Capítulo 10 Transporte y Transbordo

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1 Capítulo Trasporte y Trasbordo Fuetes Destios D I S P O N I B I L I D A a F C X D b R C JX J E C X Q U C i X i E F C i ij X ij R a i D j b J I M C i X i I E C m X m N C mj X mj T O a m F m C m X m D b Itroducció E éste capítulo estudiaremos u modelo particular de problema de programació lieal, uo e el cual su resolució a través del método simplex es dispedioso, pero que debido a sus características especiales ha permitido desarrollar u método más práctico de solució. El modelo de trasporte se defie como ua técica que determia u programa de trasporte de productos o mercacías desde uas fuetes hasta los diferetes destios al meor costo posible. Tambié estudiaremos el problema del trasbordo e el que etre fuetes y destios, existe estacioes itermedias. Por último estudiaremos el software WiQsb y el Ivop. 53

2 Modelo Geeral del Problema del Trasporte Es u caso especial de problema de programació Lieal, e el que todos los coeficietes de las variables e las restriccioes tiee coeficiete uo (), esto es: a i,j = ; para todo i, para todo j Gráficamete: Fuetes Destios D I S P O N I B I L I D A C F X a D b C JX J C X C i X i C F ij X a ij i i D j C i X i C m X m C mj X mj a m F m D C m X m b i b R E Q U E R I M I E N T O S X i,j = Uidades a eviar desde la fuete i-ésima (i=,...,m) al destio j-ésimo (j=,...,) C i,j = Costo de eviar ua uidad desde la fuete i-ésima (i=,...,m) al destio j-ésimo (j=,...,) a i = Dispoibilidad (oferta) e uidades, de la fuete i-ésima (i=,...,m) b j = Requerimieto (demada) e uidades, del destio j-ésimo (j=,...,) Lo dispoible = Lo requerido Oferta = Demada Mercado Perfecto Matemáticamete: Miimizar Z = C, X, C,j X,j C, X, C i, X i, C i,j X i,j C i, X i, C m, X m, C m,j X m,j C m, X m, 54

3 C.S.R. X + + X j + + X = a : : : : X i + + X ij + + X i = a i : : : : X m + + X mj + + X m = a m X + + X ij + + X m = b : : : : X j + + X ij + + X mj = b j : : : : X m + + X mj + + X m = b X ij > i, j Todo lo dispoible es eviado Todo lo eviado fue requerido!! No se pierde ada!! Otra maera de formularlo Miimice Z = m i= j= Xij C.S.R. Xij j= = a i ; i =,...,m Todo lo dispoible es eviado m i= Xij = b j ; j =,, Todo lo eviado fue requerido X ij > ; i =,...,m ; j =,..., Observació: m i= m i= j= j= Xij Xij m = ai i= = bj j= m i= ai = bj j= Dispoibilidad = Requerimieto Oferta = Demada Mercado Perfecto 55

4 Metodología Geeral Modelo Imperfecto Modelo Perfecto Método de Solució Solució Iterpretació Geeralmete es lo que ocurre e la vida real. Igualamos la oferta a la demada, mediate fuetes o destios de holgura Hallar ua solució básica y factible. Hallar la solució óptima Iterpretar la solució teórica v.s. la realidad. Metodología de solució Solució Básica Factible Optimizació Solució Óptima Iterpretació Métodos Métodos Esquia Noroeste Costo Míimo Vogel Algebraico Heurístico Modi Ejemplo Tres (3) fábricas evía su producto a cico (5) distribuidores. Las dispoibilidades, los requerimietos y costos uitarios de trasporte, se da e la siguiete tabla. Fábricas Distribuidores Dispoibilidades X 7 Requerimietos Qué catidad del producto se debe eviar desde cada fábrica a cada distribuidor para miimizar los costos del trasporte? NOTA: La X sigifica que desde la fábrica 3 es imposible eviar uidades al distribuidor 5 Solució Observe que el modelo o es perfecto: La oferta es diferete a la demada. Se adicioa ua fábrica de relleo co costos de trasporte igual a cero () y que ofrezca justo lo que le hace falta a la oferta para ser igual a la demada. 56

5 Modelo Imperfecto Modelo de mercado perfecto a i Fábricas Distribuidores b j NOTA: Adicioamos la fábrica cuatro (4) co ua oferta de 5 uidades, para igualar la oferta a la demada, dicha fábrica es de holgura. Formulació X ij = Uidades a eviar desde la fábrica i-ésima (i=,2,3,4) al distribuidor j-ésimo (j=,2,3,4,5) Miimizar Z = 2X + 9X 2 + 4X 3 + 2X 4 + 6X 5 + 5X 2 + 2X X X X X 3 + 5X X X 34 + MX 35 L Valor muy grade e comparació co los demás C ij Nota: A X 35 se le castiga co u coeficiete muy grade Gra M ya que Z uca se miimizará mietras X 35 > ; Luego X 35 termiará siedo variable NO-Básica, igual a cero () para que Z se miimice. Co Las siguietes restriccioes: X + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 = 4 X 2 + X 22 + X 23 + X 24 + X 25 = 6 X 3 + X 32 + X 33 + X 34 + X 35 = 7 X 4 + X 42 + X 43 + X 44 + X 45 = 4 Todo lo dispoible es eviado X + X 2 + X 3 + X 4 = 3 X 2 + X 22 + X 32 + X 42 = 4 X 3 + X 23 + X 33 + X 43 = 5 X 4 + X 24 + X 34 + X 44 = 4 X 5 + X 25 + X 35 + X 45 = 6 Todo lo requerido fue eviado X ij > ; i =,2,3,4 ; j =,2,3,4,5 57

