Simulación de sistemas discretos

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1 Smulacó de sstemas dscretos Novembre de 006 Álvaro García Sáchez Mguel Ortega Mer

2 Smulacó de sstemas dscretos. Presetacó Itroduccó Sstemas, modelos y smulacó Necesdad de la smulacó Campos de aplcacó Fases e u estudo de smulacó Vetajas de la smulacó Icoveetes de la smulacó Prcpales errores cometdos e la smulacó Smulacó de sstemas dscretos Repaso de estadístca..... Itroduccó..... Varables aleatoras Meda y varaza Varables aleatoras más comúmete utlzadas Estmacó de parámetros Ajuste de datos. Test de la χ Itervalos de cofaza Comparacó de alteratvas Formulacó del problema y modelo coceptual Recogda, aálss y geeracó de datos de etrada Costruccó del modelo. Verfcacó, valdacó y credbldad Etoros de smulacó Verfcacó Valdacó Ejecucó de u modelo de smulacó. Aálss de resultados

3 Smulacó de sstemas dscretos 5.. Tpos de smulacó Aálss e smulacó lmtada Aálss e smulacó lmtada co régme permaete Referecas y bblografía

4 Smulacó de sstemas dscretos. Presetacó.. Itroduccó El presete documeto trata sobre las téccas utlzadas para mtar o smular el fucoameto de dsttos tpos de stalacoes o procesos. A la stalacó o proceso que se pretede estudar se le deoma sstema y para poderlo aalzar se realza ua sere de supuestos sobre su fucoameto. Estos supuestos, que ormalmete se expresa medate relacoes matemátcas o relacoes lógcas, costtuye u modelo del sstema. Este modelo se utlza para compreder y prever el comportameto del sstema real. S las relacoes matemátcas o lógcas que comprede el modelo so secllas, etoces será posble utlzar u procedmeto aalítco para obteer ua solucó o respuesta exacta sobre las característcas de terés del sstema aalzado. No obstate, s las relacoes so complejas, puede ocurrr que o se pueda evaluar aalítcamete el problema. E este caso, será ecesaro acudr a la smulacó del sstema, evaluado umércamete el modelo y aalzado los datos obtedos para estmar las característcas de dcho sstema... Sstemas, modelos y smulacó U sstema se puede defr como u cojuto de elemetos udos por relacoes de teraccó o terdepedeca. E el ámbto de los sstemas productvos estos elemetos ormalmete tee u objetvo comú. Los elemetos que forma parte del sstema vee codcoados por el objetvo del estudo que se pretede realzar, ya que u sstema defdo para u estudo determado puede ser ua parte de u sstema más amplo - 4 -

5 Smulacó de sstemas dscretos defdo para otro estudo partcular. Por ejemplo, s se quere determar cuál es el úmero más adecuado de operaros y máquas e la seccó de mecazado de ua empresa que tee ua determada cartera de peddos, estos elemetos será los que forme parte del sstema a aalzar, metras que, s lo que se desea es estudar la capacdad productva de la empresa, los elemetos mecoados aterormete sólo será ua parte del sstema. A ellos habrá que añadr motaje, embalaje, almaceaje, etc. Se puede realzar las sguetes defcoes: Atrbuto: propedad de u elemeto del sstema. Actvdad: todo proceso que provoque u cambo e el sstema. El estado del sstema e u state de tempo determado se puede defr como la descrpcó de todos los elemetos, atrbutos y actvdades e dcho state. Por ejemplo, el estado de ua ofca bacara e u state se podría defr medate el úmero de cajeros e él, el úmero de cletes, el state de llegada de cada clete y el tpo de operacó que desea realzar cada uo. Este cojuto costturía las varables de estado del sstema. Tpos de sstemas Evdetemete, las característcas del sstema real que se desea estudar va a codcoar el tpo de smulacó que se va a desarrollar. Por lo tato, covee hacer ua clasfcacó de los sstemas de acuerdo co los aspectos que va a codcoar su aálss posteror. Así, es útl realzar ua clasfcacó de los sstemas atededo a tres aspectos fudametales: Sstemas estátcos y sstemas dámcos. U sstema se cosdera estátco cuado sus varables de estado o camba a lo largo del tempo, es decr, cuado el tempo o juega gú papel e sus propedades. Por el cotraro, e u sstema dámco los valores que toma todas o alguas de sus varables de accó evolucoa a lo largo del tempo. Sstemas determstas y sstemas estocástcos. S u sstema o tee gú compoete de carácter estocástco (es decr, aleatoro) se - 5 -

6 Smulacó de sstemas dscretos cosdera determsta. E este caso, el comportameto del sstema está determado ua vez que se haya defdo las codcoes cales y las relacoes que exste etre sus compoetes. Por el cotraro, u sstema o determsta o estocástco tee algú elemeto que se comporta de forma aleatora, de forma que o está predetermado comportameto e fucó de las codcoes cales y de las relacoes etre sus compoetes. E este caso, el sstema sólo se podrá estudar e térmos probablstas, cosguedo, e el mejor de los casos, coocer sus respuestas posbles co sus probabldades asocadas. Sstemas cotuos y sstemas dscretos. E u sstema cotuo las varables de estado camba de forma cotua a lo largo del tempo, metras que e uo dscreto camba statáeamete de valor e certos states de tempo. E u sstema de ua certa complejdad puede ocurrr que exsta smultáeamete varables de estado cotuas y dscretas. E este caso, depededo de la predomaca de ua y otras y del objetvo del estudo que se pretede realzar, se cosderará el sstema como perteecete a uo de los dos tpos. Tpos de modelos Para estudar u sstema, la forma más medata sería expermetar sobre él. S embargo, esto puede ser desacosejable, e cluso mposble, por dversos motvos: Puede ocurrr que el sstema o exsta y lo que se preteda sea su dseño. Puede ser mposble expermetar co el sstema real porque o se dspoe de gú cotrol sobre dcho sstema; por ejemplo, s se desea estudar u sstema facero, bursátl,... Puede ser ecoómcamete vable la expermetacó sobre el sstema real. La expermetacó sobre el sstema real puede collevar uos plazos de tempo muy dlatados. Es el caso, por ejemplo, de certos sstemas socales o bológcos

7 Smulacó de sstemas dscretos E cualquera de los casos aterores se hace ecesara la costruccó de u modelo del sstema que refleje co la fdeldad adecuada las característcas destacadas del sstema a aalzar y la expermetacó sobre dcho modelo. S se realza correctamete la costruccó del modelo y el dseño de los expermetos, los resultados obtedos permtrá ferr cuál sería el comportameto del sstema a aalzar e determadas codcoes. La fgura muestra u esquema que muestra las dferetes formas de smulacó que se puede utlzar para aalzar u sstema. SISTEMA EPERIMENTACIÓN CON EL SISTEMA REAL EPERIMENTACIÓN CON UN MODELO DEL SISTEMA MODELO FÍSICO MODELO MATEMÁTICO SOLUCIÓN ANALÍTICA SIMULACIÓN NUMÉRICA Fg.. Tpos de modelos Los modelos físcos está formados por ua estructura materal que tee uas característcas, e cuato al objeto del estudo, smlares a las del sstema real. Ejemplos de modelos físcos puede ser las maquetas a escala y també los modelos aalógcos que, s teer la msma estructura físca que el sstema real, tee u comportameto smlar co respecto a alguas varables de estado. Por ejemplo, para estudar ua red de dstrbucó de agua e ua cudad, se puede costrur u crcuto eléctrco - 7 -

