Base positiva: resultado siempre positivo. Base negativa y exponente par: resultado positivo. Base negativa y exponente impar: resultado negativo

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1 CAPÍTULO : POTENCIAS Y RAÍCES. POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO. PROPIEDADES.. Potecis de epoete turl. Recuerd que: Ddo, u úmero culquier, y, u úmero turl, l poteci es el producto del úmero por sí mismo veces E form desrrolld, l poteci de se y epoete se escrie: =, veces, siedo culquier úmero y u úmero turl =, veces () = () () () () (), veces. L se puede ser positiv o egtiv. Cudo l se es positiv el resultdo es siempre positivo. Cudo l se es egtiv, si el epoete es pr el resultdo es positivo, pero si es impr el resultdo es egtivo. Si clculmos los ejemplos de rri tedremos: = =. Resultdo positivo porque multiplico u úmero positivo veces. () = () () () () () =. Multiplico u úmero egtivo u úmero impr de veces, por lo que el resultdo es egtivo. Cd vez que multiplicmos dos veces dos úmeros egtivos os d uo positivo, como teemos, quedrí u sigo meos si multiplicr, luego (+) () = (). Recuerd que: Actividdes resuelts: Clcul ls siguietes potecis: ) () = () ( ) ( ) ( ) ( )= ) = = c) () = ( ) = Actividdes propuests. Clcul ls siguietes potecis: ) ) ( + ) c) () Potecis de epoete egtivo: Defiició de poteci de epoete egtivo y se : = / Esto se justific y que se dese que se sig verificdo ls propieddes de ls potecis: m / = m. m / m+ = m (m + ) = = /. es lo mismo que (/). Mtemátics º de ESO. Cpítulo º: Potecis y ríces LirosMreVerde.tk Bse positiv: resultdo siempre positivo. Bse egtiv y epoete pr: resultdo positivo. Bse egtiv y epoete impr: resultdo egtivo. PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS. EJEMPLOS: Ls propieddes de ls potecis so: ) El producto de potecis de l mism se es igul otr poteci de l mism se y como epoete l sum de los epoetes: m = m+ = ( ) ( ) = + = ) El cociete de potecis de l mism se es igul otr poteci que tiee como se l mism, y como epoete l difereci de los epoetes: : m = m / = ( ) / ( ) = - = c) L poteci de u poteci es igul l poteci cuyo epoete es el producto de los epoetes: ( ) m = m ( ) = ( ) ( ) ( ) = d) El producto de potecis de distit se co el mismo epoete es igul otr poteci cuy se es el producto de ls ses y cuyo epoete es el mismo: = ( ) Autor: José Atoio Eco de Lucs Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

2 = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) e) El cociete de potecis de distit se y el mismo epoete es igul otr poteci cuy se es el cociete de ls ses y cuyo epoete es el mismo: / = (/) 8 / = (8 8 8) / ( ) = (8/) (8/) (8/) = (8/) Tods ests propieddes de ls potecis que se h citdo pr los epoetes turles sigue siedo válids pr otros epoetes: egtivos, frcciorios Actividdes resuelts: Clcul ls siguietes opercioes co potecis: ) 9 = ( ) = = 9 ) ( ) = = 9 c) / 0 = 0 = d) / = ( ) = + = 9 Actividdes propuests. Efectú ls siguietes opercioes co potecis: ) ( + ) ( + ) ) ( + ) : ( + ) c) {( ) } d) ( + ) ( + ). POTENCIAS DE EXPONENTE RACIONAL.RADICALES.. Potecis de epoete rciol. Defiició. Se defie l poteci de epoete frcciorio y se como: r/s = s / Epoetes frcciorios: ( ) Ls propieddes citds pr ls potecis de epoete etero so válids pr ls potecis de epoetes frcciorios / Rdicles. Defiició. Ejemplos Se defie ríz -sim de u úmero, como el úmero que verific l iguldd =. = Siedo: es el ídice, es el rdicdo y es l ríz -sim de Importte: siempre es positivo. No eiste l ríz. Oserv que se puede defiir: / = y que: ( / ) = (/) = =. Como / stisfce l mism propiedd que dee ser cosiderdos como el mismo úmero. ( ) / 8 ( ) ( ) / 8 / =.. Propieddes de los rdicles. Ejemplos. Ls propieddes de ls potecis eucids teriormete pr el cso de epoetes frcciorios, tmié se puede plicr ls ríces: ) Si multiplicmos el ídice de u ríz por u úmero p,y l vez elevmos el rdicdo ese úmero p el vlor de l ríz o vrí. Se verific p 0 se verific que : Demostrció:.p p p p. r L rdicció de ídice es l operció ivers de l potecició de epoete. Por l defiició de ríz -ésim de u úmero se verific que si es ríz, etoces: =.p p. 8 Mtemátics º de ESO. Cpítulo º: Potecis y ríces LirosMreVerde.tk Autor: José Atoio Eco de Lucs Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