6 Solució Básica Factible Como cada variable figura dos (2) veces e el sistema de ecuacioes, etoces tiee m+- grados de libertad y el úmero de variables básicas debe ser igual al úmero de grados de libertad del sistema. Lo aterior os asegura ua solució básica factible o degeerada. NÚMERO DE VARIABLES BÁSICAS = m + Método de la esquia oroeste Características. Secillo y fácil de hacer. No tiee e cueta los costos para hacer las asigacioes. Geeralmete os deja lejos del óptimo Algoritmo. Costruya ua tabla de ofertas (dispoibilidades) y demadas (requerimietos). 2. Empiece por la esquia oroeste. 3. Asige lo máximo posible (Lo meor etre la oferta y la demada, respectivamete) 4. Actualice la oferta y la demada y rellee co ceros el resto de casillas (Filas ó Columas) e dode la oferta ó la demada halla quedado satisfecha. 5. Muévase a la derecha o hacia abajo, segú halla quedado dispoibilidad para asigar. 6. Repita los pasos del 3 al 5 sucesivamete hasta llegar a la esquia iferior derecha e la que se elimia fila y columa al mismo tiempo. Nota: No elimie fila y columa al mismo tiempo, a o ser que sea la última casilla. El romper ésta regla ocasioará ua solució e dode el úmero de variables básicas es meor a m+-, produciedo ua solució básica factible degeerada. E uestro problema de ejemplo: Aquí, asigamos e la fila, columa lo máximo posible etre 4 y 3 o sea 3 uidades; X =3 variable básica. Actualizamos la oferta y la demada, quedado éstas e: y y relleamos co cero el resto de la columa, ya que la demada de 3 uidades quedó satisfecha. Termiado el método, el tablero aparecerá así: 58

7 X = 3 X 2 = X 22 = 3 X 23 = 3 X 33 = 2 X 34 = 4 X 35 = X 45 = 5 Nota: Es ua solució básica factible o degeerada, porque se satisface todas las demadas y ofertas, todas las X ij > y el úmero de variables básicas es m+- = 4+5- = 8 Como evitar elimiar fila y columa al mismo tiempo, si estar e la última casilla, uso de ε Supogamos que uestro problema es: ε El a = 4 y a 2 = 6 se ha cambiado por a = 3 y a 2 = 7 produciedo u empate etre la oferta y la demada de la casilla, de 3 uidades Para éste caso, procedemos así: Escoger satisfacer la fila o la columa (oferta o demada), para uestro ejemplo escogemos satisfacer la oferta, etoces decidimos que a la demada le queda ua catidad muy pequeña por satisfacer, llamada ε (epsilo) cuyo valor es aproximadamete igual a cero (), y para efectos de cálculos futuros ε =. ε 3 3 ε ε Fíjese que el úmero de variables básicas es m+-=8 X = 3 X 2 = ε = X 22 = 4 X 23 = 3 X 33 = 2 X 34 = 4 X 35 = X 45 = 5 59

8 Método del costo míimo Características. Es más elaborado que el método de la esquia oroeste. Tiee e cueta los costos para hacer las asigacioes. Geeralmete os deja alejados del óptimo Algoritmo. Costruya ua tabla de dispoibilidades, requerimietos y costos 2. Empiece e la casilla que tega el meor costo de toda la tabla, si hay empate, escoja arbitrariamete (Cualquiera de los empatados). 3. Asige lo máximo posible etre la dispoibilidad y el requerimieto (El meor de los dos). 4. Rellee co ceros () la fila o columa satisfecha y actualice la dispoibilidad y el requerimieto, restádoles lo asigado. Nota: Recuerde que o debe elimiar ó satisfacer fila y columa al mismo tiempo, caso e que la oferta sea igual a la demada, e tal caso recuerde usar la ε (Epsilo). 5. Muévase a la casilla co el costo míimo de la tabla resultate (Si teer e cueta la fila o columa satisfecha). 6. Regrese a los putos 3,4,5 sucesivamete, hasta que todas las casillas quede asigadas. E uestro ejemplo, la tabla queda así: M Fíjese que el meor costo de toda la tabla es cero (), pero hay 5 celdas co costo cero (), Escogemos al azar la fila 4, columa y asigamos lo máximo posible etre 5 y 4 o sea 3, relleamos la columa co ceros () ya que quedó satisfecha y actualizamos la oferta de 5 a 2 (5 3 = 2). Ahora escogemos el meor costo e la tabla que queda, volviédose a presetar u múltiple empate, el cual dirimimos escogiedo la casilla de la fila 4, columa 2, y asigamos lo máximo posible etre 4 y 2. Diligeciado todo el tablero obteemos: 6

9 M Fíjese que el úmero de variables básicas es m+-=8 X 5 = 4 X 23 = 5 X 25 = X 32 = 2 X 34 = 4 X 35 = X 4 = 3 X 42 = 2 Nota: Es ua solució básica factible o degeerada, porque se satisface todas las demadas y ofertas, todas las X ij > y el úmero de variables básicas es m+-=8 Método de vogel Características. Es más elaborado que los ateriores, más técico y dispedioso.. Tiee e cueta los costos, las ofertas y las demadas para hacer las asigacioes.. Geeralmete os deja cerca al óptimo. Algoritmo. Costruir ua tabla de dispoibilidades (ofertas), requerimietos (demada) y costos. 2. Calcular la diferecia etre el costo mas pequeño y el segudo costo más pequeño, para cada fila y para cada columa. 3. Escoger etre las filas y columas, la que tega la mayor diferecia (e caso de empate, decida arbitrariamete). 4. Asige lo máximo posible e la casilla co meor costo e la fila o columa escogida e el puto asige cero () a las otras casillas de la fila o columa dode la dispoibilidad ó el requerimieto quede satisfecho. 6. Repita los pasos del 2 al 5, si teer e cueta la(s) fila(s) y/o columa(s) satisfechas, hasta que todas las casillas quede asigadas. Nota: Recuerde que o debe satisfacer filas y columas al mismo tiempo; caso e que la dispoibilidad sea igual al requerimieto; e tal caso use el ε (epsilo). 6

