGUNDO: Determnar la frecuenca absoluta acumulada (F) de cada dato. Esta frecuenca se obtene partendo de la prmera frecuenca absoluta y luego acumulando de manera sucesva el resto de las frecuencas una a una. TERCERO: Determnar la frecuenca relatva (h) de cada dato. Se obtene dvdendo la frecuenca absoluta de cada dato entre el número total de las observacones de la sere de datos o la suma de las frecuencas absolutas. CUARTO: Determnar la frecuenca relatva acumulada (H) de cada dato. Esta frecuenca se obtene partendo de la prmera frecuenca relatva y luego acumulando de manera sucesva el resto de las frecuencas relatvas una a una... Datos agrupados PRIMERO: Determnar el rango (R) de la sere de datos R= DM Dm + DM=Dato mayor; Dm: Dato menor

10 0 SEGUNDO: Determnar el número de ntervalos de clases o clase (NIC) ) Método Empírco: Lo determna la experenca del profesonal que realza el estudo. ) Método del Exponencal ; 3) Método de Sturges N= Tamaño de la poblacón n= Tamaño de la muestra S al obtener el resultado en el método exponencal dos le sumamos la undad estamos concdendo plenamente con el Método de Sturges. TERCERO: Determnar la ampltud del ntervalo de clase (IC) ; IC es un valor constante CUARTO: Defnr los ntervalos de clase o clase. Cada ntervalo de clase tendrá límtes nferores y superores sendo estos aparentes y reales. Aparentes cuando el límte superor de un ntervalo no es gual al límte nferor del ntervalo sguente y así sucesvamente. Reales cuando el límte superor de un ntervalo es gual al límte nferor del ntervalo sguente y así sucesvamente. Con el método empírco se pueden establecer drectamente los límtes reales, mentras que con los restantes métodos (Exponencal y Sturges) obtenemos límtes aparentes (convenmento). Cuando desarrollamos el Método de Sturges o el Método Exponencal, lo más mportante es lograr el prmer ntervalo de clase o prmera clase. Algunos estudosos de la estadístca lo logran hacendo concdr el prmer dato de la sere con el límte aparente nferor del prmer ntervalo y luego defne el resto de los msmos. A veces no todos los datos quedan contendos en la Dstrbucón de Frecuencas que se elabora. Una manera de evtar este nconvenente se logra tomando la ampltud del ntervalo de clase y dvdéndolo en dos partes de valores enteros, s es par en dos partes guales y se le resta al prmer dato y ese será el límte aparente nferor del prmer ntervalo. S es mpar se hace lo msmo pero habrá un entero menor que el otro, se toma el menor y se le resta al prmer dato, sno resulta se le resta el mayor. De no resultar la utlzacón de valores medos medante esta metodología se asumen valores pero que no pasen del tamaño o ampltud del ntervalo de clase o clase. VER DESARROLLO DE UN EJERCICIO EN LA SOLUCIÓN DE ALGUN PROBLEMA. QUINTO: Determnar la marca de clase (m) de cada ntervalo de clase o clase.

11 La marca de clase se obtene a través de la sem suma de cualquera de los tpos de los límtes reales o aparentes de un ntervalo de clase. SETO: SEPTIMO: s= Límte aparente superor I = Límte aparente nferor Ls = Límte real superor L I = Límte real nferor Determnar la frecuenca absoluta de cada ntervalo de clase o clase. Se obtene para cada ntervalo de clase o clase sumando las frecuencas absolutas de los datos contendos en cada ntervalo de clase o clase defnda. El resto de las frecuencas (F, h, H) se obtenen sguendo el patrón observado para los datos no agrupados. 3. Propedades de las frecuencas: 3.. Las frecuencas absolutas sempre son valores enteros. 3.. La suma de las frecuencas absolutas son gual a N (tamaño de la poblacón) o n (tamaño de la muestra) 3.3. Las frecuenca relatvas son sempre valores fracconaros o decmales es decr 0 <h < 3.4. La suma de las frecuencas relatvas es gual a La últma frecuenca absolutas acumuladas de una sere de datos prevamente ordenados, es gual a N (tamaño de la poblacón) n (tamaño de la muestra) La últma frecuenca relatva acumulada de una sere de datos prevamente ordenados, es gual a. 4. Tablas o cuadros estadístcos Las tablas o cuadros estadístcos corresponden a arreglos sstematzados de los datos en órdenes crecentes o decrecentes medante flas y columnas. El desarrollo o la creacón de una dstrbucón cualquera, se presentan a través de cuadros o tablas. 5. Grafcas estadístcas: Son fguras que se pueden orgnar de los cuadros o tablas estadístcas y que srven para vsualzar mejor la nformacón. 5.. Dagrama de Barras: Gráfca en las cuales las marcas de clases se llevan al eje horzontal y las frecuencas de cada clase (Preferentemente las frecuencas absolutas) al eje vertcal, las cuales serán las alturas de las barras las que se dbujaran cada una separadas de las otras. 5.. Hstograma: Gráfca en las cuales las marcas de clases se llevan al eje horzontal y las frecuencas de cada clase al eje vertcal, las cuales serán las alturas de rectángulos los cuales se grafcarán cada uno colndante al otro. Los puntos colndantes son los límtes reales de la dstrbucón de datos agrupados, el ancho del rectángulo corresponde a la dmensón de cada Intervalo de Clase o Clase, y cuando el tamaño de estas dmensones son constante el ancho de los rectángulos son guales.

12 5.3. Polígono de Frecuenca: Es una gráfca formada por segmentos de líneas que partendo del límte real nferor del prmer ntervalo de clase o clase va conectando los puntos formados por las nterseccones de las líneas vertcales apoyadas en cada marca de clase (eje horzontal) con las líneas horzontales saldas de las frecuencas absolutas de cada ntervalo de clase o clase (eje vertcal), concluyendo en el límte real superor del últmo ntervalo de clase o clase Polígono de Frecuenca Acumulada u Ojva: Es una gráfca formada por segmentos de línea que conectan los puntos formados por las nterseccones de las líneas vertcales apoyadas en cada marca de clase y las líneas horzontales saldas de las frecuencas acumuladas de cada ntervalo de clase o clase Dagrama de Torta o Pastel: Es una gráfca crcular donde el círculo queda repartdo en parte cuyo tamaño lo defne la magntud de la frecuenca relatva expresada en tanto por cento. Para establecer cada parte se realza: =360 h; y ese valor se lleva a la parte nterna del círculo usando un transportador s la gráfca se va a realzar de manera manual. Estos son los tpos de gráfcos estadístcos más usado, pero hay otros que de acuerdo al estudo realzado son recomendables tales como los: Gráfcos Logarítmcos, los Gráfcos Sem-logarítmcos, los Pctogramas, los Cartogramas, los Cuadrados, los Trángulos, los de Cajas, los de Sectores Crculares, los Polares, los Estereogramas, etc. Problemas Resueltos Ejercco Nº 0.- De manera aleatora se toman la edad de 30 estudantes del I. U. G. T., las cuales fueron: Se pde: a) Será muestra o poblacón?, b) la característca asocada a esta dstrbucón, Será un parámetro o un estadístco?, c) Al ordenar estos datos en el orden que sea y construr la respectva dstrbucón de frecuencas, Qué nvel de medcón o escala de medda estamos utlzando?, d) Qué tpo de varable cuanttatva se está utlzando?, e) Cuántos datos y cuántas observacones presenta esta dstrbucón de frecuencas?, f) Elaborar la respectva dstrbucón de frecuencas, y determnar; número de categorías, frecuenca absoluta de la segunda categoría, frecuenca absoluta acumulada de la cuarta categoría, frecuenca relatva de la sexta categoría, frecuenca relatva acumulada de la tercera categoría y el rango de la dstrbucón, g) Porcentajes de estudantes que tenen una edad de años o menos a y porcentajes de estudantes que tene una edad mayor a 3 años, y h)elaborar las gráfcas de esta dstrbucón. Solucón a) Es una muestra ya que los 30 estudantes se están tomando de manera aleatora de una poblacón que corresponde a todos los estudantes nscrtos en el I. U. G. T. b) Por ser la característca asocada a esta muestra entonces es un estadístco. c) Se utlzaría una escala de medcón Ordnal y de Razón. d) Se podría consderar una Varable Cuanttatva Contnua, porque las edades se podría expresar en partes fracconales, años, meses y días.

13 3 e) Edades =8 =0 3= 4=3 5=4 6=5 7=6 8=8 Cantdad f Presenta 8 datos y 30 observacones f) Dstrbucón de Frecuencas f F h H 8 0,067 0, ,33 0, ,67 0, ,00 0, ,067 0, ,00 0, ,00 0, ,067,000 30,000 Categorías= 8 f = 7 F 4 = 0 h 6 = 0,00 H 3 = 0,567 R = = g) Porcentajes Total de Estudantes Edades Años 7, Total Estudantes 30 % de Estudantes con Edades Años 00x Total de Estudantes Edades Años Total Estudantes % de Estudantes de Edades Años 00x7 30 % de Estudantes con Edades Años 56, 67%

14 4 Total de Estudantes Edades 3 Años 0, Total Estudantes 30 % de Estudantes con Edades 3 Años 00x Total de Estudantes Edades Años Total Estudantes % de Estudantes con Edades 3 Ao ñ s 00x0 30 % de Estudantes con Edades 3 Años 33,33% h) Gráfcas Dagrama de Barras 30,00% 6,67% 0% 5,00% 3,33% 6,67% 0,00% 0% 0,00% 5,00% 6,67% 0,00% 0,00% 0,00% 0% 5,00% 6,67% 0,00% Seres 6,67% 0% 3,33 6,67 0% 0,00 6,67% 0,00 0,00 0% 6,67% Gráfca de Torta o Pastel 0,00% 6,67% 0,00% 0,00% 6,67% 0% 0% 7% 7% 3% 7% 0% 6%

15 5 Ejercco 0.- Los sguentes datos corresponden a las ventas (En mles de bolívares) realzados por una comercal que vende materales de ofcnas en un lapso de 30 días Con estos datos se pde: a) Elaborar una Dstrbucón de Frecuencas de Datos Agrupados aplcando el Método de Sturges y de ella responder: Rango, Número de Intervalos de Clases o Clases, la Ampltud de cada Clase, Límte Aparente Inferor de la Segunda Clase y Límte Aparente Superor de la Tercera Clase, Límte Real Inferor de la Qunta Clase y Límte Real Superor de la Segunda Clase, y Marca de Clase de la Cuarta Clase y b) Elaborar gráfcas. Solucón a) Dstrbucón de Frecuencas de Datos Agrupados. Ordenacón de los datos en orden crecente y establecendo sus Frecuencas Absolutas Datos f Datos f Aplcando el Método de Sturges. Rango : R D D M m R NIC( Nº de Intervalos declases) 3,3 log n 3,3 log 30 5, 907 R 37 IC( Ampltud del Intervalo declases) 6,64 IC 7 NIC 5,907 Para ncal el Prmer Intervalo se toma el IC=7 y se dvde en dos partes enteras 3 y 4, prmero se toma el menor de estos dos valores y se le resta al dato menor entonces sería 3-3=0. 37 NIC 6

16 6 NIC I S L I L S m f F h H ,5 6, ,67 0, ,5 3, ,33 0, ,5 30, ,00 0, ,5 37, ,00 0, ,5 44, ,00 0, ,5 5, ,00,000 30,000 Rango: R = 37; NIC = 6; IC = 7; I = 7, S3 = 30; L I5 = 30,5; LS = 3,5; m4 = 34 b) Gráfcas Hstograma ,9 0,8 0,7 0, ,5 0,4 0,3 0, 0, 4 3 Seres Seres Polígono de Frecuencas

17 (0; 7) (7; 6) (48; 6) (3; 5) (34; 3) (4; 3) (9,5; 0) (5,5; 0) Ojva (7;8) (34;) (4;4) (48;30) 5 (0;) (3;5) Problemas Propuesto del Título I Problema 0.- Se toma dentro de un colego un grupo de 5 alumnos cuya edad esté comprendda entre los 7 y años para darle un juguete como regalo de navdad. La seleccón se hzo por un sorteo quedando los sguentes alumnos según sus edades: Se pde: a) Será muestra o poblacón?, b) la característca asocada a esta dstrbucón, Será un parámetro o un estadístco?, c) Al ordenar estos datos en el orden que sea y construr la respectva dstrbucón de frecuencas, Qué nvel de medcón o escala de medda estamos utlzando?, d) Qué tpo de varable cuanttatva se está utlzando?, e) Cuántos datos y cuántas observacones presenta esta dstrbucón de frecuencas?, f) Elaborar la respectva dstrbucón de frecuencas, y determnar; número de categorías, frecuenca absoluta de la segunda categoría, frecuenca absoluta acumulada de la cuarta categoría, frecuenca relatva de la sexta categoría, frecuenca relatva acumulada de la tercera categoría y el rango de la dstrbucón y g) Elaborar las gráfcas de esta dstrbucón. Problema 0.- En cada enuncado que se presenta a contnuacón, determnar, tpo de varable cuanttatva: a) El sueldo de un presdente de la repúblca está por el orden de Bs..000,00, ;b) Un estudante de estadístca hace un estudo sobre el promedo general de las notas de

18 8 los estudantes del I.U.G.T. y con sguó que éste fue de,8 puntos, ; c) En una encuesta realzada entre 500 personas adultas se encontró que el 4% de ellos tenen armas de fuego, y d) Se probaron 50 aparatos de televsón y 4 de ellos presentaron defectos,. Problema 03.- Determnar s el valor dado es un parámetro o un estadístco: a) La Asamblea Naconal consta de 65 dputados, ; b) Se seleccona un grupo de estudantes y el número promedo de textos comprados por ellos este período es de 3,8; c) El número de membros promedo de una famla venezolana es de 5 y d) En un estudo realzado se constató que de los 3 pasajeros del Ttanc solamente sobrevveron 706. Problema 04.- Al fnal se presentan cnco (5) Dstrbucones; señalar los tpos de varables contenda en cada una, ben sea Cuanttatva o Cualtatva: a) Dstrbucón de alumnos por mes de nacmento, ; b) Dstrbucón de profesonales por estatura y peso, ; c) Dstrbucón de comercantes por naconaldad, d) Dstrbucón de obreros por salaros, y e) Dstrbucón de accdentes por causa. Problema 05.- Al fnal se presentan cnco (5) Dstrbucones, señalar que tpo de varable cuanttatva representan: a) Dstrbucón de empleados por sueldos, ; b) Dstrbucón de fallecmentos por edades, ; c) Dstrbucón de alumnos por número de hermanos, ; d) Dstrbucón de alumnos por estatura, y e) Dstrbucón de gallnas por posturas de huevos. Problema 06.- Los drectvos de una fábrca de refresco están pensando lanzar al mercado un nuevo producto. Realzada una encuesta a objeto de medr la aceptacón del producto, en una muestra de 30 nños y utlzando una escala de 0 a 0 puntos para medr el grado de aceptacón; este fue el resultado obtendo: La muestra tomó 5 nñas y 5 nños, con edades comprenddas entre los 5 y años de edad, resdentes en un barro de la cudad de Caracas. Se pde: a) Estructurar una tabla de Dstrbucón de Frecuencas, b) Defnr, Cuál es la poblacón y cuál es la muestra?, c) Qué varables se utlzaron?, d) Cuál es la varable?, e) De qué tpo es la varable?, f) Qué tpo de escala se ha utlzado en la medcón de la varable?, g) Cuál es la Frecuenca Absoluta de la cuarta clase o categoría?, h) Cuál es la Frecuenca Relatva de la segunda clase o categoría?, ) Cuál es la Frecuenca Absoluta Acumulada de la sexta clase o categoría?, j) Cuál es la Frecuenca Relatva Acumulada de la qunta clase o categoría? Y k) Elaborar la respectva gráfca de barras y de torta o pastel. Problema 07.- Leer el sguente texto: Una vez recolectados los datos en forma ordenada, es necesaro en forma tal que se faclte su comprensón y su posteror análss y utlzacones. Para ello se ordenan en cuadro numércos y luego se representan en gráfcos, para varable dscreta medante dagramas de frecuencas tanto para absolutas ó relatvas. Se pde: a) Consderando a rr y ll como letra únca, formar una tabla de Dstrbucón de Frecuencas de Datos Agrupados en Clases ó Intervalos de Clases, tomando como base el número el número de letras que forma cada palabra, b) Elaborar; Hstograma y Polígono de Frecuencas y Ojva. Problema 08.- (Modelo para datos sueltos).- Un grupo de productores de maíz del Estado Guárco entrega su produccón en toneladas, a una planta receptora del producto, y 0 de ellos entregaron el sguente tonelaje: Se pde: a) Elaborar una tabla de dstrbucón de frecuencas señalando; frecuenca absoluta de la qunta categoría, frecuenca absoluta acumulada de la octava categoría, la frecuenca relatva de novena categoría y la frecuenca relatva acumulada para la cuarta categoría. b) Calcular el porcentaje de productores que entregaron menos de 9 toneladas, el porcentaje de los productores que entregaron 3 o más toneladas y el porcentaje de los productores que entregaron entre 7 y 35 toneladas y c) Elaborar gráfcas (Barras y Torta). Problema 09.- (Modelo para datos agrupados).-dentro de los televdentes del país se selecconaron 50 que ven R.C.T.V. entre personas mayores de 8 años, a las cuales se le consultaron sus edades; Se pde: a) Elaborar la tabla estadístca para La Dstrbucón de Frecuencas, b) Señalar; Número de Intervalos de Clase o Clases, ampltud o tamaño de cada Clase, Frecuenca Absoluta de la tercera Clase, Frecuenca Absoluta Acumulada de la cuarta clase, Frecuenca Relatva de la segunda Clase, Frecuenca Relatva Acumulada de la qunta Clase, Límte Aparente Inferor de la sexta Clase, Límte Aparente Superor de la tercera Clase, Límte Real Inferor de la segunda Clase, Límte Real Superor de cuarta Clase y la Marca

19 9 de Clase de la tercera Clase, c) Calcular un aproxmado del número de personas que tenen menos de 8 años y el porcentaje de personas que tenen 36 o más años y d) Elaborar gráfcas (Hstograma, Polígono de Frecuencas y Ojva). Problema 0.- Se selecconaron 30 estudantes del I.U.G.T. de acuerdo a sus edades y luego de realzados los cálculos, se presentaron las Marcas de Clases con sus respectvas Frecuencas Absolutas: m f Se pde: a) Desarrollar la Dstrbucón de Frecuencas y señalar; Número de Intervalos de Clase, ampltud de los Intervalos de Clases, Límte Aparente Inferor de la cuarta Clase, Límte Real Superor de la tercera Clase, Frecuenca Absoluta Acumulada de la segunda Clase y Frecuenca Relatva de la qunta Clase, b) Elaborar gráfcas, Hstograma, Polígono de Frecuencas y Ojva. Problema.- El cuadro anexo al fnalzar nos presenta la clasfcacón de un grupo de nños por estatura. Se pde: a) Elaborar el cuadro completo de la dstrbucón de frecuencas y determnar de ella; frecuenca absoluta de la tercera clase, frecuenca absoluta acumulada de la cuarta clase, frecuenca relatva de la segunda clase, frecuenca relatva acumulada de la qunta clase, límte real nferor de la segunda, límte real superor de la qunta clase y la marca de clase de la sexta clase y b) Elaborar las respectvas gráfcas. Estatura (centímetros) De 85 a 90 De 90 a 95 De 95 a00 De 00 a 05 De 05 a 0 De 0 a5 Número de nños Problema.- Un profesor de Estadístca General para nstrur a sus alumnos sobre todo lo referente a la Dstrbucón de Frecuencas en cuanto a Datos Sueltos o No Agrupado en Intervalos de Clase, tomó las notas de un trabajo prevo al prmer examen parcal las cuales fueron: Se pde: a) Tabla de Dstrbucón de Frecuencas y b) Elaborar gráfcas de Barras y Pastel o Torta. Problema 3.- Se da una clasfcacón (extraídas del últmo censo) de mujeres de 50 a 54 años de edad según el número de hjos vvos: Número de hjos Número de mujeres (%) Se pde: a) El estudo será sobre una poblacón o una muestra, sobre qué sector se realza el estudo sobre la s mujeres o los nños, b) Completar la tabla de dstrbucón de frecuencas y c) Elaborar las gráfcas respectvas. Problema 4.- Tomadas las edades de los estudantes del curso durno del I.U.G.T. de Estadístca Instrumental de las carreras Recursos Humanos y Mercadeo y Publcdad, con las cuales se elaboró una dstrbucón de frecuencas, la cual se muestra a contnuacón defnda por sus frecuencas absolutas y marcas de clases: f m Problema 5.- A contnuacón se presenta número de obreros que laboran en 40 empresas de construccón que contratan con el sector públco:

20 Se pde: a) Desarrollar la Dstrbucón de Frecuencas y señalar; Número de Intervalos de Clase, ampltud de los Intervalos de Clases, Límte Aparente Inferor de la cuarta Clase, Límte Real Superor de la tercera Clase, Frecuenca Absoluta Acumulada de la segunda Clase y Frecuenca Relatva de la sexta Clase y b) Elaborar gráfcas (Hstograma, Polígono de Frecuencas y Ojva. Problema 6.- Un productor de cítrcos hzo 60 entregas de sacos de naranjas calfornas en el Mercado al por Mayor de Coche, relacón de entregas que se presenta a contnuacón, sacos entregados: Se pde: a) Desarrollar la Dstrbucón de Frecuencas y señalar; Número de Intervalos de Clase, ampltud de los Intervalos de Clases, Límte Aparente Inferor de la tercera Clase, Límte Real Superor de la sexta Clase, Frecuenca Absoluta Acumulada de la cuarta Clase y Frecuenca Relatva de la segunda Clase y b) Elaborar gráfcas (Hstograma, Polígono de Frecuencas y Ojva. Problema 7.- Un matadero ndustral establecó una clasfcacón de los frgorífcos a los cuales les sumnstra sus productos, tomando como referenca el pesaje de los peddos por mes. Luego de hacer un estudo estadístco establecó sus Marcas de Clase con sus respectvas Frecuencas Absolutas: Klogramos despachados (m): 6,5 56,5 96,5 336,5 376,5 46,5 Frgorífcos receptores del producto (f) Se pde: a) Desarrollar la Dstrbucón de Frecuencas y señalar; Número de Intervalos de Clase, ampltud de los Intervalos de Clases, Límte Aparente Inferor de la cuarta Clase, Límte Real Superor de la tercera Clase, Frecuenca Absoluta Acumulada de la segunda Clase y Frecuenca Relatva de la qunta Clase y b) Elaborar gráfcas (Hstograma, Polígono de Frecuencas y Ojva.

21 TÍTULO II Capítulo 03 MEDIDAS ESTADISTICAS Meddas de Tendenca Central Meddas Estadístcas.- Son valores obtendos medante metodologías de cálculos según sea el caso, que nos permte descrbr el comportamento de un hecho o de un conjunto de observacones. Las Meddas de Tendenca Central.- Son meddas estadístcas cuyos valores son promedos que se ubcan haca el centro del rango de una sere de datos prevamente ordenados. Meddas de tendenca central. Meda Artmétca: Es una medda de tendenca central que resulta de promedar los valores de los datos de una dstrbucón o sere de datos; y se obtene dvdendo la suma total de los valores de los datos entre el número de observacones que se tenen de los msmos. Es el promedo más usual, el más conocdo, y el de uno de los manejos más fácles para su cálculo. Conjunto Tpo de Datos Datos No Agrupados, Sueltos o Sencllos Datos Agrupados, Por Intervalos de Clases o Clases POBLACION Meda Ponderada MUESTRA Desvíos o desvacones: Son dferencas que se presentan entre los valores de los datos y un valor fjo establecdo, generalmente la meda artmétca o en todo caso un valor de orgen del trabajo... Propedades de la meda artmétca

22 a) Todos los valores de una sere de datos partcpan en el cálculo de la meda artmétca, la cual es únca. b) La suma de las desvacones del valor de la cada dato respecto de la meda artmétca, sempre será cero (0). c) S realzamos una partcón en dos o más sub-muestras de una sere de datos, el valor de la meda artmétca de la sere de datos será gual a la suma de las medas artmétcas ponderadas de todas las sub-muestras de la partcón efectuada. d) S a todos los valores de los datos de la suma de datos se le suma o resta un número constante o msmo número, la meda artmétca queda aumentada o dsmnudas en ese msmo número. e) S a todos los valores de los datos de una sere de datos se le multplca o dvde por un número constante o msmo número, la meda artmétca queda multplcada o dvdda por ese msmo número... Desventajas de la meda artmétca a) Los valores de datos extremos nfluyen de manera mportante en el valor de la meda artmétca, dstorsonándola. b) No se puede calcular en sere de datos ordenados cuyos extremos se consderen abertos. c) Es muy sensble a los cambos que se haga en alguno de sus valores.. Meda Geométrca: Es una medda de tendenca central que resulta de promedar fundamentalmente datos que responda a crecmentos geométrcos, como tasas porcentuales, razones y tasa o índces de crecmentos... Propedades de la meda geométrca. a. En su cálculo ntervenen todos los datos de la sere de datos y es únca. b. El valor de la meda geométrca sempre es menor que él de la meda artmétca... Ventajas de la meda geométrca. a) Se defne rígdamente por una fórmula matemátca. b) Cuando los valores ordenados de los datos responden a un crecmento geométrco se recomenda el uso de la meda geométrca. c) Es utlzable cuando se requere dar mportanca a valores pequeños de la varable d) Su valor es poco nfluencable por los datos extremos, no sendo así con los otros promedos conocdos. e) Su resultado puede utlzarse en trabajos estadístcos posterores, puesto que los promedos geométrcos de varas muestras se pueden combnar para obtener el promedo global de las muestras...3 Desventajas de la Meda Geométrca. a) La complcacón para su cálculo b) Cuando en una sere de datos exste un valor nulo (0) ó negatvo, la meda geométrca no se calcula; ya que no responde a la realdad de la sere datos, la cual tene que dar algún valor promedo real postvo.

23 3 c) En una sere de datos los valores extremos dstorsonan la meda geométrca en menor cuantía que la meda artmétca. d) Es sensble a cualquer cambo en alguno de los valores de la dstrbucón...4 Fórmulas para su cálculo G= G n n G= f f f n n G n Aplcando logartmo Para cualquer caso: G= Problemas Resueltos Problema Nº 0.- De manera aleatora se toman la edad de 30 estudantes del I. U. G. T., las cuales fueron: Se pde: comprobar que la Meda Artmétca es mayor que la Meda Geométrca Solucón Edades Cantdad f

24 4 =8 =0 3= 4=3 5=4 6=5 7=6 8= Presenta 8 datos y 30 observacones De la Dstrbucón de Frecuencas f f Por ser una muestra ya que se selecconaron 30 estudantes de los que conforman la poblacón estudantl del I. U. G. T., para la Meda Artmétca: f 670,333 n 30 Meda Geométrca: f f f n n n x4 x 6 8 G G x x x 5 x x G,7 Problema N 0.- El Drector Ejecutvo de una empresa de transporte aéreo desea determnar la tasa de crecmento promedo que se refleja en tabla anexa. S la tasa de crecmento promedo es menor que el promedo ndustral del 0%, se asumrá una nueva campaña publctara. Se pde: a) Razonar, Por qué es más convenente utlzar el promedo geométrco y no el artmétco para realzar este estudo? Demostrarlo, y b) Será necesara realzar esa campaña publctara? Ingresos del Transporte Aéreo Año Ingresos en Bolívares

25 Solucón a) Como se ve en el cuadro se presenta los ngresos nter-anuales de la empresa de transporte aéreo, y por ser ngresos nter-anuales se recomenda usar el promedo geométrco, que es una de las aplcacones naturales de la Meda Geométrca. Año Ingresos en Bolívares Incremento Anual , , , ,300 Incremento Anual Ingreso Año Presente Ingreso Año Anteror Meda Geométrca de los Ingresos Anuales: I. A. n n IA 4 I. A. G I I I G..,x, x0,909x,3 G,78 Meda Artmétca de los Ingresos Anuales: I. A. I I In,, 0,909 3, I. A. n 4 IA.., 7 Hagamos una proyeccón año por año utlzando tanto el ncremento geométrco como el ncremento artmétco. Año Utlzando Incremento Geométrco Utlzando Incremento Artmétco ,00x, , ,00x, , ,00x, , ,00x, , ,4x, , ,50x, , ,6x, , ,59x, , , ,84 De este cuadro se desprende que utlzando el ncremento geométrco en la proyeccón haca 996 que fue de ,9; observamos que se acerca con bastante aproxmacón al ngreso real del año 996 que fue de ,00; razón por la cual podemos conclur que para este tpo de estudo es más convenente utlzar la Meda Geométrca. b) S la meda de los Crecmentos Geométrcos es de,78 eso sgnfca que la tasa de crecmento ndustral de la empresa de transporte aéreo estará por el orden del,78%, con lo cual conclumos: Que la empresa de transporte aéreo no debe asumr una nueva campaña publctara por cuanto su tasa de crecmento ndustral de,78% es mayor que la del 0,00% crecmento ndustral que srve de base para tomar la decsón Problema N 03.- Inversones y Construccones CONANDEL C. A., paga a sus trabajadores que laboran por hora Bs 44,0; Bs 8,0 o Bs 370,00. Hay 4 trabajadores para trabajar por hora; 0 de los cuales recbrán el pago de Bs 44,0; 6 recbrán pago de Bs 8,0 y 6 recbrán el pago de 370,00. Cuál es el pago promedo por hora que se le cancelan a los 4 trabajadores? Solucón

26 6 Este problema se puede calcular empleando la fórmula de Meda Artmétca Ponderada, donde el número de trabajadores cumplen el rol de ponderacón y el pago por hora la varable. p 0x44, 0 6x8, 0 6x370, 00 p p p 76, 7 p Problema N 04.-Para construr una escuela en el poblado captal de una parroqua venezolana, se requere conocer la posble poblacón escolar para el año 05. La nformacón que se tene estma que el 3% del total de la poblacón del país tene entre los 7 y años nclusve, y además el número de habtantes de ese poblado durante los últmos cnco años y que se muestra en tabla al fnal. Cuál sería la poblacón escolar estmada de ese poblado haca el 05? Año Poblacón (mles de Hs.) 9,8 0,0 0,389 0,50 0,79 Solucón Para un crecmento poblaconal la fórmula sería: P Y la de los crecmentos poblaconales: CP.. P G E R C. P. Poblacón Año Presente Poblacón Año Anteror AñodeEstmacón Añode Re ferenca Operacón 0, 0 0,389 0,50 0,79 CP.. CP.. CP. 3. CP. 4. 9,8 0, 0 0,389 0,50 C. Poblaconal,039,08,0,08 N 4 C. P. 3 4 C. P. x, 8 CP.. G C. P. C. P. C. P. C. P. G,039 x,08 x,0 0 G, CP P05 P P G P 0,79x, x.866 Poblacón Escolar para el Año 05 PE. 05. PE Capítulo 04 MEDIDAS DE POSICION O DE UBICACIÓN. Meddas de Poscón Son meddas estadístcas cuyo cómputo se ubcan en cualquer lugar del rango orgnado por los valores de la sere de datos, como la moda o el modo que depende a

27 7 de la mayor frecuenca absoluta, y otros, los fractles, determnados a partr de patrones pre-establecdos que responden a valores porcentuales especfcados. Modo o Moda (Mo) Meddas de poscón Fractles Medana (Md) Cuartles (Q) Decles (D) Centles o Percentles (P).. Modo o Moda: Es el valor del dato que más se repte, es decr el valor del dato que presenta, el mayor número de observacones o la mayor frecuenca absoluta en el caso de datos sueltos, smples o no agrupados. De acuerdo a este concepto pueden exstr seres de datos multmodales, ya que puede darse el caso de seres de datos con más de un modo, es decr el modo no necesaramente puede ser únco. Para datos agrupados se obtene de una fórmula, donde la mayor frecuenca absoluta defne el ntervalo donde debe encontrarse el modo. Esta Frecuenca Absoluta, la conoceremos como Frecuenca Absoluta Modal f... Su cálculo: a) Para sere de datos sueltos o no agrupados, la defncón nos da su valor y b) Para datos agrupados M L I q xic q q = Lmte real nferor del ntervalo de clase o clase donde se ubca la frecuenca modal. = f = frecuenca modal o = frecuenca anteror a la frecuenca modal = frecuenca posteror a la frecuenca modal Propedad de la Moda o Modo Por depender para su obtencón sempre de la mayor frecuenca absoluta tanto en Datos No Agrupados como en Datos Agrupado, su cálculo se hace sencllo Ventajas del Modo o Moda a) Es un concepto de muy fácl manejo para su calculo b) Los valores extremos no la afectan c) Cuando una dstrbucón es muy asmétrca, se observa que el modo es el dato más representatvo de la sere d) S la dferenca entre el valor del Modo y el valor de la Meda Artmétca es muy sgnfcatvo, es preferble utlzar el Modo, para el estudo que se realza.

28 8 e) En seres polmodales, el modo permte dvdr la sere con fnes de estratfcacón f) Algunos profesonales de la estadístca consderan a la moda o modo como la mejor medda de poscón. Desventajas del Modo o Moda a) En una sere de datos agrupados su valor no es muy precso, por lo tanto no es confable, y se hace algo complcado su cálculo b) En una sere de datos agrupados, su valor depende de cómo se estructuren los ntervalos de clase o clase. c) El Modo es muy nestable en el muestreo d) El Modo no puede ser usado en procesos algebracos posterores. e) El Modo no es sensble a cambos de valores de la sere de datos, a menos que esos cambos afecten su propo valor. f) No es recomendable usar el Modo en la varable contnua cuando la ampltud de los ntervalos no son constantes... Fractles: Son meddas de poscón que se ubcan en cualquer parte o lugar del rango orgnado por los valores de los datos de la sere, luego de ordenados, y atendendo a fracconamento de este rango con patrones porcentuales preestablecdos. S se fraccona en dos partes guales, el punto medo es la medana (50%); s es en cuatro partes guales (Cada uno de 5%), los puntos de cada cuarto es el cuartl; s es en dez partes guales (Cada 0%); el punto de cada decmo es el decl; y s es en cen partes guales (Cada %), el punto de cada centésmo es el centl o percentl. Estas meddas se utlzan para las seres de Datos No Agrupados que presentan muchas categorías, o en Datos Agrupados que presentan muchos ntervalos de clases o clases, cuando se queren obtener promedos en una parte de la sere o en la dstrbucón de esos datos.... Medana: Es el valor del punto medo de los valores de una sere de datos prevamente ordenados en orden crecente o decrecente.... Propedades de la Medana: a) Se ubca en todo el medo de la recta orgnada por el rango de los valores de la sere de datos y es únca. b) Cuando las desvacones se toman respecto a la Medana, la suma de sus valores absolutos toman un valor mínmo.... Ventajas de la Medana a) Es un concepto fácl de manejar para su cálculo b) Los valore extremos no nfluyen para su calculo c) Se puede obtener en seres abertas de datos d) Susttuye a la meda artmétca en seres abertas de datos. e) Por ubcarse en la mtad del rango de una sere de datos, se presentan stuacones en las cuales la es únca medda estadístca que se puede calcular. f) A pesar que tene menos establdad en el muestreo que la Meda Artmétca, es más estable que otras meddas estadístcas Desventajas de la Medana a) No es tan conocda como la Meda Artmétca.

29 9 b) Para obtenerla es requsto ndspensable ordenar los datos por lo general en orden crecente, o en orden decrecente según sea el caso. c) La Medana obtenda drectamente de la totaldad de los datos, no es la msma, s dvda la sere de datos en grupos y obtener medanas de esos grupos al buscar por esa vía la Medana de la sere no es la msma. d) La Medana no es sensble a cambos de datos que puedan producrse en la sere de datos.... Calculo de los fractles.... Datos no agrupados o sueltos... Formula General para obtener el lugar donde se ubca el fractl en una sere de datos. Número de observacones P = Percentl deseado. De esta fórmula general se obtene el resto de las fórmulas para obtener los lugares de la sere de datos donde se ubcan el resto de los fractles Lugar del valor del percentl buscado... Fórmula para obtener el fractl luego de ubcado su lugar en la sere de dato D p. d. D D m.nt. M.nt m.nt. D D m.nt. M.nt. p. d. Fractl a calcular; Dato menor delos valores entrelos cuales seubca la poscón del fractl acalcular; Dato mayor delos valores entrelos cuales seubca la poscón del fractl acalcular; Parte decmal del valor que seobtuvo al obtener la poscón dela sere de datos donde seubca el fractl a calcular... Datos agrupados

30 30... Fórmulas para obtener los fractles de manera drecta en Datos Agrupados IC N Percentles P L Faa f 00 IC N Decles D L F f 0 aa IC N Cuartles Q L F f 4 aa IC N Medana M L F f D aa = Frecuenca absoluta acumulada anteror = índce del fractl a calcular.... Fórmulas para obtener el porcentaje de cualquer número de observacones que sean menores o mayores que cualquer dato ubcado en algún ntervalo de la dstrbucón. D f % de obs. D Faa D L IC 00 N % de obs. D 00 % de obs. D Datoque setomacomoreferenca paracalcular el porcentaje I Problemas Resueltos Problema 0.- De manera aleatora se selecconan las notas de 7 estudantes de Estadístca Instrumental del I. U. G. T., las cuales resultaron ser: Se pde obtener: la Meda Artmétca, la Meda Geométrca, el Modo o Moda, la Medana, el tercer Cuartl, sexto Decl y el Percentl 43. Número de datos Impares Meda Artmétca : 8 9 x Meda Geométrca : G 8x9x0 xxx5 G 0,50 0, 74 Para obtener el resto de la Meddas Estadístcas que son de poscón lo prmero que hacemos es ordenar los datos generalmente en orden crecente salvo que se dga lo contraro y se le asgna el respectvo lugar en la sere

31 3 Modo : M o 0 El dato que más se repte 7 Medana : L M D 4 M D 0 Dato que ocupa el lugar 4 dela sere 3 7 Cuartl 3: L Q3 6 Q3 4 Dato que ocupa el lugar 6 dela sere 3 7 Decl 6: L D6 4,8 D6 0 0,8 0 D6 5 0, Percentl 43: L P43 3,44 P43 0 0, P S agregamos un nuevo dato, supongamos 6, entonces el número de datos serán mpares 8 9 x0 5 6 Meda Artmétca :, Meda Geométrca : G 8x9x0 xxx5x6 G,086 Para obtener el resto de la Meddas Estadístcas que son de poscón lo prmero que hacemos es ordenar los datos generalmente en orden crecente salvo que se dga lo contraro y se le asgna el respectvo lugar en la sere. Modo : M o El dato que más se repte 8 Medana : L M D 4,5 M D 0 0,5 0 M D 0,5 3 8 Cuartl 3: L Q3 6,75 Q3 0,75 4 Q3 4 3,5 3 8 Decl 6: L D6 5,4 D6 0,4 D6 5, Percentl 43: L P43 3,87 P43 0 0, P Problema 0.- Los sguentes datos corresponden a las ventas (En mles de bolívares) realzados por una comercal que vende materales de ofcnas en un lapso de 30 días. Se pde calcular: a) el Modo, la Medana, Cuartl y Cuartl 3, Decl y Decl 9, y Percentl 83 y b) Porcentaje de valore que sean menores que el Modo de la dstrbucón y mayores que 40

32 3 NIC L I L S f F 09,5 6, ,5 3, ,5 30, ,5 37, ,5 44, ,5 5, a) b) Solucón x7 Modo : Mo 6,5 M o,67 7 Medana : L M D 3,5 5 M D 6 7,000 7 Cuartl : Q 3 6,5 7,5 5 Q 7 9,000 7 Cuartl 3: Q 3 37,5,5 Q3 3 4,000 7 De cl : D 9,5 3 0 D6 5 3,7 7 Decl 9: D 9 44,5 7 4 D6 6 48,000 7 Percent l 83: P 83 44,5 4,9 4 D6 6 44,55,7 % de obs M o,67 6,5,67 6,5 % de obs. M o 7 30,67 70,56% % de obs. D 40, , % de obs. D 40 75,4% % de obs. D , 4 % de obs. D 40 4, 76% Capítulo 05 Meddas de Desvacón o de Dspersón. Meddas de Dspersón: Son meddas estadístca que determnan, como se agrupan o se alejan los datos alrededor de un promedo.

