DOSSIER D'ESTIU MATEMÀTIQUES. PREPARACIÓ BATXILLERAT.

Transcripción

1 INS ERNEST LLUCH I MARTI Departament de Matemàtiques DOSSIER D'ESTIU MATEMÀTIQUES. PREPARACIÓ BATXILLERAT. TREBALL D ESTIU El treball d estiu que proposa el departament de Matemàtiques està pensat per consolidar les destreses bàsiques que es necessiten per tal d afrontar amb èxit els primers temes de matemàtiques i de matemàtiques aplicades a les ciències socials de primer de batxillerat. El primer dia de classe s han de presentar els exercicis següents. Els lliuraràs al professor, que els corregirà i qualificarà amb una nota que comptarà per a la nota de la primera avaluació.

2 NOMBRES. Calcula el resultat de les operacions següents: a) c) : 4 4 : 2 ( 2 ) b) 2+ ( 2 ) 2 2. Una pastilla conté un 20% d aspirina, un 40% de vitamina C i la resta és excipient. Si pesa 2,5 grams, quants mil ligrams conté cada component?. Es venen el 2/ d una peça de roba i després, la meitat del que quedava. Quina fracció de peça s ha venut? Quina fracció en queda encara per vendre? 4. Les accions d una empresa que cotitza a la borsa van pujar un 2,5% dilluns i un 4,8% dimarts. Si quan va començar la sessió borsària de dilluns una acció d aquesta empresa costava 2,84, quin era el seu preu quan es va tancar la sessió de dimarts? Quants diners va guanyar en aquests dos dies un accionista que tenia títols de l empresa per valor de 0000?. 5. Calcula: a) ( 5) 2 b) ( 0) 4 c) ( 5+ ) ( 5 ) d) ( 7) 2 ( 2) 2 6. Expressa en forma d'una sola potència: a) ( 2) 2 b) d) 5: a 2 d) ( b 4 ) 2 7. Simplifica al màxim, traient factors: a) b) Escriu com una única potència: 2 a) b) 7 c) :7 0,5 9. Expressa de la manera més senzilla possible el resultat de les operacions següents: 0. Justifica aquestes igualtats: a) 2 = 2 b ) 2 = 4 c ) 5 2= 50 d ) a 2 n a= a n ( 2n+ ). Racionalitza: a) 20 0 b) 0 5 c) a) Expressa en forma d'una sola 7 potència: a a 7 ; ; p 4 p ; b) Expressa en forma d'una sola potència: a 2 a; 2 2 2;( b 2 ) 2 5 x 2 ; x. Calcula i expressa el resultat de la forma més simple possible sense decimals: a) ( 2+7 ) ( 2 7 ) b) c) (5+2 7) (5 2 7) d) (a+b) 2 4 ab 4. Fes les següents operacions, racionalitzant primer els denominadors: c) (2 (2 ) ) ( 5 ) d) 2

3 EQUACIONS I POLINOMIS 20. Calcula, utilitzant les identitats notables: Resol les equacions següents: 7. Factoritza els següents polinomis, tenint en compte que si es tracta d'una equació de 4t grau has de fer el canvi x 2 =t : 8. Troba la solució d aquestes equacions, tenint en compte que per treure l'arrel quadrada has de aïllar-la i elevar-la al quadrat : 2. Determina el valor de k per tal que la divisió (x x 2 + 5x + k) : (x + ) sigui exacta. 22. Troba el residu de la divisió (x 9 + ) : (x + ) Pots obtenir-lo sense fer la divisió 2. Comprova que p(x) = x x 2-6x + 8 és divisible per x + 2. Expressa el polinomi p(x) com a producte de dos polinomis. 24. Troba el valor de k perquè el polinomi x 4 + k sigui divisible per x Factoritza aquests polinomis: a) x 4 b) x 5 +x 4 x c) x 4 +4 x +4 x 2 d) 9 x 2 +0 x+25 e) x f) x 4 x x 2 + x Troba les arrels d aquests polinomis mitjançant la seva factorització: c) 2 x +2=x d) 2 x 4 x 2= 5 x 6 9. Troba la solució dels següents sistemes: 27. Les arrels d un polinomi de segon grau són 2 i -/ i el coeficient de segon grau és 6. Quin és aquest polinomi? 28.Simplifica aquestes fraccions algebraiques, factoritzant primer cada un dels polinomis:

4 2. Troba de la figura: cosα i cosβ en el triangle rectangle 29. Resol les equacions següents: 0. Resol els següents sistemes, utilitzant el mètode que vulguis: a) x 2 + y =4 x 4 y 2 = 2 b) x = y+ 6 2 x+ y= 2. Un individu observa amb un angle de 8 º la cornisa d'un edifici, a una distància de 56 metres. 4.Calculeu l'alçada d'una torre si des d'un punt situat a 50 metres del seu peu, l'angle d'elevació del punt més alt de la torre és de 70º. 5. Des d un punt de terra veiem que el cim d una torre forma un angle de 0º amb la línia horitzontal. Si ens apropem 75 m cap al peu de la torre, aquest angle es fa de 60º. Busqueu l altura de la torre. c) 2 x+2 y 2=0 x 2( y+5)=0 d) 4 x+ y=2 x y 2 = e) 2x y=9 5 x+ y=. Sabent que sin α = 2, troba x i y: 6. Un observador veu un edifici amb galeries comercials i pisos sota un angle de 0º, Si mira cap al penúltim balcó aquest angle es fa de 25º. Sabent que la distància entre el penúltim balcó i la part més alta de l edifici és de 0 m. Calculeu: a) l altura de l edifici b) la distància de l observador a l edifici

5 40. Fes les operacions indicades amb els vectors següents : 7. Un bus baixa al fons d un llac per recollir un objecte seguint la trajectòria rectilínia d inclinació 0º. Compleix el seu objectiu i surt a la superfície en un altre punt del mateix pla vertical seguint una altra trajectòria rectilínia d inclinació 5º. Si la distància en la superfície entre el punt d entrada i el de sortida és de 00 m, esbrina la profunditat del llac. 4. Fes les operacions indicades amb els vectors donats: 42. Dóna les components dels vectors dibuixats i calcula els seus mòduls: VECTORS I RECTES AL PLA 8. Indica les components dels vectors dibuixats al pla. Has de determinar el desplaçament horitzontal i vertical que cal fer per passar del punt origen al punt extrem. 9. Troba les coordenades del punt B sabent que el vector AB té com a components AB = (, -2), i que el punt origen és A = (5, 6). 4. Quant ha de valer la segona component n del vector u = ( 2, n), perquè tingui la mateixa direcció w = (, -). 44. Tenen la mateixa direcció els vectors de components ( -4, -) i ( 2, 9)? Tenen el mateix sentit? 45. Indica per a cada recta el pendent i les coordenades d un punt: a) y = -5x + b) (x,y) = (-2,2) + k(5,-0) c) 2 x = 7 + y d) y = x 6

6 46. Indica a quines rectes pertany el punt B de coordenades (-2, 5) : a) y = -x + b) y = 2 x+6 c) (x,y)=(,0) + k(-2,) 47. L equació vectorial d una recta és: (x,y) = (, 4 ) + k (2, 5) Expressa-la en l'equació explícita. 48. Troba dos punts de cada recta: a) Considerant els carrers com a rectes, dóna el nom de dos carrers que siguin paral lels, dos que siguin secants no perpendicular, i dos que siguin perpendiculars. b) Hi pot haver dos carrers coincidents? 52. Troba la posició relativa de les rectes següents: 49. Escriu l'equació explícita de cada una de les rectes: FUNCIONS 5. A partir de la gràfica de la següent funció: Determina: 50. Escriu en cada cas un vector director de la recta: 5.Observa aquest plànol de Barcelona: a. Dom f b. Imatges: f(0), f(5), f(-2) c. Antiimatges: f (2 ),f (0 ) d. Quin és el punt o puts on s'assoleix el valor màxim. e. En quin interval la funció és creixent. d. En quins punts la funció NO és contínua.