10 M 4 b j D j a i D i Fíjese que la mayor diferecia la tiee la columa 4 co u valor de 9, escogido etre 2,2,3,,5,3,9 y 6. El meor costo de la columa 4 es cero (), se asiga lo máximo posible etre 5 y 4, que es 4, se satisface la columa y se actualiza la oferta y la demada. Ahora recalculamos las diferecias, si teer e cueta la columa 4, que está satisfecha. Ua vez ejecutado todo el algoritmo hasta asigar todas las casillas, obteemos la siguiete asigació básica y factible iicial. F Á B R I C A S D I S T R I B U I D O R E S M a i Diferecias M-8 5 b j Diferecias Fíjese que el úmero de variables básicas es: m+-=8 Solució básica factible o degeerada: X 5 =4 ; X 2 =3 ; X 23 =2 ; X 25 = ; X 32 =4 ; X 33 =3 ; X 44 =4 ; X 45 = Z = 6(4) + 5(3) + 3(2) + 6() + 5(4) + 8(3) + (4) + () =

11 Coclusió: Hemos coseguido tres (3) solucioes básicas factibles o degeeradas (# de variables básicas = m+-=8) por medio de tres (3) métodos: El de la esquia oroeste, el del costo míimo y el de Vogel. Pero igua de ellas os garatiza que la solució ecotrada es la óptima. Para saberlo, debemos estar seguros que igua de las variables o básicas pueda etrar a la base haciedo que la fució objetivo dismiuya. Para discerir u método que os evalúe el efecto de itroducir ua uidad de cada variable o básicas, recurrimos al método algebraico que posteriormete se covertirá e el método MODI. Importate: A partir de cualquiera de éstas tres (3) solucioes básicas factibles o degeeradas, debemos comezar a iterar, para ecotrar el óptimo. Método algebraico El sistema de ecuacioes iiciales es: () Z-2X -9X 2-4X 3-2X 4-6X 5-5X 2-2X 22-3X 23-9X 24-6X 25-8X 3-5X 32-8X 33-2X 34 -MX 35 = () X + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 = 4 () (2) X 2 + X 22 + X 23 + X 44 + X 5 = 6 () (3) X 3 + X 32 + X 33 + X 34 + X 35 = 7 (5) (4) X 4 + X 42 + X 43 + X 44 + X 45 = 5 (-6) (5) X + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 = 3 (5) (6) X 2 + X 22 + X 32 + X 42 + X 52 = 4 () (7) X 3 + X 23 + X 33 + X 43 + X 53 = 5 (3) (8) X 4 + X 24 + X 34 + X 44 + X 54 = 4 (6) (9) X 5 + X 25 + X 35 + X 45 + X 55 = 6 (6) Fíjese que e la ecuació () aparece Z (Variable básica) acompañada de todas las variables básicas escogidas iicialmete. Como e la ecuació () la variable básica debe ser Z, debemos sumar múltiplos de las restriccioes a la fució objetivo, de tal forma que se elimie las variables básicas X 5,X 2,X 23,X 25,X 32,X 33,X 44,X 45. Ua forma de lograr esto, es multiplicar cada restricció por las costates que aparece etre parétesis, frete a cada restricció. Z-2X -9X 2-4X 3-2X 4-6X 5-5X 2-2X 22-3X 23-9X 24-6X 25-8X 3-5X 32-8X 33-2X 34 - MX 35 - X 4 - X 42 - X 43 - X 44 - X 45 = 5X 3 + 5X X X X 35-6X 4-6X 42-6X 43-6X 44-6X 45 = X +X 2 +3X 3 +6X 4 +6X 5 +5X 2 +X 22 +3X 23 +6X 24 +6X 25 +5X 3 +X 32 +3X 33 +6X X 35 +5X 4 +X 42 +3X 43 +6X 44 +6X 45 = Z- 5X - 9X 2 - X 3-5X 4 -X 22-3X X 3 + X 34 -(M-2)X 35 - X 4-6X 42-3X 43 - X 44 - X 45 = 2.65 Observe que la ueva fució objetiva es: Z =5X + 9X 2 + X 3 + 5X 4 + X X 24-2X 3 - X 34 + (M-2)X 35 + X 4 + 6X X Fíjese que se ha elimiado todas las variables básicas de la fució objetivo, siedo solamete Z la variable básica co u valor de

12 Si os pregutamos: Cual es la variable que al aumetar hace que Z dismiuya más, la respuesta es X 3 (Tiee el coeficiete más egativo), luego es la mejor cadidata para ser la variable que etra ya que por cada uidad que aumete, los costos totales del trasporte se dismiuye e 2 uidades moetarias. Nota: Éste proceso es muy dispedioso!! y por lo tato vamos a cosiderar otro. Método de tateo: Partiedo de la solució básica factible obteida mediate el método de Vogel Aalizamos que efecto causa sobre el valor de la fució objetivo actual (Z=2.65) el itetar eviar uidad desde la fábrica al distribuidor (X =). Éste cambio causa u desequilibrio e la oferta y la demada; La primera fila suma 4 e lugar de 4 y la primera columa suma 3 e lugar de 3. Esto se arregla sumado y restado e sitios estratégicos, de tal forma que la oferta y la demada se vuelva a cumplir El uevo valor de Z es: Z = 2() + 6(39) + 5(29) + 3(2) + 6() + 5(4) + 8(3) + (4) + () = El valor de Z se icremetó e: = 5. Observe que 5 es el coeficiete de X e la ueva ecuació de Z obteida mediate el método algebraico. Coclusió: Mediate éste método podemos aalizar todos los efectos, de cosiderar eviar ua uidad desde las fábricas a los distribuidores, e las casillas de las variables o-básicas (X ij = ), para observar si existe variables o-básicas que al etrar a la base, haga que Z dismiuya; Por supuesto, los resultados coicidirá co los coeficietes de la fució objetiva lograda mediate el método algebraico. Coclusió: El presete método es muy dispedioso, auque u poco meos que el método algebraico; Si se efectúa e su totalidad, el resultado es: M Aquí, al igual que e el método algebraico la variable a escoger para etrar a la base es: X 3 ya que por cada uidad que crezca, hace que Z dismiuya 2 uidades moetarias. 64