33 33 Desvío Medo (D µ, D x) Desvíos Desvío Medano (D Md) Varanza (σ, S ) y Desvacón Estándar (σ, S) Meddas de Dspersón Rango propamente dcho (R) de Desvacón Rangos Rango Intercuartílco ( R Q ) Desvío o Ampltud Sem-ntercuartílca (A Q) Rango Interdecílco (R D)..- Rango: Es la medda de dspersón que mde la osclacón o recorrdo en una sere de datos desde el dato de menor valor al dato de mayor valor nclusve R= DM Dm +..- Desvío medo: Es la medda de dspersón que se determna a través de la meda artmétca de los valores absolutos de los desvíos respecto a la meda artmétca. Conjunto Tpo de Datos No Agrupados, Sueltos o Sencllos Poblacón D N f Muestra D n f Agrupados o Por Intervalos de Clases o Clases D m N f D n f.3.- Desvío Medano: Es la medda de dspersón que se determna a través de la meda artmétca de los valores absolutos de los desvíos respecto a la medana. Tpo de Datos Datos No Agrupados, sueltos o Sencllos Datos Agrupados, Por Intervalos de Clases o Clases D D M d M d Fórmula M f d f M f m d f

34 Varanza y Desvacón Estándar o Típca: Son meddas de dspersón que descrbe la cantdad de varacón en una dstrbucón de frecuenca o sere de datos. La desvacón estándar o típca sempre será la raíz cuadrada de la Varanza poblaconal o muestral de datos no agrupados o agrupados Conjunto Tpo de Datos No Agrupados, Sueltos o Sencllos Poblacón N f N f N N f Muestra S S f n f N n Agrupados o Por Intervalos de Clases o Clases m N f N N f N m m f S S m f n f N n m Desvacón Estándar o Típca: En Poblacón ; y en Muestra ; S S.5.- Rango Intercuartílco: Es la medda de dspersón que mde la osclacón o recorrdo en una sere de datos desde el Cuartl uno hasta el Cuartl tres..6.- Desvacón o Ampltud sem-intercuartílca: Es la medda de dspersón que toma como valor la mtad del Rango Intercuartílco..7.- Rango Interdecílco: Es la medda de dspersón que mde la osclacón o recorrdo en una sere de datos desde el decl uno al Decl Nueve. ; R D = P 90 P 0 Problemas Resueltos Problema 0.- De manera aleatora se selecconan las notas de 7 estudantes de Estadístca Instrumental del I. U. G. T., las cuales resultaron ser:

35 35 Se pde obtener: la Varanza y la Desvacón Estándar 8 9 x0 5 Meda Artmétca : 0, 74 7 f n ,74 La Varanza Muestral : S n 6 f La Desvacón Estándar Muestral S : S 5, 45 S,90 S 5,45 Problema 0.- Los sguentes datos corresponden a las ventas mensuales (En mles de bolívares) realzados por una comercal que vende materales de ofcnas. Se pde calcular: a) La Varanza y la Desvacón Estándar o Típca, b) El Rango Intercuartílco y el Rango Interdecílco, y c) La Desvacón o Ampltud Sem-ntercuartílca. Solucón NIC L I L S f F m mf m f 09,5 6, ,5 3, ,5 30, ,5 37, ,5 44, ,5 5, a) La Varanza , ,333 5, La Desvacón Estándar. 5,375,304 b) Rango Intercuartílco. 7 Cuartl : Q 3 6,5 7,5 5 Q 7 7 Cuartl 3: Q 37,5,5 Q 3 R 4 9 R 3 3 D D 9,000 4,000 Rango Interdecílco. 7 7 De cl : D 9,5 3 0 D6 3,7 ; Decl 9: D 9 44,5 7 4 D ,000

36 36 R D 48, 000 3,7 RD 34,3 c) Desvacón o Ampltud Sem-Intercuartílca 9 AQ A Q 9,5 Capítulo 06 Análss de la curva orgnada por el Polígono de Frecuencas de una Dstrbucón de Frecuencas de Clases. Para el análss de la curva orgnada por el polígono de frecuencas, se debe observar su comportamento haca los lados (comportamento lateral), así como tambén su comportamento haca su parte superor (comportamento de agudeza o apuntamento).. Análss de smetría: Analza el comportamento lateral de la curva orgnada por un Polígono de Frecuencas y se apoya en los coefcentes de asmetría de Pearson. M o M o En Dstrbucones Modales : Poblacón, CA ; Muestra, ca S 3( M d) 3( M d) En Dstrbucones B mod ales : Poblacón, CA ; Muestra, ca S 3 o por la fórmula del Sesgo : D. S. Poblacón, Sg ; Muestra, Sg ; 3 N ns m D. A. Poblacón, Sg ; Muestra, Sg N 3 3 m ns 3 3 Una curva será smétrca o normal; cuando la meda artmétca, la medana y modo o moda sean guales, la curva presenta una forma de campana. Una curva será asmétrca s presenta sesgo a los lados. S sesga a la derecha, presenta asmetría o sesgo postvo, es decr o Sg > 0. Esto ocurre cuando: la meda artmétca es mayor que la medana. S sesga a la zquerda, presenta asmetría o sesgo negatvo, es decr o Sg < 0. Esto ocurre cuando: la meda es menor que la medana.. Análss de la agudeza o el apuntamento: Analza la curva observando su comportamento haca la parte superor; y para realzar el análss nos apoyaremos en el coefcente de Kurtoss. K= ; =

37 37 Una curva será: a) Puntaguda o Leptocúrtca s K>0,63 b) Normal o Mesocúrtca s K = 0,63 c) Achatada o Platcúrtca s K < 0,63 Problemas Resueltos Problema 0.- Los sguentes datos corresponden a las ventas mensuales (En mles de bolívares) realzados por una comercal que vende materales de ofcnas. Se pde calcular: analzar la curva orgnada por el Polígono de Frecuencas. Solucón En cálculos anterores se obtuvo que: 9,333; Mo,67;,304; RD 34,3 y A Q 9,5 Asmetría o Sesgo: 9,333,67 CA CA 0,664 0,304 Agudeza o Apuntamento: 9,5 K K 0,77 0,63 34,3 Conclusón: La curva orgnada por el Polígono de Frecuencas de esta dstrbucón presenta Asmetría Postva ya que CA = 0,664 > 0, por lo tanto sesga a la derecha; y además es Puntaguda o Leptocúrtca por cuanto K = 0,77 > 0,63 Problema 0.- La Dstrbucón de Frecuencas anexa al fnal nos presenta el ngreso daro que paga la empresa Constructora Mayor, C. A. (MAYORCA) a sus trabajadores, tanto empleados admnstratvos como obreros. Se pde determnar: a) Ingreso daro a cancelar por la empresa antes del aumento a los trabajadores dstrbudo en el 40% central del total de ellos, b) El presupuesto anual orgnal y el presupuesto modfcado s los dueños de la empresa conceden un aumento de manera lneal del 5% a sus trabajadores, c) Dagramar el Hstograma y el Polígono de Frecuencas de esta dstrbucón y d) Analzar el comportamento de la curva que orgna el Polígono de Frecuencas. Ingresos Daros (Bs.) Número de Trabajadores Solucón a) S la parte central de la recta de los datos orgnada por el Rango representa el 40% de ella, tanto la parte derecha como la parte zquerda de esa recta representan parte guales es decr: 30 ; Ingreso Mínmo = P 30 por lo que Ingreso Máxmo =P P P30 5,5; P P ,67 0

38 38 b) N de Trab. Con Ingresos < 5,50 = 4 +0,05x50 = 5,5 y N de Trab. Con Ingresos < 304,67 = ,0467x50 = 36,08. N de Trab. en el 40% del sector central = (36,08 5,5) = aproxmadamente Ingreso Daro Sector Central = µ mplca que: I. D. S. C= x75 = Pr esupuesto Orgnal P. O Bolí var es Para el Presupuesto M od fcado la nueva Meda Artmétca sería : 0,5 75 0, , 5 Presupuesto Modfcado ' , 5 PM ,50 NIC L I L S m f F m f m f c) Hstograma Polígono de Frecuencas

39 d) Análss de la curva orgnada por el Polígono de Frecuencas 50 75; Mo 50 Mo 80; , CA.. CA.. 0, ,7 Q D ,84; Q , 04; , 64; D , K 300,84 0, 04 30,64 50,60 0,37 K 0,37 Conclusón: La curva orgnada por el Polígono de Frecuencas de esta dstrbucón de datos presenta Asmetría Negatva por cuanto CA =-0,09<0, por lo tanto sesga a la Izquerda, y además por ser K=0,37>0,63 la curva es Puntaguda o Leptocúrtca

40 40.- Meda Artmétca RESUMEN DE LAS FORMULAS DE LAS MEDIDAS ESTADISTICAS Conjunto Tpo de Datos Datos No Agrupados, Sueltos o Sencllos Datos Agrupados, Por Intervalos de Clases o Clases POBLACION Meda Ponderada MUESTRA.- Meda Geométrca TIPOS DE DATOS Datos No Agrupados, Sueltos o sencllos Datos Agrupados, Por Intervalo de Clase o Clases FÓRMULAS G n n n G n f f fn f f fn n n n G n m m mn m m mn n G n f f fn f f fn m m mn m m mn n n 3.- Modo TIPOS DE DATOS Datos No Agrupados, Sueltos o sencllos Datos Agrupados, Por Intervalo de Clase o Clases FÓRMULAS Se toma defncón del Modo o Moda como base para obtenerlo. No necesaramente es el hay un solo modo. q IC M o LI, fo : Frecuenca Modal q q q f f ; q f f o Anteror a fo o Sguentea fo 4.- Medana TIPOS DE DATOS FÓRMULAS Obtencón dela poscón dela Medana : L M d 0,5 n Datos No Agrupados, Sueltos o sencllos M D. p. d. D. D. p. d. d Menor del Int deposcón Mayor del Int deposcón Menor del Int deposcón Parte decmal del cálculo de L M d

41 4 Datos Agrupados, Por Intervalo de Clase o Clases IC N M L F f d I aa 5.- Cuartl 0: TIPOS DE DATOS Datos No Agrupados, Sueltos o sencllos Datos Agrupados, Por Intervalo de Clase o Clases FÓRMULAS Obtencón dela poscón del Cuartl 0: L Q 0, 5 n Q D p. d. D D Menor del Int. deposcón Mayor del Int. deposcón Menor del Int. deposcón p. d. Parte decmal del cálculo de L Q IC N Q LI F f 4 aa 6.- Cuartl 03 TIPOS DE DATOS FÓRMULAS Obtencón dela poscón del Cuartl 03: L M d 0,75 n Datos No Agrupados, Sueltos o sencllos Q3 D. p. d. D. D. Datos Agrupados, Por Intervalo de Clase o Clases p. d. Menor del Int deposcón Mayor del Int deposcón Menor del Int deposcón Parte decmal del cálculo de L Q IC 3N Q3 LI F f 4 3 aa 7.- Decl 0 TIPOS DE DATOS Datos No Agrupados, Sueltos o sencllos Datos Agrupados, Por Intervalo de Clase o Clases FÓRMULAS Obtencón dela poscón del Decl 0: L D 0,0 n D D p. d. D D Menor del Int. deposcón Mayor del Int. deposcón Menor del Int. deposcón p. d. Parte decmal del cálculo de L D IC N D LI F f 0 aa 8.- Decl 09

42 4 TIPOS DE DATOS Datos No Agrupados, Sueltos o sencllos Datos Agrupados, Por Intervalo de Clase o Clases FÓRMULAS Obtencón dela poscón del Decl 09 : L D 0,90 n D D p. d. D D 9 Menor del Int. deposcón Mayor del Int. deposcón Menor del Int. deposcón p. d. Parte decmal del cálculo de L D IC 9N D9 LI F f 0 9 aa 9.- Fórmula para obtener el fractl luego de ubcado su lugar en una sere de Datos No Agrupados D p. d. D D m.nt. M.nt m.nt. D D m.nt. M.nt. p. d. Fractl a calcular; Dato menor delos valores entrelos cuales seubca la poscón del fractl acalcular; Dato mayor delos valores entrelos cuales seubca la poscón del fractl acalcular; Parte decmal del valor que seobtuvo al obtener la poscón dela sere de datos donde seubca el fractl a calcular 0.- Obtencón de porcentaje de valores de una Dstrbucón de Frecuencas en Datos Agrupados por Intervalos de Clases o Clases D f % de obs. D Faa D L IC 00 N % de obs. D 00 % de obs. D Datoque setomacomoreferenca paracalcular el porcentaje I.- Rango R Dato Mayor Dato Menor.- Desvacón Meda o Desvío Medo

43 43 Conjunto Tpo de Datos No Agrupados, Sueltos o Sencllos Poblacón D N f Muestra D n f Agrupados o Por Intervalos de Clases o Clases D m N f D n f 3.- Desvacón Medana o Desvío Medano Tpo de Datos Datos No Agrupados, sueltos o Sencllos Datos Agrupados, Por Intervalos de Clases o Clases D D M d M d Fórmula M f d f M f m d f 4.- La Varanza Conjunto Tpo de Datos No Agrupados, Sueltos o Sencllos Poblacón N f N f N N f Muestra S S f n f N n Agrupados o Por Intervalos de Clases o Clases m N f N N f N m m f S S m f n f N n m

44 Desvacón Estándar o Típca En Poblacón ; y en Muestra ; S S 6.- Rango Intercuartílco 7.- Desvacón o Ampltud Sem ntercuartlca 8.- Rango Interdecílco ; R D = P 90 P 0 DEFORMACION Y APUNTAMIENTO O AGUDEZA DE LA CURVA ORIGINADA POR EL POLIGONO DE FRECUENCI Deformacones laterales o sesgos: Coefcente de Asmetría. M o M o En Dstrbucones Modales : Poblacón, CA ; Muestra, ca S 3( M d) 3( M d) En Dstrbucones B mod ales : Poblacón, CA ; Muestra, ca S o por la fórmula del Sesgo D. Sueltos : Poblacón, Sg ; Muestra, Sg 3 N m D. Agrupados : Poblacón, Sg ; Muestra, Sg N m ns 3 ns 3 ; > 0 (+) = 0 0 (-) Sg > 0 (+) Sg = 0 (+) Sg < 0 (+) > 0 (+) = 0 0 (-) Asmetría Postva Smétrca o normal Asmetría Negatva Sesgo a la derecha Sesgo a la zquerda m

45 45 Apuntamento o agudeza Coefcente de Kurtoss K ; K ; K ; K Puntaguda o Leptocúrtca K > 0,63 Normal o Mesocúrtca K = 0,63 0,63 Achatada o Platcúrtca K < 063 m Problemas propuestos para los Capítulos tratados en el Título II Problema 0.- Los drectvos de una fábrca de refresco están pensando lanzar al mercado un nuevo producto. Realzada una encuesta a objeto de medr la aceptacón del producto, en una muestra de 30 nños y utlzando una escala de 0 a 0 puntos para medr el grado de aceptacón; este fue el resultado obtendo: La muestra tomó 5 nñas y 5 nños, con edades comprenddas entre los 5 y años de edad, resdentes en un barro de la cudad de Caracas. Se pde: a) Estructurar una tabla de Dstrbucón de Frecuencas y b) Calcular; meda artmétca, medana, modo, cuartl uno y tres, decl uno y nueve, el percentl 4, la varanza y la desvacón estándar o típca Problema 0.- Leer el sguente texto: Una vez recolectados los datos en forma ordenada, es necesaro en forma tal que se faclte su comprensón y su posteror análss y utlzacones. Para ello se ordenan en cuadro numércos y luego se representan en gráfcos, para varable dscreta medante dagramas de frecuencas tanto para absolutas ó relatvas. Se pde: a) Consderando a rr y ll como letra únca, formar una tabla de Dstrbucón de Frecuencas de Datos Agrupados en Clases ó Intervalos de Clases, tomando como base el número el número de letras que forma cada palabra y b) Analzar la curva orgnada por el Polígono de Frecuencas. Problema 03.- (Modelo para datos sueltos).- Un grupo de productores de maíz del Estado Guárco entrega su produccón en toneladas, a una planta receptora del producto, y 0 de ellos entregaron el sguente tonelaje: Se pde: a) Elaborar una tabla de dstrbucón de frecuencas. b) Calcular el porcentaje de productores que entregaron menos de 9 toneladas y el porcentaje de los productores que entregaron 3 o más toneladas c) Calcular las meddas estadístcas más mportantes de tendenca central, de poscón y de dspersón. Problema 04.- (Modelo para datos agrupados).-dentro de los televdentes del país se selecconaron 50 que ven R.C.T.V. entre personas mayores de 8 años, a las cuales se le consultaron sus edades;

46 Se pde: a) Elaborar la tabla estadístca para La Dstrbucón de Frecuencas, b) Calcular un aproxmado del número de personas que tenen menos de 8 años y el porcentaje de personas que tenen 36 o más años, c) Calcular las meddas estadístcas más mportantes de Tendenca Central, de Poscón y de Dspersón y f) Estudar la curva orgnada por el Polígono de Frecuencas. Problema 05.- Se selecconaron 30 estudantes del I.U.G.T. de acuerdo a sus edades y luego de realzados los cálculos, se presentaron las Marcas de Clases con sus respectvas Frecuencas Absolutas: m f Se pde: a) Calcular las Meddas Estadístcas y b) Analzar el comportamento lateral y el apuntamento o agudeza de la curva orgnada por el Polígono de Frecuencas. Problema 06.- Un profesor de Estadístca General para nstrur a sus alumnos sobre todo lo referente a la Dstrbucón de Frecuencas en cuanto a Datos Sueltos o No Agrupado en Intervalos de Clase, tomó las notas de un trabajo prevo al prmer examen parcal las cuales fueron: Se pde: a) Tabla de Dstrbucón de Frecuencas y b) Calcular las meddas de Tendenca Central, las meddas de Poscón y las meddas más usuales de Dspersón Problema 07.- La tabla que se presenta anexa, representa los salaros daros cancelados por una empresa constructora a sus obreros. Se pde; A.- Determnar: a) Salaro máxmo y mínmo entre los cuales se encuentra 40% central de la cantdad de obreros de la empresa, b) El salaro daro que comprende el 50% de la cantdad de obreros de la empresa, c) El porcentaje de la cantdad de obreros con salaros nferores al Modo y el número de obreros con salaros superores a la Meda Artmétca de la Dstrbucón de Frecuencas representada por la Tabla Estadístca, d) El presupuesto anual orgnal y el presupuesto anual modfcado luego que los dueños de la empresa concederan un aumento daro del 0% sobre los salaros de los obreros; y B.- Analzar el comportamento lateral y el apuntamento o agudeza de la curva orgnada por el Polígono de Frecuencas, trazando un esbozo de msma sobre el Hstograma o Polígono de Frecuencas elaborados. Ingresos Daros Número de Obreros Total 400 Problema 08.- Obtendas las Marcas de Clases de una Dstrbucón de Frecuencas tomadas de la vda de unas 40 baterías de automóvles, las cuales se presentan al fnal, se pde: a) Porcentajes del número de baterías tomadas que son nferores a la Meda Artmétca y el número de las msmas que son superores al Modo, b) Límtes entre los cuales se ubcan el 50% y el 8% central de las baterías según su vda útl y c) Analzar el comportamento lateral y el apuntamento o agudeza de la curva orgnada por el Polígono de Frecuencas trazando un esbozo de msma. Años de vda útl (m):,7,,7 3, 3,7 4, 4,7

47 47 Número de baterías (f): Problema 09.- Una línea aérea a través de su departamento de control estadístco lleva una relacón del número de pasajeros que se movlzaron durante los últmos 40 días entre Maquetía y Maracabo, Dstrbucón de Frecuencas la cual orgnó las Marcas de Clases que se presentan al fnal; se pde: a) Porcentajes del número de pasajeros movlzados que son superores a la Meda Artmétca y el número de las msmos que son nferores al Modo, b) Límtes entre los cuales se ubcan el 30%y central de los pasajeros movlzados durante los 40 días y c) Analzar el comportamento lateral y el apuntamento o agudeza de la curva orgnada por el Polígono de Frecuencas trazando un esbozo de msma. Movmento de Pasajeros (m): 56,5 64,5 7,5 80,5 88,5 96,5 04,5 Día en que se hzo el estudo (f): Problema 0.- A contnuacón se presenta número de obreros que laboran en 40 empresas de construccón que contratan con el sector públco: Se pde: a) Desarrollar la Dstrbucón de Frecuencas y señalar, b) Calcular las Meddas Estadístcas más usuales y c) Analzar el comportamento lateral y el apuntamento o agudeza de la curva orgnada por el Polígono de Frecuencas. Problema.- Un productor de cítrcos hzo 60 entregas de sacos de naranjas calfornas en el Mercado al por Mayor de Coche, relacón de entregas que se presenta a contnuacón por sacos entregados: Se pde: a) Desarrollar la Dstrbucón de Frecuencas y b) Calcular las Meddas Estadístcas para analzar el comportamento lateral y el apuntamento o agudeza de la curva orgnada por el Polígono de Frecuencas, dar la conclusón de este análss. Problema.- Un matadero ndustral establecó una clasfcacón de los frgorífcos a los cuales les sumnstra sus productos, tomando como referenca el pesaje de los peddos por mes. Luego de hacer un estudo estadístco establecó sus Marcas de Clase con sus respectvas Frecuencas Absolutas: Klogramos despachados (m): 6,5 56,5 96,5 336,5 376,5 46,5 Frgorífcos receptores del producto (f) Se pde: a) Desarrollar la Dstrbucón de Frecuencas y b) Calcular las Meddas Estadístcas y con éstas analzar el comportamento lateral y el apuntamento o agudeza de la curva orgnada por el Polígono de Frecuencas y dar la conclusón. Problema 3.- Los estudantes Pedro Pérez, Zulgrey González y Jenny Rodríguez hacen tres consultas dferentes a un profesor de Estadístcas: a) Pedro Pérez, entrega al profesor las ponderacones y las notas obtendas en los cnco exámenes parcales en la matera consultada, quere saber s aprueba la matera, b) Zulgrey González quere saber cuánto debe obtener en el últmo examen parcal para aprobar con puntos la matera consultada y c) Jenny Rodríguez, llegó a un acuerdo con el profesor

48 48 de la matera sometda a consulta para presentar al fnal del período el segundo examen parcal, y quere saber cuánto debe obtener en ese parcal para aprobarla. Dadas ponderacones y notas de cada uno de esos estudantes se pde dar respuestas a sus nterrogantes: Pedro Pérez Zulgrey González Jenny Rodríguez Parcal Pond. 3/0 7/5 /50 /5 Nota Parcal Pond. 3/0 7/5 /5 /5 Nota 08 Parcal Pond. 3/0 7/5 /5 /5 Nota 06 0 Problema 4.- Los datos que se presentan al fnal, representan las exportacones de determnado producto en toneladas métrcas (T.M.) en un lapso de 30 días: Se pde: a) Agrupar los datos, b) Obtener la Meda Artmétca y la Medana c) Calcular el porcentaje de días con exportacones superores a 3 T. M. y con exportacones nferores a 6 T. M. y con exportacones que estén entre 4 a 8 T. M. y c) Analzar el comportamento lateral y el apuntamento o agudeza de la curva orgnada por el Polígono de Frecuencas Problema 5.- Una empresa textlera posee 0 empleados los cuales se benefcarán del Decreto Gubernamental que establece un aumento lneal del 0%. El Departamento de personal lleva una relacón de los ngresos mensuales de sus empleados los cuales se presentan en cuadro fnal. Cuánto recurso tendría que dsponer la empresa en un año para satsfacer este aumento?, cuánto sería el presupuesto anual orgnal y cuánto sería el presupuesto nuevo presupuesto modfcado? Ingresos Número de Mensuales Empleados Problema 6.- Se dspone de los índces de precos del consumdor del área metropoltana de Caracas. S se pretende obtener un índce de precos promedo: a) Razonando su respuestas, qué Medda Estadístca utlzaría? Y b) Determnarla. Año: Índce General 60,7 7, 93,4 35,4 73, 300, Problema 7.- El Profesor Scott tomó el promedo de sus cursos de Estadístcas del I. U.G T. el cual do como resultado 3 puntos. Él desea saber, Cuál es el promedo de sus cursos de Estadístca Instrumental, s conoce los promedos de las notas de sus estudantes de Estadístca I, Estadístca II y Estadístca General (Ver cuadro) Matera: Estadístca I Estadístca II Estadístca Inst. Estadístca Gral. Estudantes: Promedos: 08 6 Problema 8.- Se observa un determnado défct de vvendas para el año.00. S se asume que el 5% de las famlas demanda vvenda, y partendo de la base que cada famla está formada por un

49 49 promedo de 6 membros. Se pde determnar el défct de vvendas para el año.00, s los datos nteranuales fueran los que se presentan en tabla anexa. Año: Poblacón (Mllones de habtantes): 9,7 9,9 0,4 0,8,6, Problema 9.- Se tene pensado construr una edfcacón para una Undad Educatva en Guayabal, estado Guárco en el año.0. Las poblacones estmadas se presentan al fnal. El porcentaje de menores de edad que van de los 7 a los 3 años se conoce que es del 3%. De acuerdo a la norma cada aula debe tener una capacdad útl para 50 alumnos. Cuántas aulas debe tener la edfcacón a construr? Años: Poblacón (Mles de habtantes): 0, 0,3 0,6 0,9,5,9 Problema 0.- Una empresa de comda rápda desea determnarla tasa de crecmento promedo en los ngresos con base a las cfras dadas en la tabla anexa. S la tasa de crecmento promedo es menor que el promedo ndustral del 0%, entonces se realzará una campaña publctara para mejorar los ngresos, cuál será la decsón? Año: Ingresos:,0,3,8,3,48 Problema.- La recuperacón de la nversón obtenda por una empresa de construccón durante cuatro años fue: 30%, 0%, -40%, y 00%. Cuál es la tasa meda geométrca de recuperacón? Problema.- En el año.998 la poblacón del Muncpo Mellado se estmó en y en el año.004 en Cuál será el aumento medo geométrco anual para el período? Problema 3.-Una empresa grande de equpos deportvos está probando el efecto de dos publctaros planes sobre ventas en los prmeros cuatro meses del año. Dadas las ventas que se ven en el cuadro anexo; cuál programa de publcdad parece producr el crecmento promedo más alto en ventas mensuales? Mes Plan Plan Enero Febrero Marzo Abrl 5.5, ,70 7.4, , , , ,50 Problema 5.- El Drector Ejecutvo de una empresa de transporte aéreo desea determnar la tasa de crecmento promedo en los ngresos anuales en base a la nformacón que se refleja en tabla anexa. S la tasa promedo es menor al promedo ndustral del 0% se asumrá una nueva campaña publctara. Se pde: a) Será necesara una nueva campaña publctara?, b) Razonar por qué? se utlza el promedo geométrco para este tpo de estudo comparándolo con el crecmento artmétco. Año Ingresos (Bs) Problema 6.- Dada las sguente dstrbucón de frecuencas de las notas tomadas de 0 a 40 a80obtendas por 80 estudantes de un lceo de Caracas, según se muestra en tabla anexa, se pde responder: a) Porcentaje y número de estudantes por encma de la medana, b) Porcentaje y número

50 50 de estudantes nferores a la meda artmétca, c) Las calfcacones entre las cuales se encuentra el 50% de la parte central de la dstrbucón y d) Analzar la curva orgnada por el polígono de frecuenca y comprobar con esbozo de la msma que el análss se corresponde. I S f I S f

51 5 TÍTULO III Capítulo 07 ESTUDIO DE LAS PROBABILIDADES Introduccón.- Los orígenes en la utlzacón de las matemátcas para obtener una valoracón de las probabldades se remontan al sglo VI. Fueron aplcacones relaconadas báscamente con los juegos de azar. Los jugadores en la búsqueda de obtener ganancas utlzaron la experenca en cuanto a llevar una secuenca de los resultados de los juegos de azar para desarrollar una estratega que los ayudara en la realzacón de sus apuestas. Actualmente con el avance de las tecnologías sobre todo en el campo de la computacón, se smplfca el trabajo en cuanto a la verfcacón de resultados tomando en cuenta una relacón hstórca de los msmos y que son utlzados para realzar predccones o pronóstcos de los posbles resultados en los sorteos de loterías, en casnos, carreras de caballo y en los deportes organzados. Sn embargo la dnámca actual ha mpuesto que el uso de la probabldad vaya más allá de los juegos de azar. En estos tempos, los gobernos, las empresas partculares y dversas organzacones profesonales y sn fnes de lucro utlzan la Teoría de la Probabldad en su cotdano proceso en la toma de decsones. Cuando las nsttucones como las menconadas anterormente recurren al uso de las probabldades ndca la exstenca de algún elemento aleatoro o de ncertdumbre relatva o no a la ocurrenca de algún evento futuro. En muchos por no decr todos lo casos, es mposble predecr qué sucederá, pero es posble establece lo que podría pasar. Sn embargo combnando el conocmento, el nstnto, la experenca y llevando una relacón hstórca de la ocurrenca de determnados eventos, con frecuenca se podría aseverar cuan probable puede darse un suceso en el futuro. En consecuenca las probabldades se presentan como una valosa herramentas, muy útles en el desarrollo de estrategas para ponerlas en práctca en el logro de fnes y objetvos. Nuestro estudo nos llevará en todos los casos posble a desarrollar toda una teoría de análss apoyada fundamentalmente en nuestros conocmentos matemátcos para tener la capacdad de cuantfcar cuan probable es determnado evento. En este capítulo presentaremos unas seres de defncones, teoremas, reglas e nstrumentos de apoyos útles para obtener la valoracón de las probabldades..- Defncones Fundamentales..- Probabldad: Es la posbldad o vabldad numérca medda entre cero y uno nclusve, de que ocurra un evento de manera relatva. Interpretacón y comentaro: Puede ser nterpretado como algo ndefnble, pero utlzado para expresar, de algún modo, un grado de creenca que se tene de la ocurrenca de un suceso o evento; evento que puede suceder con base en la experenca que se tenga de la ocurrenca de uno smlar en el pasado, o en base de la consecuenca de un expermento en partcular. Por lo tanto las probabldades se usan para expresar cuan probable es determnado evento.

52 5 Cuando la probabldad es gual a uno () es una probabldad de certeza absoluta; ejemplo, Cuál es la probabldad de que alguna persona muera? Cuando la probabldad es gual a cero (0) es una probabldad de mposbldad absoluta; ejemplo, Cuál es la probabldad de que alguna persona atravese nadando el océano atlántco? De toda la lteratura desarrollada anterormente podemos asumr la defncón de los sguentes conceptos:..- Evento, Suceso o punto muestral: Es el conjunto de uno o más resultados de un expermento. Exsten eventos smples o elementales, los cuales se especfcan con una sola característca y eventos compuestos los cuales resultan de combnar dos o más eventos smples o elementales..3.- Resultado: Es la consecuenca de un expermento en partcular, es decr es la respuesta a alguna prueba..4.- Expermento o Prueba: Es el proceso que lleva a la ocurrenca de uno y solo uno de varas observacones posbles..5.- Expermento Aleatoro: Es un fenómeno empírco, caracterzado por la propedad de que observado bajo determnado conjunto de condcones déntcas no sempre arroja el msmo resultado. Propedades: a) Se efectúa de acuerdo a un conjunto ben defndo de supuestos, b) Es repettvo y c) El resultado de cada repetcón depende del azar; es decr no es posble predecr con certeza un resultado en partcular..6.- Espaco Muestral: Es el conjunto de todos los resultados posbles de un expermento o muestra y lo desgnaremos por S..7.- Espaco o Conjunto de Probabldades: Es el conjunto de todas las probabldades posbles de un espaco muestral partcular orgnado por un expermento, y lo desgnaremos por S P. De esta defncón se desprende que S P sempre será gual a uno ( S P = ).8.- Resultados Posbles: Es la suma de todos los resultados de eventos que pueden dervarse de un Espaco Muestral (EP0)..9.- Resultado Probable o Favorable: Son resultados que se dervan de la ocurrenca de eventos favorables en partcular y que forman parte de un Espaco Muestral (EFA)..- Modelos para estudar las probabldades : Modelos Modelo Objetvo Modelo Subjetvo Probabldades Cláscas Probabldades Empírcas o Relatvas..- Modelo Objetvo: Establece un proceso para estudar el cálculo de probabldades a través de expermentacones con resultados reales y tangbles o tomando y llevando un control hstórco de experencas en la ocurrenca de

53 53 eventos en el tempo para aplcarla a la ocurrenca de eventos smlares en el presente....- Enfoque Clásco o Teórco de la Probabldad: Se obtene el valor de la probabldad basándose en la suposcón de que los resultados de un expermento son gualmente probable. P E EFE EPO EFA: Evento Favorable en el Expermento. EPO: Evento Posble...- Enfoque Empírco o Relatvo de la Probabldad: Se obtene el valor de la probabldad basándose en la realzacón de expermentacones ndefndamente repetbles desde el punto de vsta teórco, de manera tal, que en la práctca cotdana se pueda pensar que los resultados obtendos en un número grande de repetcones, den una buena aproxmacón a los resultados que se obtendrían en las ndefndas repetcones, dentro de las cuales se podría consderar la ocurrenca del evento en consderacón y que presente certa smltud en las msmas condcones a los eventos estudados en esas expermentacones P E EFO ETO EFO: Eventos Favorables Observados. ETO: Eventos Totales Observados. Modelo Subjetvo: Se sustenta en la evaluacón personal de la posbldad de que ocurra un evento, basados en la experenca y las ntucones 3.- Posbldades.- Las posbldades y las probabldades están estrechamente vnculadas, pero no son lo msmo. Muchas veces se toma a las posbldades como otra forma de expresar probabldades. Sn embargo exste una dferenca; mentras las posbldades comparan el número de eventos favorables con el número de eventos no favorables, las probabldades comparan el número de eventos favorables con el número total de eventos posbles. En consecuenca defnremos a la Posbldad a favor de un evento, a la razón del número de eventos favorables entre el número de eventos no favorables. 4.- Algunos eventos y sus respectvas probabldades: 4..- Eventos Independentes: Son eventos en los cuales la ocurrenca o no ocurrenca de ellos no tene nngún efecto en la ocurrenca del otro o de los otros Eventos Dependentes: Son eventos los cuales deben su ocurrenca a que prevamente haya ocurrdo otro u otros Evento Complementaro: Son aquellos eventos que de no ocurrr; los otros s deben ocurrr Eventos Mutuamente excluyentes: Son eventos que al ocurrr da como consecuenca que nnguno de los otros eventos ocurran en ese msmo expermento Eventos Colectvamente exhaustvos: Por lo menos uno de los eventos de un espaco muestral debe ocurrr al realzarse un expermento Probabldad a Pror: Se consdera como la probabldad ncal basada en un nvel de nformacón actual.

