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1 AVERTISSEMENT Ce document est le frut d'un long traval approuvé par le jury de soutenance et ms à dsposton de l'ensemble de la communauté unverstare élarge. Il est soums à la proprété ntellectuelle de l'auteur. Cec mplque une oblgaton de ctaton et de référencement lors de l utlsaton de ce document. D'autre part, toute contrefaçon, plagat, reproducton encourt une poursute pénale. llcte Contact : ddoc-theses-contact@unv-lorrane.fr LIENS Code de la Proprété Intellectuelle. artcles L Code de la Proprété Intellectuelle. artcles L L

2 M セセ, Nancy-Unversté UnY"'Îf' HeDrr po ャエ Problemas de Interaccón entre un Fludo Newtonano Incompresble y una Estructura Problèmes d nteracton entre un Flude Newtonen Incompressble et une Structure THÈSE EN COTUTELLE présentée et soutenue publquement le 4 novembre 2011 pour l obtenton des grades de Doctor en Cencas de la Ingenería mencón Modelacón Matemátca Facultad de Cencas Físcas y Matemátcas Unversdad de Chle et Docteur de l Unversté Henr Poncaré, Nancy 1 École Doctorale IAEM. D.F.D. Mathématques Spécalté Mathématques Applquées par Erca L. SCHWINDT Composton du jury: Célne GRANDMONT Enrque FERNÁNDEZ-CARA Carlos CONCA Takéo TAKAHASHI Rajesh MAHADEVAN Jorge SAN MARTÍN Marus TUCSNAK Muthusamy VANNINATHAN Rapporteur Rapporteur Drecteur de thèse Drecteur de thèse FACUlTAD DE cenc ャ a rblcac y MATCMATICA... UNIVERSIOAO DE CHILI: セ Insttut ÉLIE CARTAN Nancy

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4 Agradecmentos Quero dar gracas, en prmer lugar, a Dos por su presenca y Amor constante. Agradezco a ms dos drectores de tess, Carlos Conca y Takéo Takahash, por todo su apoyo durante estos años. A Carlos, por su confanza, por su experenca, por su ntachable desempeño como profesor, preocupándose sempre por m buen aprendzaje y motvándome cada día más a esta aventura de la nvestgacón matemátca. A Takéo, por su energía y motvacón constante, por su pacenca y hosptaldad preocupándose por m ntegracón y benestar durante ms estadías en Franca. Qusera destacar, además, el orgullo que para mí sgnfcó tener como drectores a Carlos y Takéo, no solo por su caldad y experenca matemátca, sno tambén por su gran caldad humana. M agradecmento a los rapporteurs Célne Grandmont y Enrque Fernández-Cara por haber entregado gran parte de su tempo en la lectura y correccón de esta tess. Como así tambén a Rajesh Mahadevan, Jorge San Martín, Marus Tucsnak y Muthusamy Vannnathan por haber aceptado ser parte del jurado. M agradecmento a Murel Boulaka, por el trabajo que compartmos y por su gran aporte realzado a m tess. Por otra parte, qusera agradecer a cada uno de los profesores del DIM, por su desempeño como docentes y la buena dsposcón que sempre tuveron ante los alumnos. Quero agradecer a las secretaras y al personal no docente del DIM, del CMM y de la Escuela de Postgrado, en especal a Etern, Oscar, Lus y Slva; agradecerles por su tempo, su buen humor y su pacenca! Tambén quero agradecer al personal de la lmpeza que con tanto amor hceron su trabajo, en especal a la Sra. María! Gracas a ms compañeros de doctorado, los que aún están y a los que ya se fueron; especalmente a Alejandra, Olver, Maya y Wenjng con quen tuve el agrado de compartr la 426 y por sobre todo una amstad. A los chcos de pre-grado por su alegría y con quenes compartí el cuarto pso. A Álvaro por su pacenca y ayuda con el WnEdt. A todos ms compañeros de doctorado en Nancy, por su gran ayuda y apoyo durante ms estadías en Franca, por su pacenca con m francés, por haberme permtdo ntegrarme al grupo de estudantes del IECN y compartr tantas experencas hermosas. Merc beaucoup! Además qusera agradecer a toda m famla y amgos de Argentna, por su gran apoyo, a la dstanca. Por haber estado de alguna u otra manera presentes y por su gran confanza en mí, desde el comenzo de este nuevo camno que emprendí. Por últmo, agradezco a CONICyT Comsón Naconal de Investgacón Centífca y Tecnológca de Chle, INRIA Insttut Natonal de Recherche en Informatque et Automatque, Embajada de Franca/ Ambassade de France y CMM Centro de Modelamento Matemátco por su apoyo económco durante ms estudos de doctorado, fnancando estadías, vajes, etc, lo que permtó hacer una realdad, el desarrollo y térmno de esta tess. Gracas! Merc!

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6 a Papá Dos! a ms padres Felctas y Alberto

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8 Índce general Nota-Note 11 Introduccón general 13 Introducton générale Prelmnares Notacón Marco funconal Repaso de algunos resultados mportantes Cnemátca y dnámca de movmento de fludos Deformacones en R Exstenca de solucones fuertes para la nteraccón de un fludo vscoso e ncompresble y una estructura elástca Elastcdad lneal Formulacón del problema Estmacón de la energía Resultado prncpal. Exstenca y uncdad Cambo de varable Las ecuacones en domnos fjos Problema lneal asocado Demostracón del resultado prncpal Estmacón de los coefcentes

9 Índce general Estmacón de la dferenca de los coefcentes Deteccón de un cuerpo rígdo en un fludo Newtonano vscoso Ecuacones de movmento de un sóldo rígdo Presentacón del problema Resultados prncpales Un sstema auxlar Demostracón del teorema de exstenca y uncdad Cambo de varable Regulardad de la solucón respecto al centro de masa y la orentacón del cuerpo rígdo Demostracón del resultado de dentfcabldad Dscusón y resultados de establdad Exstence de solutons fortes Élastcté lnéare Formulaton du problème Estmaton d énerge Résultat prncpal. Exstence et uncté Changement de varables Les équatons écrtes sur des domanes fxes Problème lnéare assocé Démonstraton du résultat prncpal Détecton d un corps rgde Équatons du mouvement d un solde rgde Présentaton du problème Résultats prncpaux Un système auxlare Démonstraton du théorème d exstence et d uncté Démonstraton du résultat d dentfablté Apéndces 147 8