13 Ahora se describe u método más practico para ecotrar éste último tablero e dode podemos escoger la variable que etra de forma rápida. Primero se muestra la deducció matemática del método y después su aplicació práctica. El procedimieto recibe el ombre del Método Modificado de distribució (Modi), ya que lleva a escoger la variable que etra, la variable que sale y la ueva solució mejorada e dode Z dismiuye su valor. Método Modificado de distribució (Modi) Variable que etra El problema origial es: Miimice Z = m i= j= CijXij Miimice Z = m i= j= CijXij C.S.R. j= m i= Xij Xij = a i ; i =,...,m = b j ; j =,, C.S.R. a i - Xij = ; i =,...,m b j - j= m i= Xij = ; j =,, X ij > ; i =,...,m ; j =,..., X ij > ; i =,...,m ; j =,..., Al haber escogido ua solució básica factible (Co cualquiera de los tres (3) métodos estudiados: Esquia oroeste, míimo costo ó Vogel), aparece e la fució objetivo alguas de las variables básicas, y cualquier múltiplo de las restriccioes puede sumarse o restarse de la fució objetiva para elimiarlas, llamamos éstos múltiplos u i y v j ; Luego: Z = m i= j= CijXij [a i - Xij = ] u i ; i =,...,m j= m [b j - = ] v j ; j =,, i= Xij Escogemos los u i y los v j de tal maera que al restar los múltiplos de las restriccioes a la fució objetivo, se elimie las variables básicas de ésta. m Z = + u i [a i - = ] m CijXij Xij + v j [b j - Xij = ] i= j= j= i= 65

14 m Z = CijXij + uiai - uixij + vjbj - i= j= m i= m i= j= j= m i= j= vjxij m Z = ( Cij ui vj) Xij + uiai + i= j= m i= j= vjbj Para las VARIABLES BÁSICAS, se debe cumplir que C ij u i v j = Para las VARIABLES NO BÁSICAS, su coeficiete es C ij u i v j Partiedo de la solució básica factible ecotrada por el método de vogel, aplicamos el método de modi, para averiguar cual es la variable o básica que debe etrar y cual la variable básica que debe salir. para ello efectuamos los siguietes pasos:. Costruimos ua tabla de costos para las variables básicas y e ella calculamos los u i y los v j que cumpla C ij u i v j = 2. Costruimos ua tabla de costos ó coeficietes e la fució objetiva para las variables o básicas cuyo valor es C ij u i v j M 4 3 Z = 2.65 Solució básica factible o degeerada lograda mediate el método de vogel, co m+-=8 variables básicas. 4 u i v j v j ó v j = C ij u i, así: Tabla de costos para las variables básicas Calculamos los u i ^ v j de tal forma que C ij u i v j =. Asigamos el primer valor de u i ó de v j arbitrariamete, Preferetemete (Puede ser cualquier valor) e la fila ó columa, que tega la mayor catidad de asigacioes (Variables Básicas), para uestro caso, fila 3 ó columa 5. Co base e éste primer valor, calculamos todos los u i y v j, aplicado C ij u i v j =, para u i = C ij 66

15 V = C 2 u 2 = 5 - = 5 V 3 = C 23 u 2 = 3 - = 3 V 5 = C 25 u 2 = 6 - = 6 u = C 5 v 5 = 6-6 = u 3 = C 33 v 3 = 8-3 = 5 u 5 = C 45 v 5 = 6 = -6 V 2 = C 32 u 3 = 5-5 = V 5 = C 45 u 5 = (-6) = 6 Observe que el cálculo para cualquier u i,es el costo meos el respectivo v j y para cualquier v j, es el costo meos el respectivo u i M Tabla de costos para las variables o básicas C ij -u i -v j, así: C u v = 2 5 = 5 C 4 u v 4 = 2 6 = 5 C 2 u v 2 = 9 = 9 C 22 u 2 v 2 = 2 = C 3 u v 3 = 4 3 = C 24 u 2 v 4 = 9 6 = 3 C 3 u 3 v = = -2 C 34 u 3 v 4 = = - C 35 u 3 v 5 = M 5 6 = M-2 C 4 u 4 v = (-6) 5 = C 42 u 4 v 2 = (-6) = 6 C 43 u 4 v 3 = (-6) 3 = 3 Observe que éstos cálculos se puede hacer directamete sobre la tabla, aplicado para las casillas de las variables o básicas C ij u i v j Fíjese que e ésta última tabla, está todos los coeficietes de las variables o básicas e la fució objetiva, después de haber sumado múltiplos de las restriccioes a la fució objetivo para elimiar las variables básicas. La ueva fució objetivo es: Z = 5X + 9X 2 + X 3 + 5X 4 + X X 24-2X 3 -X 34 + (M-2)X 35 + X 4 + 6X X La variable que al crecer hace que Z dismiuya más es X 3, luego escogemos ésta variable para etrar a la base. Observe que e la tabla de costos para las variables o básicas se ecuetra los valores e que aumeta ó dismiuye Z por cada uidad de crecimieto de las variables o básicas. Idetificada la variable para etrar (X 3 ), debemos determiar la variable para salir, que debe ser aquella que primero se vuelva cero () a medida que la variable que etra crezca. para ello, costruimos u circuito cerrado de (+) y (-), empezado, sumado e la casilla de la variable que etra X 3. Observe que el circuito de (+) y (-) tiee como objetivo preservar la suma de las filas y de las columas, esto es, seguir satisfaciedo la oferta y la demada, coservado la factibilidad del problema. 67

16 M Z=2.65 ; Variable que etra X 3. Fíjese que a medida que X 3 crece, X 2 y X 33 decrece e la misma catidad. Aquí X 2 y X 33 llega a cero al mismo tiempo. Escogemos arbitrariamete a X 33 como variable que sale y a X 2 al restarle 3 quedará co u valor de ε ε M Z=(4)(5)+()(5)+(5)(3)+()(6)+(3)(8)+ (4)(5)+(4)()+()() = Fíjese que m+-=8. X 2 es variable básica =. La oferta es igual a la demada.. Z dismiuye e 6 uidades; 2(3)= = La preguta aquí es: Ésta es la solució óptima?, la respuesta la cooceremos cuado calculemos la ueva tabla de costos para las variables o básicas. u i v j M Tabla de costos para las variables básicas: C ij u i v j = Tabla de costos para las variables o básicas: C ij u i v j Fíjese que todos so > Estamos e la solució óptima. 68