8 Smulacó de sstemas dscretos co la msma estructura y establecer aalogías etre la tesdad eléctrca del modelo y el caudal, la ressteca eléctrca de los dsttos tramos y la pérdda de presó. De este modo, se puede prever el comportameto de la red de dstrbucó realzado expermetos e, cluso, modfcado el modelo eléctrco s ecesdad de actuar sobre el sstema real, lo que mplcaría, evdetemete, uos costes muy elevados y u deteroro e el servco prestado a los cletes. U modelo matemátco represeta el sstema por medo de relacoes lógcas y cuattatvas etre sus varables de estado. Tato el valor de las varables como sus relacoes se puede modfcar para estudar cómo reaccoa el modelo y, por lo tato, cómo reaccoaría el sstema real ate dchos cambos. Auque e casos putuales se ha desarrollado modelos físcos, para el estudo de los sstemas productvos e la gra mayoría de las ocasoes se utlza modelos matemátcos. Ua vez que se ha costrudo u modelo matemátco que represeta el sstema a estudar, se debe aalzar cómo utlzar este modelo para resolver las pregutas plateadas sobre el sstema. S el modelo matemátco es sufcetemete secllo se podrá resolver aalítcamete, obteedo ua solucó exacta a dchas pregutas. S el modelo es excesvamete complejo o abordable, habrá que recurrr a su smulacó, que cosste e proporcoar ua sere de valores a determadas varables de estado y calcular cuál es el valor resultate para el resto de las varables. De este modo, se obtee ua represetacó o muestra de las posbles respuestas de modelo (y, por lo tato, del sstema que represeta) ate dsttas codcoes de partda..3. Necesdad de la smulacó Ya se ha dcado aterormete que se recurre a la smulacó cuado el modelo matemátco que represeta el sstema a estudar es excesvamete complejo o resulta abordable por o estar desarrollados - 8 -

9 Smulacó de sstemas dscretos métodos aalítcos para su resolucó. La fuete de complejdad puede teer báscamete dos causas: E los sstemas cotuos es frecuete que uas varables de estado represete la tasa o velocdad de cambo de otras varables de estado. La formulacó matemátca de estos modelos lleva a la aparcó de ecuacoes dferecales que dca las relacoes aterormete mecoadas. S el sstema tee ua certa complejdad, puede ocurrr que las ecuacoes dferecales sea o leales y, por lo tato, de dfícl o mposble resolucó aalítca. E los sstemas dscretos puede aparecer feómeos aleatoros que sólo se puede represetar e térmos probablstas. E este caso, la formulacó matemátca del modelo cotee relacoes e las que aparece fucoes de dstrbucó o de desdad de probabldad, que dfculta o mpde su resolucó aalítca. Como ya se ha dcado, la catalogacó de u sstema como cotuo o dscreto depede del objetvo del estudo y de las varables de estado predomates. Esto quere decr que u msmo sstema puede teer certas varables de estado cotuas y otras dscretas. Por lo tato, o es frecuete ecotrar modelos e los que coexste ecuacoes dferecales complejas co varables aleatoras, lo que, evdetemete, complca aú más la resolucó aalítca..4. Campos de aplcacó Como la smulacó de modelos de sstemas reales exge la resolucó umérca de los sstemas de ecuacoes plateados y, como cosecueca, la realzacó de u úmero muy elevado de cálculos, la smulacó requere ecesaramete el empleo de ordeadores. El aumeto de la capacdad de los ordeadores que se ha producdo e los últmos años, así como el desarrollo de dsttos paquetes de software dseñados específcamete para la smulacó, cada vez más potetes y de utlzacó más seclla, ha hecho - 9 -

10 Smulacó de sstemas dscretos que la smulacó se haya geeralzado para el estudo de sstemas de muy dstta aturaleza. S hacer ua recoplacó exhaustva, se puede destacar la utlzacó cada vez más extedda de la smulacó e el estudo de: Sstemas de espera. Tráfco de comucacoes: correos, teléfoos, redes formátcas... Dseño de stalacoes, talleres, líeas de motaje... Determacó de reglas de programacó de la produccó. Dseño de platllas, asgacó de trabajadores a puestos de trabajo... Localzacó de stalacoes (almacees, vehículos, equpos de matemeto...) Aálss de proyectos. Reglas de gestó de vetaros. Aálss de versoes..5. Fases e u estudo de smulacó E la fgura se dca las fases fudametales de que costa u estudo de smulacó: - 0 -

11 Smulacó de sstemas dscretos DEFINICIÓN DE OBJETIVOS Y DEL SISTEMA valdacó MODELO CONCEPTUAL MODELO COMUNICATIVO verfcacó MODELO INFORMÁTICO valdacó EPLOTACIÓN. DISEÑO DE EPERIMENTOS credbldad DOCUMENTACIÓN. IMPLANTACIÓN RESULTADOS Fg.. Etapas de u estudo de smulacó Defcó de objetvos y del sstema. E prmer lugar, se debe especfcar claramete los objetvos que se pretede alcazar co el estudo de smulacó. Se debe traducr los objetvos cualtatvos a térmos cuattatvos, establecer las pregutas que debe ser cotestadas, las hpótess a cotrastar, y los efectos a estmar. També es ecesaro troducr los crteros de evaluacó de los resultados y realzar ua estmacó de los medos humaos y materales para llevar a cabo dcho estudo. Es ecesaro, además, defr los elemetos que va a formar parte del sstema objeto de estudo; muy probablemete, el sstema sea u subsstema de otro más amplo co el que teractúa. Elaboracó del modelo coceptual. El modelo coceptual es u modelo lógco y matemátco del sstema real, dseñado de acuerdo co los objetvos que se pretede alcazar co el estudo. E la costruccó del modelo es acosejable ecotrar u equlbro etre la secllez del propo modelo y el realsmo co que represeta al sstema real. Muchos autores acoseja comezar co u modelo relatvamete secllo, a partr del cual elaborar modelos de complejdad crecete. U modelo debe teer - -