10 Índce general A. Exstence of Strong Solutons for the Moton of an Elastc Structure n an Incompressble Vscous Flud 149 B. On the dentfablty of a rgd body movng n a statonary vscous flud 185 Bblografía 215 Resumen-Résumé-Abstract 221 9

11 Índce general 10

12 Nota-Note Este trabajo está escrto en tres domas: español, francés e nglés. La parte prncpal está escrta en español, pero se puede encontrar un resumen escrto en francés en los Capítulos 4 y 5. Todos los detalles matemátcos son presentados en la parte escrta en español. En adcón, en el Apéndce, se encuentran los artículos, escrtos en nglés, que corresponden a este trabajo y que tambén contenen todos los puntos omtdos en el resumen en francés. El artículo correspondente al Apéndce A, se encuentra sometdo para publcacón mentras que el artículo del Apéndce B está en prensa. Ce manuscrt est écrt dans tros langues : l espagnol, le franças et l anglas. Le corps prncpal est écrt en espagnol mas l y a un résumé écrt en franças dans les Chaptres 4 et 5. Tous les détals mathématques sont donnés dans la parte espagnole. De plus, dans l Annexe deux derners chaptres, sont les artcles écrts en anglas, qu correspondent à ce traval et auss contennent eux auss tous les ponts oms dans le résumé franças. L artcle correspondant à l Annexe A, est soums à publcaton tands que l artcle de l Annexe B est en cours de publcaton. Ths manuscrpt s wrtten n three languages: Spansh, French and Englsh. The man body s wrtten n Spansh but there s a summary n French n the Chapters 4 and 5. All the mathematcal detals are gven n the Spansh part. In addton, n the Appendx two last chapters, are the artcles wrtten n Englsh whch correspond to ths work and whch also contan all the ponts omtted n the French summary. The artcle that corresponds to Appendx A, s submtted for publcaton whereas artcle of Appendx B s n press. 11

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14 Introduccón general Los problemas de nteraccón fludo estructura aparecen en una gran dversdad de fenómenos físcos de dferente naturaleza. Por ejemplo, en ngenería cvl, aparecen estos tpos de problemas cuando se consdera la nteraccón de grandes estructuras, como por ejemplo de puentes, con correntes de agua o are; en el marco de la avacón, en el dseño de avones donde se debe tener en cuenta la nteraccón del ala o de otros anexos de un avón con el are. Tambén podemos ctar el caso de la bongenería, donde surgen problemas de nteraccón fludo estructura de dferentes índoles, muchos de ellos aplcados a la medcna. Como es el caso de la hemodnámca, que estuda el flujo sanguíneo al nteror de las venas o el flujo de certas células sanguíneas, como los glóbulos blancos o rojos, en los vasos sanguíneos. Otro ejemplo mportante es el estudo del nado de los mcroorgansmos y los peces y del vuelo de aves e nsectos. Todos estos ejemplos son stuacones partculares donde una estructura rígda o elástca nteractúa con un fludo en estado líqudo o gaseoso. En gran parte de los problemas de nteraccón fludo estructura, el domno del fludo es desconocdo y depende del movmento de la estructura, el cual a su vez se produce a causa de la tensón aplcada por el fludo sobre este por efecto de la vscosdad y la presón. Esto genera uno de los prncpales nconvenentes en el estudo de este tpo de problemas: la nterfaz fludo estructura varía en el tempo, por lo que estamos en presenca de un problema de frontera lbre. Otro desventaja que aparece en el estudo de este tpo de sstemas acoplados, es que las ecuacones para la estructura son escrtas respecto a la confguracón de referenca ver Seccón 1.5; esto es, desde un punto de vsta lagrangano, el cual consste en segur la trayectora de cada partícula, de la confguracón de referenca, en el transcurso del tempo; aquí el sstema de coordenadas está fjo; mentras que las ecuacones del fludo son escrtas bajo un punto de vsta eulerano, donde fjado un punto en la confguracón deformada ver Seccón 1.5 se observan las partículas que han pasado o pasan por este punto en un ntervalo de tempo; y, a dferenca de lo anteror, el sstema de coordenadas sgue el movmento de la partícula. Por lo que debemos hacer mucho cudado al momento de defnr las condcones sobre la nterfaz para evtar todo eventual perjuco por el pase de coordenadas. En esta tess se abordan dos problemas dferentes de nteraccón fludo estructura en el caso trdmensonal: en el prmero de ellos realzamos un estudo teórco de un problema de nteraccón entre una estructura deformable y un fludo Capítulo 2, luego presentamos el segundo problema, donde consderamos un problema nverso asocado a un sstema fludo cuerpo rígdo Capítulo 3. En el prmer problema consderamos la nteraccón entre un fludo Newtonano vscoso e ncompresble y una estructura elástca nmersa en el fludo, asummos además, que tanto el fludo como la estructura están contendos en un domno fjo y acotado que denotaremos por Ω. Nuestro prncpal objetvo es demostrar la exstenca y uncdad de una solucón fuerte para este problema, donde por solucón fuerte entendemos aquella que satsface la ecuacón en cas todo punto o en el sentdo de las trazas y las dervadas nvolucradas son de cuadrado ntegrable. El movmento del fludo está gobernado por las ecuacones de Naver Stokes, mentras que para la 13