17 Solució óptima Variables básicas: X 5 * = 4 X 2 * = ε = X 23 * = 5 X 25 * = X 3 * = 3 X 32 * = 4 X 54 * = 4 X 55 * = Z* = 4(6)+(5)+5(3)+(6)+3(8)+4(5)+ 4() +() = 2.59 Iterpretació de la solució La forma óptima de hacer los evíos desde las fábricas (,2,3) a los distribuidores (,2,3,4,5) para que los costos totales del trasporte sea míimos es: Desde la fábrica al distribuidor 5 eviar 4 uidades, a u costo de: $ 64 Desde la fábrica 2 al distribuidor 3 eviar 5 uidades, a u costo de: $ 65 Desde la fábrica 2 al distribuidor 5 eviar uidades, a u costo de: $ 6 Desde la fábrica 3 al distribuidor eviar 3 uidades, a u costo de: $ 54 Desde la fábrica 3 al distribuidor 2 eviar 4 uidades, a u costo de: $ 6 Total de uidades eviadas 7, a u costo total de $2.59 Observe que el distribuidor 4 se quedará si sus 4 uidades y que el distribuidor 5 si sus uidades, e total quedará ua demada isatisfecha de 5 uidades (Iformació que coocimos desde el pricipio), lo relevate aquí, es que ahora sabemos a quie o eviarle las 5 uidades que o tiee los distribuidores y que podemos tomar decisioes admiistrativas referetes a la demada o cubierta, tales como:. Coseguir las 5 uidades a través de la competecia agremiada, como cosecuecia de acuerdos previamete establecidos. 2. Acordar co el distribuidor 4 y 5 cubrir dicha demada e el periodo de producció siguiete. 3. Otras decisioes podrá ser tomadas e cocordacia co la situació real. Problema de trasporte co costos de producció Ua compañía tiee 4 fábricas (F, F 2, F 3, F 4 ), que evía su producció a 4 almacees (A, A 2, A 3, A 4 ). Los costos y capacidades de producció, e cada ua de las 4 fábricas so: 69

18 Fábricas F F 2 F 3 F 4 Costos por uidad ($/Uidad) Capacidad máxima de producció (Uidades / mes) Las demadas mesuales del producto e cada uo de los 4 putos de distribució so: Almacé A A 2 A 3 A 4 Demada mesual (E Uidades) Los costos del trasporte, e $/Uidad, etre las diversas combiacioes de fábricas y almacees so: Fábrica A L M A C E N E S A A 2 A 3 A 4 F F F F Formule U problema de programació lieal para miimizar los costos de trasporte y producció, y ecuetre la solució óptima. X ij = Uidades de producto a eviar desde la fábrica i-ésima (i=,2,3,4), al almacé j- ésimo(j=,2,3,4) Miimizar Z = 4(X + X 2 + X 3 + X 4 +) + 43(X 2 + X 22 + X 23 + X 24 ) + 39(X 3 + X 32 + X 33 + X 34 ) + 45(X 4 + X 42 + X 43 + X 44 ) + 48X + 6X X X X X X X X X X X X X X X 44 C.S.R. X + X 2 + X 3 + X 4 < 4 X 2 + X 22 + X 23 + X 24 < 26 X 3 + X 32 + X 33 + X 34 < 36 X 4 + X 42 + X 43 + X 44 < 22 X + X 2 + X 3 + X 4 > 8 X 2 + X 22 + X 32 + X 42 > 28 X 3 + X 23 + X 33 + X 43 > 5 X 4 + X 24 + X 34 + X 44 > 2 X ij > ; i =,2,3,4 J =,2,3,4 7

19 Simplificado la fució objetivo, queda así: Miimice Z = 88X + X X X 4 + 9X 2 + X X X X 3 + 2X 32 + X X X 4 + 8X 42 + X X 44 Evaluamos las oferta frete a la demada, de o ser iguales, la igualamos mediate variables de holgura. Fábricas F F 2 F 3 F 4 a i Distribuidores A A 2 A 3 A 4 A 5 b j Creamos el almacé artificial A 5 co ua demada de 7 uidades. X + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 = 4 X 2 + X 22 + X 23 + X 24 + X 25 = 26 X 3 + X 32 + X 33 + X 34 + X 35 = 36 X 4 + X 42 + X 43 + X 44 + X 45 = 22 X + X 2 + X 3 + X 4 = 8 X 2 + X 22 + X 32 + X 42 = 28 X 3 + X 23 + X 33 + X 43 = 5 X 4 + X 24 + X 34 + X 44 = 2 X 5 + X 25 + X 35 + X 45 = 7 X ij > ; i =,2,3,4 J =,2,3,4,5 F Á B R I C A S D I S T R I B U I D O R E S b j Diferecias a i Diferecias Número de variables básicas: m + = = 8 7

20 Partiedo de ésta solució básica factible o degeerada ecotrada por el método de aproximació de vogel, aplicamos el método de modi, para efectuar las iteracioes y ecotrar la solució óptima. Z = u i X 4 * = 4 X 22 * = 6 X 23 * = X 3 * = 8 X 32 * = 2 X 34 * = 6 X 43 * = 5 X 45 * = 7 La fábrica 4 se quedará co 7 uidades e su bodega, ya que el destiatario 5 es artificial. Z* = 4(98) + 6() + (96) + 8(9) + 2(2) + 6(2) + 5() + 7() = $ El problema del trasbordo Este problema correspode al euciado del problema úmero 6 del capítulo de formulació. Allí se covirtió u problema de trasbordo e u problema clásico de trasporte, costruyédose la siguiete matriz de costos. Platas de Cetros de Vetas Dispoibilidad Producció V V 2 V 3 V 4 (Moitores) P P Requerimietos Igualamos la oferta y la demada mediate la creació de ua plata de producció ficticia. 72