12 Smulacó de sstemas dscretos úcamete el grado ecesaro de detalle que refleje la eseca del fucoameto del sstema desde el puto de vsta del propósto para el que se utlza dcho modelo. E la mayoría de los casos o es ecesaro que exsta ua correspodeca buívoca etre los elemetos del modelo y los del sstema. E esta fase es ecesaro estmar los valores de las costates y los parámetros, determar los valores cales de las dferetes varables y, s es posble, recoger datos hstórcos para la valdacó del modelo. Valdacó. Ua vez defdo el modelo coceptual, será ecesaro valdarlo, es decr, comprobar s refleja felmete las característcas del sstema que represeta. E esta fase puede ser de gra ayuda las tervecoes y opoes de persoas que coozca co sufcete profuddad el sstema. Elaboracó del modelo comucatvo. Lo más comú es que los resposables del sstema y los resposables últmos del estudo de smulacó sea dferetes de los programadores que después realzará el modelo formátco. Por eso es ecesaro elaborar algú tpo de modelo que permta que la comucacó etre los dseñadores y los programadores sea efcaz y efcete. Los dagramas de flujo, e los que se represeta los dferetes evetos so especalmete útles. Datos Etrada maual Proceso Decsó Iforme Avace de la smulacó - -

13 Smulacó de sstemas dscretos Fg. 3. Modelo comucatvo. Elemetos más frecuetemete utlzados. Costruccó y verfcacó de modelo formátco. Ua vez costrudo y valdado el modelo es el mometo de seleccoar el leguaje de programacó que se va a utlzar para su realzacó. E fucó de las característcas del modelo se puede optar por u leguaje de propósto geeral, como Fortra, Pascal o C, o be u leguaje desarrollado especalmete para la smulacó, como GPSS, Smscrpt, Slam o Sma. Por otra parte, e los últmos años se ha desarrollado paquetes de software co capacdades gráfcas de amacó, especalmete útles e el dseño de sstemas productvos y logístcos, ya que permte vsualzar a lo largo del tempo los movmetos y estados de máquas, pezas, vehículos, trasportadores, etc. Etre estos paquetes se ecuetra Cema, Wtess, Taylor o Area. Valdacó. El modelo ateror se debe valdar medate la ejecucó de ua sere de expermetos ploto, e los que los resultados obtedos cocda co los prevsbles ate determadas codcoes cales. Por otra parte, s el sstema modelado es smlar a alguo ya exstete, se puede cotrastar el fucoameto del modelo co el del sstema real. Explotacó y dseño de expermetos. De acuerdo co los objetvos de la smulacó, se debe defr los expermetos a realzar. Para cada uo de ellos es ecesaro determar las codcoes cales, la logtud de la smulacó, el úmero de repetcoes y los resultados que se debe regstrar. Para aalzar los resultados de los dsttos expermetos se utlza téccas estadístcas. Los aálss típcos puede ser el establecmeto de tervalos de cofaza para los valores obtedos de certas varables de estado o la comparacó y determacó del mejor de los resultados obtedos e la smulacó de varas alteratvas. Elaboracó de la documetacó e mplatacó de los resultados. Ya que los modelos de smulacó, a meudo, se utlza para más de ua aplcacó, es mportate o sólo el programa de ordeador, so - 3 -

14 Smulacó de sstemas dscretos també los hpótess bajo las cuales se ha costrudo el modelo. Es de destacar que cuato mejor documetado y más verosíml sea u modelo de smulacó más probabldad tedrá de ser utlzado, se drá que es más creíble..6. Vetajas de la smulacó Ya se ha cometado prevamete que la smulacó es ua técca cada vez más utlzada e el estudo de sstemas complejos. Etre los argumetos a favor de la utlzacó de la smulacó se ecuetra los sguetes: La mayoría de los sstemas complejos reales co elemetos estocástcos o se puede descrbr co sufcete precsó medate u modelo matemátco que se pueda resolver aalítcamete. Por lo tato, co frecueca la smulacó es el úco método posble de estudo de dchos sstemas. La smulacó permte estmar el comportameto de u sstema exstete bajo u cojuto prevsto de codcoes operatvas. Medate la smulacó se puede comparar dseños alteratvos (o polítcas de operacó alteratvas para u determado dseño) para especfcar cuál es el que cumple de forma más adecuada co los objetvos formulados. E la smulacó se puede teer u cotrol mucho mejor sobre las codcoes del expermeto que s se realzase sobre el propo sstema. La smulacó permte estudar u sstema cuya evolucó es muy dlatada e el tempo (por ejemplo, u sstema ecoómco) e u perodo de tempo reducdo. Alteratvamete, també permte estudar de forma detallada la evolucó de u sstema e u corto perodo de tempo

15 Smulacó de sstemas dscretos.7. Icoveetes de la smulacó La smulacó o sólo ofrece vetajas, so que puede platear alguos coveetes. Etre ellos se ecuetra: Cada ejecucó de u modelo estocástco de smulacó da como resultado úcamete ua estmacó de las característcas o comportameto del modelo para u cojuto partcular de valores de las varables de etrada. Por lo tato, o bastará co la ejecucó del modelo ua sola vez, so que habrá que realzar ua sere de repetcoes para obteer ua muestra represetatva del fucoameto del sstema. E cosecueca, la decsó herete a la formulacó del problema deberá tomarse e base a dcha muestra y s el coocmeto de todas las posbles respuestas del modelo. Esto o ocurre s se puede resolver el modelo aalítcamete, ya que e este caso, se coocerá todas las respuestas del modelo. Por cosguete, s se dspoe de u modelo aalítco váldo que se pueda desarrollar s ua gra dfcultad, será preferble a u modelo de smulacó. Los modelos de smulacó, por regla geeral, cosume ua catdad elevada de recursos téccos y humaos durate u tempo prologado. La gra catdad de formacó que proporcoa los modelos de smulacó, así como la capacdad de persuasó que tee alguos paquetes co amacó gráfca, hace que, a meudo, se cofíe e exceso e los resultados que proporcoa. S u modelo de smulacó o proporcoa ua represetacó válda del sstema real, la formacó que sumstra puede o ser válda o, cluso, puede coducr a la toma de decsoes erróeas..8. Prcpales errores cometdos e la smulacó La expereca demuestra que exste ua sere de errores e los que frecuetemete se curre al realzar u estudo de smulacó. Etre ellos se puede destacar: - 5 -

16 Smulacó de sstemas dscretos No defr correctamete los objetvos del estudo. Fjar u vel de detalle adecuado e el modelo. Tratar el estudo de smulacó como s fuese prcpalmete u ejercco complcado de programacó. Utlzar u software de smulacó comercal que o pueda reflejar de forma adecuada la lógca de fucoameto del modelo. Utlzar de forma adecuada la amacó. Determar de forma adecuada las fuetes de aleatoredad e el sstema real. Emplear fucoes de dstrbucó de probabldad dsttas a las correspodetes a los feómeos reales que se quere smular. Aalzar los datos resultates de la smulacó cosderado, e las fórmulas estadístcas utlzadas, que todos los valores so depedetes. Realzar u úmero de repetcoes meor del ecesaro y cosderar sgfcatvos los resultados obtedos..9. Smulacó de sstemas dscretos Es evdete que los sstemas productvos evolucoa a lo largo del tempo y, por lo tato, debe teerse e cueta su aturaleza dámca. Por otra parte, auque determados sstemas productvos puede ser cosderados como cotuos (por ejemplo, reactores químcos), la mayoría de los sstemas productvos tee característcas de sstemas dscretos, ya que los cambos de estado (recepcó de materas prmas, co y falzacó de la fabrcacó de lotes, etradas y saldas del almacé,...) se produce e states de tempo determados y separados etre sí. Por este motvo, esta documetacó se cetra e la smulacó de sstemas dámcos y dscretos