54 Probabldad a Posteror: Se consdera como una probabldad revsada en base a nformacón adconal Probabldad Conjunta: Es la probabldad que mde la posbldad de que dos o más eventos ocurran al msmo tempo (Eventos no mutuamente excluyentes) Probabldad Condconal: Es la probabldad cuya ocurrenca depende a que prevamente haya ocurrdo otro evento (Eventos dependentes) Probabldad Complementara: Es la probabldad que se obtene restando a la undad la ocurrenca del evento contraro. 5.- Axomas de las probabldades 5..- Las probabldades no pueden ser mayor a n menor que 0 (No puede ser negatva) s se expresa en tanto por. S fuera en tanto por 00, no sería n mayor a 00 n menor a 0 (No ha probabldad negatva) 0 P(E) ó 0 P(E ) La suma de las probabldades de los eventos posbles (Mutuamente Excluyentes y Colectvamente Exhaustvo) de un espaco muestra sempre será. P(E )+P(E )+ +P(E n)= S = 6.- Instrumentos Matemátcos de apoyo para el cálculo de Probabldades 6..- Técncas de conteo: Pudendo contar todos los eventos posbles y determnando a través de certos mecansmos el número de veces de la ocurrenca de algún evento, podemos determnar probabldades en su enfoque clásco (A pror) a través de técncas muy sencllas enrquecdas con la teoría combnatora, que nos crea las técncas del conteo Prncpo de la multplcacón: Las maneras posbles de llegar a un resultado fnal partendo de un punto ncal, transtando por camnos dferentes y tenendo otros posbles puntos ntermedos. En otras palabras s una tarea consta de pasos dstnto y otra tambén, no sendo ambas excluyentes, sno que se da la posbldad de realzarlas juntas o en sucesón entonces el total de pasos dstntos o manera en que puedan concretarse es de: EPO= a b.c Ejemplo 0.- Se tene que la placa de un vehículo consta de dos letra y cuatro números. Calcular la cantdad total de autos dferente que se podrían emplacar. Datos: Letra del alfabeto español 5 (Desechando la ll y la ñ) Número de dígtos 0. Desarrollo: EPO= = Ejemplo 0.- Un juego de barajas españolas tene 40 napes. S extraemos cnco cartas sucesvamente cnco sn reposcón; Cuántos serían los eventos posbles? Datos: Los 40 napes de las barajas españolas Desarrollo: EPO= =

55 Prncpo del exponente: Se puede consderar como un caso especal del prncpo de la multplcacón y se da cuando exsten más de una tarea de pasos guales pudendo las otras tareas presentar las msmas condcones. Se puede consderar como una tarea a un nstrumento de expermentacón y los pasos el número de eventos que en s pueda posea ese nstrumento de expermentacón. Un dado se puede consderar como una tarea y cada una de sus caras los pasos a dar, así msmo sucedería con una moneda. Los eventos posbles se obtenen tomando como la base exponencal el número de pasos o eventos que presenta el nstrumento de expermentacón o tarea y como exponente el número de nstrumentos de expermentacón o tareas utlzados en el expermento aleatoro. E PO b n Ejemplo 0.- Se tene que la placa de un vehículo consta de dos letra y cuatro números. Calcular la cantdad total de autos dferente que se podrían emplacar. Datos: Letra del alfabeto español 5 (Desechando la ll y la ñ) Número de dígtos 0. Desarrollo: 4 EPO Ejemplo 0.- Un juego de barajas españolas tene 40 napes. S extraemos sucesvamente cnco cartas con reposcón; Cuántos serían los eventos posbles? Datos: Los 40 napes de las barajas españolas E O 5 P Desarrollo: Ejemplo 03.- Una moneda se lanza cnco veces o en su defecto se lanzan cnco monedas Calcular los eventos posble para este expermento. Datos: Los 5 lanzamentos de las monedas o el lanzamento de cnco monedas Desarrollo: 5 EPO 3 Ejemplo 04.- Un dado se lanza tres veces o en su defecto se lanzan tres dados calbrados. Cuántos serían los eventos posbles? Datos: Los 3 lanzamentos de un dado o en su defecto tres dados calbrados Desarrollo: 3 EPO 6 6 Ejemplo 05.- Una moneda se lanza cnco veces o en su defecto se lanzan cnco monedas y un dado se lanza tres veces o en su defecto se lanzan tres dados calbrados. Cuántos serían los eventos posbles? Datos: Los 5 lanzamentos de las monedas o el lanzamento de cnco monedas y los 3 lanzamentos de un dado o en su defecto tres dados calbrados Desarrollo: 5 3 EPO Permutacones absolutas: Es una forma de arreglar u ordenar a la totaldad de los elementos de un conjunto en poscones prevamente jerarquzadas. Se señala que es absoluta s las poscones jerarquzadas concden con el número de elementos que se dsponen para ser posconadas u ocupadas. E P O npn n! 3... n n n

56 56 n=número de elementos y número de poscones jerarquzadas n!=número factoral Axoma: 0! =!= Ejemplo 0.- Un automóvl solo tene lugar para cnco pasajero ncluyendo al chofer. Suponer que cnco amgos van a realzar un vaje y utlzarán el automóvl De cuántas maneras se podrán ubcar los amgos s: a) Cualquera de ellos pueden conducr? Y b) Sólo uno de los cnco puede conducr? Datos: Cnco lugares a ocupar y cnco amgos Desarrollo: a) E PO 5P 5 5! b) Al solo poder conducr uno de los amgos queda lbre solo 4 lugares de asento los cuatro amgos que no pueden conducr E PO P 4! Ejemplo 0.- Se tene un torneo de bolas crollas donde partcpan cuatro equpos. De cuántas maneras pueden quedar las poscones fnales del torneo? Datos: Los equpos de bolas crollas y las cuatro poscones del torneo Desarrollo: E PO 4P 4 4! Permutacones Relatvas o Varacones: Es una forma de arreglar u ordenar una parte preestablecdas de los elementos que componen un conjunto en poscones prevamente jerarquzadas. Se señala que es relatva s las poscones jerarquzadas son menores al el número de elementos que se dsponen para ser posconadas u ocupadas. n! EPO npr n r! n= totaldad de elementos r = Poscones jerarquzadas. Ejemplo 0.- Un automóvl solo tene lugar para cnco pasajero ncluyendo al chofer. Suponer que sete amgos van a realzar un vaje y utlzarán el automóvl, se quedarán dos amgos pues todos no pueden r De cuántas maneras se podrán ubcar los amgos s: a) Cualquera de ellos pueden conducr? Y b) Sólo uno de los sete puede conducr? Datos: Cnco lugares a ocupar y sete amgos Desarrollo: 7! E PO P ! a) 7 5 b) Al solo poder conducr uno de los amgos queda lbre solo 4 lugares de asento los cuatro amgos que no pueden conducr

57 57 7! E PO 6P ! Ejemplo 0.- Se tene un torneo de bolas crollas donde partcpan ocho equpos y solo se premaran los equpos que ocupen la cuatro prmeras poscones. De cuántas maneras pueden optar los equpos las cuatro prmeras poscones del torneo? Datos: Los equpos de bolas crollas y las cuatro poscones del torneo Desarrollo: 8! E PO 8P ! Permutacones con repetcón: Es una forma de arreglar u ordenar una parte preestablecdas de los elementos que componen un conjunto en poscones prevamente jerarquzadas. Se señala que es con repetcón s las poscones jerarquzadas son mayores al el número de elementos que se dsponen para ser posconadas u ocupadas. n EPO rrn r Ejemplo 0.-Un jugador de basquetbol tene cuatro balones para encestarlo en dos canastas. De cuántas maneras pueden lo puede hacer? Datos: Los 4 balones y las canastas Desarrollo: E O R 4 P 4 6 Ejemplo 0.-Una persona requere realzar 7 llamadas telefóncas y dspone para ello de 3 celulares. De cuántas maneras puede hacer las llamadas? Datos: Los 4 balones y las canastas Desarrollo: E O R 7 P Permutacones ndstngubles: En ocasones se presentan operacones de permutacones entre los cuales hay algunos elementos que, s ben son objetvamente dferentes, para loe efectos práctcos se pueden consderar guales o déntcos. Este tpo de elementos se le conoce con el nombre de ndstngubles. n! EPO np n. n... n k n! n!... n Ejemplo 0.- De cuántas maneras es posble dvdr un conjunto de 6 elementos en subconjuntos que contengan respectvamente 4 y de esos elementos? k

58 58 Datos: Un conjunto de ses elementos y dos subconjuntos uno de 4 y otro de de esos elementos 6! Desarrollo: EPO 6 P 5 4 4!! 4 3 Ejemplo 0.-A una conferenca a realzarse en la cudad captal de una organzacón benéfca la delegacón de una de las provncas de un país cualquera está ntegrada por 9 delegados a los cuales les asgnas 3 habtacones las cuales tenen 4, 3 y camas respectvamente. De cuántas maneras se podrán acomodar los ntegrantes de la delegacón provncal? Datos: 9 delegados, 4, 3 y camas Desarrollo: EPO 9! P.60 4! 3!! Combnacones: Son arreglos de los elementos de un conjunto sn mportar el orden en que se dspongan, ya que no exsten poscones preestablecdas jerarquzadas y evtando que cada arreglo de las partes hagan gualdades. n! EPO nc r n r!! r Propedades de las combnacones: a) ; b) n; c) n y d ) n 0 n n n n n Ejemplo.- En un recpente se ntroducen 6 boltas azules, 7 blancas y 5 coloradas. S se extraen en un solo puño 4 boltas: a) De cuántas maneras posbles se pueden arreglar las boltas?, b) Maneras de que sean todas azules?, c) Todas blancas?, d) Todas coloradas? y e) Dos azules y dos blancas? Datos: 8 boltas, 6 azules, 7 blancas y 5 coloradas Desarrollo: 8! a) EPO 8 C ! 4! EFE C b) Azules 6 4 EFE C c) Blancas 7 4 EFE C d) Coloradas 5 4 6! 6 4! 4! 7! 7 4! 4! 5! 5 4! 4!

59 59 e) EFE C C Azules y Blancas 6 7 6! 7! ! 4! 7 4! 4! 6..- Reglas de la probabldad Reglas de la Adcón o Suma: Matemátcamente se defne como la unón de conjunto y gramatcalmente con la conjuncón dsyuntva o Regla General de la Adcón o Suma: Aplca para eventos no mutuamente excluyentes. Este tpo de eventos da orgen a la probabldad conjunta, sendo ésta la probabldad que se estuda cuando dos o más eventos pueden ocurrr a la vez. P (A U B) P (A o B) P (A U BUC) P (A o B o C) = P (A) + P (B) P (A y B) = P (A) + P (B)+P(C) P (A y B)-P(A y C)-P(B y C)+P(A y B y C) Ejemplo 0.- Un grupo de estudantes se reúnen en una refresquería para conversar sobre los exámenes, un % consume una bebda refrescante de Flor de Jamaca, un 3% consume Papelón con Lmón y un 3% consume ambas bebdas refrescantes. S se elge uno de esos estudantes de manera aleatora; Cuál será la probabldad de que consuma la bebda refrescante Flor de Jamaca o Papelón con Lmón Datos: El % toma Flor de Jamaca, el 3% toma Papelón con Lmón y el 3% ambas bebdas refrescantes. Desarrollo: Para dentfcar al evento Flor de Jamaca le asgnamos la letra A y al evento Papelón con Lmón la letra B P (A)=0,; P (B)=0,3; P (A B)=P (A y B)=0,3. (Probabldad Conjunta) P (A o B)=0,+0,3-0,3 P (A o B)=0,4 Explcacón.- La Interjeccón Dsyuntva o nos nduce a nterpretar el problema para aplcar una de las Reglas de la Suma, y al observar el vocablo ambos que establece la comundad entre los dos eventos para dar orgen a la Probabldad Conjunta, concluríamos en que es la Regla General de la Suma. Ambos P(A B)=P(A y B); Ya sea o P(AUB)=P(A o B)

60 60 Interpretacón gráfca del problema apoyándonos en un Dagrama de Venn Pap. con Lmon 9% 3% 9% Ejemplo 0.-Se realzó una encuesta entre ml cudadanos selecconados aleatoramente para determnar cuáles son los centros comercales más vstados en el área metropoltana, dando los sguentes resultados: 56 persona vstan el Centro Comercal A, 45 el Centro Comercal B y 393 el Centro Comercal C. Es posble que los entrevstados vsten otros centros comercales, en este sentdo se verfcó que 8 vstan a los centros comercales A y B, 48 a los centros comercales A y C, 66 a los centros comercales B y C y 74 vstan los tres centros comercales. S de manera aleatora selecconamos uno de los cudadanos que fueron encuestados en este estudo; Cuál será la probabldad de que vste al centro comercal A, al B, al C; al A y B, al A y C, al B y C o a todos los centros comercal? Datos: Vstas: A=56, B=45, C=393, (A y B)=8, (A y C)=66, (B y C)=66 y 74 a todos los centros comercales Desarrollo: Sendo EPO=.000, entonces las probabldades de los eventos smples y conjuntos serían: P(A)=0,56; P(B)=0,45; P(C)=0,393; P(A y B)=0,8; P(A y C)=0,48; P(B y C)=0,66 y P(A y B y C)=0,074 P (A o B o C)=056+0,45+0,393-0,8-0,48-0,66+0,074 P (AUBUC)=0,9390

61 6 Interpretacón gráfca del problema apoyándonos en un Dagrama de Venn A B=8 B C=66 A B C=74 A C= Regla Especal de la Adcón o Suma: Aplca para eventos mutuamente excluyentes. P (A U B) P (A o B) = P (A) + P (B) P (A U BUC) = P (A) + P (B) + P(C) P (A o B o C) Ejemplo.- En un recpente se ntroducen 6 boltas azules, 7 blancas, 5 coloradas y 8 doradas. S se extrae una boltas; Cuál será la probabldad de que: a) Sea azul o colorada?, b) Blanca o dorada?, c) Azul, blanca o dorada? y d) Colorada y dorada? Datos: 6 boltas, 6 azules, 7 blancas, 5 coloradas y 8 doradas Desarrollo: EPO. Cada grupo de boltas representa un evento por lo n r 6 6 que: Boltas Azules evento A, boltas Blancas evento B, boltas Coloradas evento C y boltas Doradas D. Apoyándonos en el enfoque clásco de las probabldades donde ( ) EFE PE defnmos cada una de las EPO probabldades del Espaco Muestral de este expermente por lo tanto: P(A)=3/3; P(B)=7/6; P(C)=5/6 y P(D)=4/5. Sn entrar en extensas explcacones, a las claras observamos que son eventos mutuamente excluyentes en una operacón nducda por la conjuncón dsyuntva o, por lo tanto se aplca la Regla Especal de la Suma. a) P A o C P A C 6 0, 43

62 6 b) c) P B o D P A o B o D P B D 5 6 0, P A B D ,8077 d) P C y D P C D 0 Probabldad mposble ya que no exste una bolta que contenga en s msma el color colorado y el color dorado, a eso es a lo que nos nduce la conjuncón copulatva y es un vocablo nclusvo. Probabldad Complementara.- Para que exsta alguna Probabldad Complementara los eventos tenen que ser mutuamente excluyentes pudéndose consderar como un caso partcular de la Regla Especal de la Suma, su expresón matemátca sería: Donde P E C C P E P( E ); es la probabldad del complemento de " E" Supongamos que en el ejemplo anteror se nos ncluya las preguntas: e) Colorada y f) Nnguna azul. e) f) C PC P( C ) P A B D PC P B oc o D P( A ) P B C D ,93 6 0,769 Interpretacón gráfca del problema apoyándonos en un Dagrama de Venn, como se puede observar no hay elementos comunes entre nnguno de los eventos, es decr no hay ntercepcones.

63 Reglas de la Multplcacón: Matemátcamente se defne como la nterseccón de conjuntos y gramatcalmente por la conjuncón copulatva y Regla General de la Multplcacón: Aplca para eventos dependentes. Este tpo de eventos son la consecuenca para que se produzcan las Probabldades Condconales las cuales por su mportanca se le dedcará especal estudo. P (A B) P (A y B) = P(A) x P (B/A) P (A B C) = P A P B P C A B A P (A y B y C) Ejemplo.- En un recpente se ntroducen 6 boltas azules, 7 blancas, 5 coloradas y 8 doradas. S se extraen tres boltas una a una y sn reemplazo; Cuál será la probabldad de que en cada extraccón las boltas salgan de la sguente manera: a) Azul, blanca y colorada?, b) Blanca, dorada y azul?, c) Azul, blanca y dorada?, d) Colorada, colorada y dorada? Y f) Azul, azul, y azul Datos: 6 boltas, 6 azules, 7 blancas, 5 coloradas y 8 doradas Desarrollo: a) P A B A C B A P A B A C B A 0,035 b) P B D B A D B P B D B A D B , 05 c) P A B A D B A P A B A D B A , 035 d) P C C C D C C P C C C D C C 95 0, 003 e) P A A A A A A P A A A A A A 30 0, 0077

64 Regla especal de la multplcacón: Aplca para eventos ndependentes P (A B) P (A y B) = P(A) x P (B) P (A B C) = P A P B P C P (A y B y C) Ejemplo 0.- En un recpente se ntroducen 6 boltas azules, 7 blancas, 5 coloradas y 8 doradas. S se extraen tres boltas una a una y con reemplazo; Cuál será la probabldad de que en cada extraccón las boltas salgan de la sguente manera: a) Azul, blanca y colorada?, b) Blanca, dorada y azul?, c) Azul, blanca y dorada?, d) Colorada, colorada y dorada? Y f) Azul, azul, y azul Datos: 6 boltas, 6 azules, 7 blancas, 5 coloradas y 8 doradas Desarrollo: a) b) c) d) P A B C P A B C P B D A P B D A P A B D P A B C P C C D PC C D ,09 0,09 0,09 0,04 e) P A A A P A A A ,03 Ejemplo 0.- Se lanzan dos dados y una moneda prevamente calbrados para garantzar la pureza del expermento, los dados son uno azul y el otro blanco; Cuál será la probabldad que: a) En el dado azul caga un número par, en el dado blanco un tres y en la moneda el sello? y b) En el dado azul salga un número mayor que el cuatro, en el dado blanco un número menor o gual al tres y en la moneda una cara? Datos: Los ses eventos en un dado azul, los 6 eventos en un dado blanco y los eventos cara y sello de la moneda. Dado azul=a; dado blanco=b y moneda=c Desarrollo: Al ser evento ndependentes ya que lo que ocurra en cualquera de los nstrumentos de expermentacón no tenen ncdenca

65 65 entre uno del otro por lo tanto se aplca la Regla Especal Multplcacón a) P A B C 3 P A B C ,047 b) P A B C 3 P A B C 6 6 0,0833 de la Probabldad Condconal.- La Probabldad Condconal es muy utlzada en el estudo de probabldades, ya que en muchos estudos de las msmas requeren de la utlzacón de crcunstanca adconales. Son térmnos muy usuales en la utlzacón de Probabldades Condconales el s condconal, o dado que P A B P A y B P A B P A y B P B ; o P A A P A P( A) B P B P( B) Ejemplo 0.- en un curso de Estadístca Aplcada de 44 estudantes hay que obtuveron más de 4 puntos en Matemátca Fnancera, 8 más de puntos en Matemátca Instrumental y 5 de los contados anterormente cumpleron con esas notas. S selecconamos aleatoramente uno de esos estudantes y se comprueba que aprobó Matemátca Fnancera con más de 5 puntos, Cuál será la probabldad de que haya aprobado Matemátca Instrumental con más de puntos Datos: estudantes con más de 4 puntos, en Mat. Fn., 8 estudantes con más de puntos en Mat. Inst. y 5 estudantes cumpleron con ambas condcones Desarrollo: Evento A estudantes con más de 4 puntos de Mat. Fnancera, Evento B estudantes con más de puntos en Mat. Instrumental y evento A B estudantes que cumplen con ambas condcones. P A 8 5 ; P B Y P A B P A B A P B A 0, Ejemplo 0.- En una empresa manufacturera dedcada a fabrcar elementos eléctrcos trabajan.50 personas 65 hombres y 498 mujeres. En los últmos años fueron ascenddos 46 trabajadores entre hombres y mujeres (Hombres 64 y mujeres 6). S de manera aleatora selecconamos una persona de esos trabajadores, Cuál será la probabldad de que sea: a) Mujer s se sabe que está entre los ascenddos? y b) hombre s sabe que está entre los no ascenddos?

66 66 Datos: Hombres=65, mujeres=498; ascenddos=46, no ascenddos=74, hombres no ascenddos=388 y mujeres ascenddas=6 Desarrollo: Evento ascenddo=a, Evento no ascenddos=b, evento hombre=c, evento mujer=d, hombres no ascenddos=(b C) y evento mujeres ascenddas=(a D). P(A)=3/575; P(B)=36/575; P(A D)=8/575 y P(B C)=94/575 a) P D A 8 P A D P D P A 3 3 A 7 0, b) P C B 94 P B C D 97 P P B B 8 0, Instrumentos de apoyo a las probabldades Tablas de contngencas: Tablas que se utlzan para clasfcar las observacones de la muestra de acuerdo con dos o más característcas que se puedan dentfcar. Estas tablas dan orgen a las tablas de probabldades y tablas de probabldades condconales, útles en la elaboracón del dagrama del árbol y en la aplcacón para el cálculo del teorema de Bayes. Así msmo es una de las maneras más efectva para estudar las probabldades de acuerdo al enfoque relatvo o empírco. Ejercco Se realzarán los barajos sufcentes a un juego de naípes españoles que consta de 40 cartas, para garantzar la confabldad de las expermentacones. Al extraer una carta del juego de napes se quere conocer la probabldad de que ésta sea: a) Un cnco, b) Un Rey de Copas, c) Un basto, d) Una fgura de Oros, e) Un sete o un As, f) Una Espada o una Fgura y g) S se seleccona un As; Cuál será la probabldad que sea de Oro? TABLA DE CONTINGENCIA DE LOS NAÍPES Palos (As) (Sot) (Cab) (Rey) Total Pntas ( A) (A) (A3) (A4) (A5) (A6) (A7) (A8) (A9) (A0) Bastos (B) 0 Copas (B) 0 Espadas (B3) 0 Oros (B4) 0 Total Fguras (F)= EPO 40 40

67 67 a) Cnco = Evento A. Como no señalan Cuál es el palo del cnco?, se consderan todos los cncos, es decr 4, por lo tanto: 4 P A P A 0, b) Un Rey de Copas = Evento B. Solo exste un Rey de Copas, por lo tanto P B P B 0, c) Basto = Evento C. Como no señalan Cuál es la pnta de la copa?, por lo tanto se consderan todas las copas, es decr 0, por lo tanto: 0 P C P C 0, d) Una fgura de Oro = Evento D. Solo exsten tres fguras de oro por lo tanto: 3 3 P D P C 0, e) Un Sete o un As = Evento E. Al observar la Tabla de Contngenca de los napes españoles vemos que las columnas del Sete y del As no tenen elementos en común, es decr no se nterceptan; por lo tanto se nos presenta la Regla Especal de la Suma, entonces: P E P A A7 PC 0, f) Una Espada o una Fgura = Evento F. Al observar la Tabla de Contngenca de los napesespañoles vemos que la fla de las Espadas tene tres elementos comunes con la columnas de las fguras, es decr se nterceptan en tres elementos; por lo tanto se nos presenta la Regla General de la Suma, entonces: P F P B3 F P C 0, g) Para que salga el Oro se está condconando que tene que ser el As, por lo tanto: P B A 4 A 4 P B A 4 A 4 0, 500 Ejemplo 0.- En una empresa manufacturera dedcada a fabrcar elementos eléctrcos trabajan.50 personas 65 hombres y 498 mujeres. En los últmos años fueron ascenddos 46 trabajadores entre hombres y mujeres (Hombres 64 y mujeres 6). S de manera aleatora selecconamos una persona de esos trabajadores, Cuál será la probabldad de que sea: a) Mujer s se sabe que está entre los ascenddos? y b) hombre s sabe que está entre los no ascenddos? Datos: Hombres=65, mujeres=498; ascenddos=46, no ascenddos=74, hombres no ascenddos=388 y mujeres ascenddas=6 Desarrollo:

68 68 Como podrá observarse es el msmo ejercco 0 del punto referdo a las Probabldades Condconales el cual vamos a resolver aplcando Tablas de Contngencas. TABLA DE CONTINGENCIA Sexo Hombres Mujeres Total Condcón (C) (D) Ascenddo (A) No ascenddo (B) Total a) Para que sea mujer la persona selecconada se condcona a que ésta se encuentre entre las personas ascenddas, por lo tanto: P A D 6 D 7 P D P 0,3803 A P A 46 A 7 b) Para que sea hombre la persona selecconada se condcona a que ésta se encuentre entre las personas no ascenddas, por lo tanto: P C B P B P B C P D B , Dagrama del Árbol: Es una gráfca que se utlza para organzar los cálculos que comprenden varas etapas, cada etapa se representa por ramas las cuales se ponderan por medo de probabldades. Es una herramenta muy efectva para el cálculo de probabldades conjuntas. Tomemos la tabla de contngenca del problema anteror: TABLA DE CONTINGENCIA Sexo Hombres Mujeres Total Condcón (C) (D) Ascenddo (A) No ascenddo (B) Total Con esta tabla de contngenca elaboremos un dagrama del árbol tomando como tronco prmaro la condcón de cada trabajador en cuanto a la mejora obtenda.

69 69 DIAGRAMA DEL ÁRBOL Cond. Ascenddo P A No ascenddo P B P Hombres P C 44 A 7 Mujeres P D 7 A 7 Hombres C 97 B 8 Mujeres P D 84 B 8 P A P C A P A P D A P B P C B P B P D B , 96 0,409 0,3374 0, Teorema de Bayes: Una probabldad condconal a posteror, se obtene partendo de una probabldad a pror ncal basada en un nvel de nformacón en el momento la cual es revsada tomando como sustento nformacón adconal. Es un teorema que permte verfcar las probabldades exstentes en el momento actual basándose en nformacón obtenda por muestreo. Una probabldad a pror es regulada medante evdenca empírca para obtener para obtener una probabldad a posteror, sguendo el sguente esquema: Probabldad a pror P(A) + Esquema Sugerdo Probabldad de Evdenca Empírca P(B/A) Probabldad a posteror P(A/B) Consderemos la Regla General de la Multplcacón y la propedad conmutatva de esta operacón matemátca que establece que el orden de los factores no altera el producto, por lo que: P A P P A B P B A P A P B P B P A P A A B B P B B A Sendo ésta otra manera de expresar la Probabldad Condconal. Tambén sabemos que:

70 70 P B P B P A P B P A... P B P A P B P A A A A A n n n Susttuyendo en y generalzando se tene que: P A B P A P B P A P B P A... P B P A A A A P B A n n A P B n P A P B A P B A P A Esta es la expresón matemátca del Teorema de Bayes Ejemplo.- En la Tabla de Contngenca que se presenta al fnal resume los datos de la fabrcacón de un artículo medante tres máqunas, donde se contablzan la produccón de artículos por cada máquna y la condcón de cada artículo. Se pde: a) Cuál será la probabldad que al selecconar de manera aleatora un artículo defectuoso éste provenga de la Máquna 0? y b) Cuál será la probabldad de que al selecconar de manera aleatora un artículo sn defectos este provenga de la Máquna 0? Estado Equpo Sn Defectos A Defectuoso A Total Máquna 0 B Máquna 0 B Máquna 03 B Total Desarrollo: Del Dagrama del árbol que se encuentra al fnal podemos obtener los valores para aplcar el Teorema de Bayes.

71 7 P B A P B P B A A A A P P B P P B P P B B 3 B B P B A 7 5 P A P B P B B A A A A P P B P P B P P B B 3 B B P B A 9 5 Equpos Máquna 0 P B 4 5 Máquna 0 P B 0 3 Máquna 03 P B Desarrollo: DIAGRAMA DEL ÁRBOL Sn Defectos A 36 P B P A B P B 4 Defectuosos P A B Sn Defectos P A B Defectuosos P A B Sn Defectos P A B Defectuosos P A B 3 8 P B P B P B P B P B 3 P P P P P A A A A B B B B A B , ,3739 0, ,3739 0, 06

72 7 Problemas Resueltos PROBLEMA 0.- Una urna contene tres bolas rojas y sete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escrbr el espaco muestral y hallar la probabldad de: a) Extraer las dos bolas con reemplazamento. b) Sn reemplazamento. PROBLEMA 0.- Se extrae una bola de una urna que contene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, cuál es la probabldad de que la bola sea roja o blanca? Cuál es la probabldad de que no sea blanca? PROBLEMA 03.- En una clase hay 0 alumnas rubas, 0 morenas, cnco alumnos rubos y 0 morenos. Un día assten 44 alumnos, encontrar la probabldad de que el alumno que f alta: a) Sea hombre. b) Sea mujer morena. c) Sea hombre o mujer. PROBLEMA 04.- Un dado está trucado, de f orma que la s probabldades de obtener las dstntas caras son proporconales a los números de estas. Hallar: a) La probabldad de obtener el 6 en un lanzamento.

73 73 b) La probabldad de consegur un número mpar en un lanzamento. PROBLEMA 05.-Se lanzan dos dados al are y se anota la suma de los puntos obtendos. Se pde: a) La probabldad de que salga el 7. b) La probabldad de que el número obtendo sea par. c) La probabldad de que el número obtendo sea múltplo de tre s. PROBLEMA 06.- Se lanzan tres dados. Encontrar la probabldad de que: a) Salga 6 en todos. b) Los puntos obtendos sumen 7. PROBLEMA 07.- Hallar la probabldad de que al levantar unas f chas de domnó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltplo de 4. PROBLEMA 08.- Busca la probabldad de que al echar un dado al are, salga: a) Un número par. b) Un múltplo de tres.

74 74 c) Mayor que cuatro. PROBLEMA 09.- Hallar la pro babldad de que al lanzar al are dos monedas, salgan: a) Dos caras. b) Dos cruces. c) Dos caras y una cruz. PROBLEMA 0.- En un sobre hay 0 papeletas, ocho llevan dbujado un coche las restantes son blancas. Hallar la probabldad de extraer al menos una papeleta con el dbujo de un coche: a) S se saca una papeleta. b) S se extraen dos papeletas. c) S se extraen tres papeletas. PROBLEMA.- Los estudantes A y B tenen respectvamente probabldades / y /5 de suspender un examen. La probabldad de que suspendan el examen smultáneamente es de /0. Determnar la probabldad de que al menos uno de los dos estudantes suspenda el examen.

75 75 PROBLEMA.- Dos hermanos salen de caz a. El prmero mata un promedo de pezas cada 5 dsparos y el segundo una peza cada dsparos. S los dos dsparan al msmo tempo a una msma peza, cuál es la probabldad de que la maten? PROBLEMA 3.- Una clase consta de 0 hombres y 0 mujeres; la mtad de los hombres y la mtad de las mujeres tenen los ojos castaños. Determnar la probabldad de que una persona elegda al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños. Sexo Hombre Mujer B T. Ojos A A Castaños B No Castaños B A 5 30 PROBLEMA 4.- La probabldad de que un hombre vva 0 años es ¼ y la de que su mujer vva 0 años es /3. Se pde calcular la probabldad: a) De que ambos vvan 0 años. b) De que el hombre vva 0 años y su mujer no. c) De que ambos mueran antes de los 0 años. PROBLEMA 5.- En una clase en la que todos practcan algún deporte, el 60% de los alumnos juega al f útbol o al baloncesto y el 0% practca ambos deportes. S además hay un 60% que no juega al f útbol, cuál será la probabldad de que escogdo al azar un alumno de la clase: a) Juegue sólo al f útbol.

76 76 b) Juegue sólo al baloncesto. c) Practque uno solo de los deportes. d) No juegue n al f útbol n al baloncesto. Problemas de Probabldades Condconales PROBLEMA 6.- En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera nglés o f rancés. En un determnado curso, el 90% de los alumnos estuda nglés y el resto f rancés. El 30% de los que estudan nglés son chcos y de los que estudan f rancés son chcos el 40%. El elegdo un alumno al azar, cuál es la probabldad de que sea chca? p(chca) = = 0.69 PROBLEMA 7.- De una baraja de 48 cartas se extrae smultáneamente dos de ellas. Calcular la probabldad de que: a) Las dos sean copas.

77 77 b) Al menos una sea copas. c) Una sea copa y la otra espada PROBLEMA 8.- Ante un examen, un alumno sólo ha estudado 5 de los 5 temas correspondentes a la matera del msmo. Éste se realza en trayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examnado del msmo. Hallar la probabldad de que el alumno pueda elegr en el examen uno de los temas estudados PROBLEMA 9.-Una clase está f ormada por 0 chcos y 0 chcas; la mtad de las chcas y la mtad de los chcos han elegdo f rancés como asgnatura optatva. a) Cuál es la probabldad de que una persona elegda al azar sea chco o estudo f rancés? b) Y la probabldad de que sea chca y no estudé f rancés? PROBLEMA 0.- Un taller sabe que por térmno medo acuden: por la mañana tres automóvles con problemas eléctrcos, ocho con problemas mecán cos y tres con problemas de latoneríaa, y por la tarde dos con problemas eléctrcos, tres con problemas mecáncos y uno con problemas de chapa. a) Hacer una tabla ordenando los datos anterores. Laton. B Prob. Elect. Mecan. T. Ojos A A Mañana B Tarde B 3 6

78 78 A b) Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde. c) Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecáncos. d) Calcular la probabldad de que un automóvl con problemas eléctrcos acuda por la mañana. PROBLEMA.- Una clase consta de 6 nñas y 0 nños. S se escoge un comté de tres al azar, hallar la probabldad de: a) Selecconar tres nños. b) Selecconar exactamente dos n ños y una nña.

79 79 c) Selecconar por lo menos un nño. d) Selecconar exactamente dos nñas y un nño PROBLEMA.- Una caja contene tres monedas. Una moneda es corrente, otra tene dos caras y la otra está cargada de modo que la pro babldad de obtener cara es de /3. Se seleccona una moneda lanzar y se lanza al are. Hallar la probabldad de que salga cara. PROBLEMA 3.- Una urna contene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por d os del otro color. A contnuacón, se extrae una segunda bola. Se pde: a) Probabldad de que la segunda bola sea verde.

80 80 b) Probabldad de que las dos bolas extraídas sean del msmo color. PROBLEMA 4.- En una cudad, el 40% de la poblacón tene cabellos castaños, el 5% tene ojos castaños y el 5% tene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar: a) S tene los cabellos castaños, cuál es la probabldad de que tenga tambén ojos castaños? Cabellos Castaño No Castaño Ojos A A B Cataño B No castaño B A b) S tene ojos castaños, cuál es la probabldad de que no tenga cabellos castaños? c) Cuál es la probabldad de que no tenga cabellos n ojos castaños? PROBLEMA 5.- En un aula hay 00 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan lentes, y 5 son varones y usan lentes. S selecconamos al azar un alumno de dcho curso: a) Cuál es la probabldad de que sea mujer y no use lentes? Sexo Hombres Mujeres

81 8 Lentes A A B Usan B No Usan B A b) S sabemos que el alumno selecconado no usa gaf as, qué probabldad hay de que sea hombre? PROBLEMA 6.- Dsponemos de dos urnas: la urna A contene 6 bolas rojas y 4 bolas blancas, la urna B contene 4 bolas rojas y 8 bolas blancas. Se lanza un dado, s aparece un número menor que 3; nos vamos a la urna A; s el resultado es 3 ó más, nos vamos a la urna B. A contnuacón extraemos una bola. Se pde: a) Probabldad de que la bola sea roja y de la urna B. b) Probabldad de que la bola sea blanca. PROBLEMA 7.- Un estudante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consgue despertarlo en un 80% de los casos. S oye el despertador, la probabldad de que realza el examen es 0.9 y, en caso contraro, de 0.5

82 8 a) S va a realzar el examen, cuál es la probabldad de que haya oído el despertador? b) S no realza el examen, cuál es la probablda d de que no haya oído el despertador? PROBLEMA 8.- Se supone que 5 de cada 00 hombres y 600 de cada 000 mujeres usan gaf as. S el número de mujeres es cuatro veces superor al de hombres, se pde la probabldad de encontrarnos: a) Con una persona sn gaf as. b) Con una mujer con gaf as. PROBLEMA 9.- En una estantería hay 60 novelas y 0 lbros de poesía. Una persona A elge un lbro al azar de la estantería y se lo lleva. A contnuacón otra persona B elge otro lbro al azar a) Cuál es la probabldad de que el lbro selecconado por B sea una novela?

83 83 b) S se sabe que B elgó una novela, cuál es la probabldad de que el lbro selecconado por A sea de poesía? PROBLEMA 30.- En una casa hay tres llaveros A, B y C; el prmero con cnco llaves, el segundo con sete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge a Lázaro llavero y, de él, una llave ntenta abrr el trastero. Se pde: a) Cuál será la probabldad de que se acerte con la llave? b) Cuál será la probabldad de que el llavero escogdo sea el tercero y la llave no abra?

84 84 c) Y s la llave escogda es la correcta, cuál será la probabldad de que pertenezca al prmer llavero A? Capítulo 08 Dstrbucón de Probabldad. Dstrbucón de probabldad: Lsta de todos los resultados de un expermento y la probabldad relaconada con cada uno de ellos. S se observaran las Frecuencas Relatvas en una Dstrbucón de Frecuencas de una poblacón, se podría aceptar que la Dstrbucón de Probabldades guarda relacón con la Dstrbucón de Frecuencas Relatvas. Varable Aleatora: Resultado obtendo al azar de un expermento y que puede asumr dferentes valores. En otras palabras es una funcón de térmnos numércos, cuyo valor está regdo por factores en los cuales ntervene el azar...- Tpos de varable aleatora...- Varable aleatora dscreta: Varable aleatora que puede asumr solamente valores que claramente se puedan contar...- Varable aleatora contnua: Varable aleatora que supone un número nfnto de valores dentro de un rango o ntervalo determnado, es decr puede asumr cualquer valor dentro de ese rango o ntervalo 3. Esperanza matemátca, valor esperado o meda de una dstrbucón de probabldad dscreta: Es un valor típco que se utlza para representar la ubcacón central de una dstrbucón de probabldad, es decr, es un valor esperado de una varable aleatora a través de una meda ponderada de todos los posbles resultados en los cuales lo pesos son las respectvas probabldades de tales resultados. La Esperanza Matemátca o Valor Esperado se obtene de la sguente manera: n x ; es el valor que toma la Varable Aleatora y P x es la probabldad relaconada con ella. x P x 4. Varanza y Desvacón Estándar: La Varanza es un valor que descrbe la cantdad de dspersón o varacón de una dstrbucón cualquera, y la Desvacón Estándar es la raíz cuadrada de la Varanza.

85 85 Varanza: n Desvacón Estándar: x P x Problemas Resueltos Problema 0 De manera aleatora se selecconan las notas de ocho estudantes de Estadístca Instrumental las cuales fueron: Con estos datos se pde desarrollar una Dstrbucón de Probabldades y de allí obtener: a) La Esperanza Matemátca o Valor Esperado, la Varanza y la Desvacón Estándar o Desvacón Típca; b) S selecconamos de manera aleatora una de esas ocho notas; Cuál es la probabldad de que sea:.- Exactamente? y.- No más de? Desarrollo EFA P E EPO x f EFA EFA 09 x P x ESPERANZ A MATEMÁT. x P x VARIANZA EFA 09 0,50,50,40 EFA 0,50,750 0,035 EFA 0,375 4,500 0,46 5 EPO 8 5 0,5,875,643 x P x DESVIAC. ESTÁND. 3,34,00,375 3,34,798 b) Evento B Exactamente gual a y Evento C no más de P B 0,375 ; y c) P C 0,5 0, 5 P C 0,50 Problema 0.- Una moneda prevamente calbrada se lanza 5 veces. Se pde: a) Desarrollar una Dstrbucón de Probabldades, y Calcular la Esperanza Matemátca o Valor Esperado, la Varanza y la Desvacón Estándar o Desvacón Típca, b) Cuál será la probabldad que cagan exactamente caras? y c) Cuál es la probabldad de que caga no menos de 4 caras?

86 86 Desarrollo x f 0 EFA P E EPO EPO EPO EFA EFA 0 5 ; 3 x P x a) ESPERANZ A MATEMÁT. x P x VARIANZA x P x DESVIAC. ESTÁND EFA 0 0,035 0,000 0,95 EFA 0,565 0,563 0,35 EFA 0,350 0,650 0,078 3 EFA 3 0,350 0,9375 0,078 4 EFA 4 0,565 0,650 0,35 5 EPO 3 5 0,035 0,56 0,95,5,00,500,50,8 b) Evento B Exactamente y Evento no menos de 4 P B 0,35 ; y c) P C 0,565 0, 035 P C 0,875 Problema 03.- Al fnal se presentan tres dstrbucones dferentes. Dga: Cuál de las tres es una Dstrbucón de Probabldades? S alguna de ella resultarse ser de probabldades calcular la Esperanza Matemátca, la Varanza y la Desvacón Típca x P(x ) x P(x ) x P(x ) 0,0 0,8 0,4 3 0,5 4 0,8 4-0,0 5 0,8 6 0,0 6 0,38 7 0,36 8 0,34 9 0,40 Desarrollo Las probabldades de la prmera suma 0,99; la segunda (Uno) con todos valores postvos y la tercera (Uno) pero con un valor negatvo, como los valores probables de un espaco muestral deben sumar (Uno) con todos los valores postvos, se concluye que: la Dstrbucón de Probabldades es la segunda.