15 estructura, asumremos que las deformacones permanecen pequeñas, por lo que podemos consderar el modelo de elastcdad lneal. Esta suposcón adconal sobre la estructura se realza de manera que tal que es posble construr un cambo de varable lo sufcentemente regular. Como lo menconamos anterormente, el domno del fludo es desconocdo y su movmento depende del movmento de la estructura, así que para poder aplcar los cláscos procedmentos en domnos clíndrcos método de Galerkn, por ejemplo es necesaro ntroducr un cambo de varable para las ecuacones del fludo, pues las ecuacones para la estructura ya están escrtas en domno fjo. Como este cambo de varable es construdo a partr del desplazamento elástco, que denotamos por ξ, necestaremos que la solucón ξ sea lo sufcentemente regular. En adcón, el cambo de varable aquí construdo nos permte obtener la nueva velocdad del fludo en coordenadas lagranganas conservando la propedad de dvergenca nula, lo cual será un punto clave en la demostracón de nuestro teorema prncpal. Un cambo de varable smlar fue consderado en [8] para la obtencón de solucones débles. Otro de los problemas vene del acoplamento de dos sstemas de naturaleza dferente sstema parabólco para el fludo e hperbólco para la estructura, esto trae consgo la pérdda de regulardad de las solucones, como podemos ver en [20], para obtener mayor regulardad de las solucones débles al problema lnealzado velocdad del fludo L 2 en tempo con valores H 3 en espaco es necesaro partr de una condcón ncal H 5 en espaco. Con el fn de evtar esta pérdda de regulardad, vamos a consderar una aproxmacón del sstema anteror tenendo en cuenta la mportanca de obtener certa regulardad para la deformacón elástca, que es quen defne el domno fludo. Algunas aproxmacones ya han sdo abordadas en partcular, para obtener exstenca de solucones débles. Dentro de la lteratura exstente, podemos ctar las sguentes dos estrategas: añadr un térmno extra de regularzacón en las ecuacones de elastcdad lneal ver [8] o aproxmar las ecuacones de elastcdad lneal por un sstema fnto dmensonal ver [22, 40, 54]. En cada caso, los autores de [8, 22, 54], han obtendo la exstenca de solucones débles para el sstema acoplado hasta un contacto. El estudo del buen planteamento well-posedness de estos sstemas acoplados, fue anterormente estudado en [25] para el caso lneal y en [20] para el caso general. El resultado prncpal del Capítulo 2 es la exstenca y uncdad de una solucón fuerte para un sstema acoplado de Naver Stokes con una aproxmacón de dmensón fnta para la ecuacón de la estructura. Asumremos la condcón de adherenca del fludo a la pared exteror Ω esto es, u = 0 sobre Ω. Las condcones de acoplamento estarán dadas por dos condcones, una de carácter cnemátco y otra dnámco: la condcón cnemátca vene dada por la contnudad de las velocdades a la nterfaz fludo vscoso y Ω fjo y la condcón dnámca vene dada por la ley de accón y reaccón, que en este caso, se traduce a la gualdad sobre la nterfaz de las componentes normales de los tensores de tensón del fludo y de la estructura. Para poder acoplar ambos sstemas de ecuacones ver es necesaro ntroducr una famla de funcones funcones test { ξ } N 0 las cuales construmos a partr de la aproxmacón fnto dmensonal del desplazamento de la estructura. 14

16 Luego, construmos el cambo de varable para transformar las ecuacones del fludo sobre un domno fjo. Una vez obtendo este sstema ver 2.41, ntroducmos una famla fnta de funcones {W, π } N 0 que nos permtrán hacer un relevamento de la condcón de contnudad sobre la nterfaz en 2.41 y obtener así un nuevo sstema de ecuacones, 2.51, sobre un domno fjo con una condcón amgable sobre la nterfaz, lo que ayudará a abordar un problema lneal, asocado con la teoría de semgrupos ver Seccón 2.7 y obtener una únca solucón regular del sstema lneal ver Proposcón 2.17 con una estmacón que nos permtrá, medante un argumento de punto fjo ver Seccones , obtener una únca solucón fuerte, local en tempo, del sstema fludo estructura del que partmos. En los últmos años el nterés por los problemas de nteraccón fludo estructura ha do en constante crecmento y al día de hoy, son numerosos los trabajos relaconados a este tpo de problemas. Para el caso de un fludo vscoso y estructuras rígdas, podemos ctar [9, 19, 21, 29, 30, 41, 48, 64, 67, 62, 69, 70], en todos estos trabajos se han obtendo dferentes resultados de regulardad en dmensón 2 y 3: los autores de [9] estudaron el caso de un fludo compresble y una estructura rígda en dmensón 3 y obtuveron, bajo la suposcón de datos pequeños, la exstenca y uncdad de una solucón, global en tempo hasta el contacto; en [19] se obtuvo la exstenca de solucones débles, globales en tempo hasta el contacto, para el caso de un fludo ncompresble y una bola, medante un método de penalzacón, aplcacón del método de Galerkn y prncpos de compacdad; en [21] se obtene la exstenca de solucones débles, globales en tempo, para el caso de un fludo compresble e ncompresble y varas estructuras rígdas, medante la construccón de solucones aproxmadas y un argumento de punto fjo; en [29, 30] se estuda la exstenca de solucones para un fludo compresble e ncompresble y varas estructuras rígdas, el resultado global en tempo es gracas a la eleccón de una condcón apropada de contnuacón después del choque; los autores de [41] prueban la exstenca de solucones débles globales para un fludo ncompresble y una estructura rígda medante la construccón de solucones aproxmadas de problemas dscretzados en tempo y aplcacón del método de Galerkn; en [48, 62] consderan el caso bdmensonal de un fludo ncompresble y varos cuerpos rígdos utlzando un método de aproxmacón de los cuerpos rígdos por fludos altamente vscosos y prncpos de compacdad; en [64] se estuda el problema de nteraccón entre un cuerpo rígdo cuya forma y dstrbucón de masa es conocdo y un fludo ncompresble, la exstenca de solucones débles es probada medante el uso de un sstema de referenca lgado al cuerpo un argumento smlar fue usado en [19] y aplcacón del método de Galerkn; en [69] se consdera la nteraccón de un fludo ncompresble y un sóldo rígdo y se obtene un resultado de exstenca y uncdad de solucón fuerte, global en dmensón 2 hasta el contacto y en el caso de dmensón 3, local en tempo y global para datos pequeños. Hasta aquí todos los trabajos fueron hechos bajo la hpótess de un domno global Ω acotado y de frontera regular. En el caso de [67], se consdera la nteraccón entre un cuerpo rígdo auto-propulsado y un fludo ncompresble no acotado y se prueba la exstenca de una únca solucón fuerte medante teoría de semgrupo, estmacones del tpo L p y estudo asntótco de la solucón; en [70], los autores obtenen solucones globales en dmensón dos para el caso partcular de un fludo ncompresble y un clndro nfnto. Para el caso de fludos vscosos y estructuras deformables, podemos ctar [7, 8, 10, 20, 22, 38, 54]. Para el caso de un fludo compresble, ver [7, 10]; en [7], se prueba la exstenca de solucones débles local en tempo, medante la adcón de un térmno extra de regularzacón para las ecuacones de 15