17 Smulacó de sstemas dscretos Mecasmos de avace del tempo Debdo a la aturaleza dámca de los modelos represetatvos de los sstemas productvos y logístcos, será ecesaro, durate la smulacó, llevar u regstro del valor actual del tempo smulado metras se desarrolla el expermeto de smulacó, así como u mecasmo para hacer avazar este tempo de u valor a otro. A la varable que determa el tempo actual e u expermeto de smulacó se le suele deomar reloj. Cuado se utlza u leguaje de ordeador de propósto geeral para realzar la smulacó, o se defe explíctamete las udades (horas, mutos...) co las que va a trabajar el reloj, so que la udad de tempo correspode a la udad utlzada para las varables de etrada. Por otra parte, o suele exstr gua correspodeca etre la udad de tempo elegda y el tempo de ordeador ecesaro para ejecutar u expermeto de smulacó. Hstórcamete, se ha utlzado dos mecasmos dsttos para hacer avazar el tempo e la smulacó: tervalos de tempo varables e tervalos de tempo fjos. Itervalos de tempo varables Es el método más utlzado. Cosste e calzar el reloj a cero y determar los states de ocurreca de los sucesos de cada tpo más cercaos e el tempo. A cotuacó, se cremeta el tempo de reloj para hacerlo cocdr co el state de ocurreca del suceso más próxmo de etre todos los sucesos futuros. E este state se actualza las varables de estado del sstema (ya que se ha producdo u suceso y, por lo tato, se ha producdo u cambo de estado), se regstra los valores de terés para el expermeto y se determa los uevos states de ocurreca de los sucesos futuros (s es ecesaro). Ua vez realzadas las operacoes aterores, se vuelve a cremetar el tempo hasta el state de ocurreca del suceso más próxmo y se repte el proceso. Los pasos aterores se - 7 -

18 Smulacó de sstemas dscretos repte hasta que se alcace algua codcó determada o se llegue al tempo de smulacó fjado. E resume, el tempo avaza sempre desde u state e que se ha producdo u suceso hasta el próxmo state e que se va a producr u uevo suceso. Debdo a ello, los dferetes cremetos de tempo o tee por qué tomar el msmo valor. Es esquema de la fgura 4 muestra la orgazacó de u expermeto de smulacó realzado medate el efoque de tervalos de tempos varables. co Ruta de calzacó. Poer el reloj a cero. Icalzar el estado del sstema y las estadístcas 3. Icalzar la lsta de sucesos Programa prcpal 0. Llamar a la ruta de calzacó. Llamar a la ruta de tempo. Llamar a la ruta del suceso Ruta suceso. Determar el próxmo suceso. Avazar el reloj Ruta suceso. Actualzar el estado del sstema. Actualzar estadístcas 3. Geerar sucesos futuros y actualzar la lsta Lbrería de rutas Geerar varables aleatoras Ha termado la smulacó? NO SI Geerador de formes. Calcular resultados de terés. Escrbr formes f Fg. 4. Flujograma de la smulacó co tervalos de tempo varables Auque, como ya se ha dcado, la smulacó de sstemas dámcos e tempo dscreto se ha utlzado e ua gra catdad de aplcacoes, la mayoría de los modelos tee uos compoetes e comú, que so los sguetes: - 8 -

19 Smulacó de sstemas dscretos Estado del sstema: cojuto de varables de estado ecesaras para descrbr el sstema e u state determado de tempo. Reloj: varable que recoge el valor actual del tempo smulado. Lsta de sucesos: lsta que recoge el sguete state e que va a ocurrr cada tpo de suceso. Estadístcas: varables utlzadas para almacear formacó estadístca sobre el fucoameto del modelo. Ruta de calzacó: subprograma para calzar el modelo de smulacó e el state cero. Ruta de tempo: subprograma que determa el sguete suceso de la lsta de sucesos y avaza el reloj al state e que este suceso se produce. Ruta de sucesos: subprograma que actualza el estado del sstema cuado ocurre u tpo partcular de suceso (exste ua ruta de sucesos para cada tpo de sucesos). Lbrería de rutas: cojuto de programas utlzados para geerar observacoes aleatoras de las dstrbucoes de probabldad correspodetes a los sucesos aleatoros del modelo. Geerador de formes: subprograma que, a partr de las estadístcas, calcula las estmacoes de las meddas de fucoameto del modelo y produce u forme cuado ha termado la smulacó. Programa prcpal: subprograma que llama a la ruta de tempo para determar la ocurreca del próxmo suceso y trasfere el cotrol a la ruta de sucesos correspodete para actualzar adecuadamete el estado del sstema. També chequea la termacó del expermeto y llama al geerador de formes cuado el expermeto ha termado. Itervalos de tempo fjos De acuerdo co este efoque, el reloj avaza e cremetos de gual valor. Después de cada actualzacó del reloj, hay que realzar u chequeo para determar s ha ocurrdo algú suceso durate el tervalo Δt - 9 -

20 Smulacó de sstemas dscretos medatamete ateror. S ha ocurrdo uo o más sucesos e dcho tervalo, se cosdera que se ha producdo al fal del tervalo y el estado del sstema (y las estadístcas) se debe actualzar de acuerdo co este supuesto. Este procedmeto tee dos desvetajas prcpales; ua de ellas es debda a los errores que se comete al cosderar que los sucesos se produce al fal del perodo, y la otra es que s se produce dos o más sucesos e u Δt, ha de tomarse la decsó del orde e el cual se ha producdo s la realdad o permte cosderarlos smultáeos. Estos dos problemas se puede palar s se reduce la logtud del cremeto elemetal de tempo cosderado. S embargo, ua dsmucó de Δt colleva evtablemete u aumeto del tempo de ejecucó del modelo e el ordeador. Debdo a las cosderacoes aterores, el procedmeto de cremetos de tempo fjos o se suele emplear e modelos e los cuales los tervalos de tempo etre sucesos puede varar de forma cosderable. Algua frase para cerrar este capítulo e troducr el sguete - 0 -

21 Smulacó de sstemas dscretos. Repaso de estadístca.. Itroduccó Como se ha señalado e el capítulo ateror, los feómeos que so típcamete objeto de estudo medate smulacó so de carácter estocástco, por lo que la smulacó está muy lgada a la estadístca. E partcular, y como se dca e la fgura 5, a lo largo del desarrollo de u estudo de smulacó, la estadístca aparece de la sguete maera. Valdacó SISTEMA REAL Aálss de resultados Geeracó de varables aleatoras CONFIGURACIÓN MODELO... Test de ajuste CONFIGURACIÓN k Expermetacó Fg. 5. La smulacó y la estadístca E prmer lugar, se debe tratar de forma adecuada los datos hstórcos correspodetes a las varables de etrada para poder caracterzar de forma adecuada su comportameto. - -