87 87 ESPERANZA MATEMÁT. VARIANZA DESVIAC. ESTÁND. x P x x P x x P x 0,8 0,36,08 4 0,8, 0, ,0,0 0,07 8 0,34,7,98 5,00 5, 400 5,000,36 Problema 04.- Pedro Irarte vende carros usados en la empresa de su propedad Inversones Irarte C. A. Por lo general Pedro vende la mayor cantdad de automóvles el jueves. Él desarrolló para la venta de automóvles en los días jueves de un año cualquera la sguente Dstrbucón de Probabldades: Cantdad de Carros Venddos (x ) Probabldades P(x ) 0 0,5 0,35 0,30 3 0,0 4 0,0 Total,00 a) Qué tpo de Dstrbucón es? b) Cuántos carros espera vender Pedro un jueves normal? c) Cuál será la Varanza y la Dstrbucón Estándar de la dstrbucón? Solucón a) Es una Dstrbucón de Varable Aleatora Dscreta, ya que los carros son elementos claramente contables usando valores enteros postvos. b) Pedro esperaría vender en un jueves normal c) Matemátca es, 65. carros, ya que la Esperanza

88 88 ESPERANZA MATEMÁT. VARIANZA DESVIAC. ESTÁND. x P x x P x x P x 0 0,5 0,00 0,408 0,35 0,35 0,48 0,30 0,60 0, ,0 0,30 0,8,37 4 0,0 0,40 0,55,00, 65,37,5 Capítulo 09 Dstrbucón de Probabldades de Varables Aleatoras Dscretas Especales. Dstrbucón de Probabldades Bnomal Hablar de bnomal en Dstrbucón de Varable Dscreta es hablar de solo dos eventos, que pueden ser agrupados en dos clases o categorías, por lo tanto los datos son nomnales. Las categorías o clases deben ser mutuamente excluyentes, de manera que sea emnente establecer a que clase pertenece una observacón en partcular, por lo que las clases deben ser colectvamente exhaustvas, lo cual garantza que los resultados no camben, por lo tanto se concluye que una Dstrbucón de Probabldad Bnomal: Es una dstrbucón de varable aleatora dscreta donde exste un número fjo de ensayos repetdos (n) y donde cada uno al expermentarlos concluye en sólo uno de dos resultados mutuamente excluyentes, favorables (éxto) o desfavorable (fracaso); el resultado de éxto de un evento es fjo, los ensayos se realzan con reemplazo, sendo ndependentes, nteresándonos el número de éxto en n pruebas Ejemplo de varables aleatoras que se podrían consderar como bnomales: repuestas de verdadero o falso de una evaluacón, clasfcacón de los resultados de un examen entre aprobados y aplazados, productos observados con defectos o sn defectos, el resultado de una materndad varón o hembra, son algunas de las consderacones de la nfntas stuacones bnomales que se puedan presentar. Manera de calcular la probabldad de este dstrbucón;

89 89 n P x p q p q x x n x x n x n x Valor esperado: = ; Varanza: = Operacón de combnacón = Número de ensayos o pruebas = Varable aleatora defnda como el número de éxto al que se le va a calcular la probabldad de su ocurrenca = Proporcón que establece la probabldad de éxto en cada ensayo o prueba = Proporcón que establece la probabldad de fracaso en cada ensayo o prueba. q p De lo anteror se concluye que: p q p q Esperanza Matemátca o Valor Esperado: Varanza: q npq np Desvacón Estándar o Desvacón Típca: q npq Problemas Resueltos Problema 0.-Suponga que el 38% de las empanadas que vende en las noches la señora Yadra Gudño que se ubca a meda cuadra del IUGT son vegetaranas. S aleatoramente selecconamos 7 de sus clentes; Cuál será la Probabldad de que: a) Todos las queran vegetaranas? y b) No más de uno la quera vegetaranas? Solucón Datos: p=0,38 q=0,6; n=7. Fórmulas: a. b. P x P x x n x P x n x p q 7 0,38 0, P(x=7)=0,386 0 ó 0,38 0, 6 0,38 0, 6 0, 035 0,5 0, P(x= ó )=0,863 Problema 0.- Realzado un estudo de las calfcacones obtendas en las evaluacones por los estudantes de Estadístca Instrumental del Profesor Scott en el período de clases 03-N, se concluyó que aprobaron la matera el 6%. S de manera aleatora se selecconan 6 de esos estudantes; Cuál será la probabldad de qué: a) Exactamente hayan aprobado la matera? b) Exactamente 3 ó 4 hayan aprobado la matera? c) No menos o al menos hayan aproado la matera? y d) Calcular la Esperanza Matemátca o Valor Esperado, la Varanza y la Desvacón Típca o Desvacón Estándar

90 90 Datos p q n Fórmulas P p q np npq n : 0,6; 0,38; 6; : n ; ; ; npq Desarrollo : a) Para P 0, 6 0, , 6 0,38 0, 66 0,3 6 P 0,0 b) Para 3 ó 4, P 3 ó 4 P 3 P 4 0, 6 0, P 3 ó 4 0, c) Para al menos,...,5 ó 6 P,...,5 ó 6 P P 3 P 4 P 5 P 6 0, 6 0,38 0, 6 0,38 0, 6 0, , 6 0,38 0, 6 0,38 0,0 0, 66 0,30 0, 089 0, P,...,5 ó 6 0, 9676 Por complemento sería : P,...,5 ó 6 P 0 ó P x 0 P 0, 6 0,38 0, 6 0,38 0, , P,...,5 ó 6 0,9676 d ) 0, 6 6 ; 0,38 3, 7 ;, 4 3, 7, , 889 Para calcular probabldades de Dstrbucón Bnomal se utlza su fórmula de manera drecta sobre cada problema o tablas las cuales provenen de la aplcacón de la referda fórmula para los dversos casos posbles. Sn embargo s se aplca de manera acertada la fórmula resulta más práctca la utlzacón de la msma en la solucón de problemas para calcular este tpo de probabldades.. Dstrbucón de probabldades Hpergeométrca S tomamos un conjunto de N elementos que pueden ser ndvduos u objetos y que una parte S de ellos tenen una determnada característca sendo esa parte la que vamos a tomar como elementos base para el cálculo de probabldades, y s de ese conjunto de N elementos consderamos un subconjunto n de esos elementos debemos ntur que una parte x de ellos tambén obedecen a esa determnada característca, y es la probabldad sobre la ocurrenca de x la que vamos a estudar. La stuacón planteada en estos térmnos nos lleva a un tpo de dstrbucón de varable dscreta a la cual se le ha asgnado el nombre de Dstrbucón Hpergeométrca y la defnmos como: Una dstrbucón de varable dscreta asocada generalmente con un proceso de muestreo sn reemplazo o sn reposcón en una poblacón fnta conocda que contene una proporcón relatvamente grande (0,05 N < n) de esa poblacón, de tal manera que la probabldad de éxto sea perceptble alterada de una prueba a la sguente, lo que hace que el resultado de un ensayo dependa del anteror.

91 9 N S S P x n x x N n P x S x N S n x N n Valor Esperado: Varanza: Desvacón Estándar o Típca: ns N S N n N N N: Tamaño del conjunto selecconado para el estudo n: Tamaño de la muestra o subconjunto tomado del conjunto x: Probabldad de éxto en cada ensayo o prueba S: Tamaño de la parte del conjunto favorable o extoso Problema Resuelto Problema 0 Se va a selecconar una comsón de 5 estudantes en una nsttucón educatva que tene una matrícula de 47 estudantes para hacer una evaluacón avanzada del sstema educatvo del país y presentar una ponenca a objeto de mejorarla. S en esa matrcula están ncorporadas 63 mujeres; Cuál será la probabldad de qué en la referda comsón sean selecconadas: a) Exactamente mujeres? b) Entre7 ó 0 mujeres nclusve? y c) Calcular la Esperanza Matemátca o Valor Esperado, la Varanza y la Desvacón Típca o Desvacón Estándar. Datos : N 47; S 63; n 5; Fórmulas : P ; ns ns N S N n ns N S N n ; ; N N N N N Desarrollo : S N S n N n a) Para P P P 0, 0470 b) Entre 7ó 0 mujeres nclusve 7,8,9 ó 0 P 7,...,0 P 7 P 8 P 9 P 0 P 7,...,

92 9 P 9 P 0 P 7,..., P ,...,0 0,3655 0,50 0,3 0, , 0337 Datos : N 47; S 63; n 5; Fórmulas : P ; ns ns N S N n ns N S N n ; ; N N N N N Desarrollo : S N S n N n a) Para P P b) Entre 7ó 0 mujeres nclusve P 0, ,8,9 ó 0 P 7,...,0 P 7 P 8 P 9 P 0 P 7,..., P ,...,0 0,3655 0,50 0,3 0, , c) 5,76 ; , 09 47, , Dstrbucón de probabldades de Posson Es una dstrbucón de probabldades dscreta que descrbe el número de veces que ocurre un evento durante un ntervalo especfco, el cual puede ser de tempo, dstanca, área o volumen. P x x x! e Valor esperado: Varanza: Desvacón Estándar Típca: q npq

93 93 = Número de ocurrencas extosas de la medda en un ntervalo especfco. e=,788; número base de los logartmo neperanos x= número de éxtos. Problema Resuelto Problema.- El número de accdentes que se producen en una empresa manufacturera sgue una dstrbucón de Posson con una meda de,6 accdentes por mes. Cuál será la probabldad de qué: a) Menos de accdentes en un mes dado? y b) Más de 3 accdentes en un mes dado? Datos :,6 accdentes por mes; Fórmulas : P e! a) Menos de accdentes daros 0, ó P 0, ó P 0 P P 0,6,6,6,6,6,6 e e e 0, ,934 0, 50 0!!! P 0, ó 0,587 b) Más de 3 accdentes daros 4,5,...; por complemento sería : P 4,5...,6,6,6,6 P 0,, ó3 e e e e 0!!! 3! 0 3,6,6,6,6 0, , 50 0, 76 P 4,5... 0, 637 Capítulo 0 Dstrbucones de Probabldades de Varables Aleatoras Contnúas.- Dstrbucón de Probabldad Unforme: Es el valor que asume una varable aleatora en una escala contnua entre dos puntos, de tal manera que todos los valores tengan la msma probabldad. Su gráfca se puede representar como un rectángulo lmtado por dos puntos extremos a y b los cuales se consttuyen en el ntervalo de los resultados pesebres. La altura del rectángulo se consdera gual a la undad y el área del msmo se puede consderar gual al 00%. En consecuenca, el área bajo el rectángulo entre dos puntos cualesquera c y d, es gual al porcentaje del ntervalo total ncludo entren c y d, por lo que: d c P c x d b a Gráfca La Meda: a b, La Varanza: b a

94 94 f(x) 0 a P(x) c d b Ejercco.- Las ventas de calzados en una tenda de ropas para caballeros tenen una demanda meda dara de Bs y un máxmo de Bs Suponer que para el cálculo es apropada usar la Dstrbucón Unforme; a( Determnar las ventas mínmas daras y b) Cuál será la probabldad de días en que la demanda excederá en Bs ? Datos: µ = 5.000; b = y k Desarrollo: a) a b a b) P x P x , Dstrbucones de Probabldad Normal: Una dstrbucón normal la defne las característcas que muestra su gráfca, la cual presenta una forma de campana que tene una sola cma o vértce en el centro de la gráfca de la dstrbucón, por donde pasa un eje vertcal que la dvde en dos partes guales para apoyarse en un punto sobre el eje horzontal que lo defne la meda. Esta condcón la hace smétrca y estas partes se expanden o caen a ambos lados llegando a estar nfntamente cerca del eje horzontal por lo cual es una gráfca asntótca; la dstrbucón normal se determna a través de la meda, µ y la dspersón, varacón o extensón por medo de la desvacón estándar..- Dstrbucón Normal Estándar Z : No exste solo una dstrbucón de probabldad normal, sno una famla de ellas. Cada stuacón en partcular presenta su propa dstrbucón normal, lo cual dfculta su uso. Sn embargo y por fortuna un membro de la famla puede utlzarse para determnar las probabldades de todas las dstrbucones normales, la que conocemos con el nombre de Dstrbucón Normal Estándar la cual es únca ya que se defne como: La dstrbucón normal que presenta una meda de 0 y una desvacón estándar de Cualquer dstrbucón normal puede llevarse a una dstrbucón normal estándar a través del Valor Tpfcado de Z o Varacón Normal Estándar; el cual se defne como el numero de desvacones estándar a los que una observacón está por encma o por debajo de la meda es decr mde la dstanca entre un valor selecconado x y la meda artmétca ( x ) dvdda entre la desvacón estándar, σ La razón de utlzar una campana (Gauss) con las característcas señaladas en la gráfca (grafca de una dstrbucón contnua estándar normal) para el cálculo de probabldades de una dstrbucón contnua estrba en que el área encerrada por su gráfca se corresponde con una gran aproxmacón a la correspondente probabldad. El área total de la curva es gual a, dstrbuda en mtades smétrcas de 0,5. el área gual a concde con el espaco muestral que es gual a de todos los eventos posbles de un expermento.

95 95 Ilustracón de la gráfca de una desvacón estándar normal. 0,5 0,5 - Z +Z Z=0, para µ y σ= Cola Izquerda Cola Derecha Eje de Smetría=V

96 96 Valor Tpfcado de z o Desvacón Estándar Normal y Tabla Orentadora para obtener las probabldades de la Dstrbucón Normal nterpretando la meda Campana de Gauss z x GRÁFICA EN LA CAMPANA DE GAUSS PROBABILIDAD SOLICITADA PARÁMETRO RESPECTO A LA MEDIA POBLACIONAL SIGNO DE Z OBTENCIÓN DEL ÁREA EN LA TABLA DE Z Un solo acotamento (<a; >a) P a a Z A 0,5 A a P a a Z A 0,5 A a P a a Z A 0,5 A a P a a Z A 0,5 A a Doble acotamento (a<<b; <a ó >b) P a b a b Z y Z ; A Ab A a a b P a b a b Z y Z ; A Ab A a a b P a a b Z A A a P b a b Z A A b P a b a b Z y Z ; A Aa A b a b P a ó P b a b Z y Z ; A Aa Ab a b

97 97 Problemas Resueltos Problema 0.-Suponendo que la varable aleatora Z sgue una Dstrbucón Normal Estándar; se pde hallar: a) P (Z<-,53), b) P (Z<,5), c) P (-,53<Z<,5), d) P (,5<Z<,6) a) a) P(Z<-,53)=0,5-0,4370 P(Z<-;53)=0,0630 b) b) P(Z<,5)=0,5+0,3749 P(<,5)=0,8749 c) c) P(,53<Z<,5)= 0,4370+0,3749 P(-,53<Z<,5)=0,89 d) P(,5<Z<,6)=0,4846-0,3749 P(,6<Z<,6)=0,097 d) Problema 0Una determnada marca de cauchos tene desgaste que sgue una Dstrbucón Normal que tene una de duracón promedo de klómetros y una Desvacón Estándar de klómetros; Cuál será la probabldad de que: a) Estos cauchos tengan una duracón de más de klómetros? y b) Estos cauchos tengan una duracón que oscle entre y klómetros?

98 98 Datos: µ = ; σ = Fórmula: Z a.- P(38.000<) = 0,66 Z , A = 0,5 0,734 = 0,66 b.-p(3.000<<3.000) = 0,5468 Z Z , ,75 A =0,734+0,734 = 0, Aproxmacón de la Dstrbucón Normal a la Bnomal: Para calcular el éxto o el fracaso de una sere de n ensayos de una dstrbucón bnomal recurrmos a su fórmula o su respectva tabla; sn embargo s n es demasado grande, que exceda a los confnes de cualquer tabla, debemos r a la aplcacón de una fórmula lo cual resulta altamente engorrosa, y es por ello que se dseñó el método alternatvo de usar la dstrbucón normal para aproxmarse a la dstrbucón bnomal. Esta aproxmacón se consdera lo sufcente precsa s y S está próxmo a 0,50, valor que se toma como factor de correccón de contnudad, f.c.c. = 0,5 y se defne como el valor de 0,5 restado o sumado, según sea el caso, a un valor selecconado cuando una Dstrbucón de Probabldades Bnomal (dscreta) se calcula por medo de una Dstrbucón de Probabldad Normal (contnua) Manera de aplcar el f.c.c.

99 99 No. Probabldad Vocablo Forma Probabldad De que al menos ocurra ( x 0,5 ) Consderac ón Ya que > Probabldad De que a lo más que ocurra ( x + 0,5 ) Ya que < 3 Probabldad De que por lo menos ocurra ( x 0,5 ) Ya que < 4 Probabldad De que por lo más ocurra ( x + 0,5 ) Ya que > Problema.- Se sabe que el 0% de todos los artículos que salen de un determnado proceso de produccón tenen un defecto. Aleatoramente se elgen 400 artículos de un elevado volumen de produccón en un día; Cuál es la probabldad de que: a) Al menos 35 de los artículos selecconados presenten un defecto? y b) De que exactamente 48 presenten algún defecto? Datos : p 0,0; q 0,90; n 400; Fórmulas : np; npq; ; Z 0, ; 0, ; C a ) P 35 0,8 c 35 0,5 34,5 34,5 40 Z 0,9 A = 0, ,3 = 0,8 6 b ) P 35 0,8 c 48 0,5 47,5 47,5 40 Z, ,5 48,5 c A = 0,4 0,3944 = Z 48,5 40,4 6 Problemas propuestos para los Capítulos tratados en el Título III Problema 0.- Defnr el espaco muestral en los sguentes expermentos: a) Lanzar un dado prevamente calbrado. b) Lanzar tres monedas y ver la manera como caen respecto a las caras, c) Famla con tres hjos respecto al sexo, d) Lanzar dos dados prevamente calbrado y e) Al extraer dos boltas que contene: 4 azules, 3 blancas y coloradas.

100 00 Problema 0.- Al lanzar un dado prevamente calbrado, cuál es la probabldad de que aparezca en su cara superor: a) Un valor par y b) Un número mayor que dos? Problema 03.- Al lanzar dos dados prevamente calbrados, cuál será la probabldad de que salgan en su caída valores tales que al sumarlos den como resultado: a) Exactamente 3. b) Mayor que 4. c) Menor o gual a 9 y d) Un múltplo de 3? Problema 04.- Se tenen tres lápz cuadrado, (azul, blanco y colorado) cuyos lados están numerados del al 4, determnando el respectvo espaco muestral se pde obtener la probabldad de que: a) Una de las caras expuestas presente exactamente el número. b) Dos de las caras expuesta presenten el número y c) Las tres caras sea el número. Problema 05.- Se ntroducen en una caja, 4 boltas azules, 6 blancas, 5 coloradas y 8 doradas, cuál es la probabldad de ganar o perder, s las premadas son las azules y las doradas? Problema 06.- Se tene un juego de napes españoles lo sufcentemente barajados, cuál es la probabldad de que al extraer del mazo una carta ésta sea: a) Un as o un rey. b) Una espada o una sota. c) Un cnco de copa o un oro y d) Una fgura o un basto? Problema 07.-Una agenca de vaje con el fn de promover el tursmo abre un plan vacaconal para 90 personas para que vsten a Canama y a Los Roques, 44 reservaron cupo con pasaje ncludo para r a Los Roques, 46 a Canama y 30 a ambos lugares. S de manera aleatora selecconamos una persona, cuál es la probabldad de que vaje a Los Roques o a Canama? Problema 08.-Se tenen dos juegos de napes españoles, calcular las sguentes probabldades al extraer dos barajas de manera conjuntas una de un juego y la otra del otro juego: a) Qué las dos sean reyes? b) Qué sean una sota y un basto? y c) Qué sean un caballo de oro o una espada. Problema 09.- Se lanzan dos monedas y dos dados prevamente calbrados, cuál es la probabldad de caga cara-sello y un múltplo de 3 al sumar los dos números de las caras superores de los dados? Problema 0.- Se tene un juego de napes españoles y se realzan tres extraccones sn reposcón o sn reemplazo estudar, cuál es la probabldad de que en los expermentos sguentes se extraga: a) Un rey y una sota y un as. b) Un caballo y un sete y un caballo. c) Un as de oro y un oro y ses de copa o de basto y d) Un oro y una espada y un rey de copas. Problema.-En una caja se ntroducen 4 boltas azules, 5 blancas y 6 coloradas y se realzan de la caja tres extraccones sn reposcón o sn reemplazo, calcular la probabldad en los expermentos sguentes: a) De que salga una bolta blanca y una azul y una blanca. b) Todas coloradas. c) Una colorada y colorada y azul y d) Colorada y blanca y azul. Problema.- En una caja se ntroducen 4 boltas azules, 3 blancas y coloradas, s extraemos de la caja dos boltas, Cuál es la probabldad de que sean: a) Del msmo color. b) Las dos azules. c) Una blanca y la otra colorada y d) Una azul y la otra colorada? Problema 3.- En una caja se ntroducen las msmas boltas del problema anteror, s se extraen de la caja tres boltas, cuál es la probabldad de que sean: a) Del msmo color. b) Dos azules y una blanca. c) Una azul y dos coloradas y d) todas azules. Problema 4.- En una caja se ntroducen 9 boltas azules y 6 blancas, s de la caja extraemos 3 boltas, cuál es la probabldad de que sean: a) De gual color. b) De colores dferentes. c) Dos azules y d) Dos blancas. Problema 5.- Un juego de napes españoles consta de 40 barajas y lo vamos a dvdr de manera arbtrara en dos partes guales. Determnar las probabldades de los eventos sguentes: a) Cada

101 0 parte contenga dos caballos. b) Una parte no contene nngún caballo, la otra parte contene 4 caballos y c) Una parte contene un caballo, la otra parte contene 3 caballos. Problema 6.- En el torneo de baloncesto profesonal local partcpan 0 equpos, de los cuales al azar se forman dos grupos de 5 equpos cada uno. Entre los equpos se consderan 3 de de mayor caldad. Determnar las probabldades de los sguentes eventos: a) Los equpos consderados de mayor caldad se encuentran en el msmo grupo y b) En un grupo se encuentran de mayor categoría y en el otro. Problema 7.- Un profesor lanza dos dados sobre una mesa, observa los números que saleron y los tapa con la mano para que sus alumnos no los vean, y les formula las preguntas sguentes: a) Probabldad que uno de los dados muestre un ses o un dos y b) Suponendo que el profesor les djo a los estudantes que en uno de los dados saló el dos, probabldad que el otro dado muestre el ses. Problema 8.- En un grupo de 5 estudantes del I.U.G.T. hay nueve que vajan a Valenca todos los vernes y ses a Maracay y cuatro a ambas cudades (ncludos entre los anterores). S selecconamos un estudante al azar y se comprueba que vaja a Maracay, Cuál es la probabldad de que tambén vaje a Valenca? Problema 9.- Se realzó un estudo sobre el consumo de café en el área metropoltana y se selecconaron de manera aleatora 300 personas consumdoras del producto para ser encuestadas. Al recbr el materal del estudo realzado éste estaba ncompleto, sn embargo con la nformacón obtenda se puede completar la tabla de datos, (Tabla ncompleta al fnal). Se pde: A.- a) Completar la Tabla de Contngenca. b) Elaborar la respectva Tabla de Probabldades c) Elaborar las Tablas de Probabldades Condconales y d) Elaborar un dagrama del árbol. B.- S de manera aleatora se seleccona un consumdor, cuál es la probabldad: a) De que éste tenga entre 40 y 50 años? b) De que tenga un consumo moderado de café? c)de que tenga un consumo bajo de café y su edad sea menor de 30 años? d) De que tenga un consumo alto de café y cuya edad esté comprendda entre los 30 y 40 años e) Consumdor moderado de café ó que su edad sea menor de 30 años y f) Consumdor bajo o alto de café C.- Responder: a) Cuál será la probabldad de selecconar un consumdor de café que lo consuma moderadamente s tene más de 50 años? y b) Cuál será la probabldad de selecconar un consumdor de café cuya edad esté entre 40 y 50 s lo consume de manera alta? Consumo de café Bajo Moderado Alto Total Edad (Años) (B ) (B ) (B 3) Menos de 30 (A ) De 30 a 40 (A ) 75 De 40 a 50 (A 3) 4 0 Más de 50 (A 4) Total Problema 0.- Se consultaron las opnones de 500 economstas que laboran en la academa, la ndustra prvada y el sector públco sobre el futuro de la economía del país, s ésta sería estable, se expandría ó se contraería en un futuro próxmo. Sn embargo parte de la nformacón se extravó, resultando la sguente tabla de contngenca parcal:

102 0 Economstas Estable Expansón Contraccón Total Sector (B ) (B ) (B 3) Academa (A ) 5 00 Sec. Prvado (A ) 35 0 Sec. Públco (A 3) Total 00 Se pde: A.- a) Completar la Tabla de Contngenca. b) Elaborar la Tabla de Probabldades. c) Elaborar las Tablas de Probabldades Condconales y d) Desarrollar el Dagrama del Árbol. B.- S de manera aleatora selecconamos un economsta, cuál es la probabldad de que éste sea.: a) Del sector prvado? b) Que opne que la economía se va a contraer? c) Del sector públco y que opne que va a ver expansón en la economía? d) Del sector públco ó del sector académco? y e) De la opnón que la economía va estar estable ó es del sector prvado?. C.- Responder: a) Cuál es la probabldad de que la opnón sea de que la economía se expande s esta opnón provene del sector públco? Y b) Cuál es la probabldad que una opnón provenga del sector académco s se opna que la economía se contrae? Problema.- El equpo de bésbol profesonal Leones del Caracas, juega el 70,00% de sus partdos por la noche y el 30,00 durante le día; ganando el 60,00% de los juegos nocturnos y el 70,00% de los juegos durnos. Según las págnas deportvas de los peródcos ganaron el partdo de ayer; cuál es la probabldad de que el partdo jugado haya sdo nocturno? Problema.- Una cuarta parte de los resdentes de la Urbanzacón Las Abejtas de San Juan de los Morros dejan la puertas de sus garajes abertas no estando en casa. El vglante de la entrada a la urbanzacón estma que el 5% de las casa con garajes con las puertas abertas son robados y el % de las casas con los garajes de puertas cerradas. S hay un robo en un garaje; cuál es la probabldad de que el garaje robado haya tendo la puerta aberta? Problema 3.- Se lanzan 3 monedas sobre una mesa, tomando como referenca como cae respecto a cara, se pde: a) Estructurar una Dstrbucón de probabldades. b) Obtener la Esperanza Matemátcas ó Valor Esperado y c) Calcular la Varanza y la Desvacón Estándar ó Desvacón Típca. Problema 4.- Un dado se lanza 50 veces, donde cada cara cayó como se muestra: Cara Veces Se pde: a) Crear una Tabla de Dstrbucón de Probabldades. b) Obtener la Esperanza Matemátca y c) Calcular la Desvacón Estándar. Problema 5.-Pedro Martínez vende automóvles para una agenca concesonara. Pedro vende el mayor número de vehículos los días sábados y obtene la Dstrbucón de Probabldad para el número de automóvles que espera vender un día Sábado en partcular: Vehículos venddos Probabldad: P(x) 0, 0, 0,3 0,3 0, a) Qué tpo de dstrbucón es ésta? b) Cuántos automóvles espera vender Pedro en un Sábado típco c) Cuál es la Varanza y la Desvacón Estándar de la dstrbucón? Problema 6.- De las tres tablas que se presentan al fnal sendo de varables aleatora solo una responde a una Dstrbucón de Probabldad. a) Identfcar la que responde a una Dstrbucón de Probabldad y explcar el por qué? De su respuesta y b) Obtener de la verdadera Dstrbucón de Probabldad, su Esperanza Matemátca o Valor Esperado, su Varanza y su Desvacón Estándar. Cuadro 0 Cuadro 0 Cuadro 03 x x x

103 03 P(x) 0,3 0,3 0, 0,4 P(x) 0, 0,3 0, 0,4 P(x) 0,5 0,3-0, 0,4 Problema 7.- El servco de correspondenca de un banco nforma que el 85% de los documentos envados dentro el área metropoltana se entregan en un período de 3 días a partr del momento en que se envían. Se envaron 7 cartas de manera aleatora a dferentes partes de la cudad. Cuál será la probabldad de que: a) Exactamente 7 lleguen en tres días? b) Exactamente 5 lleguen en tres días? c) Al menos 5 lleguen en tres días? d) A lo sumo 4 lleguen en tres días? y e) Calcular la Esperanza Matemátca o Valor Esperado, la Varanza y la Desvacón Estándar del número de documentos envados que llegarán en un plazo de tres días. Problema 8.- Las normas de garantías establecda por la ndustra automotrz sugere que 0% de los nuevos vehículos se les dé un plazo de garantía de año y medo. Una agenca de ventas de vehículos del área metropoltana el día sábado vendó 9 vehículos los cuales están dentro de cualquer tpo de garantías. Cuál es la probabldad de que: a) Nnguno de los vehículos venddos tengan garantía de año y medo? b) Exactamente uno tengan esta garantía? c) Menos de cuatro la requeran? d) Cuatro o más la requeran y e) Calcular la Esperanza Matemátca, Meda o Valor Esperado; La Varanza y la Desvacón Típca o Estándar de esta dstrbucón. Problema 9.- Sólo el 0% de los empleados de la poblacón cvl que presta sus servcos en una base mltar portan su carnet de dentfcacón personal. S llegan dez empleados, cuál es la probabldad de el guarda de segurdad encuentre: a) Ocho empleados con carnet? b) Cuatro empleados con carnet? c) Por lo menos cuatro con carnet? d) A lo sumo 5 empleados con carnet y e) Entre cuatro y sete empleados nclusve con carnet? Problema 30.- Resolver el problema anteror pero partendo de la base que sólo el 55% de los empleados portan el carnet. Problema.- 3 Al Jefe de Recursos Humanos de una empresa comercalzadora de materas prmas, la Gerenca General lo autorzó par que contrataran personas entre 35, de las cuales 4 tenen títulos unverstaros. Cuál es la probabldad de que 7 de las personas que se contraten tengan un título unverstaro? Problema 3.- Cuarenta trabajadores han recbdo para su ofcna nuevos computadores. Ventsete trajeron ncorporados quemadores de C.D. S se selecconan de manera aleatora 0 trabajadores; cuál es la de probabldad de que el equpo de computacón de 3 trabajadores tengan quemador de C.D.? y la probabldad de que el equpo de 7 no lo tengan? Problema 33.- En un curso de Estadístca Instrumental que tene una matrícula de 7 estudantes se resuelve nombrar un equpo ntegrado por 7 estudantes para que evalúe unas guías teórcas que contenen los concepto que van a ser base de los exámenes parcales. S el curso posee 46 mujeres; cuál es la probabldad de que 5 mujeres ntegren el equpo a nombrar? Y 3 hombres? Problema 34.- Un promedo 6 automóvles cada dos mnutos ngresan a la parroqua Coche desde la autopsta vnendo del centro de la cudad. La dstrbucón de ngreso responde a una Dstrbucón de Posson. Cuál es la probabldad de que: a) Nngún automóvl ngrese en 30 segundos? y b) Por lo menos ngresen en un mnuto? Problema 35.- La central telefónca del I.U.G.T. atende un promedo de dos llamadas telefóncas por mnuto y se sabe que sgue una Dstrbucón de Posson. S la operadora se dstrae por un mnuto; cuál es la probabldad de que: a) El número de llamadas no responddas sea nnguna? b) Por lo menos una? Y c) Entre 3 y 5 nclusve? Problema 36.- En el problema anteror suponga que la operadora se dstrae por cuatro mnutos, responder las msmas preguntas.

104 04 Problema 37.- Repuestos Pernía C.A. compra repuestos para motores de arranque a uno de sus proveedores que presentan defectos de 3 por cada 00 repuestos. Saúl Pernía el dueño, necesta comprar 50 repuestos pero no aceptará una probabldad de más del 50% de que más de dos repuestos sean defectuosos. Saúl Pernía le compraría a dcho proveedor? Problema 38.- El peso medo de las cajas de frutas de un gran cargamento es de 5 Kgs., con una desvacón estándar de,6 Kgs.; s sus pesos están dstrbudos normalmente, Qué porcentaje tendrá un peso: a) Entre 5 y8 Kgs.,b) Entre 7y 9 Kgs., c) Menos de 3 Kgs., d) Menos de 6 Kgs. y e) Entre 4 y 7 Kgs. Problema 39.- Una dstrbucón normal tene una meda de 50 y una desvacón estándar de 4. Se pde calcular la probabldad de un valor: a) Entre 44 y 55, b) Mayor que 55 y c) Entre 5 y 55. Problema 40.- Una poblacón normal tene una meda de 80 y una desvacón estándar de 4. Se pde calcular la probabldad de un valor: a) Entre 75 y 90, b) 75 o menos y c) Entre 55 y 70. Problema 4.- Una máquna expendedora de refrescos está ajustada para servr un promedo de 50 gramos por vaso, con una desvacón estándar de 3,57. La dstrbucón de cantdades servdas sgue una dstrbucón normal. Se pde calcular la probabldad de que la máquna srva: a) Entre 53,57 y 58,93 gramos, b) 58,93 o más gramos y c) Entre 4,86 y 58,93 gramos. Problema 4.- Un número recente de una revsta especalzada sugró que las parejas que están planeando su boda saben que dos terceras partes de las personas que se les envía una nvtacón respondan que s asstrán. Pedro y María tenen planeado casarse más adelante este año y pensan envar 97 nvtacones. Responder: a) Cuántos nvtados deben esperar que esperen la nvtacón?, b) Cuál es la desvacón estándar?, c) Cuál es la probabldad de que 40 o más acepten la nvtacón? y d) Cuál es la probabldad de que exactamente 40 acepten la nvtacón? Problema 43.- Según los últmos estudos realzados por una empresa especalsta la tasa real de desempleo está por el orden del 9,%. S se selecconan de manera aleatora 00 aptas para trabajar; Cuál será: a) La cantdad esperada de desempleados?, b) La varanza y la desvacón estándar de desempleados?, c) La probabldad que exactamente 5 estén desempleados? y d) La probabldad de que cuando menos 4 estén desempleados? Problema 44.- Un hotel del área metropoltana tene 0 habtacones. En los meses de poco movmento, alqula un promedo del 75% de sus habtacones. Responder; Cuál es la probabldad de qué: a) Al menos se ocupe la mtad de las habtacones de las habtacones en certo día?, b) 00 o más habtacones en certo día? y c) 80 o menos habtacones en certo día? Problema 45.- Se lanza una moneda 500 veces. Calcular la probabldad de que el número de caras no dfera de 50 por: a) Más de 0 veces y b) Más de 30. Problema 46.- Los paquetes de cereal de Comercalzadora Johan C.A venen en cajas de 36 Kg, que tenen una desvacón estándar de,9 Kg. Se pensa que los pesos están dstrbudos normalmente. S se seleccona una caja aleatoramente, Cuál es la probabldad que la caja pese: a) Menos 34,8 Kg b) Más 34,8 Kg c) Entre 34,3 Kg y 38,8 Kg d) Entre 39,5 Kg y 4, Kg?. Problema 47.- El 45% de todos los empleados del Consorco La Chna C.A tenen títulos unverstaros. Cuál es la probabldad de que de 50 empleados selecconados aleatoramente: a) 7 tengan título unverstaro y b) Más de 70? Problema 48.- El Consejo Académco del I. U. G. T. desgnó un equpo de profesores para que realzara un estudo del comportamento en el rendmento académco de los estudantes que han hecho su vda estudantl en la nsttucón. Se observó que la estructura de los datos sgue una dstrbucón normal. El promedo de las notas de la poblacón estudantl en el tempo fue de 3,45

105 05 con una desvacón estándar de,93. Se quere responder las sguentes nterrogantes: a) Porcentaje de estudantes que estarían por debajo puntos?, b) Cuál sería la probabldad de que un estudante selecconado de manera de manera aleatora obtenga una nota de 5 puntos?, c) De 500 estudantes, Cuántos aprobarían la matera con una nota de 4 a6 puntos y d) S el Consejo Académco resuelve otorgar becas estudantles al 0% de aquellos estudantes que obtenga las mayores notas, Cuál sería la mínma nota a obtener para optar a esta beca? Problema 49.- Un estudo realzado por el Insttuto de Terras de Venezuela ha concludo que las precptacones daras de los Andes Venezolanos parecen estar dstrbudas normalmente con una meda de 55,88 mms., durante la estacón lluvosa. Se determnó que la desvacón estándar era de 0,3mm. a) Cuál es la probabldad de que llueva más de 83,8 mm. en un día durante la estacón lluvosa?, b) que llueva más de 33,0 mm?, c) que las precptacones estén entre 68,58 y 76,0 y d) Cuánta precptacón debe presentarse para exceder el % de las precptacones daras? Problema 50.- El 7% de los empleados entre obreros, admnstratvos y académcos que laboran en el I. U. G.T. poseen títulos académcos. Se selecconan de manera aleatora 35 empleados: a) Cuál es la probabldad de que exactamente 9 tengan títulos académcos?, b) Más de 8? y c) Menos de? Problema 5.- S se lanza una moneda equlbrada 60 veces, Cuál será la probabldad de que se obtengan caras entre el 40% y el 55% de las veces?

106 06 TÍTULO IV Capítulo Teoría del Muestreo y Teorema del Lmte Central. Defncones Importantes.. Estadístca Inferencal: Estuda métodos y técncas nvolucrando el uso de un estadístco (muestra) para llegar a conclusón o nferenca sobre el parámetro (poblacón) correspondente... Teoría del Muestreo: Estudo que nos enseña la técnca para analzar una poblacón a través de una muestra representatva de la msma..3. Dstrbucón muestral de medas o dstrbucones muestrales: Es una dstrbucón de probabldades de todas las medas posbles de muestras de un determnado tamaño de la poblacón, es decr es una lsta de todos los valores posbles para un estadístco (meda) y las probabldades relaconadas con cada valor.. Errores Dentro de un Estudo de Muestreo:.. Error de Muestreo: Un error que se establece entre la muestra y poblacón, defndo como, la dferenca entre el estadístco muestral y el parámetro poblaconal correspondente Error de Muestreo: E x.. Error Estándar de la Muestra: Es un error ntrínseco de la propa muestra y depende de la normalzacón de cualquer dstrbucón de probabldad en estudo. Es una medda de la dspersón de las medas muestrales alrededor de la meda poblacones (µ) por lo tanto mde la tendenca a sufrr del error de muestreo, en el esfuerzo por estmar a la meda poblaconal..3. Para defnr este error debemos desarrollar el Teorema del Lmte Central que nos señala: S todas las muestras de un partcular tamaño se seleccona de cualquer poblacón, la dstrbucón muestral de medas se aproxma a una dstrbucón normal, es decr a medda que el tamaño de la muestra crece la dstrbucón de medas muestrales se aproxman a una dstrbucón normal, donde la meda de medas (Gran Meda) es gual a la meda poblaconal y, y el error estándar es gual a la desvacón estándar o típca dvdda entre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra Error estándar de la muestra: Gran meda o meda de meda: N K Luego:

107 07 Varanza: K N Desvacón Estándar: K N..Conclusones Importantes del Teorema del Lmte Central:... Poblacón Grande n 30, para un estudo muestral se usa la dstrbucón Z (Dstrbucón Normal).... Poblacón Pequeña n <30, para un estudo muestral se usa la dstrbucón t (Dstrbucón No Normal) Dstrbucón de probabldades t de Student: Al gual que la dstrbucón normal, la dstrbucón t presenta en su gráfca una forma de campana smétrca, pero más achatada y con mayor área en los extremos o colas donde se encuentran las zonas crítcas o de rechazo. No exste una sola dstrbucón t, sno una famla de ésta debdo a que las desvacones estándar se modfcan a medda que aumenta el tamaño de la muestra, acercándose a la dstrbucón normal. Esta dstrbucón se utlza bajo las condcones sguentes: a) Muestra o Poblacón Pequeña no normal, es decr n<30 b) Desvacón Estándar Poblaconal (σ) es desconocda, s fuera conocda se emplearía la dstrbucón normal estandarzada Z aun sendo la muestra pequeña Mentras la dstrbucón Z presenta una varanza (σ ) gual a uno (), la varanza de la dstrbucón t es mayor que uno () y esto la hace más achatada, más alargada y más dspersa que la dstrbucón Z varanza:. Grados de lbertad: En estudos posterores realzados sobre la dstrbucón t se ntrodujo este térmno para mejorarla entendéndose como: el número de observacones menos el número de restrccones mpuestas sobre tales observacones. Observacón: S la poblacón es normal aun cuando su tamaño sea pequeña (n<30) se usa dstrbucón Z 3. Factor de correccón para poblacones fntas: La expresón es apropada s el muestreo se realza con reemplazo, o s la muestra se toma de una poblacón muy grande vrtualmente nfnta. S el muestreo se realza sn reemplazo y s el tamaño de la muestra cumple que n>0,05n debe aplcarse el factor de correccón para poblacones fntas, en este caso:

108 08 4. Proporcón muestral de la Dstrbucón Muestral: Valor esperado o esperanza matemátca: E p N p p Error estándar; Poblacón: N ; Muestra: p p n p Error estándar corregdo s n>0,05 N: Poblacón: N N N n ; Muestra: p p p N n n N Desvacón Estándar para las Proporcones: Z p p p 5. Métodos de Muestreo: 5. Muestreo Aleatoro Smple: Método donde la muestra se seleccona de manera tal que cada elemento o persona en la poblacón tene la msma oportundad de ser selecconado. 5. Muestreo Aleatoro Sstemátco: Método donde se seleccona un punto de nco aleatoro y después se elge cada K membro de la poblacón. 5.3 Muestreo Aleatoro Estratfcado: Método donde la poblacón a estudar se dvde el sub-grupos, llamados estratos, y se seleccona de manera aleatora un elemento de cada estrato atendendo al tamaño de cada uno. 5. Muestreo Aleatoro por Conglomerados: Método donde se dvde la poblacón en grupos o conglomerados utlzando los límtes naturales geográfcos o de otros tpos; segudamente los grupos se selecconan al azar y se recopla una muestra a elegr en forma aleatora de cada grupo.