17 elastcdad tensor de Green Sant-Venant; en [10], los autores prueban la exstenca local y uncdad de una solucón regular consderando el modelo de elastcdad lneal para la estructura. Para el caso de fludos ncompresbles ver [8, 20, 22, 38, 54]. En [8], se realza un estudo smlar al hecho en [7] para el caso de un fludo ncompresble. Los autores de [20] obtenen la exstenca de solucones débles y, gracas a fuertes hpótess de regulardad de los datos, deducen la regulardad y uncdad de la solucón débl, aquí se consdera un modelo de elastcdad lneal para la estructura; en [22], se prueba la exstenca de solucones débles usando una descomposcón en un número fnto de modos propos del operador de elastcdad lneal, método de Galerkn, argumento de punto fjo, estmacones ntegrales tpo L 2 y prncpos de compacdad; en [38], es probada la exstenca de solucones débles consderando para la estructura la ley consttutva de un materal St. Venant Krchhoff; fnalmente, en [54], se prueba un resultado de exstenca de solucones débles para el caso bdmensonal, usando un modelo de aproxmacón por modos para la ecuacón de la estructura. Para el caso de fludos perfectos podemos ctar [49, 50, 55]. En todos estos trabajos se realzaron estudos más ben teórcos sobre problemas de nteraccón fludo estructura, pero, tambén podemos ctar algunos otros trabajos relaconados a este tpo de problemas donde se obtuveron mportantes resultados. En teoría de control, por ejemplo, podemos ctar [11, 23, 32, 52, 59, 58, 63, 66] y para un análss numérco ver [31, 39, 53, 54, 60, 61]. En el Capítulo 3, abordamos un problema nverso asocado a un sstema fludo estructura. El nterés por el estudo de problemas nversos se ha ncrementado en los últmos años y la motvacón de estos estudos son de naturaleza muy dversa. Los cuales tenen aplcacones en varos campos de la ngenería, la geofísca, la astronomía y la medcna; por ejemplo, en la deteccón de cuerpos extraños en un torrente sanguíneo o en el dagnóstco por mágenes de tumores cerebrales como lo es la tomografa axal computarzada. Supongamos que un cuerpo desconocdo está nmerso en un fludo y ambos están contendos por un domno fjo que denotaremos por Ω. Nuestro prncpal objetvo será recuperar la máxma nformacón sobre el cuerpo poscón, forma, etc, mdendo certa nformacón del flujo del fludo sobre un subconjunto aberto Γ, de la frontera exteror Ω. La modelacón matemátca de estos problemas, depende del contexto en el que se stúen, por lo que varía de acuerdo a las suposcones que se efectúen sobre el fludo y el cuerpo. Asumendo que nos es dada certa nformacón sobre el comportamento del fludo en la frontera exteror fja, medante una funcón u, y además que es posble medr sobre Γ el flujo del fludo, podemos ntroducr un operador, llamado el operador de Poncaré Steklov, defndo por Λ S u := σu, pn sobre Γ, donde S denota el domno del cuerpo, u el dato sobre la frontera exteror en general, u H s Ω para el caso estaconaro o u C k [0, T];H s Ω para el caso de evolucón; s > 0, k N, u, p la velocdad y presón del fludo, σu, p el tensor de esfuerzos nternos del fludo σ depende de u y p por la ecuacón consttutva dada por la Ley de Stokes, ver Defncón 1.23 y n la normal exteror a Γ. Aparecen dversos análss que pueden hacerse desde un punto de vsta teórco y numérco. Entre 16

18 ellos podemos ctar: Identfcabldad: para todo dato u 0 fjo, probar la nyectvdad del operador de Poncaré Steklov, en el sentdo S 1 S 2 σ u 1, p 1 n Γ σ u 2, p 2 n Γ, o equvalentemente σ u 1, p 1 n Γ = σ u 2, p 2 n Γ S 1 = S 2. Establdad: dado u fjo, de manera un poco mprecsa, podemos decr que aquí se busca probar que dos medcones smlares o próxmas, del flujo del fludo sobre Γ, necesaramente provenen de sstemas con cuerpos smlares ; es decr, σ u 1, p 1 n Γ σ u 2, p 2 n Γ S 1 S 2, donde la nocón de smltud o proxmdad está dada por certa norma ntroducda vía la teoría de dervacón respecto al domno ver [43, 68]. Reconstruccón numérca: este estudo normalmente se restrnge a la clase de cuerpos admsbles ver Sobreyectvdad: estudar esta propedad para el operador de Poncaré Steklov. En nuestro caso vamos a centrarnos en los dos prmeros ítems para el caso de un cuerpo rígdo nmerso en un fludo Newtonano vscoso e ncompresble, lo que mplca trabajar con un sstema acoplado de ecuacones de Naver Stokes para el fludo, con las leyes de Newton para el cuerpo rígdo. Sn embargo, este caso es bastante dfícl de tratar drectamente, como ya lo hemos menconado al comenzo de esta ntroduccón, detallando los problemas asocados a los sstemas acoplados. Por lo tanto, consderaremos solo un caso smplfcado, donde asummos que el número de Reynolds es muy pequeño de manera que podemos prescndr de las fuerzas de nerca. Así, podemos consderar al fludo como estaconaro y suponer que su movmento se rge por las ecuacones de Stokes lnealzacón de las ecuacones de Naver Stokes. Cabe destacar que esta hpótess de smplfcacón para las ecuacones del fludo, no lo hacen un caso partcular del sstema completo ecuacones de Naver Stokes con las leyes de Newton por lo que es necesaro probar que el sstema consderado está ben planteado well-posedness ver Teorema 3.1. A la nterfaz asumremos contnudad de las velocdades del fludo y el cuerpo rígdo. Los resultados prncpales del Capítulo 3 están dados por el Teorema 3.1 y el resultado de dentfcabldad Teorema 3.2. En este últmo, se prueba que bajo certas hpótess sobre los cuerpos rígdos y el dato sobre la frontera, el sstema es detectable, en el sentdo de que probamos la uncdad, salvo rotacón, de los cuerpos rígdos. Tambén un resultado de establdad es abordado usando un enfoque smlar al utlzado en [4] ver Seccón