22 Smulacó de sstemas dscretos Ua vez hecho lo ateror, es ecesaro geerar valores de las varables de etrada coforme a la caracterzacó del comportameto ateror. Se debe estudar de forma adecuada el valor de las varables de salda para o extraer coclusoes erróeas o o represetatvas del comportameto del sstema. Se debe poder comparar de forma fable que los resultados que ofrece el modelo so parecdos a los que ofrece la realdad, para garatzar que el modelo represeta de forma adecuada la realdad. Es ecesaro dspoer de ua metodología que permta estudar cofguracoes alteratvas del sstema. E geeral, també puede ser teresate aalzar los factores que codcoa el comportameto de u sstema (dseño de expermetos, superfces de respuesta). E este capítulo se ofrece alguas ocoes y téccas báscas de estadístca ecesaras para la realzacó de u estudo de smulacó de forma correcta... Varables aleatoras Varables aleatoras Ua de las característcas más otables de la smulacó es la exsteca de feómeos o determstas que se debe represetar medate varables aleatoras. De ua varable determsta se sabe co certeza el valor que toma. Por el cotraro, de ua varable aleatora o se sabe co certeza el valor que toma, pero se cooce que puede tomar valores detro de u determado rago, de tal maera que exste ua determada probabldad de que la varable tome u determado valor detro de dcho rago o se cooce la probabldad de que dcha varable tome u valor determado o uo meor que dcho valor. De acuerdo co el tpo de valores que toma ua determada varable aleatora, se puede dferecar etre: - -

23 Smulacó de sstemas dscretos Cotuas. Por ejemplo, la dstrbucó ormal, o la dstrbucó expoecal. Dscretas. Por ejemplo, la dstrbucó de Posso, o la dstrbucó bomal. Segú el orge de los datos, se puede dstgur etre varables: Empírcas, e la que la probabldad asgada a cada posble valor de la varable aleatora se formula a partr de observacoes del propo sstema objeto de estudo. Teórcas, dode la probabldad ateror se formula e térmos aalítcos y o procede de gú cojuto de observacoes de u sstema real. Fucó de dstrbucó, fucó de probabldad y fucó de desdad Para ua determada varable aleatora, se puede ofrecer dos tpos de fucoes para caracterzar el comportameto de dcha varable aleatora: Acumulada. Dada ua varable aleatora, la fucó de dstrbucó acumulada, coocda como fucó de dstrbucó, relacoa cada posble valor de la varable aleatora co la probabldad de que dcha varable aleatora tome u valor meor o gual que aquél. Es decr: F( x) p( x) Putual. Segú se trate de ua varable dscreta o cotua, se habla de fucó de probabldad o de fucó de desdad, respectvamete. La fucó de dstrbucó de ua determada varable aleatora dscreta ofrece la probabldad de que la varable tome u determado valor, es decr: f ( x) p( x) Por su parte, dada ua varable aleatora cotua, se defe la fucó de desdad f (x) de la sguete maera: - 3 -

24 Smulacó de sstemas dscretos. f ( x) 0, x. f ( x) dx 3. p( x) f ( t) dt x Para el caso de las varables dscretas, la relacó etre la fucó de dstrbucó y la fucó de probabldad es la sguete: F ( x) p( x ) x < x E la fgura 6 se muestra u ejemplo de las gráfcas de las fucoes de dstrbucó y de probabldad de ua varable aleatora dscreta y la relacó etre las msmas Fg. 6. Fucó de probabldad y fucó de dstrbucó de ua varable aleatora dscreta E el caso de las varables aleatoras cotuas, la relacó etre la fucó de dstrbucó y la fucó de desdad es la sguete: f ( t) F( x) x dt - 4 -

25 Smulacó de sstemas dscretos E la fgura 7 se muestra u ejemplo de las gráfcas de las fucoes de dstrbucó y de probabldad de ua varable aleatora cotua y la relacó etre las msmas Fg. 7. Fucó de probabldad y fucó de desdad de ua varable aleatora dscreta.3. Meda y varaza Exste dferetes parámetros que resulta teresates para caracterzar varables aleatoras. E partcular, se preseta a cotuacó los dos más otables: la meda o esperaza matemátca, que permte caracterzar la tedeca cetral de la varable y la varaza que permte caracterzar la dspersó de los valores alrededor de la meda. La defcó es lgeramete dstta, segú se trate de ua varable dscreta o ua varable cotua. E partcular, la esperaza matemátca, E(x) se defe como: E ( ) xf ( x) dx, s la varable es cotua E ( ) x f ( x ), s es dscreta - 5 -

26 Smulacó de sstemas dscretos La varaza, var(), se defe de la sguete maera: ( x E( ) ) var( ) f ( x) dx, s la varable es cotua ( x E( )) var( ) f ( ), s es dscreta x Poer otros parámetros que permta caracterzar el las varables aleatoras..4. Varables aleatoras más comúmete utlzadas A cotuacó, presetamos las dstrbucoes de probabldad más comúmete empleadas e la smulacó. Para cada ua de ellas, e prmer lugar, se dca alguas de las posbles aplcacoes de las dstrbucoes, y se defe las fucoes de desdad y de dstrbucó. Después, se descrbe los parámetros de cada dstrbucó, cluyedo sus posbles valores, y el rago al que las varables aleatoras asocadas puede perteecer y, falmete, se cluye las expresoes de la meda (valor esperado) y de la varaza. Dstrbucoes cotuas más frecuetemete utlzadas Uforme Expoecal Gamma Webull Normal Normal-logarítmca Beta Tragular Uforme, U (a,b) Esta dstrbucó es geeralmete u - 6 -

27 Smulacó de sstemas dscretos Utlzada como ua prmera aproxmacó a ua varable que varía aparetemete de forma uforme etre dos valores, a y b. Como se vera más adelate, la varable U(0,) es la base para la geeracó de varables aleatoras. f(x) b a s a x b /(b-a) 0 e otro caso a b Rago: [a,b] Meda: (a+b)/ Varaza: (b-a) / 0 s x<a F(x) x a b a s a x b a b s b<x Expoecal, Exp () La varable expoecal represeta, por ejemplo, el tempo etre llegadas de cletes a u sstema que sucede a ua tasa costate, o el tempo trascurrdo etre fallos de ua máqua

28 Smulacó de sstemas dscretos Rago: [0, ) Meda: Varaza: Ej: f(x) co f(x) e x s x 0 F(x) e x s x 0 0 e otro caso 0 e otro caso. Gamma (α, ) Esta varable puede permtr represetar, por ejemplo, el tempo para completar ua tarea, como por ejemplo, el tempo de servco a cletes o de reparacó de ua máqua

