Fundamentos Físicos de la Ingeniería Primer Parcial /10 de enero de 2004

Transcripción

1 Fundamentos Físicos de a Ingenieía ime acia /1 de eneo de 4 1. E ecto posición de un mói puntua iene dado en función de tiempo po a epesión: = 4cos1t i 5sen1t j 3cos1t k en a que todos os aoes están epesados en unidades de sistema intenaciona. a) Haa a eocidad aceeación de mói en cuaquie instante. b) Demosta que a taectoia es pana detemina e eso noma a dicho pano. c) Demosta que e oigen de coodenadas está contenido en e pano de a taectoia. d) Haa as aceeaciones tangencia noma e adio de cuatua en un punto genéico de a taectoia. e) De acuedo con os esutados anteioes, indíquese que tipo de moimiento tiene e mói. a) Deteminamos a eocidad a aceeación po deiación: 4 cos1t 4sen1t 4 cos1 d m d t 5sen1t m 5 cos1t m = = = = = 5sen1 3cos1t dt a 3sen1t s dt t 3 cos1ts b) E eso binoma a a taectoia en un punto genéico de mismo iene dado po e b a 1 1 = = = = = 5 5 cte. a 4.8 como dicho ecto es pependicua a pano oscuado, a definido po os ectoes eocidad aceeación en cada punto de a taectoia, éste también pemaneceá constante, po o que a taectoia descita po e mói es pana, a que está contenida en dicho pano. c) aa demosta que e oigen de coodenadas está contenido en e pano de a taectoia, es suficiente demosta que e ecto de posición es pependicua a eso binoma en todos os puntos de a taectoia; en efecto, 4cos1t.6 ieb = 5sen1t i =.4 cos1t.4 cos1t= 3cos1t.8 d) Las componentes intínsecas de a aceeación e adio de cuatua se obtienen a pati de as epesiones: ia a at = = = an = = = 5m/s ρ = = = = 5m 5 5 a 5 5 e) E mói ecoe una taectoia cicua de 5 m de adio con una ceeidad constante de 5 m/s. ( ) t t t t t = 16sen 1 5 cos 1 9sen 1 = 5 sen 1 cos 1 = 5 ( ) n = 5 m/s a = 16 cos 1t 5 sen 1t 9 cos 1t = 5 sen 1t cos 1t = 5 4sen1t 4 cos1t ia= 5 cos1t 5sen1t i = ( ) sen1t cos1t= 3sen1t 3 cos1t 4sen1t 4cos1t 15 cos 1t 15sen 1t 15 a= 5 cos1t 5sen1t 1 sen1t cos1t 1 sen1t cos1t = = 3sen1t 3cos1t sen 1t cos 1t a = 15 = 5 m / s 3 taectoia e n e b e t pano oscuado a = 5 m/s Depatamento de Física Apicada ETSIAM Uniesidad de ódoba

2 Fundamentos Físicos de a Ingenieía ime acia /1 de eneo de 4. Sobe un pano hoionta ueda sin desia un cono ecto de sección cicua, de geneati semiánguo en e étice. Sea a eocidad angua constante de otación de cono aededo de eje etica indicado en a figua. Detemina: a) a eocidad angua intínseca de otación de cono aededo de su eje de simetía; b) e punto de cono cua eocidad (con especto a pano fijo) es máima, así como a eocidad aceeación de dicho punto. Se tata de un sóido ígido sometido a dos otaciones simutáneas: una otación intínseca aededo de eje de eoución de cono, a tiempo que este eje pesenta una otación aededo de eje indicado en a figua. a) La geneati OM de cono que en un instante dado está en contacto con e pano hoionta constitue e EI (eje instantáneo de otación) de cono. La eocidad de punto M peteneciente a EI seá instantáneamente nua, de modo que, M = = = = sen = sen b) E punto es e que pesentaá una eocidad máima, po se e más distante de EI. Su eocidad aceeación se cacuan fácimente a pati de a eocidad aceeación de punto O (étice de cono): = O O d a = ao O ( O) dt con O = cos cos = = = cos sen sen d d d d = ( ) = dt dt dt dt de modo que O cos = = cos = sen cossen cos = O = cos cos = = sen cos d O ( O ) cossen = = a cos dt cos =... sen... = cos sen cos = cos cos cos sen cotg M oto método... Depatamento de Física Apicada ETSIAM Uniesidad de ódoba