21 Platas de Producció P P 2 P 4 a i Cetros de vetas V V 2 V 3 V 4 b j Aplicamos el método aproximativo de Vogel P L A N T A Cetro de Vetas b j Diferecias a i Diferecias Número de variables Básicas: m+- = 3+4- = 6 Z = Z = 2(36) + 6(36) + 6(34) + 3() + 2() = 4.92 Solució Óptima: X 2 * = 2 X 3 * = 6 X 23 * = 6 X 3 * = 3 X 33 * = 2 X 34 * = 4 Z* = $

22 De acuerdo a la matriz de costos y al gráfico presetado e el problema 6 del capítulo de formulació, las uidades deberá ser despachadas así: V V 2 V 3 V 4 P 37 (C 2 ) 36 (C ) 36 (C 2 ) 4 (C 2 ) P 2 35 (C 2 ) 34 (C ) 34 (C 2 ) 38 (C 2 ) Desde la plata de producció P, eviar 2 moitores de alta resolució al cetro de vetas V 2, a través del cetro de cotrol de calidad C. Desde la plata de producció P, eviar 6 uidades al cetro de vetas V 3, a través del cetro de cotrol de calidad C 2.. Desde la plata de producció P 2, eviar 6 uidades al cetro de vetas V 3, a través del cetro de cotrol de calidad C 2. Gráficamete: V 3-3 Uidades isatisfechas 8 P $ 6 $2 2 $4 C $2 2 V Demada satisfecha 6 P 2 6 $9 C 2 $6 2 $9 V Uidades isatisfechas V Uidades isatisfechas 74

23 Costos Totales: 2(2) + 2( 4) + 2(2) = 72 6() + 6( 6) + 6(9) = 2.6 6( 9) + 6( 6) + 6(9) = 2.4 $4.92 Sistema Operativo de Producció Este problema correspode al euciado del problema úmero 4 del capítulo de formulació. Allí se resolvió mediate el método simplex; Aquí costruimos ua tabla de costos, dispoibilidades y requerimietos. Primer Segudo Tercer Cuarto Normal Extra Maquia Normal Extra Maquia Normal Extra Maquia Normal Extra Maquia Primer X 5 H 75 M 85 Segudo X 2 53 H 2 78 M 2 88 X 22 5 H M Tercer X 3 56 H 3 8 M 3 9 X H M X 33 5 H M Demada Costos Totales Cuarto X H M X H M X H M X H M Capacidad de Producció Pla de Producció X ij = Uidades a fabricar mediate la fuerza de trabajo regular e el trimestre i-ésimo (i=,2,3,4), para ateder la demada del trimestre j-ésimo (j=,2,3,4). H ij = Uidades a fabricar mediate la fuerza de trabajo e horas extras e el trimestre i- ésimo (i=,2,3,4), para ateder la demada del trimestre j-ésimo (j=,2,3,4). 75

24 M ij = Uidades a fabricar mediate la fuerza de trabajo subcotratada e el trimestre i- ésimo (i=,2,3,4), para ateder la demada del trimestre j-ésimo (j=,2,3,4) Siedo j = i,..., ; Ya o es lógico producir uidades para ateder demadas pasadas. E la parte superior derecha de cada casilla aparece el costo uitario por uidad producida, es así como ua uidad producida mediate la fuerza de trabajo regular, para suplir la demada del segudo trimestre, tiee u costo de $53, distribuidos así: $5 de producció más $3 de ivetario. Empezamos por la esquia oroeste y asigamos lo máximo posible para ateder la demada de 5. uidades, produciedo lo máximo posible e tiempo ormal, cubrimos la demada. Nos movemos a la fila del segudo trimestre co producció e tiempo ormal y asigamos lo máximo posible (5.), haciédose ecesario producir lo máximo posible e horas extras, (5.) y e trabajo suplemetario (4.), para u total de 4. uidades a producir, quedado si cubrir la demada de. uidades, ya que la totalidad de la demada para el segudo trimestre es de 5. uidades. Lo aterior obliga a recurrir a uidades (lo más baratas posibles) producidas e el trimestre imediatamete aterior, luego asigamos. uidades a producir e el primer trimestre e tiempo extra para cubrir la demada del segudo trimestre; Este movimieto se muestra e la tabla parcial siguiete: Primer Segudo Demada Normal Extra Maquia Normal Extra Maquia Primer Segudo Tercer Cuarto Capacidad de Producció Pla de Producció Completado la tabla, los datos aparece así: 76

25 Primer Segudo Tercer Cuarto Normal Extra Maquia Normal Extra Maquia Normal Extra Maquia Normal Extra Maquia Primer 5. Segudo Tercer Cuarto Capacidad de Producció Demada Costos Totales $2 5. $ 43. $4 7. $2 65. $ Pla de Producció E la última columa queda diseñado el pla de producció por tipo de fuerza de trabajo y por trimestre; E la última fila se muestra los costos de las uidades producidas por trimestre. Los ivetarios trimestrales se observa sobre cada columa, ateriores al trimestre observado y ellos so: 7. y 6. uidades para los semestres 2 y 3 respectivamete, todas uidades producidas durate el primer semestre. Problema clásico del trasporte Este problema correspode al euciado del problema úmero 5 del capítulo de formulació. Aquí, se mostrará la aplicació del software WiQsb e Ivop para ecotrar la solució óptima. 77