3 8.. Se verific puesto que segú cmos de ver: ) Pr multiplicr ríces del mismo ídice, se multiplic los rdicdos y se hll l ríz de ídice comú:... Segú ls propieddes de ls potecis de epoetes eteros se verific que: ( ) c) Pr dividir ríces del mismo ídice se divide los rdicdos y se hll l ríz del ídice comú. Supoemos que 0 pr que teg setido el cociete. Si escriimos: ( ). d) Pr elevr u rdicl u poteci st co elevr el rdicdo dich poteci: Est propiedd l podemos demostrr como sigue: m ( ) m. m m m m m e) L ríz de u ríz es igul l ríz cuyo ídice es el producto de los ídices: Se verific que: Actividdes resuelts: m m m m. m m y Reduce ídice comú los siguietes rdicles: ) ( ) ; ) Sc fctores fuer de l ríz: y ( y ; 0 ) ( ) (y 0. ) y 08 Poer los siguietes rdicles como u sol ríz: Actividdes propuests. Clcul: 9 ) (. ) ) c) ( ( ) ). Hllr ) : ) : y y. Reliz ls siguietes opercioes co rdicles: ) : y y Mtemátics º de ESO. Cpítulo º: Potecis y ríces LirosMreVerde.tk ) ( ( ) ) Autor: José Atoio Eco de Lucs Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

4 9. OPERACIONES CON RADICALES: RACIONALIZACION... Opercioes. Defiició. Ejemplos RECUERDA: Sum y rest de rdicles: Pr sumr y restr rdicles estos dee de ser idéticos: Pr sumr estos rdicles hy que sumr sus epresioes proimds. Si emrgo l epresió: si se puede sumr y restr puesto que sus rdicles so idéticos Por ls propieddes de los rdicles podemos scr fctores del rdicl dejdo que todos los rdicles se idéticos: ( ) Producto de rdicles: Pr multiplicr rdicles deemos covertirlos e rdicles de igul ídice y multiplicr los rdicdos:.- Clculmos el m.c.m.de los ídices.- Dividimos el m.c.m etre cd ídice y lo multiplicmos por el epoete del rdicdo y simplificmos ( ) Divisió de rdicles: Pr dividir rdicles deemos coseguir que teg igul ídice, como e el cso terior y después dividir los rdicles...( ) Ríz de u ríz: Es l ríz cuyo ídice es el producto de los ídices (segú se demostró e l propiedd e), y después simplificmos etryedo fctores fuer el rdicl si se puede. y = y = y y Etre fctores del rdicl: 8 = y y y y PARA PODER SUMAR O RESTAR RADICALES ES NECESARIO QUE TENGAN EL MISMO ÍNDICE Y EL MISMO RADICANDO. SOLO CUANDO ESTO SUCEDE PODEMOS SUMAR O RESTAR LOS COEFICIENTES O PARTE NUMERICA DEJANDO EL MISMO RADICAL 0 RECUERDA: Pr etrer fctores del rdicl se dee cumplir que el epoete del rdicdo se myor que el ídice de l ríz. opcioes: Se divide el epoete del rdicdo etre el ídice de l ríz, el cociete idic el úmero de fctores que etrigo y el resto los que se qued detro. Se descompoe los fctores del rdicdo elevádolos l mismo ídice de l ríz, cd epoete que coicid co el ídice, sldrá el fctor y los que sore se qued detro Los fctores que podrímos etrer serí el, y el, de l siguiete mer: Dividimos el epoete de l,, etre, y que el ídice de l ríz es, y teemos de cociete y de resto, por lo que sldrá dos y qued detro. Mtemátics º de ESO. Cpítulo º: Potecis y ríces LirosMreVerde.tk Autor: José Atoio Eco de Lucs Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