109 09 RESUMEN DEL CAPÍTULO EN CUADROS Cuadro de fórmulas y condcones de z y de t para el estudo de parámetros poblaconales. Parámetro a estudar Tpo de Poblacón Fórmula a utlzar Grande (n 30) z x x Meda Poblaconal Pequeña (n<30) (No Normal) t x s x Proporcón Poblaconal Grande (n 30) z p p Pequeña (n<30) (No Normal t p s p Cuadro de fórmula y condcones para obtener el error de muestreo. Parámetro a estmar Fórmula General Tpo de Poblacón Error máxmo permsble para cualquer Nvel de Confanza (N.C.) Meda Poblaconal E x Grande (n 30) Pequeña (n<30) (No Normal) E z 0 x. E t s 0 x Proporcón. Poblaconal E p Grande (n 30) Pequeña (n<30) (No Normal) E z 0 p E t s 0 p

110 0 Cuadro de fórmulas y condcones para estudar el error estándar de la muestra. Error Estándar Fórmula para cada caso Tpo de Poblacón Meda Muestral x, n No Fnta x n N N n Fnta Proporcón Poblaconal p p n p No Fnta p p p N n n N Fnta Problemas Resueltos Problema 0.- Los 7 empleados de una tenda de vender ropas tenen los sguentes ngresos mensuales en bolívares:.00; 0.800;.00; 5.000;.300; y Se pde; a) Desarrollar una Dstrbucón de Frecuencas y obtener su Meda Poblaconal; b) Construr una Dstrbucón de Medas Muestrales y obtener la Gran Meda, comparar con la Meda Poblaconal y comentar y c) Calcular la Varanza y la Desvacón Estándar de la Dstrbucón de Medas Muestrales o Dstrbucón Muestral Datos: En la sere de datos. Fórmulas: K K, N N n; ; ; f N N N f Solucón f a) ,74 7 µ=.085, b)

111 { A=.00; B=0.800; C=.00; D=5.000; E=.300; F=0.800 y G=3.500 n 0 ABC BCD CFG ABD BCE DEF ABE BCF DEG ABF BCG DFG ABG BDE EFG ACD BDF ACE BDG ACF BEF ACG BEG ADE BFG ,74 ADF CDE ADG CDF AEF CDG AEG CEF ,74 5 AFG CEG Comentaro: Ambas medas son guales lo cual nos lleva a conclur que partendo de una poblacón pequeña aun cuando no sea normal, al transformarla en una Dstrbucón Muestral, tomando un adecuado tamaño de muestra en la cual vamos a partr la poblacón dada podemos transformarla en poblacón grande y consderar esa Dstrbucón Muestral como una que responde a una Dstrbucón Normal Dstrbucón de Medas Muestrales K K K n

112 , , , , , ,395 Problema 0.- Los 34 0breros que trabajan en una empresa automotrz se observa que tenen un promedo de 3 años, con una desvacón estándar de 0 años. S la dstrbucón de estos datos sgue una Dstrbucón Normal; se pde: a) Probabldad de que la meda muestral de 5 de ellos resulte menor de 8 años y b) Probabldad de que sobrepase los 3 años. Datos: N 34; 3; 0; n 5 Fórmulas: Z ; x x x x,9 n N N n 9 a) P 8 0,088 Z 8 8 3,9,08 A 0,5 0,48 0,088 b) P 3 0, Z8 0,5 A 0,985 0,5 0,6988,9 Ejercco 03.- El promedo de notas de los estudantes del IUGT es de,7 con una desvacón estándar de 6,ptos. S se toma una muestra de 36 estudantes, cuál será la probabldad que la meda de esa muestra?: a. Sea menor que b. Sea menor que 4 c. Ese entre y 4 d. Entre 4 y 5 Solucón Datos: μ =,7; σ =6,. Fórmulas: Z ; x x 6,,033 x 36 n

113 3 a) P( < ) 0,0495 Z,7,033,65 A = 0,5000 0,4505=0,0495 b) P( < 4) 0,896 Z 4 4,7,033,6 A = 0, ,396=0,896 c) P(< <4) 0,8467 Z Z 4,65,6 A = 0, ,396=0,8467 d) P(4< <5) 0,0909 Z 4,6 Z 5 5,7,033,3 A = 0,487 0,396=0,0909 Capítulo ESTIMACION CON INTERVALO DE CONFIANZA. Estmacón: Una estmacón es el proceso medante el cual se obtene un estmador.. Estmador Puntual: Estadístco que se calcula a partr de la nformacón de la muestra y se utlza para estmar el parámetro de la poblacón, el cual es un únco valor.. Estmacón por Intervalos de Confanza: Es el rango de valores creado a partr de los datos de la muestra, de modo que el parámetro poblaconal es probable que ocurra dentro de ese rango dentro de una probabldad específca. Cuando se estma un Intervalo de Confanza, ese rango obtendo nos está señalando que la Meda Poblaconal o la Proporcón Poblaconal según sea el caso oscla entre eso valores extremos a los que se llama Límtes de Confanza, es decr pueden exstr nfntos valores que pueden ser asumdos por esos parámetros. Por eso es que se tene que los mejores estmadores puntuales son los estadístcos que obtenemos de una muestra, los cuales combnados en operacones sencllas con el

114 4 Error Estándar de la muestra y el Nvel de Confanza, nos permte obtener el error de muestreo que sumado o restado al Estmador Puntual que dsponemos se obtene los Límtes de Confanza..3 Nvel o Coefcente de Confanza: Es la probabldad específca que defne el rango dentro del cual debe estar el parámetro poblaconal desconocdo.. Intervalos de Confanza para Medas Poblaconales ( ).. Poblacón Grande (n 30) Se utlza Z. IC de = LIC = Límte nferor de confanza LSC = Límte superor de confanza LIC = ; LSC = +. Poblacón Pequeña (n<30) Se utlza t. LIC = - Debe cumplrse tambén para usar que la desvacón estándar poblaconal sea desconocda entonces se usa la desvacón estándar muestral y que además la poblacón sea normal o cas normal. 3. Intervalos de Confanza para Proporcones Poblaconales 3. Poblacón Grande (n 30) Se utlza Zo. LIC = ; LSC = + 3. Poblacón Pequeña (n<30) Se utlza to. 4. Determnacón del tamaño apropado de la muestra Selecconado todo el nvel de confanza, en el tamaño muestral dos factores mportantes nfluyen: a) la varanza de la poblacón ( ), expresa el grado de varabldad que presentan las undades de la poblacón, sendo para proporcones poblaconales: = pq = π(- π) y en el mejor de los casos x x = 0,5; b) el tamaño del error tolerable (E) fjado por el nvestgador de acuerdo al estudo a realzar y c) el nvel de confanza (NC), tene relacón drecta con el tamaño de la muestra a mayor nvel de confanza el tamaño de la muestra será mayor. De acuerdo a lo estudado hasta ahora podemos obtener una conclusón mportante, el tamaño de la muestra a determnar es el mínmo tamaño requerdo para cumplr con el Nvel de Confanza establecdo y el margen de Error estmado, es una cuestón de economía. Sn embargo esta conclusón nos lleva a afrmar que a mayor tamaño de la muestra, mayor es el Nvel de Confanza y menor el margen del Error de Muestreo lo cual sería mejor para cualquer estudo de nvestgacón a realzar. x

115 5 4. Tamaño de la muestra para estmar en poblacones no fntas 4. Tamaño de la muestra para estmar en poblacones no fntas E π = p π S se optmzara el tamaño de la muestra, haríamos más confable la nvestgacón; y esto se logra s obvamos la proporcón que se nos sumnstre, y asummos la proporcón óptma que sería = 0,5. Para el margen de error estmado y el Nvel de Confanza establecdo obtendríamos el tamaño de la muestra óptmo, ya que 0,5 0,5 por lo que: n 0,5 Z E 4.3 Tamaño en el muestreo aleatoro smple para poblacones fntas (N) N Z Para Medas Poblaconales : n ; para Pr oporcones Poblaconales, normal : NE Z NZ 0,5NZ n ; para que sea óptma se hace 0,5 n NE Z NE 0,5Z 5. Propedades de un buen estmador: Estmador nsesgado: Un estmador es nsesgado, s la medas de su de dstrbucón muestral es gual al parámetro correspondente. 6. Estmador efcente: Dado todo estmador nsesgado, el más efcente es aquel que tenga la menor varanza 6.3 Estmador consstente: Un estmador es consstente s, a medda que n aumenta el valor del estadístco se acerca al parámetro 6.4 Estmador sufcente: Un estmador es sufcente s nngún otro estmador puede proporconar más nformacón sobre el parámetro RESUMEN DEL CAPÍTULO EN CUADROS Intervalos de Confanza Parámetro Intervalo de confanza Meda Poblaconal I.C. de µ: L.I.C. µ L.S.C. Proporcón Poblaconal I.C. de : L.I.C. L.S.C.

116 6 Cuadro de fórmulas y condcones para determnar cualquer Intervalo de Confanza Tpo de Poblacón Parámetro Límte Determnacón Tpo de Dstrbucón Grandes No-fntas (n 30) Grandes Fntas (n 30) Meda Poblaconal Proporcón Poblaconal Meda Poblaconal Inferor de Confanza Superor de Confanza Inferor de Confanza Superor de Confanza Inferor de Confanza Superor de Confanza L.I.C.= x - Z 0 x L.S.C.= x + Z 0 x L.I.C.=p - Z 0 x L.S.C.= p+ Z 0 x L.I.C.= x - Z0 x L.S.C.= x + Z0 x fcpc fcpc Dstrbucón a utlzar. Sé utlza la Dstrbucón Normal Estándar (Z). Sn embargo se utlza tambén en poblacones pequeñas, sempre y cuando ésta sea una poblacón normal.comentaro.para consegur el valor de Z0, se debe conocer el Nvel de Confanza (NC), y con ese valor consegur el valor del área (A0) dentro de la tabla, la cual nos defne el valor de Z0. Proporcón Poblaconal Inferor de Confanza L.I.C.= p - Z0 x fcpc Superor de Confanza L.S.C.= p + Z0 x fcpc Pequeñas No-Fntas (n<30) Pequeñas Fntas (n<30) Meda Poblaconal Proporcón Poblaconal Meda Poblaconal Proporcón Poblaconal Inferor de Confanza Superor de Confanza Inferor de Confanza Superor de Confanza Inferor de Confanza Superor de Confanza Inferor de Confanza ts L.I.C.= x - 0 L.S.C.= x + 0 L.I.C.= p - 0 x ts ts L.S.C.= p + 0 L.I.C.= x - 0 x ts L.S.C.= x + 0 L.I.C.= p - 0 x x x t s fcpf t s fcpf x x t s fcpf Dstrbucón a utlzar. Se utlza la Dstrbucón Smétrca Platcúrtca de Student (t), para poblacones pequeñas no normales. Comentaro. Para consegur el valor de t0, se debe conocer el Nvel de Confanza (NC), y ese valor se combna con el grado de lbertad (g.l.), ubcado en la prmera columna a la derecha de la tabla t, ubcando en la parte de la fla superor donde se señalados colas al N.C. g.l.= n,n=tamaño de la muestra; r=restrccón que presenta la poblacón Superor de Confanza L.S.C.= p + 0 t s fcpf x Factor de correccón para poblacones fntas: fcpf N N n

117 7 Determnacón del tamaño adecuado de la muestra Tpo de Poblacón Parámetro Fórmula Ordnara Fórmula Óptma Comentaro No fnta Meda Poblaconal Proporcón Poblaconal n n Z E Z E n 0,5 Z E Selecconado el N.C., en el tamaño muestral factores mportantes nfluyen: a) la varanza de la pobl. ( ), expresa el grado de varabldad que presentan las undades de la pobl., sendo para prop. Poblacs.: = π (- π) y en el mejor Fnta Meda Poblaconal Proporcón Poblaconal n n NE N Z NE Z Z NZ n 0,5NZ NE 0,5Z de los casos x = 0,5; b) el tamaño del error tolerable (E) fjado por el nvestgador de acuerdo al estudo a realzar y c) el nvel de confanza (NC), tene relacón drecta con el tamaño de la muestra a mayor nvel de confanza el tamaño de la muestra será mayor. Problemas Resueltos Problema 0.- S la desvacón estándar de las notas de los estudantes de un curso de Estadístca Instrumental del I. U. G. T. es de,6 puntos. S se toma una muestra de 36 estudantes de estos estudantes, Cuál es la probabldad de que se presente un error de muestreo de 0,6 puntos o más? Datos: n 36; E 0, 6;, 6 Fórmulas: E Z ; ; x x n,6 0,6 0,67; luego : Z,5; como se nos pde que la probabldad x 36 0,67 sea gual o mayor que 0, 6 eso A 0,5 0, , 0; luego : P 0,6 0, 0 Problema 0.- Una empresa de nvestgacón realzó una encuesta para determnar la cantdad meda que los fumadores gastan en cgarrllos durante una semana. Una muestra de 49 fumadores reveló que la meda muestral es de Bs. 0 y una desvacón estándar

118 8 muestral de Bs. 5. a) Cuál es el estmador puntual de la meda de la poblacón? Explcar que ndca y b) Utlzando el nvel de confanza de 95%, determnar el ntervalo de confanza para la meda poblaconal. Explcar que ndca. Datos: n 49; 0; S 5; NC 95% S Fórmulas: E Z S ; S x x n a) El mejor estmador es la Meda Muestral=0, ya que partendo de ella se puede estmar el rango de valores donde puede ubcarse la Meda Poblaconal b) 5 S 0, 743; para NC 95% Z,96 E,96x0, 743, 4 x 7 LIC E 0, 4 8, 6; LSC E 0, 4, 4 IC de : 8,6,4 " Explca que la Meda Poblaconal, con estos dato s debe osclar entre 8, 6 a, 4" Problema 03.- Para realzar un estudo de manera aleatora se seleccona una muestra de 8 trabajadores cuyo ngreso mensual promedo fue de Bs ,00 conocéndose que para condcones smlares la desvacón estándar poblaconal es de Bs. 998,00. Se toma un nvel de confanza del 96%, para realzar un estudo de estmacón. Se pde: a) Cuál será la meda poblaconal? b) Cuál sería el mejor estmador puntual?, c) Qué dstrbucón de varable contnua se utlzaría para obtener el error estándar de la muestra, el error de muestro y un ntervalo de confanza? Por qué?, d) Calcular el error estándar de la muestra y el error de muestreo, e) Desarrollar el ntervalo de confanza para este estudo e nterpretar resultados y f) Se podría afrmar que un ngreso de Bs ,00 es una meda poblaconal? Qué tal un ngreso de Bs ? Datos: n 8; 3.890,00; 998,00; NC 96% S Fórmulas: E Z S ; S x x n a) No se puede consderar una meda poblaconal como tal en vrtud que en el Intervalo de Confanza que se podría desarrollar con esta nformacón exstrían nfntos valores que podrían asumr la funcón de Meda Artmétca Poblaconal. b) El mejor estmador es la Meda Muestral (Bs ,00), ya que partendo de ella se puede estmar el rango de valores donde puede ubcarse la Meda Poblaconal c) Se utlzará la Dstrbucón Normal o Z, ya que n=8>30, Poblacón Grande. d) e) 998 0,889 ; para NC 96% Z, 05 x x 8 E, 05x0,889 E 7, 3

119 9 LIC E ,3 3.66, 678; LSC E ,3 4.7,3 IC de : 3.66, ,3 " Explca que la Meda Poblaconal, con estos datos debe osclar desde 3.66, 678 a 4.7, 3 nclusve" f) Como Bs ,00 está dentro del Intervalo de Confanza se puede consderar como uno de los valores de la Meda Artmétca Poblaconal; no así Bs ,00 que está fuera de ese ntervalo Problema 04.- Una agenca de tursmo tomó muestras de las personas que en vacacones partcpaban en cruceros por El Carbe y que vstaban a Puerto Rco. Dentro de un nvel de confanza de 96%, Cuál será el ntervalo de confanza para la proporcón de vacaconstas venezolanos s de las 8 personas encuestadas 53 eran venezolanos? a) Datos: n 53; N.8; NC 96% b) Fórmulas: c) n p p p ; p ; E Z N n 53 0,94 0,94 p 0, 94; p 0, 097; para NC 96% Z, E, 05x0, 097 0, 0403 LIC p E 0, 94 0, , 5; LSC p E ,337 IC de p : 0, 5 0,337 Problema 05.- Qué tan grande se requere que sea el tamaño de una muestra para que proporcone una estmacón del 90% del número promedo de graduados de las unversdades naconales con un error de muestreo de.000 estudantes s una muestra ploto reporta una desvacón estándar de 8.659? Datos: E 000; 8.659; NC 90% Fórmulas: n Z E,65 x8.659 Para NC 90% Z, 65; luego : n 5, n 5 Problema 06.- Para realzar un estudo se requere un nvel de confanza del 95% para la tasa de rendmento promedo de una empresa que gana sobre sus proyectos para presupuestar captal. Cuántos proyectos debe tener la muestra, s su supervsor especfca un error máxmo de sólo del 5% y una desvacón estándar de 0,3? Datos: E 5%; NC 95%; 0, 3 Fórmulas: n Z E

120 0 Para NC,96x0, 3 95% Z,96 n 8, 883 0,05 n 8 Problema 07.- El comsonado para supervsar el funconamento de los nsttutos de educacón unverstara requere hacer un estudo sobre los graduandos de dchos nsttutos en esta parte del año. Solo sabe que el año pasado por esta época solo se graduó el 8% de los que tenían opcón al grado. Se toma un nvel de confanza del 96%, y se estma un error de muestreo del 3%, para realzar una encuesta sobre la posbldad que tene cada estudante de graduarse. Para hacerla se va a tomar una muestra de manera aleatora de los graduandos. Cuál sería el tamaño mínmo de la muestra para realzar esta nvestgacón? Datos: 0,8; E 0,03; NC 96%; N Poblacón Fnta Fórmula: n NE NZ o Zo n 0,8 0, , ,03 0,8 0,8,05 67,98 n 67 graduandos Problema 08.- El comsonado para supervsar el funconamento de los nsttutos de educacón unverstara requere hacer un estudo sobre los graduandos de dchos nsttutos en esta parte del año. No tenendo una nformacón referencal para un basamento en el muestreo de los graduandos actuales; se toma un nvel de confanza del 96%, y se estma un error de muestreo del 3%, para realzar una encuesta sobre la posbldad que tene cada estudante de graduarse. Para hacerla se va a tomar una muestra de manera aleatora de los graduandos. Cuál sería el tamaño mínmo de la muestra para realzar esta nvestgacón? Datos: N 5.683; E 0, 03; NC 96% Poblacón Fnta Fórmulas: n n 0,5NZ NE o 0,5Zo 0, , ,03 0, 5,05.6,608 n.7 graduandos Problema 09.- Para ntroducr un nuevo producto en el mercado una empresa de bebdas gaseosas requere realzar una encuesta para estudar el grado de aceptacón del nuevo producto, la cual se realzaría tomando un Nvel de Confanza del 97% y un error permsble del 3% Cuál será el tamaño de la muestra? Datos: E 3%; NC 97% Fórmulas: n 0,5 Z E

121 Para NC,7 97% Z,7 n 0, 5.308, 078 0,03 n. 309 Problema 0.- S el nuevo producto de la empresa de bebdas gaseosas va drgdo a una poblacón de consumdores de refrescos, para realzar la encuesta del problema anteror se necesta conocer el tamaño de la muestra, dentro de un nvel de confanza del 97% y un margen de error del 3% Cuál será el tamaño de la muestra? Datos: N ; E 0, 03; NC 97% Poblacón Fnta Fórmulas: n 0,5NZ NE n o 0,5Zo 0, , ,03 0, 5,7.304,3073 n.305 consumdo res Capítulo 3 PRUEBA DE HIPOTESIS. Defncones báscas.. Hpótess: Afrmacón o enuncado acerca de un parámetro o poblacón que se desarrolla o elabora con el propósto de probar... Prueba de Hpótess: Procedmento basado en la evdenca muestral y la teoría de la probabldad que se emplea para determnar s la hpótess es una afrmacón razonable.. Procedmento de Hpótess de cnco pasos para probar una hpótess. Prmer Paso: Establecer la hpótess... Hpótess Nula (Ho): Afrmacón acerca del atrbuto numérco de un parámetro poblaconal.... Hpótess Alternatva: Afrmacón que se acepta s los datos de la muestra proporcona sufcente evdenca de que la hpótess nula es falsa.. Segundo paso: Selecconar un nvel de sgnfcanca... Nvel de Sgnfcanca: Es la probabldad de rechazar la hpótess nula sendo verdadera.... Error Tpo I: Rechazar la hpótess nula sendo verdadera...3. Error Tpo II: Aceptar la hpótess nula sendo falsa..4. Tpos de Prueba

122 a) Prueba de dos colas: Prueba de una cola Hpótess Nula H 0 Hpótess Alternatvaa H A a a Zona de Aceptacón 0 Z 0 Z 0 Zona de Rechazo c) Prueba de una cola: Se presenta cuando (cola a la derecha) ó cuando (cola a la zquerda) Prueba de una cola Hpótess Nula H 0 Hpótess Alternatvaa H A a a a a a a a a

123 3 Cola a la derecha Cola a la zquerda Z 0 0 Z 0 Zona de Aceptacón Zona de Rechazo Zona de Aceptacón.3. Tercer Paso: Determnar el estadístco de prueba.3. Estadístco de Prueba: Valor determnado a partr de la nformacón de la muestra que se utlza para defnr s se rechaza la o se acepta la hpótess nula..3. Casos que se presentan para probar hpótess A) Para una poblacón (Muestra Grande; n 30, µ y p) En medas poblaconales (µ) En proporcones poblaconales (p) Cuando p. no se conocen se asume la desvacón estándar de la muestra S y B) Para una poblacón (Muestra pequeña; n<30,.4 Cuarto Paso: Formular una regla de decsón

124 4 S la prueba es de dos colas, para aceptar la hpótess nula debe cumplrse que (Muestra grande) ó to< t < to (Muestra pequeña) de lo contraro se rechaza S la prueba es de una cola a la derecha, debe cumplrse que Z Zo (Muestra grande) ó t < to (Muestra pequeña) ya S la prueba es de una cola a la zquerda, debe cumplrse que Zo grande) o t < to (muestra pequeña), ya que Z (muestra.5 Qunto Paso: La toma de decsón: Estudados y analzados los supuestos de los cuatro pasos anterores, se toma la decsón y se redacta en base a los resultados obtendos. 3. Valores p: Uso e nterpretacón, en una prueba de hpótess 3. Valor p: Es la probabldad de observar un valor de muestra tan extremo o más que el valor observado, dado que la hpótess nula es verdadera 3. Uso e nterpretacón: El valor p se usa para probar hpótess, y es un valor del área según la tabla de dstrbucón normal correspondente a Z (A). S lo prueba es de dos colas contraro se rechaza. S la prueba es de una cola se acepta la hpótess nula, ya que A = 0,5 A, de lo se acepta la hpótess nula, de lo contraro se rechaza. Problemas Resueltos Problema 0.-Una embotelladora de salsa de tomates quere comprobar que el producto contendo en cada botella tene un peso promedo de 450 gramos. Para realzar la comprobacón se tomó una muestra de 50 botellas, y se le calculó al producto, un peso promedo de 45,75 gramos, con una desvacón estándar de 4,55 gramos. Para la comprobacón se toma un nvel de sgnfcanca del 5%. Será certo lo que quere comprobar la embotelladora de salsa de tomates? Datos: µ =450 grs., n=50 botellas; =45,75 grs.; S=4,55 grs.; α=5% Fórmulas: Z ; ; A0 0,5 x 0 n x Solucón 0. Planteamento de la Hpótess: Hpótess Nula; H 0: µ =450 grs. Hpótess Alternatva; H A: µ 450 grs. 0. Selecconar un nvel de sgnfcanca: Como µ=450 grs., eso mplca que la prueba es de dos colas, por lo que:

125 5 0 0,05 0, Determnar el estadístco de prueba: Sendo n=50 > 30, muestra grande, se usa la Dstrbucón Z; por lo que 4,55 45,75 450,00,553 Z,77 Z x 50,553,77 04 Formular la regla de decsón: Dos Colas Aceptacón -Z 0=-,96 0 Z=,77 +Z 0=+,96 Por ser una prueba de dos colas para aceptar la Hpótess Nula debe cumplrse que Z 0<Z<Z 0, de lo contraro se rechaza. Se sabe que A 0= 0,5 - α 0, por lo tanto A 0=0,5-0,05=0,4750, buscando este valor en la tabla de Z, resulta que Z 0 =, Toma de Decsón: Cumpléndose lo establecdo en la regla de decsón, por cuanto Z 0=-,96<,77=Z<,96=Z 0, se acepta la hpótess nula, es decr: la embotelladora comprobó con esta prueba de hpótess, que realmente el contendo de cada botella de salsa de tomate pesa un promedo de 450 gramos Ejercco 0.-Una embotelladora de salsa de tomates quere comprobar que el producto contendo en cada botella tene un peso promedo mayor o gual a 450 gramos. Para realzar la comprobacón se tomó una muestra de 50 botellas, y se le calculó al producto, un peso promedo de 45,75 gramos, con una desvacón estándar de 4,55 gramos. Para la comprobacón se toma un nvel de sgnfcanca del 5%. Será certo lo que quere comprobar la embotelladora de salsa de tomates? Datos: 450 grs., n=50 botellas; =45,75 grs.; S=4,55 grs.; α=5% grs., Fórmulas: Z ; ; A0 0,5 x 0 n x

126 6 0. Planteamento de la Hpótess: Hpótess Nula; H 0: µ 450 grs. Hpótess Alternatva; H A: µ 450 grs. 0. Selecconar un nvel de sgnfcanca: Como, 450, que la prueba es de una cola, como =45,75 > 450 = µ, y la cola es a la derecha por lo que α o =α= 0, Determnar el estadístco de prueba: Sendo n=50 > 30, muestra grande, se usa la Dstrbucón Z; por lo que 4,55 45,75 450,00,553 Z,77 Z x 50,553, Formular la regla de decsón: Cola Derecha Aceptacón 0 +Z 0=,65 Z=,77 Por ser una prueba de una cola y es a la derecha, para aceptar la Hpótess Nula debe cumplrse que Z<Z 0, de lo contraro se rechaza. Se sabe que A 0= 0,5 - α 0, por lo tanto A 0=0,5-0,05=0,4500, buscando este valor en la tabla de Z, resulta que Z 0 =, Toma de Decsón: No cumpléndose lo establecdo en la regla de decsón, por cuanto Z=,77>,65=Z 0, se rechaza la hpótess nula, es decr: la embotelladora comprobó con esta prueba de hpótess, que realmente el contendo de cada botella de salsa de tomate pesa menos del promedo de 50 gramos Problema 03.-Una comercalzadora de agua potable lleva botellones de agua a una zona del área metropoltana, donde el responsable de esa zona nforma a la gerenca operatva que mensualmente por lo menos 386 botellones de agua se venden allí. El gerente de operacones pensa que esa cfra puede estar abultada, y para varos meses cualqueras se consgnaron 400 botellones de agua para esa zona, llegándose a vender un promedo de 380 botellones de agua por mes, con una desvacón estándar de 0 botellones de agua. Se toma un nvel de sgnfcanca del %, para completar el estudo sobre la venta de los botellones de agua en esa zona de la cudad. Cuál será el destno del responsable de la venta de botellones de agua en esa zona del área metropoltana? Datos: Datos: 386 grs., n=400 botellas; =380 grs.; σ=0 grs.; α=% grs.,

127 7 Fórmulas: Z ; ; A0 0,5 x 0 n x 0. Planteamento de la Hpótess: Hpótess Nula; H 0: µ 386 botellones Hpótess Alternatva; H A: µ 386 botellones. 0. Selecconar un nvel de sgnfcanca: Como, 386, que la prueba es de una cola, como =380 < 386=µ, la cola es a la zquerda por lo que α o =α= 0,0 03. Determnar el estadístco de prueba: Sendo n=400 > 30, muestra grande, se usa la Dstrbucón Z; por lo que ,5,09, Z x 5,5 Z 04. Formular la regla de decsón: Cola Izquerda Z=-,05 Z=-,09 0 Aceptacón Por ser una prueba de una cola y es a la zquerda para aceptar la Hpótess Nula debe cumplrse que Z 0<Z, de lo contraro se rechaza. Se sabe que A 0= 0,5- α 0, por lo tanto A 0=0,5-0,0=0,4800, buscando este valor en la tabla de Z, resulta que Z 0 =, Toma de Decsón: Cumpléndose lo establecdo en la regla de decsón, por cuanto Z 0=-,05<-,09=Z, se acepta la hpótess nula, es decr: El Gerente de Operacones de la comercalzadora de botellones de agua potable, comprobó que es certa la nformacón que le do el responsable de la zona metropoltana que él atende, por lo tanto su destno sería quedarse en la empresa trabajando Problema 04.-Una empresa chequeando el fondo de pensones de sus empleados, llega a la conclusón, de que los empleados tenen un promedo de más de Bs ,00. Al tomar de manera aleatora una muestra de 00 de sus empleados, y hacendo los respectvos cálculos en esta muestra, encuentra que la meda es de Bs ,0 con una desvacón estándar de Bs ,80. Para un nvel de sgnfcanca del 4%; podrá tomarse como certa la conclusón de la empresa? Datos: Datos: 99.00,00 Bs., n=00 empleados; =00.37,0 Bs.; σ=6.060,80 Bs.; α=4% grs.,

128 8 Fórmulas: Z ; ; A0 0,5 x 0 n x 0. Planteamento de la Hpótess: Como, 450, que la prueba es de una cola, como =45,75 > 450 = µ, y la cola es a la derecha por lo que α o =α= 0,04 Hpótess Nula; H 0: µ 99.00,00 Bs. Hpótess Alternatva; H A: µ 99.00,00 Bs. Selecconar un nvel de sgnfcanca: Como, , que la prueba es de una cola, como =00.3,0,75 > 99.00,00 = µ, y la cola es a la derecha por lo que α o =α= 0,04 0. Determnar el estadístco de prueba: Sendo n=00 > 30, muestra grande, se usa la Dstrbucón Z; por lo que: 6.080, , ,00 608,08 Z,93 Z, 93 x , Formular la regla de decsón: Aceptacón Cola Derecha 0 +Z 0=,75 Z=,96

129 9 Por ser una prueba de una cola y es a la derecha, para aceptar la Hpótess Nula debe cumplrse que Z<Z 0, de lo contraro se rechaza. Se sabe que A 0= 0,5 - α 0, por lo tanto A 0=0,5-0,04=0,4600, buscando este valor en la tabla de Z, resulta que Z 0 =, Toma de Decsón: No cumpléndose lo establecdo en la regla de decsón, por cuanto Z=,93>,75=Z 0, se rechaza la hpótess nula, es decr: La conclusón que tene la empresa sobre el fondo de pensones de sus empleados está errada, para este nvel de sgnfcanca Problema 05.-Un grupo de estudantes de Estadístca Instrumental del I.U.G.T., cuestonan la afrmacón de que las procesadoras de hamburguesas utlzan 5 grs. de carne en sus productos, algunos estudantes pensan que contenen más carne. Para aclarar esta duda, cada uno de los estudantes del curso lleva una hamburguesa y la pesan en una balanza ben calbrada obtenéndose una meda de 09,7 grs. con una desvacón estándar de,5 grs. Cuál sería la conclusón a que se llegaría para un nvel de sgnfcanca del 5%? Datos: µ=5 grs. n= hamburguesas; =09,7 grs.; S=,5 grs.; α=5% S t ; S ; A 0,5 x S n x Planteamento de la Hpótess: Hpótess Nula; H 0: µ =5grs. la Hpótess Alternatva; H A: µ 5 grs. 0. Selecconar un nvel de sgnfcanca: Como µ =5 grs., que la prueba es de dos colas, y sendo una muestra pequeña ya que: n = < 30, y además no es normal se usará la Tabla de Dstrbucón de Student, donde se contemplan los dos casos de las colas. 03. Determnar el estadístco de prueba: Sendo n= < 30, muestra pequeña y además no es normal, se usa la Dstrbucón t; por lo que,5 09,7 5,00 4,797 Z,0 Z x 4,797,0 04 Formular la regla decsón.

130 30 Aceptacón -t 0 =-,08 t=-,0 0 +t 0=,08 Por ser una prueba de dos colas para aceptar la Hpótess Nula debe cumplrse que t 0<t<t 0, de lo contraro se rechaza. Como es una sola poblacón pequeña, r=, por lo que: g. l.=n - r= - =, y entrando a la tabla t de Student en prueba de dos colas para un a=5% y g.l. de, to =, Toma de Decsón: Cumpléndose lo establecdo en la regla de decsón, por cuanto t 0=-,08<-,0=t<,08=t 0, se acepta la hpótess nula, es decr: Se debe conclur que para un nvel de sgnfcanca del 5%, el contendo de carnes de las hamburguesas no tenen un peso superor a los 5 gramos Problema 06.-El Drector de Operacones de una empresa de mercadeo, consdera que el 60% de los clentes de la frma se han graduado en unversdades. Se desea ntentar una estructura de precos respecto a esta proporcón. Una muestra de 800 clentes revela que 45 de ellos tenen grado unverstaro. A qué conclusón se llegaría sobre la proporcón de todos los clentes que tene el Drector de Operacones de la empresa aceptando para el análss un nvel de sgnfcanca del 5%? Datos: =0,60 clentes., n=800 clentes; x = 45 clentes; α=5%; p p p Fórmulas: Z ; p ; A0 0,5 0; p n p 0. Planteamento de la Hpótess: Hpótess Nula; H 0: =0,60 clentes la Hpótess Alternatva; H A: 0,60 clentes x n

131 3 0. Selecconar un nvel de sgnfcanca: Como =0,60 clentes, eso la prueba es de dos colas, por lo que 0 0,05 0, Determnar el estadístco de prueba: Sendo n=800 > 30, muestra grande, se usa la Dstrbucón Z; por lo que: p Z 45 0,565 0,565 0,565; p 0, ,565 0,600,00 Z,00 0, Formular la regla de decsón: Aceptacón Z=-,00 -Z 0 =-,96 0 +Z 0=,96 Por ser una prueba de dos colas para aceptar la Hpótess Nula debe cumplrse que Z 0<Z<Z 0, de lo contraro se rechaza. Se sabe que A 0= 0,5- α 0, por lo tanto A 0=0,5-0,05=0,4750, buscando este valor en la tabla de Z, resulta que Z 0 =, Toma de Decsón: No cumpléndose lo establecdo en la regla de decsón, ya que Z = -,00 no pertenece al ntervalo defndo, luego: La consderacón del Drector de Operacones de la empresa de mercadeo no es certa, el 60% de los clentes no tenen grado unverstaro Problema 07.- Una compañía desea comparar las expectatvas socales anuales de su personal de ventas, entre mujeres y hombres, según un nuevo plan de compensacones de ventas más comsón. Para que predjeran sus ngresos anuales se pdó n = 4 vendedoras y n = 40 vendedores, selecconadas de manera aleatora. Las medas muestrales y las desvacones de las predccones que se formularon son: =Bs ,00 y S =Bs..3,00; =Bs ,00 y S =Bs.

132 3.569,00; consderar un nvel de sgnfcanca del %. Proporconan los datos sumnstrados evdencas que ndquen una dferenca en el promedo del ngreso anual esperado tanto entre las vendedoras como los vendedores? Datos: =Bs y =Bs ; n =4 mujeres y n=40 hombres; S =Bs..3 y S =Bs. 569; α=5% S S Fórmulas: S ; x x n n Z x x S x x 0. Planteamento de la Hpótess: Hpótess Nula; H 0: µ =µ la Hpótess Alternatva H A: µ µ 0. Selecconar un nvel de sgnfcanca: Como µ =µ, la prueba es de dos colas, por lo que o 0,0 0, Determnar el estadístco de prueba: Sendo n =4 y n=40 > 30, muestra grande, se usa la Dstrbucón Z; entonces: Z x x ; S x x Z ,646,48 S S S, S x x n n x x , Formular la regla de decsón: Aceptacón - Z 0=-,58 0 Z=,48 Z 0=,58

133 33 Por ser una prueba de dos colas para aceptar la Hpótess Nula debe cumplrse que Z 0<Z<Z 0, de lo contraro se rechaza. Se sabe que A 0= 0,5- α 0, por lo tanto A 0=0,5-0,005=0,4950, buscando este valor en la tabla de Z, resulta que Z 0 =, Toma de Decsón: Cumpléndose lo establecdo en la regla de decsón, por cuanto Z 0=-,58<,48=Z<,58=Z 0, se acepta la hpótess nula, es decr: Los datos obtendos para el estudo dentro de un nvel de sgnfcanca del %, proporconan las evdencas de que no exsten dferencas en el promedo del ngreso anual esperado tanto en las vendedoras como en los vendedores Problema 08.- La Máxma Central Obrera dscutendo el Contrato Colectvo de ajustes salarales para nvelar los ngresos y las condcones socales de los trabajadores de la salud y la construccón. El negocador laboral llega a un acuerdo con la representacón patronal de establecer un nvel de sgnfcanca del %, para estmar la dferenca entre los nveles salarales promedo. Realzado un estudo muestral que se presenta al fnal para realzar el ajuste para nvelar a ambos grupos de trabajadores. Cuál sería el ajuste s es del caso? S SALUD CONSTRUCCIÓN n=3 n=9 0 Bs. Día 98 Bs. Día 4,04 Bs. S Día,69 Bs. Día α=%; Datos: Fórmulas: S x x SALUD CONSTRUCCIÓN n=3 n=9 0 Bs. Día 98 Bs. Día 4,04 Bs. S Día,69 Bs. Día S S S n S ( n ) t S S p p ; ; p p S n n n n p Solucón 0. Planteamento de la Hpótess: Hpótess Nula; H 0: µ =µ H A: µ µ 0. Selecconar un nvel de sgnfcanca:

134 34 Como µ =µ, mplca que la prueba es de dos colas, por lo que 03. Determnar el estadístco de prueba: o 0,0 0,0 Sendo n =3 y n=9 < 30, muestra pequeña, se usa la Dstrbucón t; entonces: (4,04 )() (,69 )(8) p S 549,533 ; 40 S p 549, , , t,65 ; 7, Formular la regla de decsón: Aceptacón -t0=,43 0 t=,65 t0=,43 Por ser una prueba de dos colas para aceptar la Hpótess Nula debe cumplrse t 0<t<t 0, de lo contraro se rechaza. Al usar la Dstrbucón t de Student y tenendo en cuenta que estamos estudando dos poblacones pequeñas no normales, entonces g.l.=n +n - = 3+9-=40 y como la prueba es de dos colas para α=%; t 0=,43 05 Toma de Decsón: Cumpléndose lo establecdo en la regla de decsón, ya que t 0=-,43<,65=t<,43=t 0, se acepta la hpótess nula, es decr: Los ajuste establecdos en el estudo realzado cumple con lo convendo entre el negocador laboral y el representante patronal Problemas propuestos para los Capítulos tratados en el Título IV Problema 0.- Una lbrería-papelería tene 7 trabajadores y los ngresos mensuales en bolívares son: 900; 960;.00; 900;.050;.00 y.00. Se pde: a) Calcular la meda poblaconal, la varanza y la desvacón estándar; b) Con los ngresos mensuales dados elaborar una dstrbucón muestral o dstrbucón de medas s organzamos los datos de la poblacón a estudar en muestras de tamaño constante de tres (3) membros, c) Calcular la gran meda o meda de medas, la varanza y la desvacón estándar de la dstrbucón muestral o dstrbucón de medas. Comentar y d) Elaborar la gráfca de barras de la dstrbucón dada y la dstrbucón muestral o dstrbucón de medas elaborada. Comentar que

135 35 Problema 0.- Las ventas de una empresa de líneas blancas en mles de bolívares durante los últmos cnco meses fueron: 76,7; 89,6; 68,0; 09, y 87,. Asumendo que estos cncos meses consttuyen la poblacón, se pde: a) Calcular la meda poblaconal, la varanza y la desvacón estándar; b) Con los movmentos económcos mensuales dados elaborar una dstrbucón muestral o dstrbucón de medas s organzamos los datos de la poblacón a estudar en muestras de tamaño constante de tres (3) membros, c) Calcular la gran meda o meda de medas, la varanza y la desvacón estándar de la dstrbucón muestral o dstrbucón de medas. Comentar y d) Elaborar la gráfca de barras de la dstrbucón dada y la dstrbucón muestral o dstrbucón de medas elaborada. Comentar. Problema 0.- Las latas de refresco venddas en la refresquería Pedroso S.R.L tenen un promedo 6, onzas con una desvacón estándar de, onzas. S se tenía una muestra de 00 latas de refresco Cuál es la probabldad de que la meda sea: a) Menor que 6,7 b) Por lo menos 5,93 y c) Entre 5,9 y 6,3. Problema 04.- Una poblacón normal tene una meda de 85 y una desvacón estándar de 7. S seleccona una muestra de 6, calcular la probabldad de que la meda de las medas muéstrales sea: a) Mayor que 90, b) Menor que 75 y c) Entre 75 y90. Problema 05.- Una poblacón cuya forma no se conoce tene una meda de 75 con una desvacón estándar de 5. S se seleccona una muestra de 40, calcular la probabldad de que la meda de las medas muestrales sea: a) Mayor que 77, b) Menor que 74, c) Entre 74 y 76 y d) Entre 76 y 77. Problema 06.- Según estudo realzado por SENIAT, las personas contrbuyentes naturales tardan 330 mnutos en promedo en preparar, copar y archvar en un medo electrónco la planlla modelo para este tpo de declaracón. Una empresa gestora que orenta a los consumdores en el preparado de estas planllas, selecconó una muestra de 40 de sus clentes y comprobó que el tempo requerdo para preparar, copar y archvar la planlla les llevó un promedo de 30 mnutos. a) Cuál es el error estándar?, b) Cuál es la probabldad de que la meda de las medas muestrales sea mayor que 35 mnutos?, c) Cuál es la probabldad de que la meda de las medas muestrales se encuentre entre 30 y 350? y d) Cuál es la probabldad de que la meda de medas muestra esa mayor que 350? Problema 07.- Una encuesta realzada por una empresa especalzada reveló que los estudantes de últmo año de secundara ven televsón en un promedo de 37, horas por semana. Se asume una desvacón estándar de 5,4 horas. En una muestra de 500 estudantes de secundara, qué tan probable es que la meda muestral sea: a) Más de 38 horas?, b) Menos de 36,6 horas? Y c) Entre 36,4 y 37,9? Problema 08.- El consumo daro de agua en San Juan de los Morros, promeda 9, ltros por hogar, con una desvacón estándar de 7,56 ltros. El Alcalde de la cudad desea estmar esta meda no conocda con una muestra de 00 hogares, Qué tan probable es que el error de muestreo exceda los,89 ltros? Problema 09.- El 30% de los empleados tenen formacón avanzada. S una muestra de 500 empleados menos del 7% estaban preparados de forma adecuada, todos los nuevos empleados contratados necestarán nscrbrse en un programa de formacón. Cuál es la probabldad de que se nce el programa? Problema 0.- La proporcón de todos los clentes Pzza Spósto C. A. que comen en el sto es del 75%. En una muestra de 00 clentes, Cuál es la probabldad de que menos del 0% lleven su comda a casa? Problema.- Una empresa elabora cables con una resstenca meda de 800 Kgs. Y una desvacón estándar de 60 Kgs. Qué probabldad debe exstr s se toma una muestra de 6 cables del msmo tpo, de tengan resstenca: a) Más de 80 Kgs.? y b) Menos de 785?