26 Software WiQsb El WiQsb maeja el problema del trasporte e su módulo de Modelos de Redes, el cual e su iicio os muestra la siguiete vetaa, que se debe diligeciar así: Fíjese que éste módulo tambié resuelve otros modelos de redes, que se especifica e la parte izquierda de la vetaa. Los datos se puede igresar de dos formas: E ua matriz ó tablero de doble etrada ó de forma gráfica. A cotiuació se ilustra el igreso de datos e la tabla de doble etrada El modo de edició del meú pricipal permite cambiar los rótulos de las fuetes y los destios. No es ecesario que la oferta sea igual a la demada, el software se ecarga de agregar fuetes ó destios de holgura, segú sea la ecesidad. Para solucioar el problema, se da clic sobre el icoo que aparece e la parte superior y que se señala e la figura siguiete: El WiQsb le ofrecerá etoces ua vetaa co la respuesta óptima del problema, idicado cuátas uidades eviar desde cada ua de las ciudades de orige a cada ua de las ciudades de destio, co su costo por evío y el costo total de la operació. Si se usa éste icoo, el WiQsb os ilustrará mediate ua red la respectiva respuesta óptima al problema. 78

27 Observe que e éste problema la oferta de los Cetros de distribució es igual a los requerimietos de los detallistas, por lo tato o hubo ecesidad de adicioar i fuetes, i destios ficticios y se trata de u problema de mercado perfecto. A cotiuació se ilustra el mismo problema; Pero bajo el software del INVOP (Ivestigació de Operacioes), Software creado por Beatriz Loubet y Sadra Segura de la Facultad de Ciecias Ecoómicas de la Uiversidad del Cuyo e Argetia; El software está hecho e leguaje Delphi y puede ser adquirido gratuitamete de la siguietes direccioes e iteret: http//members.tripod.com/~operativa Software INVOP Este software maeja las siguietes aplicacioes: Asigacioes, Trasporte, Distacias e redes (Ruta más corta, Árbol de míimo recorrido, Agete viajero), Flujo de redes. El ivop está e Español y su metodología dirigido a la eseñaza, ofreciedo al usuario tato la parte teórica de fudameto matemático como la parte práctica de solució de problemas co sus respectivos ejemplos. El Ivop preseta ua vetaa pricipal, e la que hace ua breve, pero útil reseña de sus aplicacioes, de ellas seleccioamos la de trasporte, como se muestra e la figura siguiete: 79

28 Al escoger la opció de trasporte, el INVOP os ofrece ua vetaa e dode captura los datos del problema y e u recuadro situado e la parte iferior derecha, dode os ofrece la solució óptima. Colocado el cursor sobre alguos sitios de iterés de ésta vetaa, se ofrece u rótulo e fodo amarillo co la respectiva istrucció de ayuda. E la parte iferior izquierda de la vetaa se especifica el criterio de optimizació y la catidad de fuetes y destios, e la parte superior derecha se itroduce los costos por uidad a trasportar y habilitado el cuadro de cotrol, se edita los ecabezados de fila y columa, al igual que las ofertas y las demadas de fuetes y destios. Cuado la iformació del problema está itroducida, se procede a solucioar el problema, haciedo clic sobre el icoo del meú superior, que tiee la figura de ua calculadora, Etoces se llea el cuadro e la parte iferior derecha co la solució óptima. E la figura siguiete se ilustra ésta vetaa. 8

29 Se recomieda al Usuario del Software leer la ayuda (Help), e la que se explica toda la parte coceptual y matemática del algoritmo del trasporte al igual que se ilustra varios ejemplos de muy buea calidad. Problemas Propuestos. Formular, Resolver maualmete, e iterpretar la solució, de todos los problemas de ejemplo de la Ayuda del Software INVOP. 2. Desarrolle u algoritmo para el caso de Maximizació de u problema de trasporte; Tato para ecotrar la solució básica iicial por el método de vogel, como para hallar la solució óptima por el método MODI. 3. Ua cadea de cico (5) Almacees, ubicados e diferetes partes del país, requiere cierta mercacía para cada uo de sus almacees. Las Empresas abastecedoras ha 8

30 iformado que dispoe de la mercacía solicitada, pero e tres (3) diferetes fábricas. La escasez del producto hace que la cadea de almacees deba trasportar la mercacía. E base a los costos del trasporte por uidad, a los requerimietos de los almacees y a la dispoibilidad de las fábricas, que se muestra e el siguiete cuadro; Formule el problema de programació lieal que miimice los costos totales del trasporte y resuélvalo. ALMACENES FÁBRICAS Dispoibilidad A B C Requerimietos Ua Compañía desea saber, que política de distribució miimizará sus costos totales, se cueta co tres (3) fábricas y cuatro (4) clietes, la producció de las fábricas es de: 55,3 y 26 uidades respectivamete; y las ecesidades de los cuatro (4) clietes so: 25,3,2, y 6 uidades respectivamete. Los costos de eviar ua () uidad etre cada fábrica y los clietes se da a cotiuació: C L I E N T E S OFERTA A FÁBRICAS B C DEMANDA Cosidere el problema de trasporte que tiee la siguiete tabla de costos y requerimietos. 82

31 D E S T I N O S OFERTA M 2 6 FUENTES M DEMANDA a) Use el método de la esquia oroeste para obteer ua solució básica factible. b) Use el método del costo míimo para obteer ua solució básica factible. c) Use el método de vogel para obteer ua solució básica factible. d) Obtega la solució óptima, partiedo de la solució básica obteida por el método de vogel. 6. Cosidere el problema del trasporte que tiee la siguiete tabla de costos y requerimietos: D E S T I N O S OFERTAS FUENTES DEMANDA a) Use el método de la esquia oroeste para obteer ua solució básica factible. b) Use el método del costo míimo para obteer ua solució básica factible. c) Use el método de vogel para obteer ua solució básica factible. d) Obtega la solució óptima, partiedo de la solució básica obteida por el método de vogel. 83

32 7. Ua compañía tiee u programa de embarque. La empresa tiee 3 fábricas y 4 bodegas. A cotiuació se da los datos ecesarios e térmios de costo del trasporte, capacidad de cada fábrica y los requerimietos de cada bodega. Busque u programa óptimo de embarque de tal maera que los costos sea míimos. B O D E G A S DISPONIBILIDAD A FÁBRICAS B C REQUERIMIENTOS Ua compañía tiee 4 almacees y 6 tiedas. Los almacees jutos tiee u exceso de 22 uidades de u producto dado, que se divide etre ellos como sigue: ALMACÉN EXCESO TOTAL 22 Las 6 tiedas jutas ecesita 22 uidades del producto. Los requerimietos idividuales so: TIENDA REQUERIMIENTOS TOTAL 22 Los costos de eviar ua uidad del producto del almacé i-ésimo a la tieda j-ésima so: 84