5 0 De igul form pr l y, dividimos etre y oteemos de cociete y uo de resto, por lo que sle y y se qued otr detro. Vemos:.. y y y y y y Actividdes propuests. Escrie jo u solo rdicl y simplific: Clcul y simplific:.y..y.y 8. Reliz l siguiete operció: 9 9. Clcul y simplific: 8.. Rciolizció. Ejemplos. Rciolizr u frcció lgeric cosiste e ecotrr otr equivlete que o teg rdicles e el deomidor. Pr ello, hy que multiplicr umerdor y deomidor por l epresió decud. Cudo e l frcció solo hy moomios, se multiplic y divide l frcció por u mismo úmero pr coseguir completr e el deomidor u poteci del mismo epoete que el ídice de l ríz.. Multiplicmos y dividimos por pr oteer e el deomidor u curt poteci y quitr el rdicl. Cudo e l frcció prece e el deomidor iomios co ríces cudrds, se multiplic y se divide por u fctor que proporcioe u difereci de cudrdos, este fctor es el fctor cojugdo del deomidor. (, su cojugdo es: ( ). Otro ejemplo: ( ) su cojugdo es: ( ) Multiplicmos por el cojugdo del deomidor que e este cso es: ( Actividdes propuests 0. Rcioliz l epresió:. Rcioliz:. Rcioliz: ( ) ( )(.... y y ) Mtemátics º de ESO. Cpítulo º: Potecis y ríces LirosMreVerde.tk Autor: José Atoio Eco de Lucs Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

6 . NOTACION CIENTÍFICA... Defiició. Ejemplos. L otció cietífic se utiliz pr escriir úmeros muy grdes o muy pequeños. L vetj que tiee sore l otció deciml es que ls cifrs se os d cotds,co lo que el orde de mgitud del úmero es evidete. U úmero puesto e otció cietífic cost de: U prte eter formd por u sol cifr que o es el cero.(l de ls uiddes) El resto de ls cifrs sigifictivs puests como prte deciml U poteci de se 0 que d el orde de mgitud del úmero. N =,cd... 0 siedo: su prte eter (solo u cifr) c d su prte deciml 0 L poteci eter de se 0 Si es positivo, el úmero N es grde. Y si es egtivo, etoces N es pequeño,8 0 (= ): Número grde., 0-8 (=0, ): Número pequeño... Opercioes co otció cietífic Pr operr co úmeros ddos e otció cietífic se procede de form turl, teiedo e cuet que cd úmero está formdo por dos fctores: l epresió deciml y l poteci de se 0. El producto y el cociete so imeditos, mietrs que l sum y l rest eige preprr los sumdos de modo que teg l mism poteci de se 0 y, sí poder scr fctor comú. (, 0 ) (, 0 8 ) = (,,) 0 +8 =,0 0 =,0 0, 0 ( 8) ) (, :, ) 0 0, 80 8, 0 8, 0 RECUERDA: Pr multiplicr úmeros e otció cietífic, se multiplic ls prtes decimles y se sum los epoetes de l poteci de se 0. Pr dividir úmeros e otció cietífic, se divide ls prtes decimles y se rest los epoetes de l poteci de se 0. Si hce flt se multiplic o se divide el úmero resultte por u poteci de 0 pr dejr l prte deciml co u sol cifr e l prte eter c),8 0 +,9 0, 0 0 =, = (,8 +,9 ) 0 9 = = 8,8 0 9 =,88 0 RECUERDA: Pr sumr o restr úmeros e otció cietífic, hy que poer los úmeros co l mism poteci de se 0, multiplicdo o dividiedo por potecis de se 0. Se sc fctor comú l poteci de se 0 y después se sum o rest los úmeros decimles queddo u úmero deciml multiplicdo por l poteci de 0. Por último si hce flt se multiplic o se divide el úmero resultte por u poteci de 0 pr dejr l prte deciml co u sol cifr e l prte eter Actividdes propuests. Clcul: ) (,8 0 - ) (,8 0 ) ) (, 0 - ): (, 0 - ). Efectú y epres el resultdo e otció cietífic:.0.0,.0 ) ), Reliz ls siguietes opercioes y efectú el resultdo e otció cietífic: ) (, 0 -, 0 ) ) (,8 0 - ) Mtemátics º de ESO. Cpítulo º: Potecis y ríces LirosMreVerde.tk Autor: José Atoio Eco de Lucs Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