29 Smulacó de sstemas dscretos Rago: [0, ) α, postvos Meda: α Varaza: α Gamma (α,) F de dstrbucó: s α< o tee forma cerrada, s α es u etero postvo: f(x) α α x e Γ ( α ) x s x>0 F(x) e α x/ j 0 (x ) j! j s x>0 0 e otro caso 0 e otro caso Webull (α, ) Puede servr para represeta, por ejemplo, el tempo para completar ua tarea o el tempo hasta el fallo de ua máqua

30 Smulacó de sstemas dscretos Rago: [0, ) α, postvos Meda: Γ α α Varaza: Γ Γ α α α α Webull (α,) f(x) α α x α α (x ) e s x>0 0 e otro caso F(x) e α (x/ ) s x>0 0 e otro caso Normal ( μ, σ ) Geeralmete, represeta errores de dsttos tpos, o catdades que so la suma de u gra úmero de otras catdades

31 Smulacó de sstemas dscretos Rago: (-, ) μo acotada y σ postva Meda: μ Varaza: σ f ( x) πσ e ( xμ ) σ Normal (0,) Normal-logarítmca (μ, σ ) Represeta, etre otros, el tempo para realzar ua tarea, o catdades que so el producto de u gra úmero de otras catdades. Rago: [0, ) μo acotada y σ postva Meda: e Varaza: μ +σ / e μ + σ ( e σ ) f(x) x (l x μ ) σ πσ e s x>0 0 e otro caso Beta (α, α) LN ( 0, σ ) Se utlza para el modelado aproxmado e auseca de datos, o para represetar la dstrbucó del úmero de pezas de defectuosas e u lote, o el tempo para completar ua tarea

32 Smulacó de sstemas dscretos Beta ( α,α ) α, α postvos Rago: [0,] Meda: α Varaza: α + α α α ( α + α ) ( α + α + ) f(x) α α x ( x) B( α, α ) s x>0 0 e otro caso Tragular (a, b, c) Utlzada como ua prmera aproxmacó a ua varable e auseca de datos

33 Smulacó de sstemas dscretos /(b-a) Rago: [a,b] Meda: (a+b+c)/3 Varaza: (a + b +c -ab-ac-bc)/8 a c b 0 x<a f(x) (x a) (b a)(c a) (b x) (b a)(b c) s a x c s c< x b F(x) (x a) (b a)(c a) (b x) (b a)(b c) s a x c s c< x b 0 e otro caso s b<x Dstrbucoes dscretas más frecuetemete utlzadas Beroull Uforme dscreta Bomal Posso E este documeto hablaremos sólo de las dstrbucoes uforme dscreta y de la Posso. Uforme dscreta (, j) Se emplea, por ejemplo, para el modelado aproxmado e auseca de datos que aparetemete varía etre dos valores extremos

34 Smulacó de sstemas dscretos Rago:{,+,...j} /(j-+) Meda: (+j)/ Varaza: ((j-+) -)/ j f(x) j + s x {, +,...,j } 0 e otro caso F(x) 0 s x< x + j + s x j s j x Posso (λ) Represeta el úmero de evetos que ocurre e u tervalo de tempo cuado los evetos ocurre a ua tasa costate, como por ejemplo el f(x) x! Rago: {0,,...} Meda: λ Varaza: λ e λ λ x s x {0,,..} 0 e otro caso úmero de pezas fabrcadas a la hora. F(x) 0 s x<0 λ x λ e s x? 0 0!

35 Smulacó de sstemas dscretos.5. Estmacó de parámetros Exste dversos métodos para la estmacó de parámetros. A cotuacó se preseta el método del estmador máxmo verosíml. S se supoe que u cojuto de datos provee de ua determada varable aleatora cotua, cuya fucó de desdad es f θ (x), dode θ es el parámetro de la dstrbucó, el estmador máxmo verosíml de u cojuto de observacoes x,, x es aquél que hace mímo el valor de la fucó máxmo verosíml, Γ(θ), que se defe de la sguete maera: Γ ( θ ) fθ ( x ) fθ ( x ) fθ ( x ) fθ ( x ) De forma aáloga, s se trata de ua varable aleatora dscreta cuya fucó de probabldad es Γ p θ, la fucó toma la forma: ( θ ) pθ ( x ) pθ ( x ) pθ ( x ) pθ ( x ) La fucó de verosmltud represeta la probabldad de que (s la varable estudada se comportara de acuerdo co la fucó de probabldad p θ ) al geerar valores de dcha varables se obtega exactamete los valores x,, x. La forma de obteer el estmador máxmo verosíml, por lo tato, cosste e costrur la fucó máxmo verosíml, e gualar a cero su dervada co respecto al parámetro. Es decr, el estmador máxmo verosíml, deotado por θ, verfca que: Γ( θ ) θ θ θ 0 Para el caso de ua dstrbucó expoecal, la fucó de verosmltud, dado u cojuto de observacoes x,, x, es la sguete:

36 Smulacó de sstemas dscretos Γ x x x x x e e e e e x f x f x f... ) ( ) ( ) ( ) ( El valor de para el cual la fucó de verosmltud es el msmo para el cual toma el máxmo el logartmo de dcha fucó, de maera que, por secllez, se calcula de esta seguda maera: ( ) x x x x e x + Γ 0 l l l ) ( l De esta maera, se puede obteer los estmadores máxmo verosímles de las sguetes fucoes (que se ofrece e la tabla ). m â () ˆ α α ˆ ˆ ˆ x()) ( x ˆ I σ l ˆ μ ) ( ˆ λ ( ) ( ) l l 6 ˆ π α k k max ĵ k k m î Posso (λ ) Uforme dscreta (,j) Normal-logarítmca (μ, σ ) Normal (μ, σ ) Webull (α, ) Expoecal, Exp ( ) Uforme, U (a,b) ESTIMADORES MÁIMO VEROSÍMILES FUNCIONES max bˆ () ˆ μ x x I )) ( (l σˆ m â () ˆ α α ˆ ˆ ˆ x()) ( x ˆ I σ l ˆ μ ) ( ˆ λ ( ) ( ) l l 6 ˆ π α k k max ĵ k k m î Posso (λ ) Uforme dscreta (,j) Normal-logarítmca (μ, σ ) Normal (μ, σ ) Webull (α, ) Expoecal, Exp ( ) Uforme, U (a,b) ESTIMADORES MÁIMO VEROSÍMILES FUNCIONES Posso (λ ) Uforme dscreta (,j) Normal-logarítmca (μ, σ ) Normal (μ, σ ) Webull (α, ) Expoecal, Exp ( ) Uforme, U (a,b) ESTIMADORES MÁIMO VEROSÍMILES FUNCIONES Posso (λ ) Uforme dscreta (,j) Normal-logarítmca (μ, σ ) Normal (μ, σ ) Webull (α, ) Expoecal, Exp ( ) Uforme, U (a,b) ESTIMADORES MÁIMO VEROSÍMILES FUNCIONES max bˆ () ˆ μ x x I )) ( (l σˆ Tabla. Estmadores máxmo verosímles de los parámetros de las fucoes de alguas varables aleatoras