19 Para probar el Teorema 3.1, en prmer lugar, se ntroduce la nocón de poscones admsbles ver 3.13 y para cada poscón a, Q admsble se estuda un sstema de nteraccón fludo-estructura dado por las ecuacones Para resolver este sstema, se busca una solucón que pueda descomponerse como combnacón lneal de la solucón de certos sstemas de Stokes apropados De esta manera, logramos obtener una solucón que depende de la poscón admsble del cuerpo rígdo. Esto nos permte reducr nuestro sstema de ecuacones a un sstema de ecuacones dferencales ordnaras y así, gracas al Teorema de Cauchy-Lpschtz-Pcard ver Teorema 1.10, obtener el resultado para el sstema acoplado ncal. Un cambo de varable es ntroducdo para probar la dependenca suave de la solucón respecto a la poscón. El método para probar el resultado de dentfcabldad ver Seccón 3.6 es smlar al método desarrollado, para el caso de obstáculos fjos en [4]. La demostracón está basada en las propedades de contnuacón únca para las ecuacones de Stokes ver [28], el resultado dado por la Proposcón 3.11, las hpótess sobre los cuerpos rígdos suaves y convexos y el dato en la frontera exteror u no es la traza de una velocdad rígda sobre Γ. Esta últma hpótess sobre el dato en la frontera es clave para la demostracón de nuestro resultado. Podemos ctar dversos resultados que ya han sdo demostrados; entre los resultados de dentfcabldad podemos ctar [2, 3, 4, 13, 17, 18, 24]; para resultados de establdad ver [4, 5, 17]; por últmo, resultados de reconstruccón pueden ser hallados en [42, 51]. Por ejemplo, en [4] los autores demostraron un resultado de dentfcabldad en el caso de un obstáculo fjo convexo y suave nmerso en un fludo vscoso, a través de la observacón del tensor de Cauchy en certa parte de la frontera exteror Ω, la prueba se basa en la propedad de contnuacón únca para las ecuacones de Stokes, debdo a Fabre-Lebeau [28] y en la hpótess que la velocdad del fludo sobre la frontera exteror no es déntcamente nula. Ellos tambén obtuveron un resultado de establdad débl contnudad drecconal; en [17] los autores prueban, para el caso bdmensonal, un resultado de dentfcabldad para el caso partcular cuando el obstáculo es una bola y se mueve en un fludo deal, mdendo la velocdad del fludo en una parte de la frontera. Algunos resultados de establdad estmacones de establdad lneal son demostrados en este caso utlzando técncas de dferencacón de forma debdo a Smon [68]. En [24] los autores consderan el problema nverso para detectar la forma de un obstáculo rígdo sumergdo en un fludo regdo por las ecuacones de Naver Stokes estaconaro, en el supuesto de que las fuerzas de frccón son conocdas sobre una parte de la frontera exteror. Ellos prueban un resultado de uncdad cuando el obstáculo es un conjunto aberto smplemente conexo. En [42] los autores estman la dstanca entre un punto dado sobre la frontera exteror y el obstáculo, en el caso de un fludo estaconaro. En los trabajos ctados anterormente, el obstáculo y el fludo ocupan un domno acotado. Mentras que en [18] es probado un resultado de dentfcabldad para el caso de un sóldo rígdo que se mueve en un fludo potencal que ocupa todo el plano, aquí se asume que el fludo permanece en reposo en el nfnto caso bdmensonal; en el supuesto de que la funcón potencal es conocdo en algún tempo dado, los autores muestran que cuando el sóldo rígdo tene certas propedades de smetría, es posble detectar certos parámetros del sóldo: la velocdad angular, la velocdad del desplazamento, entre otros. 18

20 Introducton générale Les problèmes d nteracton flude structure apparassent dans une grande varété de phénomènes physques de nature dfférente. Par exemple, dans l ngénere cvle, ces types de problèmes apparassent lorsque l on consdère l nteracton des grandes structures comme les ponts, avec des écoulements d eau ou d ar; dans le contexte de l avaton, dans la constructon aéronautque où on dot prendre en compte l nteracton d ale ou d autres structures d un avon avec l ar. Nous pouvons également cter le cas de la bo-ngénere, où apparassent les problèmes d nteracton flude structure de dfférents types, beaucoup d entre eux applqués à la médecne. C est le cas de l hémodynamque, qu étude le flux sangun dans les venes ou les mouvements de certanes cellules sangunes telles que les globules blancs ou rouges dans les vasseaux sanguns. Un autre exemple mportant est l étude de la nage des mcro-organsmes et des possons et le vol des oseaux et des nsectes. Tous ces exemples sont des stuatons où une structure rgde ou élastque nteragt avec un flude à l état lqude ou gazeux. Dans la plupart des problèmes d nteracton flude structure, le domane du flude est nconnu et dépend du mouvement de la structure, qu à son tour se produt en rason de la tenson applquée par le flude sur la structure va sa presson et sa vscosté. Cela crée une dffculté majeure dans l étude de ces problèmes: l nterface flude structure vare au fl du temps et dépend de la soluton, nous sommes donc en présence d un problème à frontère lbre. Une autre dffculté apparassant dans l étude de tels systèmes couplés, est que les équatons de la structure sont écrtes par rapport à la confguraton de référence vor Secton 1.5, c est-à-dre, d un pont de vue lagrangen: l dée est de suvre la trajectore de chaque pont de la confguraton de référence, durant un ntervalle de temps. Dans ce cas, le système de coordennées est fxe. Au contrare, les équatons du flude son écrtes d un pont de vue euléren: l dée, dans ce cas, est de regarder les ponts qu passent durant un ntervalle de temps, par un pont fxe de la confguraton déformée. Pour ce pont de vue, le système de coordonnées sut le mouvement de la partcule. Par conséquent, l est mportant de prêter une attenton partculerè aux condtons à l nterface flude structure du fat du changement de coordonnées. Cette thèse aborde deux problèmes dfférents d nteracton flude structure dans le cas trdmensonnel: dans le premer problème on effectue une étude théorque d un problème d nteracton entre une structure déformable et un flude Chaptre 2; dans le deuxème problème, on consdère un problème nverse assocé à un système flude corps rgde Chaptre 3. Dans le premer problème on va consdérer l nteracton entre un flude Newtonen vsqueux ncompressble et une structure élastque mmergée dans le flude. De plus, nous supposons que le flude et la structure sont contenus dans un domane fxe borné que l on va noter par Ω. Notre objectf prncpal est de démontrer l exstence et l uncté d une soluton forte pour ce problème, où nous entendons par soluton forte, une soluton qu satsfat les équatons presque partout ou dans le sens des traces et dont les dérvées mplquées sont de carré ntégrable. Le mouvement du flude est rég par les équatons Naver Stokes, tands que pour la structure, on 19