7 . LOGARITMOS:.. Defiició: El logritmo de u úmero m, positivo, e se, positiv y distit de uo, es el epoete l que hy que elevr l se pr oteer dicho úmero. Si > 0, log m = z m = z Los logritmos más utilizdos so los logritmos decimles o logritmos de se 0 y los logritmos eperios (llmdos sí e hoor Neper) o logritmos e se e(e es u úmero irrciol cuys primers cifrs so: e =,888 ). Amos tiee u otció especil: log 0 m = log m log e m = l m log 9 = 9 = log = = log 000 = 000 = 0 l e = e = e Como cosecuecis imedits de l defiició se deduce que: El logritmo de es cero (e culquier se) Demostrció: Como 0 =, por defiició de logritmo, teemos que log = 0 log = 0 log = 0 log = 0 El logritmo de l se es. Demostrció: Como =, por defiició de logritmo, teemos que log = log = log = log = log = Solo tiee logritmos los úmeros positivos, pero puede her logritmos egtivos. U logritmo puede ser u úmero turl, etero, frcciorio e icluso u úmero irrciol Al ser l se u úmero positivo, l poteci uc os puede dr u úmero egtivo i cero. log () No eiste log 0 No eiste. log 00 = 00 = 0. log 0, = 0, = 0. log 0 = / 0 = 0 /. log = 0,000.. Actividdes resuelts: log 8 = = 8 = = log 8 = = 8 = = log = = () / = ( ) / = / Actividdes propuests:. Copi l tl djut e tu cudero y emprej cd logritmo co su poteci: El logritmo de es cero (e culquier se) El logritmo de l se es. Solo tiee logritmos los úmeros positivos. = log = 0 0 = = = log = 0 = log = = log = 0 log = log = = log 8 = log = = 8. Clcul utilizdo l defiició de logritmo: ) log ) log c) log d) log 0. Clcul utilizdo l defiició de logritmo: ) log ) log 0 00 c) log / (/) d) log Clcul utilizdo l defiició de logritmo: ) log = ) log / = c) log =. Clcul utilizdo l defiició de logritmo: ) log + log / log 9 log ) log / + log / log Mtemátics º de ESO. Cpítulo º: Potecis y ríces LirosMreVerde.tk Autor: José Atoio Eco de Lucs Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