37 Smulacó de sstemas dscretos.6. Ajuste de datos. Test de la χ El test de la χ permte posble comprobar s u cojuto de observacoes so ua muestra depedete de ua dstrbucó. Para ello, es ecesaro segur los sguetes pasos: Comprobacó de la depedeca de las observacoes Formulacó de la hpótess de cotraste Determacó del estadístco de cotraste Comprobacó de la depedeca de las observacoes Dadas las observacoes, es ecesaro comprobar, e prmer lugar, que se trata de u cojuto de observacoes depedetes, para lo cual puede ser sufcete ua comprobacó de carácter gráfco. S se represeta los pares de putos x, ) co, se puede aprecar ( x + gráfcamete s exste algú tpo de relacó etre ua observacó y la medatamete ateror o o. Por ejemplo, s se obtee ua gráfca como la de la zquerda de la fgura, se obtee ua ube de putos sufcetemete dspersa como para garatzar la depedeca de las observacoes. E el caso de la gráfca de la derecha, claramete, las observacoes está relacoadas lealmete. x x Fg.. Nubes de putos correspodetes a observacoes o correlacoadas (zquerda) y a observacoes lealmete correlacoadas (derecha)

38 Smulacó de sstemas dscretos Formulacó de la hpótess de cotraste A partr de las observacoes es ecesaro realzar ua hpótess co respecto a la fucó de dstrbucó que se puede ajustar de forma adecuada. Para formular dcha hpótess, se realza ua represetacó gráfca de las observacoes. E cocreto, se dvde el rago de valores de las observacoes e u cojuto sufcetemete grade de tervalos y se costruye u hstograma dode cada barra represeta la frecueca relatva de observacoes que perteece a cada tervalo. A partr del hstograma, se puede formular hpótess sobre la posble dstrbucó. Por ejemplo, la fgura podría correspoder a ua dstrbucó expoecal, metras que la fgura 3 podría correspoder a ua dstrbucó Beta. Frecueca relatva Fg.. Hstograma de u cojuto de observacoes Frecueca relatva

39 Smulacó de sstemas dscretos Fg. 3. Hstograma de u cojuto de observacoes Ua vez seleccoada la fucó de dstrbucó, es ecesaro caracterzarla, lo que sgfca estmar los parámetros de la msma. Por ejemplo, s a partr del hstograma parece probable que se trata de ua dstrbucó expoecal, será ecesaro estmar el parámetro, s se trata de ua beta, será ecesaro estmar α y α. E el apartado ateror se ha cometado cómo estmar los parámetros para ua determada varable a partr de u cojuto de datos. Falmete, se formula la hpótess ula, H 0, que se pretede cotrastar: Los datos x,, x so valores depedetes e détcamete dstrbudos correspodetes a ua varable aleatora, co ua fucó de desdad f(x) de parámetros α,... Determacó del estadístco de cotraste Ua vez obtedo el parámetro de la fucó de dstrbucó, se costruye el estadístco de cotraste. Para ello se dvde el rago de valores de las observacoes e u cojuto de k tervalos de tal maera que la probabldad de que ua observacó perteezca a u determado tervalo sea /k, es decr, se trata de que los tervalos sea equprobables. E geeral, la probabldad de que ua observacó caga e u determado tervalo será p y, s es posble, se tratará de que p p k,, j j / Defmos la varable aleatora E como e úmero de observacoes que cae detro del -ésmo tervalo cuado se geera valores de ua varable aleatora (la varable para la que se realza el cotraste). Dcha varable cumple las sguetes característcas: cada observacó puede, o be caer e el tervalo, o be o caer; la probabldad de que caga detro del tervalo es costate, p ; y la probabldad de que ua observacó caga o o e el tervalo es depedete de que caga cualquer otra observacó

40 Smulacó de sstemas dscretos Por lo tato, la varable aleatora E, es ua bomal de parámetros, p : E ~B(, p ) E caso de cumplrse que p > 5 y ( p) > 5, se pude aproxmar la bomal por ua ormal: E ~ N( p p ( p )), Tpfcado se obtee que: E p p p ) ( ~ N ( 0,) ~ Z Elevado al cuadrado ambos lados se obtee ( E p ) ( p ) ~ Z S p <<, etoces se puede hacer la aproxmacó p ( p ) p y, por lo tato: ( E p ) p ~ Z Falmete, se sabe que la suma de k varables de tpo Z es ua varable aleatora de tpo χ k, dode k es el úmero de grados de lbertad. Es decr: k j χ Z j ~ k S efectvamete, el cojuto de valores x,, x, seguía ua dstrbucó de tpo, el úmero de observacoes que cae e cada tervalo, deotadas por O, so valores e partcular de las varables aleatoras E, de maera que el valor χ exp k j ( O E ) E es u valor de ua varable χ k. A este valor se le llama valor expermetal

41 Smulacó de sstemas dscretos Por otro lado, se puede calcular el valor χ (, α ) k, llamado estadístco teórco, que es el valor para el cual, la probabldad de que ua dstrbucó χ co k- grados de lbertad tome dcho valor o uo meor sea. α. Co esta probabldad, el valor expermetal debe ser meor que el estadístco teórco. Por lo tato, s se cumple que χ > χ (, α ) exp k, se rechaza la hpótess ula, e caso cotraro, o hay evdeca estadístca para rechazarla..7. Itervalos de cofaza Poer u ejemplo Debdo al carácter estocástco de las varables de etrada de los modelos de smulacó, es atural, que las varables de salda sea, gualmete, varables aleatoras, de maera, que e dferetes ejecucoes del modelo se obtedrá dferetes valores para cada ua de las varables. U valor especalmete teresate es el de la meda de dchas varables. Co el cálculo de u tervalo de cofaza para la meda de ua determada varable de salda, se obtee u tervalo del que se pude afrmar que la meda de la varable de salda está coteda e él co ua determada probabldad. La formacó que ofrece dcho tervalo será tato mayor cuato meor sea su ampltud y cuato mayor sea la probabldad de que, efectvamete, cotega a la meda. Sea la varable aleatora [ ( ) μ] Z σ / y F(z) su fucó de dstrbucó para ua muestra de tamaño ; es decr: F (z)p (Z z) el teorema cetral del límte dce que, s es sufcetemete grade, etoces la varable aleatora Z sgue ua fucó de dstrbucó Normal - 4 -

42 Smulacó de sstemas dscretos [0,], depedetemete de la dstrbucó que tega la varable aleatora. Vsto de otro modo, para ua tamaño de muestra,, elevado, la muestra de la meda, () sgue aproxmadamete ua dstrbucó Normal, co meda μ y varaza. / σ La dfcultad de utlzar los resultados aterores provee de que, ormalmete, la varaza σ es descoocda. S embargo, como la varaza de la muestra S () coverge haca σ cuado aumeta, el teorema cetral del límte sgue sedo certo s se susttuye σ por S () e la expresó de Z y, por lo tato, sgue ua dstrbucó N[0,]. Por lo tato, acudedo a las tablas de la dstrbucó Normal se puede establecer u tervalo de cofaza para el valor obtedo de la meda. Es decr, s se establece u tervalo de cofaza de (-a) para μ, etoces: α μ μ α α α α + ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( S z S z P z S z P Dcho de otro modo, exste ua probabldad de 00 (-a) de que μ esté compreddo etre los valores: ( ) ( ) S z α ± ( ) S ] ) ( [ μ