7 54.Estudia les funcions següents( taula de valors, representació gràfica, domini, recorregut, creixement i decreixement, màxims i mínims, punts de tall amb els eixos ). Utilitza la calculadora wiris per verificar les teves gràfiques. 55. Calcula el domini de les següents funcions: a) f(x) = x+ b) f(x) = x 2 + c) f(x) = x d) f(x) = 7x Considerem una funció que té aquesta gràfica: a) Perquè hi ha quatre línies de diferents colors? b) quins anys la temperatura mitjana anual de l'aigua a la superfície va ser de 7º o superior? c) Quina va ser la temperatura mitjana a 20 m de profunditat l'any 974? i l'any 200? d) Quina any la temperatura mitjana de l'aigua a 50 m de profunditat va ser màxima? I mínima? e) Com varia la temperatura en augmentar la profunditat? a) Indica els intervals de creixement i decreixement. b) Quin augment de valors de la variable independent es produeix de x=- a x = -5? 57. La taula recull els intervals de creixement i decreixement d'una funció. Fes un esbòs de la seva gràfica. f) Quina any creus que la temperatura mitjana de l'aigua del mar en conjunt ha estat superior? 59. En un dossier d'arquitectura trobem la següent gràfica: 58. La gràfica mostra l'evolució de la temperatura mitjana actual: a) Quina és la variable independent de la funció representada? b) Quina és la variable dependent? c) Quina és la resistència del formigó als tres dies d'haver-se fargat? d) Quina setmana s'assoleix una

8 resistència de 0 N per mil límetre quadrat? e) En quin període augmenta més ràpidament la resistència del formigó? ESTADÍSTICA 60. Un equip de bàsquet ha anotat en 20 partits els punts següents: 80, 0, 92, 80, 0, 8, 0, 75, 80, 07, 75, 85, 80, 0, 0, 92, 85, 0, 85, 80. Construeix la taula de freqüències corresponent. 6. S ha preguntat als 24 alumnes d una classe el nombre de vegades que han anat al cinema durant el darrer mes. Les respostes han estat: 2, 0,, 4, 0,, 2,, 0, 2, 4, 0, 5,, 0,, 2,, 0, 0, 2,, 0, 2. Elabora la taula de freqüències corresponent. [4,45, 4,55) [4,55, 4,65) [4,65, 4,75) [4,75, 4,85) [4,85, 4,95) [4,95, 5,05) [5,05, 5,5) [5,5, 5,25) [5,25, 5,5) a) Construeix l histograma i el polígon de freqüències. b) Calcula la mitjana aritmètica i la desviació estàndard. c) Calcula el primer i el tercer quartils i el percentil 5 d) Quin percentatge de comprimits pesa menys de 4,87 g? 65. Aquestes són les temperatures mínimes i màximes mitjanes obtingudes en 40 estacions meteorològiques repartides per tot Catalunya al llarg de l any En una enquesta feta a 00 persones es demanava si se seguia amb freqüència un conegut programa de TV. La freqüència relativa de la resposta sí va ser 0,6. Quantes persones entrevistades van contestar sí? 6. El nombre de faltes d ortografia comeses per 40 alumnes de r de Batxillerat en un dictat es mosta en la taula següent: Faltes Alumne s Calcula la moda, la mitjana aritmètica i la mediana 64. En la taula següent hi apareix el pes (en grams) de 00 comprimits d un determinat medicament. Pes (g) Nombre de vegades a) Calcula la mitjana de les màximes i la mitjana de les mínimes b) Calcula la desviació típica de les màximes i de les mínimes.