21 suppose que les déformatons restent pettes, de sorte que l on peut consdérer le modèle d élastcté lnéare. Cette hypothèse supplémentare sur la structure est fate de sorte qu l est possble de construre un changement de varable suffsamment régulère. Comme mentonné c-dessus, le domane du flude est nconnue et son mouvement dépend du mouvement de la structure, ans pour applquer des procédures classque dans les domanes cylndrques méthode de Galerkn, par exemple l est nécessare d utlser un changement de varable pour les équatons du flude, parce que les équatons de la structure sont déjà écrtes dans le domane fxe. Comme ce changement de varable est construt à partr du déplacement élastque, que l on va noter par ξ, nous avons beson que la soluton ξ sot suffsamment régulère. En outre, le changement de varable construt c nous permet d obtenr la nouvelle vtesse du flude en coordonnées lagrangennes en conservant la proprété de dvergence nulle, ce qu est un pont clé dans la preuve de notre théorème prncpal. Un changement de varable smlare a été consdéré dans [8] pour l obtenton de solutons fables. Un autre problème vent du couplage de deux systèmes de nature dfférente système parabolque pour le flude et hyperbolque pour la structure, cela entraîne la perte de régularté des solutons, comme nous pouvons le vor dans [20], où pour obtenr plus de régularté des solutons fables du problème lnéarsé vtesse du flude L 2 en temps à valeurs H 3 en espace l est nécessare de partr d un état ntal H 5 en l espace. Pour évter cette perte de régularté, on va consdérer une approxmaton du système précédent en tenant compte de l mportance d obtenr une certane régularté de la déformaton élastque, qu défnt le domane du flude. Certanes approches ont déjà été abordées, en partculer pour obtenr l exstence de solutons fables. Dans la lttérature exstante, nous pouvons cter les deux stratéges suvantes: ajouter un terme de régularsaton supplémentare dans les équatons de l élastcté lnéare vor [8] ou approcher les équatons de l élastcté lnéare par un système de dmenson fne vor [22, 40, 54]. Dans chaque cas, les auteurs de [8, 22, 54] ont obtenu l exstence de solutons fables pour le système couplé jusqu à un contact. L étude du caractère ben-posé well-posedness de ces systèmes couplés, a été abordé précédemment dans [25] dans le cas lnéare et dans [20] dans le cas général. Le résultat prncpal du Chaptre 2 est l exstence et l uncté d une soluton forte pour un système couplé d équatons de Naver Stokes avec une approxmaton de dmenson fne pour l équaton de la structure. Nous supposons la condton de l adhéson du flude sur la paro extéreure Ω; c est-à-dre, u = 0 sur Ω. Les condtons de couplage sont données par deux condtons, l une cnématque et l autre dynamque: la condton cnématque est donnée par la contnuté des vtesses à la nterface flude vsqueux et Ω fxe et la condton dynamque est donnée par la lo d acton et de réacton, qu, dans ce cas, se tradut par l égalté à l nterface des composantes normales du tenseur des contrantes du flude et de la structure. Pour coupler les deux systèmes d équatons vor l est nécessare d ntrodure une famlle de fonctons { ξ } N 0, avec laquelle nous construsons l approxmaton de dmenson fne du déplacement de la structure. 20

22 Pus nous construsons le changement de varable pour transformer les équatons du flude sur un domane fxe. Une fos ce système obtenu vor 2.41, nous ntrodusons une famlle fne de fonctons {W, π } N 0, qu nous permet de fare un rèlevement de la condton de contnuté à l nterface dans 2.41 et d obtenr un nouveau système d équatons 2.51, sur un domane fxe avec une condton amcale à l nterface, ce qu permet de résoudre un problème lnéare assocé en utlsant la théore des semgroupes vor Secton 2.7 et d obtenr une soluton unque régulère du système lnéare vor Proposton 2.17 avec une estmaton qu nous permet, grâce à un argument de pont fxe vor Sectons , d obtenr une unque soluton forte, locale en temps, du système flude structure de départ. Ces dernères années, l ntérêt pour les problèmes d nteracton flude structure a été en crossance constante et actuellement, l y a beaucoup de travaux lés à de tels problèmes. Dans le cas d un flude vsqueux et des structures rgdes, on peut cter [9, 19, 21, 29, 30, 41, 48, 62, 64, 67, 69, 70]. Dans tous ces travaux les auteurs ont obtenu dfférents résultats de régularté en dmenson 2 et 3: les auteurs de [9] ont étudé le cas d un flude compressble et d une structure rgde 3-dmensonnel et ls ont obtenu, sous l hypothèse de données pettes, l exstence et l uncté d une soluton, globale en temps jusqu à un contact; dans [19] l exstence des solutons fables, globale en temps jusqu à un contact a été obtenue, dans le cas d un flude ncompressble et d une boule va une méthode de pénalsaton, et en utlsant la méthode de Galerkn et des résultats de compacté; dans [21] l exstence de solutons fables, globale en temps, est obtenue dans le cas d un flude compressble et ncompressble et pluseurs structures rgdes, en construsant des solutons approchées et en utlsant un argument de pont fxe; dans [29, 30] l exstence de solutons est étudée pour un flude compressble ou ncompressble et pour pluseurs structures rgdes, le résultat global en temps est dû au chox d une condton approprée après une collson; les auteurs de [41] prouvent l exstence de solutons fables globales pour un flude ncompressble et une structure rgde en construsant des solutons approchées au problème dscrétsé en temps et en applquant la méthode de Galerkn; les auteurs [48, 62] consdèrent le cas bdmensonnel d un flude ncompressble et de pluseurs corps rgdes en utlsant une méthode d approxmaton des corps rgdes par des fludes très vsqueux et des arguments de compacté; dans [64] un problème d nteracton entre un corps rgde dont la forme et la dstrbuton de masse est connue et un flude ncompressble est étudé, l exstence de solutons fables est prouvée en utlsant un système de référence lé au corps un argument smlare a été utlsé dans [19] et en applquant la méthode de Galerkn ; dans [69] l nteracton d un flude ncompressble et une structure rgde est consdérée et un résultat d exstence et d uncté de soluton, globale en temps, en dmenson 2 jusqu à un contact est démontré et dans le cas de la dmenson 3, un résultat d exstence et d uncté de soluton, locale en temps et globale pour les données pettes est donné. Jusqu c, tous les travaux ctés sont fats sous l hypothèse d un domane global Ω borné et d une frontère régulère. Dans le cas de [67] l nteracton entre un corps rgde d auto-propulsé et d un flude ncompressble non borné est consdéré, l exstence d une unque soluton forte est prouvée par la théore des semgroupes, des estmatons de type L p et une étude asymptotque de la soluton; dans [70], les auteurs ont obtenu des solutons globales en dmenson deux, dans le cas partculer d un flude ncompressble et d un cylndre nfn. Dans le cas des fludes vsqueux et des structures déformables, on peut cter [7, 8, 10, 20, 22, 38, 54]. Dans [7, 10], le cas d un flude compressble est consdéré. Dans [7], l exstence de solutons fables locale en temps, est prouvée, en ajoutant un terme de régularsaton supplémentares dans 21