136 36 Problema.- De 34 0breros que trabajan en una empresa automotrz se observa que tenen un promedo de 3 años, con una desvacón estándar de 0 años. Se pde: a) Probabldad de que la meda muestral de 5 de ellos resulte menor de 8 años y b) Probabldad de que sobrepase los 3 años. Problema 3.- S la desvacón estándar de las notas de los estudantes de un curso de Estadístca Instrumental del I. U. G. T. es de,6 puntos. S se toma una muestra de 36 estudantes de estos estudantes, Cuál es la probabldad de que se presente un error de muestreo de 0,6 puntos o más? Problema 4.- Para estmar el gasto promedo de los clentes de un restaurant de comda rápda, los estudantes de una clase toman una muestra de 00 clentes y encuentran un gasto promedo de 5,67 Bs. con una desvacón estándar del,0 Bs. Cuál es el ntervalo de confanza del 95% para los gastos promedo de todos los clentes? Interpretar resultados. Problema 5.-En una sala de conferenca, una tertula estudantl popular vende vasos de tzana de 6 onzas. Dez estudantes compran un total de vasos y utlzando su propa taza de medda estman los contendos promedos, la meda muestral es de 5, onzas con una desvacón estándar muestral de 0,86. Con un nvel de confanza de 95% los estudantes creen que su dnero vale? Interprete el ntervalo. Problema 6.- Cen latas de 453,58 grs. de salsa de tomate de una reconocda marca naconal tenen un promedo de 430,9 grs. La desvacón estándar poblaconal en peso es de 7, grs. Dentro de un nvel de confanza del 95%, Las latas parecen estar llenas realmente con un promedo de 453,58? Problema 7.- Las bonfcacones para 0 jugadores de la Lga Naconal de las Grandes Lgas se utlzan para estmar la bonfcacón promedo para todos los nuevos jugadores. La meda muestral es de $ ,00 con S = $.300,00. Cuál es su estmacón con un ntervalo de confanza del 90% para la meda poblaconal? Problema 8.- Una empresa especalzada nformó que el 68% de todos los estudantes de secundara tenían computadoras en su casa. S una muestra de.00 estudantes revela que 673 tenen computadoras caseras. Será que dentro de un ntervalo del 99% apoya a esa empresa especalzada? Problema 9.- Una empresa de nvestgacón realzó una encuesta para determnar la cantdad meda que los fumadores gastan en cgarrllos durante una semana. Una muestra de 49 fumadores reveló que la meda muestral es de Bs. 0 y una desvacón estándar muestral de Bs. 5. a) Cuál es el estmador puntual de la meda de la poblacón? Explcar que ndca y b) Utlzando el nvel de confanza de 95%, determnar el ntervalo de confanza para la meda poblaconal. Explcar que ndca. Problema 0.- El dueño de una granja avícola quere calcular el número medo de huevos que pone una gallna. Una muestra de 0 gallnas ndca que ponen un promedo de 0 huevos al mes con una desvacón estándar de huevos por mes. a) Cuál es el valor de la meda poblaconal? Cuál es el mejor estmador de este valor? b) Explcar Por qué? se necesta usar la dstrbucón t, Qué suposcón debe hacer?, c) Para un ntervalo de confanza del 95%, Cuál es el valor de t?, d) Desarrolle el ntervalo de confanza del 95% para la meda poblaconal y e) Sería razonable llegar a la conclusón de que la meda de la poblacón es huevos, Qué tal 5 huevos? Problema.- Una embotelladora de agua potable proporcona el producto en botellones de 5 ltros a un sector de una parroqua caraqueña. El gerente desea estmar el número promedo de botellones que una casa consume en un mes. Se toma una muestra de 75 vvendas y se regstra el número de botellones consumdos, proporconando una meda de 3, botellones con una desvacón estándar de 0,78. Se desea nvestgar: a) Qué revelará un Nvel de Confanza del 9%? b) Cuántas vvendas se deben tomar en cuenta para estar el 97% seguro de que el Intervalo de Confanza no esté errado en más de 0,0 de botellones de agua?, c) Al selecconar una muestra más pequeña de 0 vvendas para estmar el promedo de membros de la famla por vvenda, arrojó los resultados sguentes:, 3, 4, 7,,, 3, 5, 6 y 6, personas por cada vvenda; cuáles serán los resultados para un Nvel de Confanza del 97% para el número promedo de membros de la famla por vvendas donde la

137 37 Desvacón Estándar es 4, botellones de agua. d) De las 75 vvendas de la muestra tenen fltros de agua en su vvenda, cuál será el estmado para un Nvel de Confanza del 95% de la proporcón de todas las vvendas en el sector de la parroqua que tenen fltros de agua? y e) Con el Nvel de Confanza anteror de todas las vvendas que tenen fltros de agua y carece de precsón, cuál será el tamaño de la muestra para producr un Intervalo de Confanza del 0%? Problema.- Para estmar gastos promedo de los clentes de un local de Mc Donald s, los estudantes de estadístca toman una muestra de de 00 clentes y encuentran un gasto promedo de Bs6,5, con una desvacón estándar de Bs 3,5. Cuál es el ntervalo de confanza para los gastos promedo de todos los clentes dentro de un nvel de confanza del 95%? Interpretar resultados. Problema 3.- Una agenca de tursmo tomó muestras de las personas que en vacacones partcpaban en cruceros por El Carbe y que vstaban a Puerto Rco. Dentro de un nvel de confanza de 96%, Cuál será el ntervalo de confanza para la proporcón de vacaconstas venezolanos s de las 8 personas encuestadas 53 eran venezolanos? Problema 4.- Qué tan grande se requere que sea el tamaño de una muestra para que proporcone una estmacón del 90% del número promedo de graduados de las unversdades naconales con un error de muestreo de.000 estudantes s una muestra ploto reporta una desvacón estándar de 8.659? Problema 5.- Para realzar un estudo se requere un nvel de confanza del 95% para la tasa de rendmento promedo de una empresa que gana sobre sus proyectos para presupuestar captal. Cuántos proyectos debe tener la muestra, s su supervsor especfca un error máxmo de sólo del 5% y una desvacón estándar de,3%? Problema 6.- Un nvestgador está nteresado en estmar la gananca en peso total, en 0 a 4 semanas de.000 polltos almentados con una nueva racón. Obvamente, pesar cada ave sería tedoso y llevaría demasado tempo. Por lo tanto, se debe determnar el número de polltos a selecconar en una muestra, para estmar el total con un límte para el error de estmacón gual a.000 gramos. Muchos estudos smlares sobre nutrcón de polltos se han llevado a cabo en el pasado. Usando datos de estos estudos, el nvestgador encontró que la varanza es, aproxmadamente de 36 gramos. Determnar el tamaño de muestra requerdo, con un nvel de confanza del 95%. Problema 7.-Para una poblacón de 3.38 electores se desea calcular el tamaño de una muestra para una encuesta donde el nvel de confanza debe ser del 98% con un error permsble del %. Cuál es el tamaño de la muestra? Problema 8.- El fabrcante de un nuevo auto compacto sostene que este promedará un consumo de 4Km./lt. en carreteras normales. En 40 corrdas de prueba el auto promedó3,9 Km. /lt. de consumo con una desvacón estándar de 0,933 Km. / lt. Podrá rechazarse la afrmacón del fabrcante dentro de un nvel de sgnfcanca del 5%? Problema 9.- Dors de Comda C. A. construrá un nuevo establecmento en una localdad propuesta solo s durante certas horas pasa por ella más de 00 automóvles por hora. En 0 horas aleatoramente muestreadas durante el horaro establecdo, el número promedo que pasan es de 08,5; con una desvacón estándar muestral 30,0. Se supone que estadístca es aproxmadamente normal. Dentro de un nvel de sgnfcanca del 5%, Se podrá rechazar la hpótess nula?. Problema 30.- El encargado para colocar en el mercado de trabajo a los graduados del I. U. G. T. sostuvo que al menos el 50% de los nuevos graduados habían cerrado un trato de empleo para el ro de Agosto. Supongamos que reúne una muestra aleatora de 30 estudantes próxma a graduarse y que solo 0 de ellos señalan haber cerrado un trato de empleo para el ro de Agosto. Dentro de un

138 38 nvel de sgnfcanca del 5%; Se podrá rechazar que sostene el encargado del I. U. G T para la colocacón en el mercado de nuevos graduado? Problema 3.- Se estuda la ubcacón de un centro comercal y se consderan las alternatvas de dos localdades tomando en cuenta el ngreso económco mensual de los membros de la comundad. Se desea probar la hpótess de que no exste dferenca entre el ngreso económco medo de ambas comundades y se supone que la desvacones estándar de ese ngreso medo tambén son guales. En una muestra de 30 hogares de la prmera comundad el ngreso mensual promedo es de Bs. 8.50,00 con una desvacón estándar de Bs. 33. En una muestra de 40 hogares en la segunda comundad, el ngreso mensual promedo es de Bs ,00 con una desvacón estándar de Bs Para un nvel de sgnfcanca del 5%, Se cumplrá la hpótess planteada? Problema 3.- En problema anteror consdere: Comundad 0 n = 6, = Bs ,00; S = 0,36 Comundad 0 n = 5; = Bs ,00; S = 0,48 α = 0,05 Problema 33.- Un fabrcante evalúa dos tpos de equpos para la fabrcacón de un componente; los datos de la nvestgacón se presentan al fnal. El índce de fabrcacón de ambas marcas es el msmo. Sn embargo debdo a que el costo de la prmera marca es sustancalmente menor, el fabrcante le concede el benefco de la duda y formula la tess de que π < π. Para un nvel de sgnfcanca del 5% probar la hpótess planteada. n Defectuoso Equpo Equpo Problema 34.- Un profesor de Estadístca Instrumental del I. U. G. T. sugere dos textos de estudos para los cursos donde dcta la matera y quere probar que el texto de estudo 0 da mejor rendmento que el texto de estudo 0, y toma apoyo un recente estudo realzado, el cual se muestra en cuadro anexo, donde se presenta el número de estudantes aprobados según el texto utlzado. Dentro de un nvel de confanza del%; Será que el profesor de estadístca estará en lo certo? Texto Curso Total Equpo Equpo Problema 35.-En 997 una empresa de nversones nformó que los empresaros en un país desarrollado nverten un promedo de Bs. cada mes en el mercado de títulos. S esta afrmacón está apoyada en un nvel de sgnfcanca del 5% y tomamos una muestra de 36 meses que nos presenta una meda de nversón de Bs y una desvacón estándar de.400 Bs. Será que la nformacón que presenta la empresa de nversones es certa? Problema 36.-Un dstrbudor de bebdas plantea la hpótess que las ventas por mes se estman en más de Bs. s selecconamos una muestra de 0 meses donde se reporta una meda de Bs,77 y una desvacón estándar de Bs 3,77. Para un nvel de sgnfcanca del 5% será certa la aseveracón del dstrbudor de bebdas.

139 39 Problema 37.- Como gerente de compras la Señora Rosa María Cavero debe decdr s se actualzan o no las computadoras de la ofcna. A ella se le nformado que el costo promedo de las computadoras es de Bs.00,00. Una muestra de 64 mnorstas revela un promedo de.5,00, con una desvacón estándar de Bs 8,00. S tomamos un nvel de sgnfcanca del 5%; Será correcta la Informacón? Problema 38.- Debdo a los retardos que se producen en el tempo para que los estudantes lleguen a tempo a clase en el I. U. G. T., el Drector Académco desea plantear una revsón de los horaros de clase. Él consdera que el tempo promedo de los estudantes para llegar a clase es de 50 mnutos. Encuestados 70 estudantes se constató que ellos tardan un promedo de 47, mnutos con una desvacón estándar de 8,9 mnutos. Para un nvel de sgnfcanca del %, Será que el Drector Académco está en lo certo?

140 40 TÍTULO V Capítulo 4 ANALISIS DE VARIANZA. Análss de varanza (ANOVA): Es un modelo estadístco dseñado específcamente para probar s dos o más poblacones presentan la msma meda. Sn embargo el propósto del ANOVA es realzar pruebas es hallar dferencas en las medas poblaconales, realzando un estudo en las varanzas muestrales. Partendo de la base que el termno ANOVA defne a la realzacón de un análss de varanza para observar s al aplcar un tratamento en partcular a una poblacón, éste tendrá un mpacto sgnfcatvo en su meda.. Defncones báscas... Dstrbucón F o de Fsher: Es la dstrbucón de probabldad utlzada como la dstrbucón del estadístco de pruebas para dferentes casos, permtendo, probar s dos muestras provenen de poblacones que tenen varanzas guales, sendo útl tambén cuando se desea comparar smultáneamente varas medas poblaconales, en este caso el proceso de comparacón se llamará Análss de Varanza (ANOVA)... Undades expermentales: Es cada sub-grupo en los cuales se dvde una poblacón o muestra para realzar el estudo y que serán sometdos a los tratamentos... Tratamento: Es la nfluenca o efecto que pueda tener los valores o datos externos sobre las medas de las undades expermentales de las poblacones examnadas...3. Factor: Es la varable de cada undad expermental que se desea medr en el estudo que se realza...4. La razón F tal y como se utlza en ANOVA: La razón F es una razón de la varacón entre muestras y la varacón dentro de las muestras. Este factor aumentará al tener medas poblaconales dferentes, donde se presenta el efecto del tratamento; sendo grandes las desvacones entre las muestras comparadas con la desvacón del error dentro de una muestra. En el desarrollo de este estudo estudaremos la aplcacón del ANOVA sobre modelos fjos, donde selecconaremos tratamentos específcos o se fjan antes de comenzar a realzar el estudo.. Comparacón de las varanzas de poblacón: Tenendo las observacones de dos poblacones se establece como estadístca de pruebas: La varanza mayor se toma en el numerador y la menor en el denomnador Análss de varanza a una sola vía (Dseño completamente aleatoro) Para realzar el ANOVA a una sola vía se requere obtener la gran meda de todas las observacones en últmo lugar: K y en prmer lugar la meda artmétca de cada subgrupo en la cual fue dvdda la muestra o la poblacón:

141 4 n.3. Varacón total: Es la suma de las dferencas elevadas al cuadrado entre cada observacón y la meda total o gran meda es decr es el desvío elevado al cuadrado de la observacón de la poblacón o muestra respecto a la meda total o gran meda. j K j j SCT.3. Varacón tratamento: Es la suma de las dferencas elevadas al cuadrado entre la meda artmétca de cada Undad Expermental y la meda total o gran meda, es decr el desvó elevado al cuadrado de cada meda artmétca de las Undades Expermentales respecto a la meda total o gran meda. c j n SCTR c.3.3. Varacón de error o aleatora: Es la suma de las dferencas elevadas al cuadrado entre las observacones por Undades Expermentales y sus respectvas medas (meda de cada Undad Expermental) o es el desvío al cuadrado de cada observacón vnculada a la respectva meda o promedo de cada Undad Expermental j K n j j j SCE Para comprobar resultado debe cumplrse que SCE= SCTR + SCE.3.4. Cuadrados Medos: Para obtener los cuadrados medos a cada varacón obtenda, se le dvde el valor de cada una entre sus respectvos grados de lbertad. a) Grado de lbertad para la varacón total; g.l. de SCT= n-; n= número total de observacones de la poblacón o muestra, y tenen una () sola restrccón ya que (gran meda) es únca. b) Grado de lbertad para la varacón de tratamento; g.l. de SCTR = C-, donde se tene que C = número de Undades Expermentales, y cada una de ellas solo tene una () restrccón ya que (meda de cada Undad Expermental) es únca para cada Undad Expermental. c) Grado de lbertad para la varacón de error o aleatora; g.l. de SCE = n-c, ya que se estuda el error de todos las Undades Expermentales y el error total de la poblacón estudada, en consecuenca tenemos que: Cuadrado medo total j Cuadrado medo de tratamento Cuadrado medo del error o aleatora.3.5. Estadístco de prueba para las conclusones de ANOVA Razón de Fsher o F para una prueba de medas

142 4 S F es menor que (F<Fo) se acepta la hpótess nula de lo contraro (F>Fo) se rechaza Suposcones de ANOVA Se supone: a) Las poblacones sguen la dstrbucón normal b) las poblacones presentan desvacones típcas o estándares guales c) las muestras se selecconan de manera ndependente. Problemas Resueltos Problema 0.-La sguente es nformacón de una muestra. Probar la hpótess de que las medas de tratamentos son guales, para un nvel de sgnfcanca del 5%. Trat. 0 Trat. 0 Trat Datos: 5%; el restoestáenlatabla Fórmulas: f c Suma CuadradoTotal : SCT ; Suma decuadrados detratamentos : SCTR f j j j jk f c Suma Cuadrado del Error : SCE ; Cuadrado MedoTotal : CMT j j j SCT n SCTR SCE CMTR Cuadrado Medo del Tratamento : CMTR ; Cuadrado MedoTotal : CMT ; F ; c n c CME n Tamaño total dela poblacón; f Número de flas; c Número de columnas. ck jk Solucón Prmer Paso.- Plantear la hpótess La Hpótess Nula; H :" Las medas delos tratamentos son guales" La Hpótess Alternatva; " Las medas delos tratamentos son dferentes", Segundo Paso.- Determnar el Estadístco de Prueba

143 43 C C C SCT SCTR SCE GRAN MEDIA 9 0 8,605 0,0045,49,000 0, ,3345 8,605,474 9,000, ,385 0,0045,0904 9,000 0, ,605 4,75,000,560 CMTR,49 5 0,0045 9,4065 4,000 6, ,7365 0,000 Mc M c M c3 3,7365 8,063 CME 8,63 0,000 4,50,400 65, ,063 4,75 0,063,385,563 0,643,904 76,750,00 F,76 SCT 4,933 SCTR 44,983 SCE 97,950,933 MED. CUAD. TRAT. MED. CUAD. ERROR VALOR DE FISHER Tercer Paso.- Selecconar el Nvel de Sgnfcanca, formular la Regla de decsón y tomar la decsón Como es ANOVA, para probar la Hpótess Nula se usa la Ddtrbcón de Fsher, la prueba es de una sola cola y postva, por o= 5%. Para aceptar la Hpótess Nula debe cumplrse que: Como F,76 3,89 F, g. l. N. ; g. l. D ; % 5% Se acepta la hpótess nula, es decr: Las medas de los tratamentos son guales F F g l N g l D... ;.. ; % 5% Problema 0.- Se emplean tres sstemas de nyeccón de are y se quere probar s exste una dferenca sgnfcatva entre ellos. Se elgen cnco elementos de cada sstema y se mde la efcenca de cada uno de los elementos. Los resultados fueron tabulados y se presentan al fnal. Para un nvel de sgnfcanca del,5% probar s realmente exste una dferenca sgnfcatva entre ellos. Efcenca Muestra A B C

144 44 Datos:,5%; el restoestáenlatabla Fórmulas: f c Suma CuadradoTotal : SCT ; Suma decuadrados detratamentos : SCTR f j j j jk f c Suma Cuadrado del Error : SCE ; Cuadrado MedoTotal : CMT j j j SCT n SCTR SCE CMTR Cuadrado Medo del Tratamento : CMTR ; Cuadrado MedoTotal : CMT ; F ; c n c CME n Tamaño total dela poblacón; f Número de flas; c Número de columnas. ck jk Solucón Prmer Paso.- Plantear la hpótess La Hpótess Nula; H :" Exste una gran dferenca entrelos tres sstemas denyeccón de are" La Hpótess Alternatva; " Noexsteuna gran dferenca entrelos tres sstemas denyeccón de are", Segundo Paso.- Determnar el Estadístco de Prueba C C C SCT SCTR SCE GRAN MEDIA ,8 7,8 00,534 4,840 3,60 6, ,086 89,64 0,356 77,440, ,538 9,888 84,04 74,40 0,360 MED. CUAD. TRAT ,48 55,46 7,840 40,960 CMTR 67, ,46 3,49 4,440 9,60 9,888 7,040 MED. CUAD. ERROR Mc M c M c3 0,84 0,640 CME 9,467 3,800 6,00 0,400 89,64 84,640 0,944 6,640 6,46 7,840 VALOR DE FISHER 76,49 479,44 55,600 95,00 F,85 SCT 95,733 SCTR 384,933 SCE 80,800 Tercer Paso.- Selecconar el Nvel de Sgnfcanca, formular la Regla de decsón y tomar la decsón Como es ANOVA, para probar la Hpótess Nula se usa la Ddtrbcón de Fsher, la prueba es de una sola cola y o=,5%. Para aceptar la Hpótess Nula debe cumplrse que: F F g. l. N. ; g. l. D ; %,5% Como: F,85 5,0 F, Se g. l. N. ; g. l. D ; %,5% acepta la hpótess nula, es decr: S exste una gran dferenca entre los tres sstemas de nyeccón de aíre

145 45 Capítulo LA PRUEBA NO PARAMETRICA DEL CHI CUADRADO. Defncones báscas... Pruebas no paramétrcas: Son procedmentos estadístcos que pueden utlzarse para contrastar hpótess cuando no son posbles los supuestos respecto a los parámetros o a las dstrbucones poblaconales... CHI-CUADRADO ( ) Es la suma de las fraccones que tenen por numerador el cuadrado de las dferencas entre las frecuencas observadas o reales y las frecuencas esperadas o teórcas y por denomnador la frecuenca esperada O E.3. Aplcacones más comunes de las prueba CHI-CUADRADO.3.. Pruebas de Bondad de Ajuste: Meddas sobre qué tan cerca se ajustan los datos muestrales observados a una forma de dstrbucón partcular planteada como hpótess. Para entrar a la tabla del CHI-CUADRADO y obtener, se necesta conocer E el nvel de sgnfcanca y el grado de lbertad donde K es el número de categorías o clases y m es el número de parámetros a estmar, sno se estma nngún parámetro m= Prueba para un ajuste unforme: Cuando las frecuencas esperadas o teórcas se presentan guales Prueba específca a un patrón específco: Es cuando las frecuencas esperadas o teórcas no son guales. E np ; n= tamaño de la muestra p = posbldad de cada categoría Prueba de Normaldad: Apoyados en la dstrbucón normal probar s esta se cumple para seres abertas. Para cualquer prueba de bondad de ajuste la regla de decsón se establece de la manera sguente: s 0, se acepta la hpótess nula..3.. Pruebas de ndependenca. La prueba del CHI-CUADRADO, tambén permte la comparacón de dos atrbutos para determnar s exste una relacón entre ellos. La mejor manera de probar la ndependenca entre dos atrbutos, es revsando esta ndependenca entre dos varables con escala nomnal en una tabla de contngenca. Ejerccos Ejercco 0.- Amérca Uzcátegu, Gerente General y dueña de la empresa mayorsta, Uzcátegu de Almentos C.A., asume la responsabldad de tomar la decsón de comprar las cajas de mermeladas cada una de 4 envases, entre cuatro empresas productoras del artículo. Amérca consdera que las cuatro empresas productoras presentan la msma demanda del artículo. Ante la escasez de almentos, se pensan comprar 06 cajas el total de

146 46 exstenca del producto en los depóstos de la comercalzadora y que se estma vender en la semana sendo la exstenca de esas cuatro marcas de mermeladas la sguente: Marca A 6 cajas, Marca B 3 cajas, Marca C 9 cajas, Marca D 8 cajas y de la Marca E 4. Para un nvel de sgnfcanca del,5%; Será que el crtero de Amérca Uzcátegu es váldo? Solucón Datos:,5%; el restoestáenlatabla Fórmulas: k E Frecuencas deeventos esperados; O Frecuencas deeventos observados enlos datos muestrales; K O E E Número decategorías o clases Desarrollo: Pr mer Paso. Plantear la Hpótess La Hpótess Nula; H :" Las ventas delos artículos de mermeladas es unforme segúnlo dcela GerenteGeneral" La Hpótess Alternatva; " Las ventas delos artículos de mermeladas noes unformec ontraroalodcegerentegeneral", Segundo Paso. Deter mn ar el Estadístco deprueba Marcas f O f E (f O -f E ) (f O -f E ) /f E "A" 6 0,00 6,0 0 0,000 "B" 3 0,00 6,0 9 0,346 "C" 9 0,00 6,0 9 0,346 "D" 8 0,00 6,0 4 0,54 "E" 4 0,00 6,0 4 0, ,0 =,000 Tercer Paso.- Selecconar el Nvel de Sgnfcanca, formular la Regla de Decsón y Tomar la Decsón Como es una prueba de Ch- Cuadrado es de una sola cola y o=,5%. Para aceptar la Hpótess Nula debe cumplrse que: 0 gl.. 4; 0,5%,000,43 gl, Se 0.. 4; 0,5% acepta la hpótess nula, es decr: La venta de los artículos de mermeladas se venden de manera unforme según lo afrma la Gerente General Ejercco 0.- Un laboratoro está procesando un fármaco para utlzarlo en una nvestgacón médca. Se están probando cnco métodos para determnar cuál es el método que tene menos probabldad de contamnar el fármaco procesado. Los centífcos que realzan el estudo consderan que la contamnacón está dstrbuda normalmente. Se seleccona la produccón durante 0 días para cada método de procesamento, anotando el

147 47 método que produce las ampollas menos contamnadas en ese día. Consderando las tasas de contamnacón unformes. Para un nvel de sgnfcanca del %, probar s realmente la contamnacón es unforme tomando lo datos de la tabla sguente, donde se anotaron los resultados de los días donde no se encontraron ampollas no contamnadas Datos: Fórmulas: k Métodos de procesamento A B C D E Días en los cuales no hubo contamnacón Solucón %; el restoestáenlatabla E Frecuencas deeventos esperados; O Frecuencas deeventos observados enlos datos muestrales; O E E K Número decategorías o clases Desarrollo: Pr mer Paso. Plantear la Hpótess La Hpótess Nula; H :" La conta mn acón es unforme" La Hpótess Alternatva; " La conta mn acón no es unforme", Segundo Paso. Deter mn ar el Estadístco de Prueba Método f O f E (f O -f E ) (f O -f E ) /f E "A" 36 0, ,000 "B" 0, ,375 "C" 9 0, ,04 "D" 8 0, ,500 "E" 6 0, ,67 Como es una prueba de Ch- Cuadrado es de una sola cola y o= %. Para aceptar la Hpótess Nula debe cumplrse que: 0 gl.. 4; 0 % 0 96 = 8,97 8,97 3,77 gl, Se 0.. 4; 0 % acepta la hpótess nula, es decr: La contamnacón es unforme Ejercco 03.- El Gerente de una agenca bancara, trata de segur una polítca de conceder crédtos de acuerdo a las sguentes actvdades productvas: Actvdad Comercal (A) un 35%, Actvdad Agrícola (B) un 5%, para la Exportacón un (C) 6%, para Comercalzacón al detal (D) un 3% y a Personas Naturales (E) el resto de la cartera credtca. Se quere evaluar s la polítca trazada por el gerente se está llevando a cabo, para lo cual seleccona aleatoramente 65 crédtos otorgados en el últmo mes y esto fue el resultado del nventaro: A 6 crédtos, B 45; C 6; D 8 y E 5. Para un nvel de sgnfcanca del %; Será que se está sguendo la polítca credtca del gerente del banco?

148 48 Solucón Datos: %; el restoestáenlatabla Fórmulas: k E Frecuencas deeventos esperados; O Frecuencas deeventos observados enlos datos muestrales; O E E K Número decategorías o clases Desarrollo: Pr mer Paso. Plantear la Hpótess La Hpótess Nula; H :" Se sguela polítca del Gerentebancaro" Alternatva; " No se sguela polítca del Gerentebancaro " Segundo Paso. Deter mn ar el Estadístco deprueba La Hpótess Ac. Com. f O f E (f O -f E ) (f O -f E ) /f E "A" 6 0, ,750 0,56 0,83 "B" 45 0,500 4,50 4,06 0,34 "C" 6 0,600 6,400 0,6 0,006 "D" 8 0,300,450,90 0,555 "E" 5 0,00 8,50 9,9 0,547 Como es una prueba de Ch- Cuadrado es de una sola cola y o= %. Para aceptar la Hpótess Nula debe cumplrse que: 0 gl.. 4; 0 % 65 65,000 =,63,63,668 gl, Se 0.. 4; 0 % acepta la hpótess nula, es decr: Se sgue la polítca del Gerente Bancaro Ejercco 04.- Para un nvel de sgnfcanca del % probar s la dstrbucón de frecuenca que se presenta al fnal consttuye una Dstrbucón Normal. Para una Meda Poblaconal: Notas De 0 a 4 De 4 a 8 De 8 a De a 6 De 6 a 0 Estudantes Solucón Datos: %; 0; 4,38; el restoestáenlatabla Fórmulas:

149 49 k E Frecuencas deeventos esperados; O Frecuencas deeventos observados enlos datos muestrales; O E E K Número decategorías o clases Desarrollo: Datos: % %; el restodelos datosenlatabla Fórmula: k O E E Desarrollo: Prmer Paso.- Planteamento de la Hpótess. Hpótess Nula; H 0: Esta dstrbucón responde a una Dstrbucón Normal Hpótess Alternatva; H A: Esta dstrbucón no responde a una Dstrbucón Normal Segundo Paso.- Determnar el Estadístco de Prueba. Clases f O f E (f O -f E ) (f O -f E ) /f E "A" 5 0,0853 4,65 0,54 0,7 "B" 0 0,375,875 3,56 0,96 "C" 0 0,3544 7,70 5,98 0,93 "D" 0 0,375,875 3,56 0,96 "E" 5 0,0853 4,65 0,54 0, ,000 =,0 Z 4 0 A Menosde 4,37 4,38 4 0,5000 0, 447 0,0853 Z ,38 0,46 A 4 8 0, 447 0,77 0, 375 Z 0 0,46 4,38 A 8 0,77 0,77 0,3544 Z 6 6 0,37 4,38 A 6 0, 447 0,77 0, 375

150 A Z6,37 Másde 6 0,5 0, 447 0,0853 4,38 Tercer Paso.- Selecconar el Nvel de Sgnfcanca, formular la Regla de Decsón y Tomar la Decsón Como es una prueba de Ch- Cuadrado es de una sola cola y o= %. Para aceptar la Hpótess Nula debe cumplrse que: 0 ( gl.. 4, 0 % %) Como :,, 668 gl, 0(.. 4; % %) 0 Se acepta la hpótess nula, es decr: Esta dstrbucón responde a una Dstrbucón Normal Ejercco 06.- Al fnal se presenta una dstrbucón de frecuencas que refleja el número de sacos de naranjas recbdas por un comercante del Mercado al por Mayor de Coche durante 00 días. Se obtuvo que la meda era: 80,5; con una desvacón estándar, 8,09, Para un nvel de sgnfcanca del 5%, probar s esta dstrbucón es normal. Sacos de naranjas Menos de 0 De 0 a 50 De 50 a 90 De 90 a 30 Más de 30 Días Solucón Datos: 5%; 80,5; 8,09; el restoestáenlatabla Fórmulas: k E Frecuencas deeventos esperados; O Frecuencas deeventos observados enlos datos muestrales; K O E E Número decategorías o clases Desarrollo: Pr mer Paso. Plantear la Hpótess La Hpótess Nula; H :" Esta dstrbucónes normal " La Hpótess Alternatva; " Esta dstrbucón no es normal", Segundo Paso. Deter mn ar el Estadístco de Prueba

151 5 Para x<0 Z ,5 30,09,0 A=0,5000-0,4778=0,0 Para: 0<x<50 Z ,5 30,09 0,68 A=0,4778-0,58=0,30 Para 50<x<90 Z ,5 30,09 0,65 A=0,58 + 0,4 = 0,4940 Para 90<x<30 Z ,5 30,09,98 A=0,476 0,4 = 0,340 Para 30<x Z ,5 30,09,98 A= 0,5000-0,476 = 0,038 "A" 5 0,0,0 63,3 73,57 "B" 0 0,60,600 6,76 0,99 "C" 30 0, , ,4 7,69 "D" 0 0,340 3,400,56 0,494 "E" 5 0,038,380 59,3 66, ,000 = 48,90 Como es una prueba de Ch- Cuadrado es de una sola cola y o= %. Para aceptar la Hpótess Nula debe cumplrse que: 0 gl.. 4; 0 5% 48,90 9,488 gl, No se 0.. 4; 0 5% acepta la hpótess nula, es decr: Esta dstrbucón no responde a una Dstrbucón Normal Ejercco 06.- Una compañía trabaja con cuatro máqunas en tres turnos daros. La sguente tabla de contngenca presenta las veces que fallaron y se pararon las máqunas durante un período de ses meses.

152 5 Tabla de contngenca de número de paros Máqunas A B C D Total por Turno turnos Turno Turno Turno Total por máquna Para un nvel de sgnfcanca del 5% probar que para un paro arbtraro, la máquna que ocasona ese paro es ndependente del turno cuando ocurre. Solucón Datos: % 5%; el restodelos datosenlatabla Fórmula: k O E E Desarrollo Prmer Paso.- Planteamento de la Hpótess. Hpótess Nula; H 0: Para un paro arbtraro la máquna que lo ocasona, no tene nada que ver con el turno cuando ocurre Hpótess Alternatva; H A: Para un paro arbtraro la máquna que lo ocasona, s tene nada que ver con el turno cuando ocurre Segundo Paso.- Determnar el Estadístco de Prueba. A B C D T-T O E O E O E O E O E T-0 0 8,370 4,03 6 5, , ,00 T-0 0,674 4, , , ,00 T-03 3, ,90 7 7,97 0 9, ,00 T-MQ , ,000, ,00 0,37 0,34 0,03 0,003 0,564 0,89 0,036 0,03 0,09 0,004 0,8 0,005 =,84 Tercer Paso.- Selecconar el Nvel de Sgnfcanca, formular la Regla de Decsón y Tomar la Decsón Como es una prueba de Ch- Cuadrado es de una sola cola y o= 5%. Para aceptar la Hpótess Nula debe cumplrse que: 0 ( gl.. 6, 0 % 5%) Como :,84,59 gl, 0(.. 6; % 5%) 0 Se acepta la hpótess nula, es decr: Para un paro arbtraro la máquna que lo ocasona, no tene nada que ver con el turno cuando ocurre

153 53 Ejercco 07.- Se regstraron un total de 309 muebles defectuosos, se clasfcaron los defectos en cuatro tpos (A; B; C; D). Al msmo tempo el turno (; ; 3), cuando se produjo cada uno de los muebles. Esta nformacón se presenta en la tabla de contngenca que se presenta al fnal. Para un nvel de sgnfcanca del 5%; Proporcona los datos sufcentes evdencas para conclur que las proporcones de los cuatro tpos de defectos varían de un turno a otro? Datos: Fórmulas: k Tpo de defecto Turno A B C D Total Total Solucón 5%; el restoestáenlatabla E Frecuencas deeventos esperados; O Frecuencas deeventos observados enlos datos muestrales; K O E E Número decategorías o clases Datos: % %; el restodelos datosenlatabla Fórmula: f j f O f E f E Solucón Desarrollo Prmer Paso.- Planteamento de la Hpótess. Hpótess Nula; H 0: Las proporcones de los cuatro tpos de defectos varían de un turno a otro Hpótess Alternatva; H A: Las proporcones de los cuatro tpos de defectos no varían de un turno a otro Segundo Paso.- Determnar el Estadístco de Prueba.