3 Fundamentos Físicos de a Ingenieía ime acia /1 de eneo de 4 O M Moimiento absouto = Moimiento eatio moimiento de aaste. Descomponemos todos os ectoes en a base ectoia asociada con e efeencia absouto o fijo, con e = = cos a = = sen Dado que ambas eocidades anguaes son constantes en móduo que hemos hecho coincidi os oígenes O O de os efeenciaes absouto () eatio ( ), podemos utiia as eaciones siguientes: e cos sen sen cos sen = e O = cos cos = =... = sen sen a = a = cos O cos = sen sen cos cos cos abs = e a = = = sen ae = e e = cos = sen = aa = a a = sen sen cos cotg cos cos = sen ao = a e = sen = = aabs = ae aa ao = cos = 1 cos = cos cotg cotg cotg Depatamento de Física Apicada ETSIAM Uniesidad de ódoba

4 Fundamentos Físicos de a Ingenieía ime acia /1 de eneo de 4 3. Una baa homogénea AB de 5 N de peso 4 m de ongitud está aticuada en A una paed etica mantenida en su etemo supeio mediante un hio hoionta BD, fomando un ánguo de 45º con a etica. La baa sopota un disco, de 3 N de peso 1 m de diámeto, que se encuenta también en contacto con a paed. onsideando despeciabes os oamientos, detemina a tensión de hio a eacción en a aticuación A. En pime uga deteminamos as distancias a b de punto de contacto a os etemos de a baa: = atg.5º.5 a= = 1.1 m.414 En a figua adjunta hemos epesentado os diagamas de fueas que actúan sobe cada uno de os dos cuepos (e disco a baa). Apicamos as ecuaciones cadinaes de a estática a disco, A N1= N N 1= disco = 3N N = disco = disco = 3 = 4.4 N = disco N D N 1 N Y N 45º N X a disco G baa N T b B a a baa, tomando momentos en A, N X N = T N = X T N = = 1.31 N NY = baa N = 5 3 = 8N a baa 1.1 Na baa = T T= N = 3.5 = 4.31 N 4 Depatamento de Física Apicada ETSIAM Uniesidad de ódoba

5 Fundamentos Físicos de a Ingenieía ime acia /1 de eneo de 4 4. Una aia igea de ongitud puede gia sin oamiento aededo m de su cento. Se coocan en sus etemos sendas masas m m se abandona e sistema desde a posición de a aia hoionta. En e instante en que a aia acana a posición etica, detemina: a) a ceeidad de as masas; b) e ecto cantidad de moimiento de sistema; c) a eocidad de cento de masa de sistema. m E p = m cm / m / m a) uesto que e sistema es conseatio, apicamos e incipio de onseación de a Enegía, tomando como nie de efeencia a posición inicia: 1 g = mg mg ( 3 m) = 3 b) La cantidad de moimiento de sistema es a suma de as cantidades de moimiento de as dos masas: p= p1 p = m g i m i= m i= m i 3 c) La cantidad de moimiento de sistema es igua a poducto de su masa po a eocidad de su cento de masa; esto es, = ( Σ m 1 1 g m ) = p p i cm cm 3m = i 3m = i 3 = i 3 3 osición de c.m.: cm m ( m) = = = m m 3 6 Depatamento de Física Apicada ETSIAM Uniesidad de ódoba

6 Fundamentos Físicos de a Ingenieía ime acia /1 de eneo de 4 5. Una boa esféica, macia homogénea, de adio masa m, ueda sin esbaa po un pano incinado un ánguo con a hoionta. a) Detemina a fuea de oamiento actúa sobe a boa, indicando gáficamente su diección sentido. b) acua coeficiente de oamiento mínimo que se equiee ente e pano a boa pea eita que esbae. a) Apicamos as ecuaciones cadinaes de moimiento de a boa, tomando momentos en (c.m. de a boa), de modo que: f A N mg [1] N mgcos = N = mgcos [] mg sen f = ma [3] f= Iα= m α f = mα 5 5 [4] a= α que junto con a condición de odadua [4] constituen un sistema de cuato ecuaciones con cuato incógnitas (N, f, a, α). Sustituendo a ec. [4] en a ec. [3] esoiendo e sistema de ec. [] [3], tenemos [1] N = mgcos [] mg sen f = ma 7 5 ( ) mg sen= ma ma = ma a = g sen [3] f mα ma = = de modo que f = ma= mg sen 5 7 b) E coeficiente de oamiento mínimo que se equiee seá sen 7 mg f f µ N µ = = N mgcos 7 tg Depatamento de Física Apicada ETSIAM Uniesidad de ódoba