23 les équatons de l élastcté tenseur de Green St.Venant; dans [10], les auteurs prouvent l exstence locale et uncté d une soluton régulère, ls consdèrent un modèle d élastcté lnéare pour la structure. Dans [8, 20, 22, 38, 54] le cas des fludes ncompressbles est consdéré. Dans [8], une étude smlare fate dans [7] est menée dans le cas de un flude ncompressble. Les auteurs de [20] obtennent l exstence de solutons fables et, grâce à des hypothèses fortes de la régularté des données, ls dédusent la régularté et l uncté de une soluton forte, c un modèle d élastcté lnéare pour la structure est consdérée; dans [22], l exstence de solutons fables est prouvée en utlsant une décomposton en un nombre fn de modes propres de l opérateur de l élastcté lnéare, la méthode de Galerkn, un argument de pont fxe, des estmatons a pror et des arguments de compacté; dans [38] l exstence de solutons fables est prouvée en consdérant pour la structure, la lo consttutve d un matérau élastque de type St.Venant Krchhoff; fnalement, l auteur de [54] démontre un résultat d exstence de solutons fables pour le cas bdmensonnel, en utlsant un modèle approché pour l équaton de la structure va une décomposton en modes propres. Dans le cas des fludes parfats on peut cter [49, 50, 55]. La plupart des travaux précédents porte sur des études théorques des problèmes d nteracton flude structure, mas nous pouvons auss mentonner quelques autres travaux lés à d autres types de problèmes, où des résultats sgnfcatfs ont été obtenus. En théore du contrôle, par exemple, nous ctons [11, 23, 32, 52, 59, 58, 63, 66] et, en analyse numérque vor [31, 39, 53, 54, 60, 61]. Dans le Chaptre 3, nous abordons un problème nverse assocé à un système flude structure. L ntérêt pour l étude des problèmes nverses en flude structure a augmenté ces dernères années et la motvaton de ces études peut être de nature très dverse. On rencontre des applcatons dans dvers domanes de l ngénere, la géophysque, l astronome et la médecne; par exemple, dans la détecton de corps étrangers dans l écoulement sangun ou dans le dagnostc par mages pour étuder les tumeurs du cerveau, telles que la tomographe axale nformatsée. Supposons qu un corps nconnu est mmergé dans un flude et que, le corps et le flude sont contenues dans un domane fxe notée Ω. Notre prncpal objectf est de récupérer le maxmum d nformatons sur le corps poston, forme, etc, mesurant certans nformatons relatves au écoulement du flude sur un sous-ensemble ouvert non vde Γ de la frontère extéreure Ω. La modélsaton mathématque de ces problèmes dépend du contexte dans lequel ls sont stués et vare selon les hypothèses fates sur le flude et le corps. Supposons que l on connasse le comportement du flude sur la frontère extéreure. Cette nformaton est donnée par une foncton u. Supposons que l on pusse de plus mesurer sur Γ l écoulement du flude. Alors nous pouvons ntrodure un opérateur appelé opérateur de Poncaré Steklov, défn par Λ S u := σu, pn sur Γ, où S désgne le domane du corps, u la donnée sur la frontère extéreure généralement, u H s Ω pour le cas statonnare ou u C k [0, T],H s Ω pour le cas de l évoluton; s > 0, k N, u, p la vtesse et la presson du flude, σu, p le tenseur des contrantes nternes du flude σ dépend de u et p par la lo consttutve donnée par la lo de Stokes, vor Défnton 1.23 et n est la normale extéreure à Γ. 22

24 Dfférentes analyses peuvent être fates d un pont de vue théorque et numérque. Parm celles-c nous pouvons cter: L dentfablté: pour toute donnée u 0 fxée, prouver l njectvté de l opérateur de Poncaré Steklov, dans le sens S 1 S 2 σ u 1, p 1 n Γ σ u 2, p 2 n Γ ou de façon équvalente σ u 1, p 1 n Γ = σ u 2, p 2 n Γ S 1 = S 2. La stablté: étant donnée u fxe, l dée est de démontrer que s l on obtent deux mesures smlares ou proches de l écoulement du flude sur Γ, nécessarement les corps rgdes assocés à ces mesures ont des formes smlares ; c est-à-dre, σ u 1, p 1 n Γ σ u 2, p 2 n Γ S 1 S 2, où la noton de smltude ou proxmté est donnée par certane norme ntrodute par la théore de la dfférencaton par rapport au domane vor [43, 68]. La reconstructon numérque: cette étude est normalement restrente à la classe des corps admssbles vor La surjectvté: l étude de cette proprété concerne l opérateur de Poncaré Steklov. Dans notre cas, nous nous concentrons sur les deux premers ponts pour le cas d un corps rgde mmergé dans un flude newtonen vsqueux et ncompressble, ce qu mplque de travaller avec un système couplé des équatons de Naver Stokes par le flude, avec les los de Newton pour le corps rgde. Toutefos, ce cas est assez dffcle à trater drectement, comme nous avons mentonné au début de cette ntroducton, détallant les problèmes assocés aux systèmes couplés. Par conséquent, on va consdérer seulement un cas smplfé où nous supposons que le nombre de Reynolds est très pett de sorte que nous pouvons néglger les forces d nerte. Ans, le flude peut être consdéré comme statonnare et son mouvement est rég par les équatons de Stokes lnéarsaton des équatons Naver Stokes. On peut noter que cette hypothèse smplfcatrce pour les équatons du flude, ne transforme pas le système obtenu en un cas partculer du système complet équatons de Naver Stokes avec les los de Newton l est donc nécessare de prouver que le système consdéré est ben-posé wellposedness vor Théorème 3.1. A l nterface, nous supposons la contnuté des vtesses du flude et du corps rgde. Les prncpaux résultats du Chaptre 3 sont donnés par le Théorème 3.1 et le résultat d dentfablté Théorème 3.2. Dans ce derner résltat, l est prouvé que, sous certanes hypothèses sur les corps rgdes et sur les données à la frontère, le système est détectable dans le sens que nous démontrons l uncté, à rotaton près, des corps rgdes. Un résultat de stablté est auss abordé en utlsant une approche smlare à celle utlsée dans [4] vor la Secton