33 ALMACENES T I E N D A S Cuátas uidades se debe eviar de cada almacé a cada tieda, para miimizar los costos? Cuál es el costo total míimo? 9. Se tiee que distribuir u producto desde 3 fábricas (A, B, C), hasta 5 almacees (d, e, f, g, h), la siguiete tabla muestra: Costos, demadas y ofertas. D E F G H OFERTA A B C DEMANDA Qué catidad de producto se debe eviar de cada fábrica a cada almacé, si se quiere miimizar los costos?. Se evía automóviles e camió desde 3 cetros de distribució a 5 distribuidores. El costo de evío está basado e la distacia recorrida etre las fuetes y destios. El costo es idepediete de si el camió hace el recorrido co ua carga parcial o completa. La tabla que sigue, hace u resume de las distacias a recorrer etre los cetros de distribució y los distribuidores y tambié las cifras mesuales de oferta y demada calculadas e úmero de automóviles. Cada camió puede trasportar u máximo de 8 vehículos. Dado que el costo de trasporte por kilómetro recorrido es de $; Formule el problema como u modelo de trasporte, resuélvalo e iterprete la solució. D I S T R I B U I D O R E S OFERTA CENTROS DE DISTRIBUCIÓN DEMANDA FIBRATOLIMA ha trasportado desde su plata e Ibagué, 4 Toeladas de tela al puerto de Sata Marta, 2 Toeladas al puerto de Cartagea y 5 Toeladas al puerto 85

34 de Barraquilla; para ateder sus pedidos de exportació así: Paamá requiere 2 Toeladas que pagará a $2. Toelada; Hoduras requiere 3 Toeladas que pagará a $. Toelada y Veezuela desea 25 Toeladas que pagará a $. Toelada. A Fibratolima le cuesta $5. traer cada toelada de su plata e Ibagué hasta Sata Marta, $4. Toelada a Cartagea y $3. Toelada a Barraquilla. La siguiete tabla muestra el costo de trasportar la tela desde cada puerto de embarque al sitio de pedido. Se requiere: DESDE HASTA (Por mar) Paamá (P) Hoduras (H) Veezuela (V) Sata Marta (S) Cartagea (C) Barraquilla (B) a) Formular el problema b) Use el método de vogel para obteer ua solució básica factible c) Obtega la solució óptima 2. Tres platas geeradoras de eergía eléctrica, co capacidades de 25,4 y 3 milloes de kilowatts-hora (KWH), sumiistra electricidad a 3 ciudades cuyas demadas máximas so: 3, 35 y 25 milloes de KWH. El costo e uidades moetarias (u.m.) de la veta de corriete eléctrica a las diferetes ciudades, por milló de KWH es: CIUDADES PLANTAS Durate el siguiete mes, se icremeta u 2% la demada e cada ua de las tres ciudades. para satisfacer el exceso de demada, la compañía eléctrica debe comprar electricidad adicioal de otra red a uidades moetarias por milló de KWH. a) Formule el problema como uo de trasporte, co el fi de establecer el pla de distribució más ecoómico, desde el puto de vista de la compañía eléctrica. b) Utilizado el método de vogel, ecuetre ua solució básica factible. c) Ecuetre la solució óptima e iterprete la solució. 86

35 3. Ua compañía produce motores eléctricos pequeños e cada ua de sus tres platas, para 4 fabricates de istrumetos. Los costos de producció por uidad varía segú las ubicacioes, debido a diferecias e el equipo de producció y e el redimieto de los trabajadores. Los costos de producció por uidad y la capacidad mesual (Oferta) se preseta e la siguiete tabla PLANTA A B C Costo de Producció por Uidad Capacidad de Producció Mesual A DESDE A B C Tabla de costos por uidad trasportada. Los pedidos de los clietes que debe producirse el siguiete mes, se muestra e la tabla siguiete: CLIENTE DEMANDA La empresa debe decidir cuátas uidades se producirá e cada plata y qué porció de la demada de cada cliete se surtirá desde cada ua de ellas. Se desea miimizar la producció total y los costos de trasporte. Formule el problema como uo de trasporte y resuélvalo, idicado claramete cuátas uidades se debe eviar y producir desde cada plata a cada cliete y cuál es el costo míimo. 4. Ua empresa tiee 3 cetros de distribució: Bogotá, Barraquilla y Medellí, co ua capacidad de despacho de 9.,. y 5. uidades por semaa. Los clietes está clasificados por zoas: Occidete, Costa, Oriete y Viejo Caldas; Cuyas demadas por semaa so: 6., 5., 8.5 y 4.5 uidades respectivamete. E la siguiete tabla se muestra los costos de despachar uidades desde cualquier cetro de distribució a cualquier zoa. OCCIDENTE COSTA ORIENTE VIEJO CALDAS BOGOTÁ BARRANQUILLA MEDELLÍN

36 Cuál es la catidad de uidades que hay que despachar desde cada cetro de distribució a cada cliete co el fi de que los costos totales del trasporte sea míimos y todos los clietes quede satisfechos. 5. Ua firma dedicada al alquiler de automóviles, tiee escasez de coches e ua serie de ciudades ubicadas e Colombia. Las Ciudades de Bogotá, Medellí, Cali y Barraquilla dispoe de 2,35,5 y coches meos de los que se ecesita para los alquileres esperados. El director de la firma se etera que e Ibagué, Armeia y Pereira tiee 4, 25 y 3 coches de más respectivamete. Los costos e pesos, del trasporte de u coche etre las distitas ciudades queda reflejado e la siguiete tabla. BOGOTÁ MEDELLÍN CALI BARRANQUILLA IBAGUÉ ARMENIA PEREIRA El problema cosiste e miimizar el costo total de trasporte para solucioar el problema de escasez. 88