154 54 A B C D T-T O E O E O E O E O E T-0 5,5 0, ,939 3, ,00 T-0 6,990 3, ,767 5, ,00 T , , ,94 0 4, ,00 T-DEFC , , , , ,00,560 0,000 0,943 0,79 0,394 4,66 0,836 3,94,447 3,449 0,00,968 = 0,968 Tercer Paso.- Selecconar el Nvel de Sgnfcanca, formular la Regla de Decsón y Tomar la Decsón Como es una prueba de Ch- Cuadrado es de una sola cola y o= 5%. Para aceptar la Hpótess Nula debe cumplrse que: 0 ( gl.. 6, 0 % %) Como : 0,968 5, 033 gl, 0(.. 6; % %) 0 No se acepta la hpótess nula, es decr: Las proporcones de los cuatro tpos de defectos no varían de un turno a otro Problemas Propuestos para los Capítulos del Título V Problema 0.- Dadas las sguentes hpótess: H 0 H A Una muestra aleatora de 0 observacones de la prmera poblacón resultó con una desvacón estándar de. Una muestra aleatora de observacones de la segunda poblacón resultó con una desvacón estándar de 9. Con un nvel de sgnfcanca del %, Exste alguna dferenca en la varacón de las dos poblacones? Problema 0.- Dadas las sguentes hpótess: H H 0 A Una muestra aleatora de 8 observacones de la prmera poblacón resultó con una desvacón estándar de 5. Una muestra aleatora de 9 observacones de la segunda poblacón resultó con una desvacón estándar de 0. Con un nvel de sgnfcanca del %, Exste alguna dferenca en la varacón de las dos poblacones? Problema 03.- Se quere saber s habrá gualdad en las medas de las poblacones de las notas obtendas por un grupo de estudantes en las materas que se presenta en tabla anexa. Realzar el estudo para un nvel de sgnfcanca del 5%

155 55 Contabldad Estadístca Instrumental Matemátca Instrumental Problema 04.- Un dado de ses caras se lanza 40 veces y aparecen los números del al 6 según se muestra en la dstrbucón de frecuencas a contnuacón. Con un nvel de sgnfcanca del 5%, Podemos conclur que el dado está legal? Cara Resultado Problema 05- Una empresa mayorsta de de artículos de ferretería trata de utlzar una polítca de extender sus movmentos económcos, para lo cual decde establecer un cuadro de crédtos que de manera porcentual sería: a) Empresas Comercales de la Captal, 3%; b) Para Empresas Comercales fuera de la Captal, 8%, c) Empresas de Construccón, 4%, d) Comercales para la Venta al Detal,6% y a Personas Natrales, %. El dueño del negoco quere demostrar s esta polítca se está cumplendo y resolvó revsar 50 crédtos otorgados de los cuales 74 fueron otorgados a Empresas Comercales de la Captal, 38 a Empresas Comercales fuera de la Captal, 64 a Empresas de Construccón, 45 a Comercales para la Venta al Detal y 9 a Personas Naturales. S a nvel de sgnfcanca del,5%; Se mantuvo el patrón de la polítca de extender sus movmentos económcos? Problema 06.- A los consumdores de un centro comercal se le pden calfcar un nuevo producto en una escala contnua que comenza en cero. Con base a los datos presentados en cuadro anexo; Se podrá conclur a un nvel de sgnfcanca del %, que los datos están dstrbudos normalmente con una meda de 5,5 y una desvacón estándar de,8? Calfcacón Frecuenca Calfcacón Frecuenca Menos de 35 7 De 55 a De 35 a 40 4 De 60 a 65 5 De 40 a 45 6 De 65 a 70 8 De 45 a Más de 70 3 De 50 a Problema 07.- A los consumdores de un centro comercal se le pden calfcar un nuevo producto en una escala contnua que comenza en cero. Con base a los datos presentados en cuadro anexo; Se podrá conclur a un nvel de sgnfcanca del %, que los datos están dstrbudos normalmente con una meda de 5,5 y una desvacón estándar de,8? Calfcacón Frecuenca Calfcacón Frecuenca

156 56 Menos de 35 7 De 55 a De 35 a 40 4 De 60 a 65 5 De 40 a 45 6 De 65 a 70 8 De 45 a Más de 70 3 De 50 a Problema 08.- El Gerente de Produccón de una empresa de equpos electróncos desea comparar los tempos medos empleados para nstalar un equpo electrónco según tres métodos dferentes de montaje A, B y C. Se escogeron los ses más expertos técncos para realzar el expermento, y cada uno de ellos montó el equpo usando los tres métodos los cuales se le sumnstraron de manera aleatora, y en tabla anexa se muestran los tempos medos. Para un Nvel de Sgnfcanca del 5%; Los datos presentados en la tabla proporconan la nformacón para ndcar que exste dferenca en el tempo medo de nstalacón para los tres métodos? MÉTODO INSTALADOR A 0,,6 9,,5 8,7,5 B 3,7 4,,6 4,3 0,,5 C,4 3,0,9,0 9,8 0, Problema 09.- Se selecconaron tres marcas de gasolna A, B y C, y se tomaron cuatro automóvles de la msma marca y modelo, para probar un expermento donde cada en cada automóvl vamos a usar las tres marca de gasolna de un solo tpo. Al utlzar cada marca de gasolna en un msmo automóvl, se elmna la varabldad de un automóvl a otro. En tabla anexa se sumnstran los datos que arrojó el resultado de expermento, en Klómetros por ltros. Para un Nvel de Sgnfcanca del,5%, Hay evdenca de una dferenca promedo para los cuatros automóvl? Automóvl M. Gasolna 3 4 A 7,9 7,56 7,66 7,5 B 7,63 7,84 7,87 7,80 C 7,5 7,94 7,49 7,84 Problema 0.- Una empresa de construccón de vvendas tene pensado realzar un desarrollo comercal en San Juan de los Morros. Se evalúan tres terrenos. Los ngresos daros de los pobladores de la zona vecna al centro comercal es de especal mportanca. Se seleccona aleatoramente cuatro famlas que habtan cerca de cada terreno. En tabla anexa se presentan los resultados muestrales de la nvestgacón. Para un Nvel de Sgnfcanca del 5%; Se puede conclur para la empresa que exste una dferenca en los ngresos promedos daros?

157 57 Vía Fermín Toro Avenda Bolívar Avenda Fuerza Armada Problema.- En un centro de juego de bllar el encargado lleva una relacón de las jugadas dara de lunes a vernes que se realzan en las cuatro mesas que componen el conjunto y los resultados se anotan al fnal. Tomando un Nvel de Sgnfcanca del 5%; Será que exste dferencas entre el número de jugadas dara para las 60 jugadas que se hceron en una semana determnada? Día Lunes Martes Mércoles Jueves Vernes Jugadas Problema.- En la compra dara realzada durante dos meses en una tenda el Gerente de Admnstracón establecó que la compra por una persona podría contablzarse por el número de veces que vste para comprar en la tenda. Por una vsta el 35%, por dos vstas, el %, por tres vstas el 7%, por cuatro vstas el %, por cnco vstas el 9% y por ses vstas 5%. Al realzar un estudo sobre lo comprado por vsta realzado por los clentes se determnó la sguentes compras en mles de bolívares promedo: en una vsta Bs. 7,56; en una segunda vsta Bs. 4,5; en una tercera vsta Bs. 3,86; en una cuarta vsta Bs. 3,36, en una quta vsta,5 y en una sexta vsta Bs,88. Para un Nvel de Sgnfcanca del %, Será que el Gerente de Admnstracón de la tenda tene una buena aprecacón en su planteamento? Problema 3.- En un estudo realzado por el Ingenero Andrés Scott Velásquez, Coordnador del Departamento de Matemátcas y Estadístca del Insttuto Unverstaro de Gerenca y Tecnología, sobre los sueldos de los profesores de varos nsttutos unverstaros recopló la nformacón que se presenta en cuadro anexo. Utlzando un sstema programátco para estadístca determnó que el pago promedo es de Bs. 53,94 con una desvacón estándar de Bs,98. Para un Nvel de Sgnfcanca del 5%; Concden las frecuencas observadas con las frecuencas esperadas, con base a la Dstrbucón Probalístca Normal? 0Sueldo (Mles de bolívares) Número de Insttutos Menos de 30 De 30 a 40 De 40 a 50 De 50 a 60 De 60 a 70 De 70 a 80 De 80 a 90 Más de Problema 4.- Para un Nvel de Sgnfcanca del %, verfcar s en la Tabla de Contngenca que se presente al fnal exste relacón entre los resultados presentados en las flas con los presentados en las columnas.

158 58 Flas Columnas Problema 5.- Se han recolectado datos sobre 700 economstas en la Docenca Unverstara, el Sector Prvado y el Sector Públco respecto a sus opnones sobre la economía podría ser estable, podría expandrse o podría entrar en un período de contraccón en el futuro próxmo. Para un Nvel de Sgnfcanca del,5%; Se podría consderar que exste una relacón entre lo que opnan los economstas sobre la stuacón de la economía y el sector donde ellos prestan servcos? (Ver Tabla de Contngenca) Economía Estable Expansón Contraccón Total Economsta Docentes Sector Prvado Sector Públco Total

159 59 TÍTULO VI Capítulo 6 ESTADISTICA INFERENCIAL PARA EL ESTUDIO DE DOS VARIABLES CORRELACION Y REGRESION LINEAL La estadístca aborda el tema de la relacón que puede concretarse entre dos varables establecendo el comportamento de una varable respecto a la otra en cuanto a su dependenca o ndependenca y en cuanto a su fortaleza. Lo certo es que el estudo de esta relacón es muy utlzado en el mundo de los negocos, y s se quere nos da la herramenta más senclla para la ncacón del estudo de los pronóstcos o predccones.. Correlacón Lneal: Establece la relacón exstente entre dos varables. Análss de correlacón: Es el grupo de técncas que nos permte medr la asocacón exstente entre dos varables... Varable Dependente: Es una varable que se calcula o predce... Varable Independente: Es una varable que proporcona las bases para el cálculo, es la varable de predccón.. Coefcente de Correlacón: Establece la medda de la magntud de la relacón entre dos varables. Correlacón Correlacón Correlacón Negatva Nula Postva Perfecta Perfecta Correlacón Correlacón Negatva Postva Moderada Moderada Correlacón Correlacón Correlacón Correlacón Negatva Negatva Postva Postva Fuerte Débl Débl Fuerte , ,5 + Fuerza y dreccón del coefcente de correlacón Calculo del Coefcente de correlacón Lneal Fórmula fundamentada en los Mínmos Cuadrados n Y Y r Fórmula fundamentada en el concepto de la Desvacón Estándar de cada varable S Y Y xy r n n Y Y S S n S S Recordando que: x y x y n Y ny Y Y Sx ; S y ; Sxy n n n

160 60 Ejercco resuelto Dados los sguentes pares ordenados de (x, y) observados; {(, 5), (5, 8), (3, 7), (, ), (8, 5)} aplcando la fórmula de los Mínmos Cuadrados calcular la Correlacón Lneal y comprobar con la fórmula de las desvacones estándar de ambas varables. Solucón Nº Y Y 9 36; Y Y -Meda Y -MedaY (Des )x(desy ) ,80 -,4 4, ,0 0,6 0, ,80-0,4 0, ,80-5,4 5, ,0 7,6 3, ,4 r n Y Y n n Y Y r 0,978 n Y ny Y Y Sx ; S y ; Sxy n n n , , 4 Sx 7, 7 Sx, 775; S y 3,3 S y 4, , 4 Sxy 3, Sxy 3, r r 0, SS, 775 4, 87 x y. Regresón Lneal: Establece el análss para desarrollar una ecuacón que permte expresar la relacón lneal entre dos varables.. Análss de Regresón Lneal: Es la técnca utlzada para desarrollar la ecuacón lneal y proporconar los estmados. Ecuacón de Regresón Lneal: Es la ecuacón que expresa la relacón lneal entre dos varables. Forma General de la Ecuacón de Regresón Lneal: Y A B.. Determnacón de los valores de A y B Método de los Mínmos Cuadrados: Determna la ecuacón de la recta de regresón mnmzando la suma de los cuadrados de las dstancas vertcales entre los valores reales dependentes Y y dos valores pronostcados de la msma varable dependente Y

161 6 Calculo de B Método de los Mínmos Cuadrados n Y Y B n Calculo de A Y A B A Y B n n Método Conceptual S y B r S.3. El poder explcatvo de una Ecuacón de Regresón Lneal El estudo que se presenta sobre la Regresón Lneal ntenta explcar los cambos que puede expermentar una Varable Dependente Y provocado por una Varable Independente. S solo las observacones que se tuveran fueran de la Varable Dependente Y, la tendenca central de Y se representaría por la Meda Artmétca Y y la varabldad total en torno a Y se representa por el numerador del estmador de la varanza muestral x Y Y. Cuando se tenen las meddas de la Varable Independente, la tendenca central de Y se puede expresar en funcón de, por lo tanto es de esperarse que la recta de la Ecuacón de Regresón Lneal esté más cerca de los valores partculares de Y y que, por lo tanto, la varabldad en torno a la Ecuacón de Regresón Lneal sea menor que la varabldad en torno a la Meda Artmétca. Por lo tanto se han establecdo condcones que permte desarrollar meddas que señalen la efcaca con que la Varable Independente explca el comportamento de la Varable Dependente Y, sendo el Coefcente de Determnacón la medda que explcan esta efcaca. Coefcente de determnacón: Es el porcentaje de la varacón total en la varable dependente Y que se explca o contablza por la varacón en la varable ndependente. Realzando un análss de varanza sobre la explcacón del poder explcatvo de la Ecuacón de Regresón Lneal, donde la suma total de los cuadrados (STC); es gual a la suma del cuadrado de la regresón (SCR); más la suma de los cuadrados de los errores (SCE); donde: ; STC Y Y SCR Y Y B y SCE Y Y Por lo que STC = SCR + SCE y de allí tendríamos que: D r S C R S T C S C E S T C

162 6 Problema Resuelto Dados los sguentes pares ordenados de (x, y) observados; {(, 5), (5, 8), (3, 7), (, ), (8, 5)} aplcando la fórmula de los Mínmos Cuadrados calcular: a) La Ecuacón de la Recta de Regresón Lneal, b) El valor Y para = 4 (Y (=4)) y c) El Coefcente de Determnacón y demostrar que r D Solucón Nº Y Y Y -Meda Y -MedaY (Des )x(desy ) ,80 -,4 4, ,0 0,6 0, ,80-0,4 0, ,80-5,4 5, ,0 7,6 3, ,4 B n Y Y a) n A Y n B n Y 37, ,936, 70 A 0,936 B,70 = b) Y 0,936, 70, para 4 Y 0.936, 70 4 Y 7, c) Cálculo de D STC Y Y SCR B 5 7,4 8 7,4 7 7,4 7,4 5 7,4,70 3,8 5 3,8 3 3,8 3,8 8 3,8 93, 89,7 S C R 89,7 D D 0,956 r D 0,956 r 0,978 S T C 93,

163 63.4. Error Estándar de Estmacón: Es una medda de la dspersón, o extensón, de los valores observados alrededor de la recta de regresón. Cálculo de Error Estándar de Estmacón: Y A Y B Y S ; S Y Y y x y x n.5. Intervalos de Confanza e Intervalos de Predccón: Intervalos de Confanza, reporta el valor medo de una varable dependente Y para una varable ndependente determnada. Intervalo de Predccón, Reporta el rango de valores de la varable dependente Y para un partcular valor de la varable ndependente. Cálculo de ambos ntervalos: Tenemos que E n n Intervalo de Confanza: I. C. LIC; LSC ts y x LIC Y ; LSC Y Intervalo de predccón: I. P. LIP; LSP LIP Y ts ; LSP Y ts y x y x.6 Consderacones necesaras para aplcar la Regresón Lneal a) Para cada valor de, una grupo de valores de Y que dependen de ese valor segur una dstrbucón normal. b) Las medas de estas dstrbucones normales se ubcan en la recta de regresón.

164 64 c) Todas las desvacones estándar de estas dstrbucones normales son guales; sendo su mejor estmador d) Los valores de la varable dependente Y son estadístcamente ndependente de manera partcular, éste no depende de nngún otro valor de. 3.- Grafcas de la Correlacón Lneal y de Regresón Lneal 3.Dagrama de dspersón o nube de puntos. Es la gráfca que representa la correlacón lneal, se hace a través de puntos que defnen las varables cada y cada Y defnen un punto. 3. La recta de Regresón Lneal. Se puede obtener sobre el dagrama de dspersón defnendo analítcamente dos puntos correspondentes a esa recta. Problemas Resueltos Problema 0.-Con la nformacón sumnstrada en el ejercco anteror y la obtenda por los respectvos cálculos desarrollar; a) los ntervalos de: confanza y de pronóstcos, para t 4,54 y b) Elaborar el Dagrama de Dspersón y la gráfca de la recta de la Ecuacón 98% de Regresón Lneal a) S y x Y A Y B Y n Solucón 367 0,936 37, E 4 3,8 0,0 n n 5 I. C. LIC; LSC IC : 5,368 Y 0, ts y x 4,54,65 0, 0,37 LIC Y ; LSC Y LIC 7, 74,37 5,368; LSC 7, 74,37 I. P. LIP; LSP ts y x IP:5, 798 Y 3,538 4,54,65 0, 0 5, 798 LIP Y 7, 74 5, 798,94; LSP Y 7, 74 5, 798 3,538 b) Gráfcas Dagrama de Dspersón y gráfca de la Ecuacón de Regresón Lneal S y x,65 0,

165 65 y x -0 Problema 0.- Un economsta de Departamento de Recursos Humanos del Estado Barnas está preparando un estudo sobre el comportamento de consumdor. Él recolectó los datos que aparecen en centos de Bolívares para determnar s exste una relacón entre el ngreso mensual del consumdor y los nveles de consumo mensual. Los datos recolectados se muestran a contnuacón: Consumdor Ingreso 4,3,5 3, 8,0 35, 0,5 3, 0,0 8,5 5,9 4,7 5,0 Consumo 6, 8,5 5,0 7,0 4,, 5,0 7, 3,5,5 0,7 9, a) Determnar cuál es la varable dependente b) Calcular e nterpretar el coefcente de correlacón y el coefcente de determnacón para el estudo que realza el economsta. c) Calcular e nterpretar el modelo de regresón lneal. Qué refleja este modelo sobre la relacón ngreso consumo? d) Qué consumo pronostcará este modelo de regresón lneal para alguna persona que tenga un ngreso de Bs. 7,5? e) Calcular e nterpretar el error estándar de estmacón para el estudo que realza el economsta y elaborar una gráfca y la nterpretacón de la msma sobrepuesta sobre el dagrama de dspersón. f) El economsta para su estudo desea un Intervalo de Estmacón y de Predccón para un nvel de confanza del 95% donde t =,8. g) Dagramar la Dspersón de Puntos o Nube de Puntos. Comentar y la Recta de la Ecuacón de Regresón Lneal.

166 66 Solucón N Y Y Y 4,3 6, 393,66 590,49 6,44,5 8,5 06,5 56,5 7,5 3 3, 5,0 468,00 973,44 5,00 4 8,0 7,0 476,00 784,00 89, , 4, 849,4 3,0 585,64 6 0,5, 7,60 0,5 5,44 7 3, 5,0 348,00 538,4 5,00 8 0,0 7, 7,00 00,00 50,4 9 8,5 3,5 9,75 7,5,5 0 5,9,5 8,85 5,8 3,5 4,7 0,7 57,9 6,09 4,49 5,0 9, 38,00 5,00 84,64 8,9 49, 3337,8 550,83 78,8 a. Determnacón del Tpo de Varables. La Varable Dependente es el consumo mensual y le asgnaremos la letra Y. El nvel de consumo mensual depende del nvel de ngreso mensual de cada cudadano b. Coefcente de Correlacón y Coefcente de Determnacón Lneal r n Y Y n n Y Y x3337,8 8,9x49, r x550, , x78,8.30,8 594,85 0,99 r 0, , 378 D% r % D% 0,99 % 84,47% D% 84,47% La relacón exstente entre la Varable Independente y la Varable Dependente Y, presenta un Coefcente de Correlacón Fuerte Postvo ya que 0,5 < 0,99 <, y además proporcona una varacón total del 84,47% en el Consumo Mensual que se explca o contablza, por la varacón en el Ingreso Mensual c. Análss de Regresón Lneal Y = A + B

167 67 B n Y Y n Y A B A n n Y,78 0, , , 75 B 49, 8,9 0,558 0,558 A,78 El Modelo de la Regresón Lneal que orgna los datos de este problema presenta una pendente negatva lo cual equvale a decr que el Consumo Mensual sempre será menor que el Ingreso mensual d. Consumo Mensual para un Ingreso Mensual de = 7,5. Y, 78 0,558 7,5 Y 7,6 7,5 7,5 e. Cálculo e nterpretacón del Error Estándar de Estmacón. f. S S Y Y,53 Y A Y B Y x n 78,8, 78 49, 0, , 8,53 El Error Estándar de Estmacón S Y- = 6,33; nos presenta un promedo entre los alejamentos y los acercamentos de los valores de la relacón de la Varable Independente y la Varable Dependente respecto a la Recta de Regresón Lneal g. Intervalo de Confanza e Intervalo de Predccón. IC : LIC Y LSC 7,5 IP : LIP Y LSP n 7,5 7,5 9, , , n ; t S ; t S, 8, 53 0,64 5, 46 95% Y 95% Y 0,64;, 8, 53 0,64, 033;

168 68 LIC Y 7,6, 033, LIC 5, 093; 7,5 LSC Y 7,6, 033 LSC 9,59 7,5 IC :5, 093 Y 9,59 7,5 7, 5 7, 5 LIP Y 7,6 5, 46 LIP, 70; LSP Y 7,6 5, 46 LSC,54 IP :, 70 Y,54 75, h. Gráfca del Dagrama de Dspersón o Nube de Puntos y la gráfca de la Recta de la Ecuacón de Regresón y x -0 Capítulo 7 Seres Cronológcas, Temporales o de Tempo. Seres de Tempo.- Conocdas tambén como Seres Temporales o Seres Cronológcas son recoleccones de datos para alguna o un conjunto de varables durante varos períodos de tempo, es decr es un conjunto de medcones sometdas a un estudo en el tempo. De esta defncón se desprende que una de las varables corresponde a los lapsos de tempos durante los cuales se hace el estudo En una concepcón más

169 69 senclla se le puede consderar como un conjunto de datos regstrados durante un período, semanal, mensual, trmestral o anual.. Componentes de una Sere de Tempo. Son elementos característcos que conforma su estructura y que permte vsualzar su comportamento en el tempo, ben sea a corto, medano o a largo plazo. a. El Componente Tendencal, Componente Secular o Tendenca Secular.- Es la tendenca de la Sere de Tempo a largo plazo sn que se presente nngún tpo de alteracones. b. El Componente de Varacón Cíclca.- Son los ascensos y descensos en forma de onda en períodos mayores a un año que al presentarse producen alteracones que se reflejarán en la tendenca secular que defne a la Sere de Tempo. c. El Componente de Varacón Estaconal.- Patrones en los movmentos de la Sere de Tempo que reflejan cambo en un año, y que tenden a repetrse de año en año. d. El Componente de Varacón Irregular.- Son varacones que puede presentar una Sere de Tempo producdas por sucesos nusuales que producen movmentos sn patrón dscernbles, y según muchos analstas la dvden en Varacones Epsódcas, las cuales no son predecbles pero s dentfcables ( Guerras, fenómenos de la naturaleza, conflctos laborables etc.,), y Varacones Resduales, pasadas la Varacones Epsódcas los coletazos que de ellas quedan ya dentfcados conllevan a la Varacón Resdual de la Sere de Tempo. 3. Modelos de sere de tempos.- Un modelo de sere de tempos puede expresarse en funcón de una combnacón de estos cuatro componentes. Por lo general dos tpos de modelos se relaconan con las seres de tempo: a) El Modelo Adtvo y b) El Modelo Multplcatvo. Modelo Adtvo: STt Tt Et Ct I t Modelo Multplcatvo: STt Tt Et Ct I t ST Sere detempo; T TendencaSecular; E TendencaEstaconal; t t t C Tendenca Cíclca; I Tendenca Irregular t En el modelo adtvo todos los valores son expresados en undades orgnales, mentras que en el modelo multplcatvo solo se expresa el valor de T t en undades orgnales y el resto en valores porcentuales. Problemas Resueltos Problema 0.-Desarrollar un el Modelo Adtvo de Sere de Tempo para la venta en bolívares para una de una lbrería donde: T 3.50,00; S 630,00; C 57,50 y I 63,00. Solucón t

170 70 ST 3.50,00 630,00 57,50 63,00 T 3.559,50 Es de observar que este modelo es nusual por cuanto consdera que cada componente es ndependente una de otro lo cual no es como se presenta en la vda real, por lo tanto el más usado es el Modelo Multplcatvo que de una u otra manera s relacona entre sí a las componentes de la Sere Tempo. Problema 0.- Los valores para la deuda morosa de una entdad bancara puede regstrarse como T ,00; S 70%; C 9% e I 87% ST , 7 0,9 0 T 8, , 00 Observacón.- Para una Sere de Tempo de datos anuales, no se tomaría en cuenta la Componente Cíclca, por cuanto esta componente produce alteracones en períodos mayores aun año, por lo tanto se tendría que: STt Tt Et I t 4. Métodos de Ajustes o Técncas de Suavzamento. a. El Método de los Promedos Móvles o el Método de los Sempromedos. En muchas ocasones una Sere de Tempo presenta muchos apuntamentos y/o muchas depresones, y a través de este método se busca en lo más posble reducr estas stuacones rregulares que se presentan en algunas Seres de Tempo, lo cual es de un gran apoyo para sncerar lo mejor posble la tendenca para producr predccones más apegadas a la realdad. Dependendo de la stuacón como se presente se determna que promedo se debe utlzar, por lo general es más cómodo promedar entre valores mpares, porque cuando se usan valores pares para promedar hay que establecer línea por medo entre valores. Problemas Resueltos Problema 0.- En la tabla anexa se presentan las ventas de una comercal durante los doce meses del año. Se pde calcular el Promedo Móvl de tres meses y el de cnco meses y presentar gráfcas para los datos dados orgnalmente y para los promedos móvles calculados. Mes Ene. Feb. Mar. Abrl Mayo Jun. Julo Agost. Sept. Oct. Nov. Dc. Ventas 37,6 50,3 96, 409,5 35,0 459,9 83,5 378,0 35,0 497,7 83,5 390,6

171 7 Solucón Meses Nº Ventas (++3)/3+ (+3+4)/3 P. Móvl (3) ( )/5+ ( )/3+ P. Móvl (5) Enero 37,6 Febrero 50,3 378,0 378,0 Marzo 3 96, 405,3 405,3 37,70 37,70 Abrl 4 409,5 340, 340, 398,6 398,6 Mayo 5 35,0 394,8 394,8 35,80 35,80 Juno 6 459,9 35,8 35,8 369,8 369,8 Julo 7 83,5 373,8 373,8 350,8 350,8 Agosto 8 378,0 35,5 35,5 386,8 386,8 Septembre 9 35,0 396,9 396,9 35,54 35,54 Octubre 0 497,7 365,4 365,4 37,96 37,96 Novembre 83,5 390,6 390,6 Dcembre 390, Seres Seres Seres3 Como se puede observar en la gráfca la sere que corresponde a los datos orgnales presenta apuntamentos y depresones muy pronuncadas, la cuales se comenzan a mnmzar en el Promedo Móvl 3 como se ve en el gráfco de la sere y ya en el Promedo Móvl 5 según se ve en la sere 3 la gráfca presenta un Suavzamento con la cual se pueden realzar cálculos que nos puede llevar a mejores predccones. Problema 0.- En la tabla anexa se presentan las ventas de una comercal durante los últmos ocho trmestres de los dos años anterores. Se pde calcular el Promedo Móvl de dos trmestres y él de cuatro trmestres y presentar gráfcas para los datos dados orgnalmente y para los promedos móvles calculados.

172 7 Mes Ventas Solucón Nº Ventas (+)/+ P. Móvl () (++3+4)/4+ P. Móvl (4) (+3)/ (+3+4+5)/4+ 3 4,5 4,5 38,5 38,5 5 40,0 40,0 37,75 37, ,0 35,0 36,50 36, ,5 35,5 36,5 36, ,0 38,0 35,5 35, ,0 37, ,5 3, Seres Seres Seres3 Como se puede observar en la gráfca la sere que corresponde a los datos orgnales presenta apuntamentos y depresones muy pronuncadas, la cuales se comenzan a mnmzar en el Promedo Móvl como se ve en el gráfco de la sere y ya en el Promedo Móvl 4 según se ve en la sere 3 la gráfca presenta un Suavzamento bastante unforme con la cual se pueden realzar cálculos que nos puede llevar a mejores predccones. b. Suavzamento Exponencal.- El Suavzamento Exponencal además de suavzar una Sere de Tempo, tambén proporcona un medo bastante efectvo de predccón. El Suavzamento Exponencal de Prmer Orden se utlza cuando los datos no tenen nngún patrón de tendenca. Suavzamento Exponencal : F A F t t t

173 73 F t A F t t Pr onóstco para el sguente período Valor real observado para el período corrente Pr oyeccón preva para el período corrente Cons tan te de suavzamento, 0 Problemas Resueltos Problema 0.- El dueño una lbrería quere pronostcar el ngreso por ventas en el mes de Agosto, entendendo que lo quere hacer conocendo que al realzar balance del ngreso mensual en el últmo día del mes de Julo este fue de Bs ,00; suponemos que es la prmera vez que al dueño de la lbrería se le ocurre calcular un pronóstco, se tene que para el mes de Juno hubo un ngreso de Bs ,00. S asummos que la constante de Suavzamento es de Solucón Consderemos al ngreso del mes de Juno como F t proyeccón preva para el período corrente, entonces: F A F F F Agosto Septembre t t t 0, , , ,50 0, F Agosto F Septembre 6.908, , 05 Problema 0.- Las tasas mensuales de nflacón para el año 003 se presentan al fnal. Una ofcna de análss económco va a realzar un pronóstco cual podría ser el índce nflaconaro para Enero del 004 para lo cual debe: a) Producr un Suavzamento utlzando un Promedo Móvl con cuatro períodos y b) Utlzar un modelo de Suavzamento exponencal fjando Mes En. Feb. Mar. Abrl Mayo Jun. Julo Agos. Sept. Oct. Nov. Dc. Inflacón 5,4 5, 5,0 5, 5,3 5,3 5,4 5,5 5, 5,5 5, 5,4 Solucón Ft At Ft ; de donde 0, 4 0, 6 F F F F F F Marzo Mayo Julo Septembre Novembre Enero 004 0,4 5, 0,6 5,4 5,8; F 0,4 5,0 0,6 5,8 5,7; Abrl 0, 4 5, 0, 6 5,7 5,8; F 0, 4 5,3 0, 6 5,8 5, 3; Juno 0,4 5,3 0,6 5,3 5,6; F 0,4 5,4 0,6 5,6 5,3; Agosto 0, 4 5,5 0, 6 5,3 5,39; F 0, 4 5, 0, 6 5,39 5,3; 0, 4 5,5 0, 6 5,3 5,39; F 0, 4 5, 0, 6 5,39 5, 7; 0, 4 5, 4 0, 6 5,39 5,3; Octubre Dcembre

174 74 Mes Tasa PM (4) PM (Centrado) F t Enero (003) 5,4 Febrero 5, 5,40 5,75 Marzo 5,0 5,63 5,8 5,50 Abrl 5, 5,75 5,7 5,00 Mayo 5,3 5,50 5,8 5,300 Juno 5,3 5,338 5,3 5,375 Julo 5,4 5,363 5,6 5,350 Agosto 5,5 5,375 5,3 5,400 Septembre 5, 5,363 5,39 5,35 Octubre 5,5 5,33 5,3 5,300 Novembre 5, 5,39 Dcembre 5,4 5,7 Enero (004) 5,3 Al fnal se observa, es decr para Enero del 004 que el pronóstco en cuanto al Índce de Inflacón es de 5,3% 5. Análss de tendenca por el Método de los Mínmos Cuadrados. a. Tendenca Lneal.- La tendenca lneal se fundamenta en el trazado de una recta que representa el comportamento de una Sere de Tempo, quen aporta la nformacón para que aplcando la metodología de los Mínmos Cuadrados logremos la Ecuacón de Regresón Lneal. Método de los Mínmos Cuadrados n Y Y B n Error Estándar de Estmacón. Calculo de A Y A B A Y B n n Método Conceptual S y B r S x

175 75 Y A Y B Y S ; S Y Y y x y x n Intervalo de Confanza: Tenemos que E n I. C. LIC; LSC ts y x LIC Y ; LSC Y n Problema Resuelto Problema.- La tabla anexa representa los ngresos anuales en mllones de bolívares de una tenda mnortara durante los últmos 6 años. Usando una Tendenca Lneal proyectar los Ingresos haca el año 05 y establecer el respectvo ntervalo de confanza, para t. El dueño de la tenda estma que s el posble ngreso anual para el 3,747 g. l. 4; N. C. 98% 05 no supera en un 5% el mejor de los ngresos anuales que hasta ahora ha obtendo este negoco, pensa cerrarla; Qué se le recomendaría al dueño? Año Ingresos,83,99,07,39,34,36 Solucón Y Y Y,83,83,000,646,99,398 4,000,438 3,07 3,6 9,000,457 4,39 5,76 6,000,740 5,34 6,70 5,000,80 6,36 7,46 36,000,58 7,586 6,704 9,000 9,609 B n Y Y n 6 6, 704 7, B 0,009

176 76 A Y n B n 7, ,009 6 A,33 Y A B Y,33 0, Y, 33 0, Y, S Y A Y B Y n 9, 609, 33 7,586 0, 009 6, y x y x S 0, E 6, 895 n 6 9 n 6 I. C. LIC; LSC I. C.:0,999 Y,69 ts y x 3,747 0,06,895 0,35 LIC Y,34 0,35 0,999; LSC Y,34 0,35, 69 Recomendacón: Tomados los ngreso anuales que aparecen en el cuadro del problema, él del año 0 es el mejor, y uno superor al 5% sería,34x,5 =,543. Del estudo realzado observamos que en el Nvel de Confanza obtendo el Límte de Confanza Superor es mayor que el requermento solctado (LSC =,69>,543), por lo tanto se recomenda mantener aberta la tenda, pero realzando los ajustes a los que haya lugar asesorándose con empresas seras que se dedcan a este tpo de trabajo para que no se llegue al LIC=0,999, lo cual sería un desastre, se debe hacer lo posble para salvar el negoco b. Tendenca Parabólca.- La tendenca parabólca se fundamenta en el estudo de una parábola que representa el comportamento de una Sere de Tempo, quen aporta la nformacón para que aplcando la metodología de los Mínmos Cuadrados logremos la Ecuacón de la Parábola. Ecuacón General de la Parábola: Y A B C Para obtener los valores de A, B y C se resuelve el sguente sstema de tres ecuacones con tres ncógntas:

177 77 na B C Y A B C 3 Y A B 3 C 4 Y Problema Resuelto Problema.- La tabla anexa representa los ngresos anuales en mllones de bolívares de una lbrería durante los últmos 5 años. Utlzando la Tendenca Parabólca proyectar los Ingresos haca el año 05 y establecer el respectvo ntervalo de confanza, para t, ;.. 95% El dueño de la tenda estma que s el posble ngreso anual para el 05 no supera en un 5% el mejor de los ngresos anuales que hasta ahora ha obtendo este negoco, pensa cerrarla; Qué se le recomendaría al dueño? Año Ingresos,93,99,87,309,33,39 Solucón Y Y Y 3 4 Y,93,93,93,67,99,598 5, ,687 3,87 3,86, ,656 4,309 5,36 0, ,73 5,33 6,660 33, ,774 6,39 7,974 47, ,766 7,849 7,6 0, ,70 g l N C Y Y Y ; 7,849; 7, 6; 0,6; 9; ;.75 y Y 0, 7 na B C Y A B C 3 Y A B 3 C 4 Y 6 A B 9C 7,849 Re solvendo el sstemade ecuacones A 9B 44C 7, 6 A, 94; B 0, 003; C 0, 00 9A 44B.75C 0,6 Luego: Y 0,00 0,003,94

178 Y 0, , 003 9, 94 Y, S Y A Y B Y n 0, 7, 94 7,849 0, 003 7, 6 4 y x y x S 0, 9 E 6, 895 n 6 9 n 6 I. C. LIC; LSC I. C.:0,544 Y,34 ts y x,776 0,,895 0,885 LIC Y, 49 0,885 0,544; LSC Y, 49 0,885,34 Recomendacón: Tomados los ngreso anuales que aparecen en el cuadro del problema, él del año 0 es el mejor, y uno superor al 5% sería,33x,5 =,53. Del estudo realzado observamos que en el Nvel de Confanza obtendo el Límte de Confanza Superor es mayor que el requermento solctado (LSC =,34>,53), por lo tanto se recomenda mantener aberta la tenda 6. Descomposcón de las Seres de Tempo.- Por lo general es de gran utldad descomponer una Sere de Tempo desglosando cada uno de sus cuatros componentes. a. Aslamento de la Componente Estaconal.- En un estudo sero sobre una Sere de Tempo, lo prmero que debe obtenerse es el Índce Estaconal, la cual mde las fluctuacones que la sere sufre en el lapso de un año, por lo tanto lo convenente es estudar una Sere de Tempo en períodos de tempos menores a un año, s se quere observar la nfluenca de las estacones en el movmento económco de una empresa. Lo prmero que debe calcularse es un Promedo Móvl Centrado. Como se menconó anterormente la Componente Estaconal ocurren en un año, la obtencón de este promedo nos permte elmnar la nfluenca de la Componente Cíclca y la Componente Irregular las cuales por lo general se dan en períodos mayores a un año. Como el Modelo Multplcatvo de una Sere de Tempo es: ST T C E I, el promedo móvl realzado elmna la nfluenca de la Componente Estaconal y la Componente Irregular, entonces PM T C, luego podemos señalar que la Razón por Promedo Móvl sería: ST T C E I ST E I P. M. T C P. M.