25 Pour démontrer le Théorème 3.1, nous ntrodusons, d abord, la noton de postons admssbles vor 3.13 et pour chaque poston admssble a,q nous étudons un système d nteracton fludestructure donnée par les équatons Pour résoudre ce système, on cherche une soluton qu peut être décomposée comme combnason lnéare de solutons de certans systèmes de Stokes approprés Ans, nous obtenons une soluton dépendant de la poston admssble du corps rgde. Cela nous permet de rédure notre système d équatons à un système d équatons dfférentelles ordnares et, par conséquent, grâce au Théorème de Cauchy Lpschtz Pcard vor Théorème 1.10, d obtenr le résultat pour le système couplé orgnal. Un changement de varable est ntrodut afn de pouvor démontrer la dépendance régulère de la soluton par rapport à la poston. La méthode pour démontrer le résultat d dentfablté vor Secton 3.6 est smlare à la méthode développée dans le cas de obstacles fxes dans [4]. La preuve est basée sur les proprétés de contnuaton unque pour les équatons de Stokes vor [28], le résultat donné par la Proposton 3.11, les hypothèses sur les corps rgdes régulèr et convexe et la donnée à la frontère extéreure u n est pas la trace d une vtesse rgde sur Γ. Cette dernère hypothèse sur les données à la frontère est la clé de la preuve de notre résultat. Nous pouvons cter pluseurs résultats qu ont déjà été démontrés; pour les résultats d dentfablté on peut cter [2, 3, 4, 13, 17, 18, 24]; pour des résultats la stablté vor [4, 5, 17] et, fnalement, des résultats reconstructon peuvent être trouvés dans [42, 51]. Par exemple, dans [4] les auteurs ont démontré un résultat d dentfablté pour un obstacle convexe régulèr fxe entouré par un flude vsqueux en utlsant l observaton du tenseur de Cauchy sur une certane parte de la frontère, la méthode de la preuve est basée sur la proprété de prolongement unque pour les équatons de Stokes due à Fabre Lebeau [28] et sur l hypothèse que la vtesse du flude à la frontère extéreure n est pas dentquement nulle. Ils ont également obtenu un résultat de stablté fable contnuté drectonnelle; dans [17] les auteurs ont fourn, pour le cas bdmensonnel, un résultat d dentfablté lorsque l obstacle est une boule et cela dans le cas d un flude parfat va la mesure de la vtesse du flude sur une parte de la frontère. Quelques résultats de stablté estmatons de stablté lnéare sont prouvés pour ce cas en utlsant des technques de dfférencaton de forme due à Smon [68]. Dans [24] les auteurs ont consdéré le problème nverse consstant à détecter la forme d un seul obstacle rgde mmergé dans un flude rég par les équatons de Naver Stokes statonnare en supposant que les forces de frottement sont connues sur une parte de la frontère extéreure. Ils ont prouvé un résultat d uncté lorsque l obstacle est un ensemble ouvert smplement connexe. Dans [42] les auteurs estment la dstance entre un pont donné de la frontère extéreure et l obstacle dans le cas d un flude statonnare. Dans les travaux ctés c-dessus, à la fos l obstacle et le flude occupant un domane borné, tands que dans [18] un résultat d dentfablté est démontré dans le cas d un solde rgde se déplaçant dans un flude potentel qu occupe R 2 et le flude est supposé être au repos à l nfn; en supposant que la foncton potentelle est connue à un moment donné, les auteurs ont montré que lorsque le solde possède certanes proprétés de symétre nvarant sous une rotaton, l est possble de détecter certans paramètres du solde: la vtesse angulare, la vtesse de translaton, entre autres. 24

26 Capítulo 1 Prelmnares En este capítulo ntroducremos algunas defncones mportantes que usaremos a lo largo de todo este trabajo, como así tambén hacemos un repaso de los prncpos matemátcos de la mecánca de fludos para deducr así las ecuacones de Naver Stokes, con las cuales trabajaremos en el desarrollo de esta tess. Báscamente, para este capítulo hemos segudo los lbros de P. Carlet [15] y J. Serrn [65] Notacón Dado n N, denotaremos por R n el espaco eucldeano real n-dmensonal y por { e } n la base canónca de R n. Para dos vectores en R n, x = x 1,...,x n e y = y 1,...,y n, defnmos el producto escalar canónco como n x y = x y, y por x denotaremos la norma eucldana asocada. Para el caso n = 3, defnmos el producto vectoral x y como el vector cuya -ésma componente está defnda por [x y] = j,k=1 ǫ jk x j y k = 1,2,3, donde ǫ jk es el símbolo de permutacón, dado por δ 1 δ 2 δ 3 ǫ jk = det δ j1 δ j2 δ j3, δ k1 δ k2 δ k3 con δ j = { 1 s = j 0 s j. 25

27 Capítulo 1. Prelmnares Para una funcón escalar u : Ω R 3 R y una funcón vectoral u : Ω R 3 R n, u = u 1,...,u n, con n N y n 2, defnmos el operador gradente de u y de u como el vector u u =, u, u x 1 x 2 x 3 y la matrz u = u 1 u 1 u 1 x 1 x 2 x 3. u n x 1.. u n x 2 u 3 x 3 respectvamente. Defnmos además, para el caso n = 3, el operador dvergenca de u como dvu = u x. Por d denotaremos la funcón dentdad d : Ω R 3 Ω R 3 y por u v la composcón de la funcón u con v, análogamente usaremos esta notacón para la composcón de funcones vectorales. Por M n R denotaremos el conjunto de todas las matrces de números reales de orden n, por Id la matrz dentdad de orden n n, según el contexto, por GL n R el conjunto de todas las matrces nvertbles de orden n y por SO n R el conjunto de todas las matrces de rotacón de orden n, es decr SO n R = {Q M n R : Q T = Q 1, y detq = 1}, 1.1 con n N, Q T la matrz transpuesta de Q, Q 1 la matrz nversa de Q y detq el determnante de la matrz Q. Para una matrz Mx = m j x,j {1,2,3}, defnmos la dvergenca de M como el vector cuyas componentes son la dvergenca de las flas de M [dv M] := j=1 m j x j. Por Cof M denotaremos la matrz de cofactores de M; recordemos, además, que s M es nvertble, entonces CofM = det MM T. 1.2 Por A : B denotaremos el producto escalar matrcal, defndo por A : B = tra T B, donde tra denota la traza de la matrz A. Por últmo, defnmos el producto tensoral entre dos vectores x = x 1, x 2, x 3 e y = y 1, y 2, y 3, como la matrz o tensor de segundo orden x y := x y j,j=1,2,3. 26