43 Smulacó de sstemas dscretos Cuado el úmero de observacoes o es sufcetemete elevado, el teorema cetral del límte o se puede aplcar. E este caso, s se cosdera que las varables sgue ua dstrbucó Normal, etoces la varable [ ( ) μ] t S ( ) Sgue ua dstrbucó t de Studet co - grados de lbertad. E este caso, el procedmeto de establecer u tervalo de cofaza para el valor de la meda será smlar al caso ateror, salvo que habrá que utlzar las tablas de la dstrbucó t. E la lteratura sobre el tema se cosdera que u valor de 30 ya permte aplcar el teorema cetral del límte..8. Comparacó de alteratvas Ejemplos Ua vez vsto el procedmeto para evaluar los resultados de u expermeto de smulacó, se está e dsposcó de comparar dos o más alteratvas (es decr, los resultados de la smulacó de dos o más sstemas alteratvos) y seleccoar la mejor de ellas. Se puede dar tres casos dsttos: Comparacó de dos alteratvas. Comparacó de varas alteratvas co ua de refereca. Comparacó de varas alteratvas y seleccó de la mejor de ellas. Comparacó de dos alteratvas Supogamos que se ha realzado repetcoes del expermeto de smulacó para cada ua de las dos alteratvas que se desea comparar. Sea:

44 Smulacó de sstemas dscretos,,,, 3 3,...,,..., los resultados obtedos para las alteratvas y respectvamete, y μ y μ las medas de sus varables correspodetes. Se puede defr la varable Z como la dfereca etre los valores de la alteratva y de la alteratva, es decr: Z j para j j j,,3 Estos valores de Z j so varables aleatoras depedetes y está détcamete dstrbudas. A partr de la varable Z se puede costrur u tervalo de cofaza para la varable ξ μ μ, es decr, para la dfereca de las medas de las varables estudadas. Para ello, e prmer lugar habrá que calcular la meda y la varaza de Z : Z( ) j Z j Var [ Z( ) ] j [ Z Z( ) ] j ( ) Del msmo modo que se vo e el apartado ateror, se obtee u tervalo de cofaza de aproxmadamete 00 (-α) medate la expresó: Z( ) ± t α. Var[ Z( )] Su terpretacó es la sguete: la comparacó es sgfcatva s el tervalo o cotee a 0 y, por el cotraro, o es sgfcatva s el tervalo cotee a

45 Smulacó de sstemas dscretos Comparacó de varas alteratvas co ua de refereca Sea la alteratva de refereca o base y, 3, k el resto de alteratvas que se quere comparar co ella. Es evdete que, utlzado reteradamete el procedmeto descrto e el apartado ateror, se puede realzar la comparacó por separado de cada ua de las alteratvas,3, k co la. Esto mplca la comparacó de k- parejas de alteratvas. Ua opcó al método ateror cosste e fjar smultáeamete tervalos de cofaza, a u vel global de (-a) para las k- comparacoes. Para ello es ecesaro aplcar la desgualdad de Boferro, que dce que hay que costrur tervalos dvduales para las dferetes α comparacoes de las medas ( μ μ, μ3 μ,, μ k μ) co u vel. k Ua vez costrudos los k- tervalos de cofaza dvduales, s gú tervalo de cofaza para las dferecas de las medas ( μ μ) cotee el valor 0, etoces se puede decr que todas las alteratvas dfere de la co u vel global de sgfcaca de (-a). S u tervalo de cofaza para ( μ μ) cotee el valor de 0, se puede decr que o exste dfereca sgfcatva de la alteratva co respecto a la alteratva. Seleccó de la mejor de k alteratvas Supogamos que se ha realzado repetcoes del expermeto de smulacó para cada ua de las k alteratvas que se desea comparar. Sea k,,, k,,, 3 3, k 3,, k

46 Smulacó de sstemas dscretos los resultados obtedos para las alteratvas,, k respectvamete, y μ, μ, μ k las medas de sus varables correspodetes, es decr, μ E ( j ). S el objetvo de la seleccó es hallar la alteratva que proporcoe u resultado meor, y se deoma μ al -ésmo valor más pequeño de los μ, es decr: μ μ μ k el proceso de seleccó cosstrá e hallar precsamete μ. La aleatoredad herete a los valores j obtedos hace que o se pueda teer la absoluta segurdad de que la seleccó efectuada sea la correcta. S embargo, sí se puede especfcar de atemao la probabldad de que la seleccó que se haga sea la correcta. S los dos valores más pequeños obtedos e las estmacoes de las medas de los expermetos, μ y μ, está muy cercaos, carecerá de mportaca la seleccó erróea de μ e vez de μ. Por lo tato, será coveete utlzar u método de seleccó que evte hacer u úmero muy elevado de teracoes para resolver ua dfereca poco mportate. De acuerdo co las cosderacoes aterores, el objetvo del problema será seleccoar ua alteratva que, co ua probabldad míma P cumpla la codcó μ μ d. El procedmeto que se dca a cotuacó tee la propedad de que, co ua probabldad de, al meos P, la respuesta esperada de la alteratva seleccoada o será mayor que μ + d. Esto quere decr que exste ua proteccó (co ua probabldad de, al meos catdad P ) cotra la seleccó de ua alteratva cuya meda sea ua d peor que la del mejor de los sstemas

47 Smulacó de sstemas dscretos El procedmeto precsa la especfcacó por parte del aalsta de los valores de P y k sstemas aalzados. d e mplca u muestreo e dos etapas para cada uo de los Prmera etapa Cosste e realzar u úmero 0 fjo de repetcoes o replcacoes para cada alteratva y utlzar los resultados obtedos para estmar cuátas repetcoes más hay que efectuar e la seguda etapa. Es ecesaro asumr que los valores j está ormalmete dstrbudos, pero o que los valores de σ Var( ) sea coocdos, que los valores de j sea guales para dferetes alteratvas. Se hace, por lo tato, 0 replcacoes de cada ua de las k alteratvas y se defe las medas y las varazas de la prmera etapa del sguete modo: σ S () ( ) ( ) 0 0 j j 0 j 0 [ j j 0 () ( ) 0 ] para,, k A cotuacó, se calcula el úmero total de repetcoes, N t, que es ecesaro realzar para cada alteratva medate la expresó: N max o h +, ( ) S ( ) 0 d dode: x dca el meor úmero etero que es mayor o gual al úmero real x. h se obtee de la tabla sguete, y depede de k, P y 0 :

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