179 79 Segudamente se debe calcular una razón meda por promedo móvl para cada mes. Esto se logra promedando la razón por promedo móvl para cada mes. Fnalmente se procede para normalzar estas razones promedos para obtener el Índce Estaconal, lográndose al dvdr (Meses del año) por la suma de las razones promedo por su respectvo promedo móvl Problema Resuelto Problema.- Al fnal se presenta un cuadro estadístco que refleja el ngreso (mles de Bolívares) por mes durante los últmos años de una empresa de construccón. Obtener el Índce Estaconal. Mes Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dc Solucón Año Mes Ingresos (Y) PM () PMC Y/PMC = E.I. Razón Prom.*PM Índce Estaconal 0 Enero 00 55,833 Febrero 90 Marzo 0 55,000 Abrl 0 Mayo 80 56,667 Juno 30 Julo 70 55,833 55,47,7373,7373,7637 Agosto 60 55,834,6684,6684,6938 Septembre 80 56,667 56,50,50,50,695 Octubre 30 56,50 0, ,8446 Novembre 00 58,333 57,500 0,6349 0,6349 0,6446 Dcembre 00 58,333 0,636 0,636 0,64 0 Enero 90 58,333 58,750 0,5669 0,5669 0,5755 Febrero 0 6,50 0,6780 0,6780 0,6883 Marzo 00 59, ,606 0,606 0,653 Abrl 0 67,500 0,764 0,764 0,773 Mayo 90 63,333 68,750,59.59,43 Juno 50 70,000,4706,4706,493 Julo 80 66,667 Agosto 30 Septembre 0 68,333 Octubre 50 Novembre 0 69,67 Dcembre 0 70,833 Total,80,0000 Al factor a emplear para obtener el Índce Estaconal para Mes (f (IEM)): f IEM Razón Pr omedo P. M.,80 f IEM,05 Al aplcar este factor para obtener cada Índce Estaconal por Mes estamos elmnando cualquer actvdad rregular que se pueda presentar en la Sere de Tempo sometda al estudo. Índce Estaconal para cada mes:

180 80 IEM f Razón Pr omedo P. M. IEM S tomamos el mes de Agosto del 0 como ejemplo para verfcarla nfluenca del Índce 60 Estaconal, observando que: 53,383 ; lo cual quere decr que por ser una empresa,695 de construccón para ese mes su actvdad es mayor y a lo mejor se debe a las emergencas causadas por las lluvas. b. Aslamento de la Varacón Cíclca El Componente Cíclco en una Sere de Tempo puede dentfcarse prmero obtenendo la Tendenca Secular y luego el Componente Estaconal. En un estudo sero sobre una Sere de Tempo, lo prmero que debe tenerse claro que el Componente Cíclco se observa cuando los movmentos económcos que se estudan se dan en lapsos mayores a un año, por lo tanto lo convenente es estudar una Sere de Tempo en períodos de tempos mayores a un año, s se quere observar la nfluenca de fluctuacones cíclcas en el movmento económco de una empresa. Lo prmero que debe calcularse es un Promedo Móvl Centrado. Como el Modelo Multplcatvo de una Sere de Tempo es: ST T C E I, el promedo móvl realzado elmna la nfluenca de la Componente Cíclco y el Componente Irregular, entonces PM T E, luego podemos señalar que la Razón por Promedo Móvl sería: ST T C E I ST C I P. M. T E P. M. Segudamente se debe calcular una razón meda por promedo móvl para cada período de tempo. Esto se logra promedando la razón por promedo móvl para cada período. Fnalmente se procede para normalzar estas razones promedos para obtener el Índce Cíclco, sguéndose el msmo esquema como logramos el Índce Estaconal. Problema Resuelto Problema.- Al fnal se presenta un cuadro estadístco que refleja el ngreso (mles de Bolívares) por trmestre durante los últmos 4 años de una empresa de construccón. Obtener el Índce Estaconal y el Índce Cíclco. La recta de tendenca es: Y 3, 49 0,06 Año Trmestre I II II IV I II III IV I II III IV Ingreso

181 8 Solucón Año Trmestre Ingreso PM (4) PMC Y/PMC = E.I Razón Promedo Por PM Índce Estaconal IE 00 I 40 0,870 0,7306 0,8008 0,8030,099,086,043,070 II 30 0,709 0,830 0,7630 0, ,00,387,499,403,4050 III 0 98,75 0,709 30,50 IV ,75, ,00 0 I 70 30,00 0,870 35,00 II 30 33,75,099 3,50 III ,75 0,830 95,00 IV 40 88,75,499 8,50 0 I 00 73,75 0, ,00 II 70 6,50,086 60,00 III 80 IV 390 Total 3,9894 4,000 f IEM 4 Razón Pr omedo P. M. 3, 9894 f IEM,007 Año Trmestre Ingreso Proyeccón Índce Componente de tendenca Estaconal IE Norma Estadístca Cíclco rregular 00 I 40 3,480 0, ,8784 9, Componente Cíclco CC II 30 3,54,070 37,796 30,37 6,77 III 0 3,60 0, ,755 8,53 8,77 30,76 IV 40 3,663, ,4865 9,04 3,7 3,78 0 I 70 3,74 0, , ,0 34,58 37,38 II 30 3,785,070 38,043 34,43 36,98 36,58 III 50 3,846 0, ,36 40,95 3,87 7,5 IV 40 3,907, ,893 5,83 4,5,87 0 I 00 3,968 0, ,703 07,37 6,9,97 II 70 3,09,070 38,938 3,3,9 0,4 III 80 3,090 0, ,5489 0,38 Total IV 390 3,5, ,7 9,57

182 8 Norma Estadístca NE Pr oyeccón de Tendenca IE Componente Cíclco Irregular CCI Ingreso Norma Estadístca 00 Logrados los Componentes Cíclcos Irregulares en un valor común, se procede a aslar el Componente Cíclco obtenendo el respectvo Promedo Móvl (En nuestro problema es de 4) y luego se obtene el Promedo Móvl Centrado (Valores en azul remarcados en amarllos), los valores obtendos son los Índces Cíclcos obtendos de manera porcentual. c. Componente Irregular.- Como esta componente obedece al algún evento fortuto o epsódco con las consecuencas resduales que orgna, por su casualdad no exste un patrón a segur para sus aslamento, por lo que se consdera que habendo realzado un buen trabajo en el aslamento del Componente Estaconal y el Componente Cíclco se podría estmar que ya en esas componentes venen ncludas las ncdencas de una Varacón Irregular. Capítulo 8 NÚMEROS ÍNDICES. Defncones Fundamentales: Los Números Índce relaconan valores en un período de tempo, el cual se toma como período base, con valores en otros períodos llamados períodos referencales. Es un valor relatvo expresado en térmnos porcentuales para expresar la relacón entre las varables. Por lo general en una sere pequeña o corta, el período base corresponde al valor que la nca, en sere de períodos es recomendable tomar valores que se encuentren lo menos afectados por factores nternos y/o externos, que son los que presentan mayor establdad. El uso de los Números Índces consttuye una herramenta de trabajo para quenes toman las decsones, ya que permte vsualzar en el tempo el comportamento de varables económcas, permtendo hacer comparacones con períodos más sgnfcatvos. Para elaborar un Número Índce se debe tener muy en cuenta: su cobertura, el período base, el sstema de ponderacón y el método de promedacón de las observacones. Número Índce: Es un número que expresa el cambo relatvo formulado porcentualmente en el preco, la cantdad o el valor de un período de tempo cualquera en comparacón con el preco, la cantdad o valor de un perodo de tempo tomado como base.

183 83. Índce de Preco Smple (IPs): Indca el cambo relatvo, en el preco de un producto o servco, en el perodo de referenca respecto al perodo base. P R = Preco de referenca. P B = Preco base. Se dce que un Número Índce es de base fja cuando para los cálculos de los índces de una sere, el período tomado como base permanece nalterado durante toda la duracón del índce, mentras que cuando es de base varable el período base varía sstemátcamente tomando sempre el valor correspondente al del período anteror. Veamos el sguente cuadro donde hemos calculado los índces smples con una base fja y con bases varables. Años Valor Base Fja Base Varable Índce Varacón (%) Índce Varacón (%) ,00 0,00 00,00 0, ,36-0,64 89,36-0, ,69-6,3 93,65-6, ,96 4,96 5,4 4, ,5 -,49 93,9-6, ,89 4,89 6,55 6,35 Problema Resuelto En el cuadro anexo se presenta los promedos de preco anuales de tres productos que se vende en la Carncería y Charcutería Don Antono C. A. de San Juan de los Morros. Usemos esa tabla para hacer un estudo de varacón de precos respecto al año base (00) respecto a los otros años señalados y elaborar los respectvos números ndcadores de precos de los períodos señalados. Artículo Undad Preco (Bs.)/ undad Res Kg 9,00 36,5 49,75 Cerdo Kg 3,00 4,50 59,50 Pollo Kg 4,00 0,5 9,5 Solucón Aplcando la fórmula de Índce de Precos Smple:

184 84 IP S P P R B , 5 49, 75 Re s : IP , 00; IP0 00 5,86; IP ,55 3 4,5 59,5 Cerdo : IP , 00; IP0 00 9, 69; IP ,94 4 0,5 9,5 Pollo : IP , 00; IP ,64; IP ,93 Res: Del año 00 al 0 el preco varó en 5,86%, es decr 5,86 00,00 Del año 00 al 0 el preco varó en 7,55%, es decr 7,55 00,00 Cerdo: Del año 00 al 0 el preco varó en 9,69%, es decr9,69 00,00 Del año 00 al 0 el preco varó en 85,94% es decr85,94 00,00 Pollo: Del año 00 al 0 el preco varó en 44,64%, es decr44,64 00,00 Del año 00 al 0 el preco varó en 08,93%, es decr08,93 00,00. Tpo de números índces:. Número Índce No Ponderado: Son aquellos que son elaborados, tomando en consderacón un solo componente, precos o cantdades. a. Índce de Precos de Promedo Smple: Es el promedo que se obtene sumando los índces de precos de productos a estudar en un año o perodo cualquera, dvdendo este valor entre el número de productos estudados. N = Número de productos. Problema Resuelto Tomemos el problema anteror y utlcemos los Números Índces Smples calculado para cada artículo y aplquemos la fórmula para el Índce de Precos Promedo Smple. Solucón Números Índces de cada artículo Artículo Res 00,00 5,86 7,55 Cerdo 00,00 9,69 85,94 Pollo 00,00 44,64 08,93 300,00 400,9 566,4 ( IP S /n)=ip PS = 00,00 33,40 88,8

185 85 La varacón del Índce Promedo Smple del año 0 respecto al año base es de 33,40% y él del 0 sería 88,8% b. Índce agregado smple: Son números índces que se elaboran sumando los precos de los productos a estudar o de referenca, dvdéndolos luego entre la suma de los precos de estos productos en el año que se toma como base y este valor se multplca por 00. IP AS P P R B 00 Problema Resuelto Tomemos el problema anteror y utlcemos los Números precos asgnado a cada artículo y aplquemos la fórmula para el Índce de Preco Agregado Smple. Solucón Artículo Undad Res Kgs. 9,00 36,5 49,75 Cerdo Kgs. 3,00 4,50 59,50 Pollo Kgs. 4,00 0,5 9,5 75,00 98,00 38,5 ( P R / P B )x00=ip AS = 00,00 30,67 84,67. Número Índce Ponderado: Son aquellos números índces que son elaborados, tomando en consderacón la ntervencón del componente preco y componente cantdad del producto estudado. a. Índce de Laspeyres: Es un índce ponderado que utlzan las cantdades de productos venddas en el perodo base, como factor de ponderacón. b. Índce de Paashe: Es un índce de precos ponderado que utlza las cantdades de los productos venddas en el perodo de referenca como factor de produccón.

186 86 c. Índce deal de Fsher: Es un número índce elaborado tomando la Meda Geométrca de los Números Índces de Laspeyres y de Paashe. Exsten otros tpos de Números Índces Ponderados que son menos utlzados como: d. Índce de Sgwck-Drobsch: Es un número índce elaborado tomando la Meda Artmétca de los Números Índces de Laspeyres y de Paashe. IP SD IP L IP P e. Índce de Precos de Marsshall-Edgeworth: ndca la varacón en los precos entre dos períodos, tomando como ponderacones la suma de las cantdades del período base más las del período sometdo a la nvestgacón. IP ME P Q Q R B R P Q Q B B R 00 f. Índce de Walsh: ndca la varacón en los precos entre dos períodos, tomando como ponderacones la raíz cuadrada del producto de las cantdades del período base y las del período sometdo a la nvestgacón IP W P Q Q R B R P Q Q B B R 00 g. Índce de Precos de Keynes: Toma como nformacón para las ponderacones los mínmos valores de las cantdades más pequeñas ya sean del período base o del período nvestgado. IP K P p mín. Q ; Q R B R mín. Q ; Q B B R 00 Problema Resuelto En el cuadro anexo se presenta la varacón de precos de cuatro productos de almentos de consumo daro desde el año 000 al 005; y las cantdades venddas en el año 000 y el año 003. s tomamos como base el año 000, se pde obtener: a) El índce smple de la azúcar en el año 00 y del acete de comer en el 00.

187 87 b) Promedo smple de los índces de preco en el 004. c) Índce de agregado smple en el 005. d) Índce de preco de Laspeyres, Paasche e Ideal de Fsher, Sgwch-Drobsch, Marshall-Edgeworth, Walsh y Keynes para el 003. e) Estmar el costo de: leche en polvo haca el 008. Año Producto UNID. Po Qo P P P3 Q3 P4 P5 Acete Lt Azúcar Kgs Harna de Maíz Kgs Leche en Polvo Kgs Solucón

188 88 P(00) P(0) P(0) P(03) P(04) P(05) P(3) Q(0) P(3)*Q(0) P(3) Q(3) P(3)*Q(3) Acete Azucar H. Maíz L. Polvo a) P(0) Q(0) P(0)*Q(0) P(0) Q(3) P(0)*Q(3) IPS(AZÚCAR) 0, IPS(ACEITE) 53, b) IP S(4) ,33 IP PS(04 386, ,00 33,33 900,00 546,7 c) IP AS 379,49 d) IP L 46,74 IP P 56,55 IP F 5,60 P(00) Q(0) P(3) Q(3) P R (Q B+ Q R ) P B (Q B+ Q R ) Q mín Q mín xp R P R (Q R Q B ) / P R (Q R Q B ) / Acete ,34 85,84 Azucar ,59 698,0 H. Maíz ,0 7794,3 L. Polvo ,7 449, , ,76 IP SD = 5,65 Q mín xp B IP ME = 5, IP W = 5, IP K = 46, e) Y Y B 46,43 A,67

189 89 e) Y Y B 46,43 A, MED. 3, MED. Y 74, Y' =,67 +46, Y' (9) = 49, Algunos Números Índces para fnes Especales. a. Índce de Valores. Un Numero Índce de Valores mde los cambos de precos y las cantdades nvolucradas en el estudo. Establece la relacón que debe exstr entre las cantdades de los productos y sus precos en la actualdad con respecto a las cantdades de los productos y sus precos en una fecha de tempo tomada como fecha base. IV P P R B Q Q R B 00 Problema Resuelto En el problema anteror calcular el Índce de Valores. IV P P R B Q Q R B IV 94, 65% b. Número de Precos al Consumdor Este número índce nos permte observar la realdad de cómo se mueven los precos de productos y servcos de una cesta báscas relaconada drectamente con el consumdor. Descrbe los cambos de precos de un de un período a otro de una canasta básca de productos y servcos. Este número Índce es el utlzado fundamentalmente para estudar la nflacón. Problema Resuelto Supongamos que vamos a calcular la nflacón en un país para lo cual vamos a tomar tres renglones fundamentales: a) Almentacón (Cesta Básca), b) Vestdos y calzados y Servcos Báscos (Agua, Electrcdad, Aseo Urbano y Telefonía). Las varacones durante los últmos tres años se muestran en tabla. Tomando como año base el 00 calcular la nflacón de los años 0 y 0 Solucón

190 90 Con la nformacón sumnstrada preparemos un cuadro para aplcar el cálculo del Número Índce Promedos Smple. Renglones Períodos de tempo Almentacón 5.9,0 7.05,4 8.35,55 Vestdos y Calzados.08,85.83, ,7 Servcos Báscos.099,05.67,4.99,8 Solucón Cálculo de los Números Índces smple. Renglones Números Índces Smple Almentacón 00,00 36,5 57,3 Vestdos y Calzados 00,00 34,6 85,65 Servcos Báscos 00,00 5,9 74,63 P Sx00 300,00 385,70 57, ,70 57, 4 IP 00,00; IP 8,57; IP S 00 S 0 S , 47; IP PS (00) = 00,00% IP PS (0) = 8,57% IP PS (0) = 7,47% La Inflacón en el 0 respecto al 00 fue del 8,57%, (8,57 00,00) La Inflacón en el 0 respecto al 00 fue del 7,47%, (7,47 00,00) Problemas propuestos para los Capítulos tratados en el Título VI Problema 0.- El centro de estudos laborales de una reconocda unversdad desea determnar s los promedos puntuales en notas de los estudantes puede explcar el número de ofertas laborales que ellos recben después de graduarse. Al fnal se presenta tabla donde los datos de 0 recén graduados con notas ponderadas de acuerdo a un patrón establecdo al efecto. a) Hacer un dagrama de dspersón para los datos. b) Calcular e nterpretar el coefcente de correlacón y el coefcente de determnacón para el centro de estudos laborales de la unversdad c) Calcular e nterpretar el modelo de regresón. Qué refleja este modelo sobre la relacón notas ponderadas y las ofertas de trabajo? d) S un estudante tene una nota ponderada de 3,; Cuántas ofertas laborales pronostca usted que él recbrá? e) Calcular e nterpretar el error estándar de estmacón para la reconocda unversdad y elaborar una gráfca en la nterpretacón. f) El centro de estudos laborales de la reconocda unversdad desea un estmado para un nvel de confanza del 95% d0nde t =,306

191 9 Estudante Notas 3,5,35,0 0,36 3,69,65,5,5 3,88 3,37 Ponderadas Ofertas Problema 0.- Un economsta de Departamento de Recursos Humanos del Estado de Florda está preparando un estudo sobre el comportamento de consumdor. Él recolectó los datos que aparecen en mles de dólares para determnar s exste una relacón entre el ngreso del consumdor y los nveles de consumo. Los datos recolectados se muestran a contnuacón: Consumdo Ingreso 4,3,5 3, 8,0 35, 0,5 3, 0,0 8,5 5,9 4,7 5,0 Consumo 6, 8,5 5,0 7,0 4,, 5,0 7, 3,5,5 0,7 9, h) Determnar cuál es la varable dependente ) Hacer un dagrama de dspersón para los datos. j) Calcular e nterpretar el coefcente de correlacón y el coefcente de determnacón para el estudo que realza el economsta. k) Calcular e nterpretar el modelo de regresón. Qué refleja este modelo sobre la relacón ngreso consumo? l) Qué consumo pronostcará el modelo para alguen US$ 7,5? m) Calcular e nterpretar el error estándar de estmacón para el estudo que realza el economsta y elaborar una gráfca en la nterpretacón. n) El economsta para su estudo desea un estmado para un nvel de confanza del 95% donde t =,8 Problema 03.- Una entdad bancara se especalza en crédtos para la agrcultura ntenta analzar el mercado de fnca raíz, mdendo el poder explcatvo que las tasas de nterés tenen sobre el número de crédto aprobados en el área. Los datos recoplados en 0 meses son: Mes Tasa de nterés,3 0,5 5,6 9,5 0,5 9,3 8,7 4, 5,,0 Crédtos a) Determnar cuál es la varable dependente b) Hacer un dagrama de dspersón para los datos. c) Calcular e nterpretar el coefcente de correlacón y el coefcente de determnacón para el análss de mercado que realza la entdad bancara. d) Calcular e nterpretar el modelo de regresón. Qué refleja este modelo sobre la relacón tasa de nterés crédtos otorgados? e) Cuántos crédtos se aprobarían sguendo este modelo, s la tasa de nterés fuera del 9,5%? f) Calcular e nterpretar el error estándar de estmacón para el estudo que realza el la entdad bancara y elaborar una gráfca en la nterpretacón. g) La entdad bancara para su estudo desea un estmado para un nvel de confanza del 98% donde t =,896

192 9 Problema 04.- El profesor Urquía ha notado que transcurrendo este período de clases muchos estudantes no están asstendo a las msmas. Consdera que puede explcar estas ausencas fundamentalmente, por las dstancas a que vven los estudantes del nsttuto. Se hace un estudo tomando al azar como muestra a estudantes, según se presenta a contnuacón: Estudante Klómetros 8, 9,7 3,5 0,7 4,6 9,5 9,5 8,,4 0,6 6,5 Ausenca a) Determnar cuál es la varable dependente b) Hacer un dagrama de dspersón para los datos. c) Calcular e nterpretar el coefcente de correlacón y el coefcente de determnacón para el análss que realza el Profesor Urquía. d) Calcular e nterpretar el modelo de regresón. Qué refleja este modelo sobre la relacón dstanca ausenca? e) A cuántas clases faltaría un estudante que vvera a 5, Klómetros? f) Calcular e nterpretar el error estándar de estmacón para el estudo que realza el Profesor Urquía y elaborar una gráfca en la nterpretacón. g) El Profesor Urquía para su estudo desea un estmado para un nvel de confanza del 98% donde t =,764 Problema 05- La tabla sguente muestra presenta la recuperacón anual meda sobre el captal (utldad) y el crecmento porcentual anual medo de las ventas para ocho compañías de navegacón aérea y defensa. Compañía Productvdad 3, 3, 4,, 0, 0,8 7,3 0, Crecmento 8,0 5,6 3,,5 35,4 6,0 8,7 3, a) Hacer un dagrama de dspersón para los datos. b) Calcular e nterpretar el coefcente de correlacón y el coefcente de determnacón para el análss productvdad crecmento. c) Calcular e nterpretar el modelo de regresón en base crecmento. Qué refleja este modelo sobre la el valor de la pendente? d) Sguendo este modelo; Cuál será la productvdad para un crecmento de 6.8?Comentar e) Calcular e nterpretar el error estándar de estmacón para la relacón productvdadcrecmento y elaborar una gráfca en la nterpretacón. f) Se desea un estmado productvdad-crecmento para un nvel de confanza del 95% donde t =,447 Problema 06.- Los datos sguentes revelan el preco al detal para doce computadoras laptop selecconadas al azar, además de la velocdades de su procesador. Computadoras Velocdad,0,6,6,8,0,,0,6,0,6,0,4 Preco (Bs.),4 5,7 6,5,9 3, 6, 3,5 8,5 3,0,3 5,7 5,3

193 93 a) Desarrollar una ecuacón de regresón lneal que se pueda utlzar para descrbr el grado con el cual el preco depende de la velocdad del procesador. b) Con base en la ecuacón de la recta de regresón, Exste algún equpo que parezca tener un preco más bajo del que le corresponde? c) Calcule el coefcente de correlacón y de determnacón entre las dos varables Problema 07.- Se ha efectuado un estudo en que se relacona los puntajes de apttud con la productvdad de una ndustra. Después de tres mese de entrenamento del personal. Sus postulantes, elegdos al azar, obtuveron los ses pares de puntajes de apttud y productvdad que se ndcan a contnuacón: Par Apttud Productvdad a) Cuál es la productvdad esperada de un trabajador, cuyo puntaje de apttud fue de 6? b) Obtener el coefcente de correlacón y de determnacón. c) Obtener el error estándar de estmacón. d) Fjar una probabldad del 95%, donde t =,776; la probabldad estmada en el lteral Problema 08.- Al observar el número de sucursales y los costos mensuales en comuncacón telefónca con la casa central, en mllones de bolívares, se encontró: Sucursales Costos Mens a) Obtener el coefcente de correlacón y de determnacón. Explcar que nterpreta cada uno. b) Obtener la ecuacón de regresón lneal que muestre la relacón de los costos en funcón del número de sucursales. c) Estmar los costos de una empresa con 0 sucursales d) Obtener el error estándar de estmacón para la estmacón del lteral. Problema 09.- Con los ngresos y gastos de 0 famlas tomadas al azar: Famla Ingreso (Cen 6,5 7,0 8,0 0,0,0 7,5 8,0 9,0 0,8 8,3 mles Bs.) Gastos (Cen 6,3 6, , 9,0 7,3 7,9 8,5 8,6 7,7 mles Bs.) a) Hacer un dagrama de dspersón para los datos. b) Calcular e nterpretar el coefcente de correlacón y el coefcente de determnacón para el análss ngreso gasto.

194 94 c) Calcular e nterpretar el modelo de regresón en base al ngreso en funcón de gastos, y en estas condcones; Cuál es la varable dependente? y Qué refleja este modelo sobre la el valor de la pendente? d) Sguendo este modelo; Cuál sería la gasto para un ngreso de 7,5 cen mles de bolívares? Comentar e) Calcular e nterpretar el error estándar de estmacón para la relacón ngresos gastos y elaborar una gráfca en la nterpretacón. f) Se desea un estmado de ngreso-gastos del lteral d para un nvel de confanza del 90% donde t =,860 Problema 0.- La solubldad en el agua de certo producto orgánco se hace más rápda con el auxlo de un agente químco. Según se presume de las sguentes observacones efectuadas en ses muestras de 0 gramos del producto y dversas doss del agente químco: Muestra Agente (grs.) Solubldad (seg.) a) Calcular e nterpretar, el coefcente de correlacón y el coefcente de determnacón. b) Cuál es la rapdez de solucón de 0 gramos del producto químco en ausenca del agente químco? c) Qué proporcón del agente químco deberá contener el producto para que la solucón sea nstantánea? Problema.- Con los ngresos y gastos de 0 famlas tomadas al azar: Famla Ingreso (Cen 6,5 7,0 8,0 0,0,0 7,5 8,0 9,0 0,8 8,3 mles Bs.) Gastos (Cen 6,3 6, ,0 7,3 7,9 8,5 8,6 7,7 mles Bs.) Será que con esta nformacón se podría estmar el gasto de la famla Nº 4?, y de ser posble, Cuál sería el gasto estmado? Problema.- Las mportacones realzadas por ARAUJO DE IMPORTACIÓN C.A. en mllardo de bolívares desde los países asátco se presentan al fnal. Se pde calcular e nterpretar los índces estaconales para cada trmestre. Semestre 009 Semestre 00 Semestre 0 Semestre 0 I 5,6 I 6,45 I 4,30 I 5,6 II 6,45 II 7,74 II 6,45 II 6,0 III 7,74 III 9,03 III 6,0 III 6,45 IV,8 IV 5,48 IV 0,75 IV 0,75 Problema 3.- Los ngresos trmestrales en mles de Bolívares del establecmento de comdas rápdas MI BUENA COMIDA C.A. se presentan al fnal. Comparar la recta de tendenca y los índces estaconales para cada trmestre.

195 95 Semestre 009 Semestre 00 Semestre 0 Semestre 0 I 5 I 366 I 587 I 6 II 53 II 47 II 57 II 655 III 35 III 45 III 569 III 687 IV 398 IV 65 IV 588 IV 699 Problema 4.- La seccón de estadístca de la CTV ha llevado una relacón de los despeddos en el sector prvado por trmestres en los últmos cuatro años según cuadro al fnal. Se pde: a) Proyectar el número de posbles despdos para el prmer y tercer trmestres del 03 b) Desarrollar los índces estaconales para el número de despdos. c) Determnar los despdos elmnando los factores estaconales. d) Calcular los componentes cíclcos para cada período de tempo. e) S los despdos para el prmer trmestre del 03 son 83; Cuántos despdos se puede esperar para el año 03? f) Obtener cfras desestaconalzadas para cada período de tempo. Semestre 009 Semestre 00 Semestre 0 Semestre 0 I 45 I 5 I 63 I 69 II 49 II 58 II 67 II 76 III 58 III 6 III 67 III 79 IV 5 IV 69 IV 70 IV 8 Problema 5.- Con los sguentes datos: Año Produccón Se pde: a. Estmar la produccón (Mles-Tons.) para el 09 ajustando una recta y tomando como orgen el año ncal b. Estmar la produccón (Mles-Tons.) para el 04 ajustando una recta y tomando como orgen el año más convenente. c. En la estmacón anteror agregar el 007, donde se obtuvo una produccón de 600 Tons. d. Fjar límtes de confanza para un N.C. del 95%, donde t =,57 e. Calcular el coefcente de correlacón de Pearson. Problema 6.-Con los índces de precos anuales: Años Promedos Se pde: a. Estmar preco promedo para el 008 b. Obtener el error estándar de estmacón y fjar límtes de confanza para un N.C. del 95% donde t =,57. c. Calcular el coefcente de correlacón de Pearson. Problema 7.- Con los sguentes datos:

196 96 Años Y Y Y Y Se pde: a. Estmar el valor de Y para el año 006 medante un ajuste rectlíneo. b. Calcular el valor de Y y Y Problema 8.- De acuerdo con los sguentes datos: Años Y 50 Y 00 Y 4 40 Y Se pde: a. Estmar el valor de Y para el 06 medante un ajuste rectlíneo. b. Calcular el valor de Y y Y 4 Problema De acuerdo con los sguentes datos: Años Y Y Se sabe adconalmente que la meda de las observacones es 80. Se pde reconstrur el cuadro anteror, y además estmar el valor de Y para el año 03. Problema 0.- Los turstas extranjeros llegados a una cudad han sdo, en los últmos cnco años: Años Pasajeros Se ha determnado que el 60% de estos turstas requeren alojamento en establecmentos hoteleros y el resto en hoteles de cnco estrellas. a. Determnar la demanda total de alojamentos en el 0. b. Demanda de hoteles cnco estrellas en el 0 Problema.- A contnuacón se presenta el número de llamadas telefóncas daras que ngresan a un conmutador de una ofcna muy ocupada. Calcular el promedo móvl para tres períodos. Día Llamadas

197 97 Problema.- Se presenta el número de empleados que se ausentan daramente de sus trabajos en una fábrca grande. Calcular el promedo móvl de cuatro períodos relaconados con estos datos, centrando los promedos. Día Empleados Problema 3.- Los crédtos mensuales en mles de bolívares de una entdad bancara local son: Crédto Monto Utlzando el suavzamento exponencal para proyectar los crédtos al sguente período, utlzando un valor α de 0,0. Calcular el cuadrado medo del error y compárelo con el cuadrado medo del error s α es 0,80. Cuál valor α proporcona mejor pronóstco? Problema 4.- Las exportacones desde 995 a 998 en mles de bolívares de accesoros para armar transformadores haca los países del Carbe por parte de Trodca C.A., se presentan a contnuacón: Calcular e nterpretar los índces estaconales para cada trmestre. y Año Bs. Trmestre I Bs. II Bs. III Bs. IV Bs Problema5.- Los costos en centos de bolívares de 995 a 998 en llamadas telefóncas nternaconales realzadas desde las ofcnas de Petróleos Naconales Socedad Anónma (PETNASA) aparecen a contnuacón. Calcular e nterpretar los índces trmestrales y Año Bs. Trmestre I Bs. II Bs. III Bs. IV Bs Problema 6.- Un supermercado está consderando ajustar los precos de sus servcos de carncería, según se muestra en cuadro anexo:

198 98 Mes Enero Febrero Marzo Abrl Mayo Prec-Cant. Artículo P B Bs. Q B Kgs. P Bs. Q Kgs. P Bs. Q Kgs. P 3 Bs. Q 3 Kgs. P 4 Bs. Q 4 Kgs. Car. de res Car. de cerdo Car. de ternera Pollo Gallna Se pde: a. Índce de preco smple de la ternera en el mes de marzo. b. Índce de precos agregados de los productos consderados en el mes de abrl. c. Índce deal de Fsher de febrero. d. En cuánto montó la nflacón del 007 al 008? Problema 7.- Un supermercado está consderando ajustar los precos de sus servcos de cosmétcos (cantdades en mles de undades), según se muestra en cuadro anexo: Año Prec- Cant. P 0 Bs. Q 0 Und. P Bs. Q Und. P Bs. Q Und. P 3 Bs. Q 3 Und. P 4 Bs. Q 4 Und. Artículo Jabón, 3,3 3 3,3 4 5,4 4 8, 4 Champó,4 8,4 8,0 9 3,3 9 6,9 9 Enjuague 0,0 5,6 6 3,5 6 4,6 7 4,6 8 Pasta dental 9, 0,5,7 6,5 3 3,7 4 Se pde: a. Índce de preco smple de cada undad de jabón en el año 007. b. Índce de precos agregados de los productos consderados en el año 009 c. Índce deal de Fsher en el año 008. d. En cuánto se podría estmar el costo de la pasta dental para el 03. Problema 8.- Una ferretería está consderando ajustar los precos de sus ventas de equpos y herramentas (Preco por mles de bolívares), según se muestra en cuadro anexo Se pde: Año Prec-Cant. P 0 Bs. Q 0 Und. P Bs. Q Und. P Bs. Q Und. P 3 Bs. Q Und. P 4 Bs. Q 4 Und. Artículo Martllo Alcate Destornllad Taladro J. de llaves

199 99 a. Índce de preco smple de cada taladro en el año 008. b. Índce de precos agregados de los productos consderados en el año 007 c. Índce deal de Fsher en el año 009. d. En cuánto se podría estmar el costo del destornllador para el 05. Problema 9.- Un supermercado está consderando ajustar los precos de tres de sus producto de legumnosas (cantdades en mles de toneladas, según se muestra en cuadro anexo: Año Prec-Cant. Artículo P 0 Bs. Q 0 Tn. P Bs. Q Tn. P Bs. Q Tn. P 3 Bs. Q 3 Tn. P 4 Bs. Q 4 Tn. Caraotas negr. 5,5, 5,8, 6,0,8 6,5, 7,0,6 Frjoles 3,5 0,6 4, 0,7 4, 0,7 5,6 0,8 6,8 0,8 Lentejas 4,,3 4,8,8 4,8 3, 6,5 3,6 7,6 4,0 Se pde: a. Índce de preco smple de una tonelada de caraotas negras en el año 008. b. Índce de precos agregados de los productos consderados en el año 007 c. Índce deal de Fsher en el año 009. d. En cuánto se podría estmar el costo de las lentejas para el 05? e. En cuánto montó la nflacón del 008 al 009? Problema 30.- Los números índces de la produccón de un determnado ben de consumo desde el año 000 al 006 fueron los sguentes: Años Índces 00,00,4 5,6 0,04 05,00 0,8 0,55 APÉNDICES

200 00 APÉNDICE A DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL O Z (Meda Campana) Z A Z A Z A Z A Z A Z A Z A Z A 0,00 0,0000 0,45 0,736 0,90 0,359,35 0,45,80 0,464,5 0,4878,70 0,4965 3,5 0,499 0,0 0,0040 0,46 0,77 0,9 0,386,36 0,43,8 0,4649,6 0,488,7 0,4966 3,6 0,499 0,0 0,0080 0,47 0,803 0,9 0,3,37 0,447,8 0,4656,7 0,4884,7 0,4967 3,7 0,499 0,03 0,00 0,48 0,844 0,93 0,338,38 0,46,83 0,4664,8 0,4887,73 0,4968 3,8 0,4993 0,04 0,060 0,49 0,879 0,94 0,364,39 0,477,84 0,467,9 0,4890,74 0,4969 3,9 0,4993 0,05 0,099 0,50 0,95 0,95 0,389,40 0,49,85 0,4678,30 0,4893,75 0,4970 3,0 0,4993 0,06 0,039 0,5 0,950 0,96 0,335,4 0,407,86 0,4686,3 0,4896,76 0,497 3, 0,4993 0,07 0,079 0,5 0,985 0,97 0,3340,4 0,4,87 0,4693,3 0,4898,77 0,497 3, 0,4994 0,08 0,039 0,53 0,09 0,98 0,3365,43 0,436,88 0,4700,33 0,490,78 0,4973 3,3 0,4994 0,09 0,0359 0,54 0,054 0,99 0,3389,44 0,45,89 0,4706,34 0,4904,79 0,4974 3,4 0,4994 0,0 0,0398 0,55 0,088,00 0,343,45 0,465,90 0,473,35 0,4906,80 0,4974 3,5 0,4994 0, 0,0438 0,56 0,3,0 0,3438,46 0,479,9 0,479,36 0,4909,8 0,4975 3,6 0,4994 0, 0,0478 0,57 0,57,0 0,346,47 0,49,9 0,476,37 0,49,8 0,4976 3,7 0,4995 0,3 0,057 0,58 0,90,03 0,3485,48 0,4306,93 0,473,38 0,493,83 0,4977 3,8 0,4995 0,4 0,0557 0,59 0,4,04 0,3508,49 0,439,94 0,4738,39 0,496,84 0,4977 3,9 0,4995 0,5 0,0596 0,60 0,58,05 0,353,50 0,433,95 0,4744,40 0,498,85 0,4978 3,30 0,4995 0,6 0,0636 0,6 0,9,06 0,3554,5 0,4345,96 0,4750,4 0,490,86 0,4979 3,3 0,4995 0,7 0,0675 0,6 0,34,07 0,3577,5 0,4357,97 0,4756,4 0,49,87 0,4980 3,3 0,4996 0,8 0,074 0,63 0,357,08 0,3599,53 0,4370,98 0,476,43 0,495,88 0,4980 3,33 0,4996 0,9 0,0754 0,64 0,389,09 0,36,54 0,438,99 0,4767,44 0,497,89 0,498 3,34 0,4996 0,0 0,0793 0,65 0,4,0 0,3643,55 0,4394,00 0,4773,45 0,499,90 0,498 3,35 0,4996 0, 0,083 0,66 0,454, 0,3665,56 0,4406,0 0,4778,46 0,493,9 0,498 3,36 0,4996 0, 0,087 0,67 0,486, 0,3686,57 0,448,0 0,4783,47 0,493,9 0,4983 3,37 0,4996 0,3 0,090 0,68 0,58,3 0,3708,58 0,4430,03 0,4788,48 0,4934,93 0,4983 3,38 0,4996 0,4 0,0948 0,69 0,549,4 0,379,59 0,444,04 0,4793,49 0,4936,94 0,4984 3,39 0,4997 0,5 0,0987 0,70 0,580,5 0,3749,60 0,445,05 0,4798,50 0,4938,95 0,4984 3,40 0,4997 0,6 0,06 0,7 0,6,6 0,3770,6 0,4463,06 0,4803,5 0,4940,96 0,4985 3,4 0,4997 0,7 0,064 0,7 0,64,7 0,3790,6 0,4474,07 0,4808,5 0,494,97 0,4985 3,4 0,4997 0,8 0,00 0,73 0,673,8 0,380,63 0,4485,08 0,48,53 0,4943,98 0,4986 3,43 0,4997 0,9 0,4 0,74 0,704,9 0,3830,64 0,4495,09 0,487,54 0,4945,99 0,4986 3,44 0,4997 0,30 0,79 0,75 0,734,0 0,3849,65 0,4505,0 0,48,55 0,4946 3,00 0,4987 3,45 0,4997 0,3 0,7 0,76 0,764, 0,3869,66 0,455, 0,486,56 0,4948 3,0 0,4987 3,46 0,4997 0,3 0,55 0,77 0,794, 0,3888,67 0,455, 0,4830,57 0,4949 3,0 0,4987 3,47 0,4997 0,33 0,93 0,78 0,83,3 0,3907,68 0,4535,3 0,4834,58 0,495 3,03 0,4988 3,48 0,4998 0,34 0,33 0,79 0,85,4 0,395,69 0,4545,4 0,4838,59 0,495 3,04 0,4989 3,49 0,4998 0,35 0,368 0,80 0,88,5 0,3944,70 0,4554,5 0,484,60 0,4953 3,05 0,4989 3,50 0,4998 0,36 0,406 0,8 0,90,6 0,396,7 0,4564,6 0,4846,6 0,4955 3,06 0,4989 3,5 0,4998 0,37 0,443 0,8 0,939,7 0,3980,7 0,4573,7 0,4850,6 0,4956 3,07 0,4989 3,5 0,4998 0,38 0,480 0,83 0,967,8 0,3997,73 0,458,8 0,4854,63 0,4957 3,08 0,4990 3,53 0,4998 0,39 0,57 0,84 0,996,9 0,405,74 0,459,9 0,4857,64 0,4959 3,09 0,4990 3,54 0,4998 0,40 0,554 0,85 0,303,30 0,403,75 0,4599,0 0,486,65 0,4960 3,0 0,4990 3,55 0,4998 0,4 0,59 0,86 0,308,3 0,4049,76 0,4608, 0,4865,66 0,496 3, 0,499 3,56 0,4998 0,4 0,68 0,87 0,3079,3 0,4066,77 0,466, 0,4868,67 0,496 3, 0,499 3,57 0,4998 0,43 0,664 0,88 0,306,33 0,408,78 0,465,3 0,487,68 0,4963 3,3 0,499 3,58 0,4998 0,44 0,700 0,89 0,333,34 0,4099,79 0,4633,4 0,4875,69 0,4964 3,4 0,499 3,59 0,4998

201 0 Tabla Orentadora para obtener las probabldades de la Dstrbucón Aplcando la Meda Campana de Gauss APÉNDICE B GRÁFICA EN LA CAMPANA DE GAUSS PROBABILIDAD SOLICITADA PARÁMETRO RESPECTO A LA MEDIA POBLACIONAL SIGNO DE Z OBTENCIÓN DEL ÁREA EN LA TABLA DE Z Un solo acotamento (<a; >a) P a a Z A 0,5 A a P a a Z A 0,5 A a P a a Z A 0,5 A a P a a Z A 0,5 A a Doble acotamento (a<<b; <a ó >b) P a b a b Z y Z ; A Ab A a P a b a b Z y Z ; A Ab A a P a a b Z A A a P b a b Z A A b P a b a b Z y Z ; A Aa A b Valores notable de Z a a a b b b N.C. % A0 Z0 N.C. % A0 Z0 N.C. % A0 Z0 N.C. % A0 Z0 0,400,8 85 0,45, , ,96 0,405,3 86 0,430,48 9 0,455,7 96 0,480,05 0,40, ,435,5 9 0,460, ,485,7 0,45, ,440, ,465,8 98 0,490,33 0,40,4 89 0,445, ,470, ,495,58