8 .. Propieddes de los logritmos:. El logritmo de u producto es igul l sum de los logritmos de sus fctores: log ( y) = log + log y Demostrció: Llmmos A = log y B = log y. Por defiició de logritmos semos que: A = log A = B = log y B = y Multiplicmos: y = A B = A+B log y = A + B = log + log y. log ( ) = log + log. El logritmo de u cociete es igul l logritmo del dividedo meos el logritmo del divisor: log (/y) = log log y Demostrció: Llmmos A = log y B = log y. Por defiició de logritmos semos que: A = log A = B = log y B = y Dividimos: / y = A / B = A-B log ( / y) = A B = log log y. log (/ ) = log log. El logritmo de u poteci es igul l epoete multiplicdo por el logritmo de l se de l poteci: log y = y.log Demostrció: Por defiició de logritmos semos que: A = log A = ( A ) y = y = Ay Ay = log y = y log log = log. El logritmo de u ríz es igul l logritmo del rdicdo dividido por el ídice de l ríz: log log Demostrció: Teiedo e cuet que u ríz es u poteci de epoete frcciorio. log log. Cmio de se: El logritmo e se de u úmero es igul l cociete de dividir el logritmo e se de por el logritmo e se de : log log log Est epresió se cooce co el omre de fórmul del cmio de se. Ls clculdors sólo permite el cálculo de logritmos decimles o eperios, por lo que, cudo queremos utilizr l clculdor pr clculr logritmos e otrs ses, ecesitmos hcer uso de ést fórmul. log, 099 log, 9 log 0, 00 Actividdes resuelts: Desrrollr ls epresioes que se idic: log c log log log c log log log c log log c log log log log( y z) ( log log y log z) log log y log y z y z log + Mtemátics º de ESO. Cpítulo º: Potecis y ríces LirosMreVerde.tk z Escrie co u úico logritmo: log log log c log log log c log log c (log log log c ) (log log ) log ( c ) log (. ) log Epres los logritmos de los siguietes úmeros e fució de log = 0,000: ) log= log = log = 0,000 = 0,000 ) 0 log0 = log 0 = 0 log = 0 0,000 =,000 Autor: José Atoio Eco de Lucs Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

9 Actividdes propuests:. Desrroll ls epresioes que se idic: ) l e. Epres los logritmos de los úmeros siguietes e fució de log = 0, ) 8 ) c) Simplific l siguiete epresió: log m log t log p log h RESUMEN: ) log c. d Ejemplos Potecis de epoete turl y etero Propieddes de ls potecis Potecis de epoete rciol. Rdicles Propieddes de los rdicles Rciolizció de rdicles Notció cietífic. p - = / () = ().() = 9. ( ) ( ). m = m+ : m = -m ( ) m =.m. =(.) / =(/) r/s = s p r.. m m ( ) m m. Se suprime ls ríces del deomidor. Se multiplic umerdor y deomidor por l epresió decud (cojugdo del deomidor, rdicl del umerdor, etc.) () () = () + = () : = = ; ( ) = (). = () 0 () () = (() ()) / = (/) / ( ). ( ). ( ).( ( ) ), ,9 0 -, 0 0 =, = (,8+9-) 0 9 = 8,8 0 9 =,88 0 (, 0 ) (, 0 8 )=,0 0 =,0 0, ( 8) (, :, ) 0 8 0, 0 0, 80 8,. 0 Logritmos Si > 0, log m = z m = z log ( y) = log + log y log (/y) = log log y log y = y.log log (/ ) = log log log = log log log Mtemátics º de ESO. Cpítulo º: Potecis y ríces LirosMreVerde.tk Autor: José Atoio Eco de Lucs Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

10 Potecis:. Epres e form epoecil: ). Clcul: ) Rdicles: c). Epresr e form de rdicl: ) 9. Epresr e form epoecil: ) ( ) ) c). Epres como poteci úic: ) 8 ) c). Propieddes de los rdicles:. Simplific: m k d) EJERCICIOS Y PROBLEMAS: t ) t c) ( ) z d) ( ) e) (8 ) d) 8.y e) 8.y ) ( m ) c) [( ) ] d) d) ( ) e) ) ( ) ( f) ( ) e). f) g) ) 9 c ) c) d) 8 y y e) ( ) f)..c.y. Etrer fctores del rdicl: ) ) 8 c c) ( 0 8 ) d) d) e) 8 f) c y 8. Itroducir fctores e el rdicl: ). 9 ). c). d). e) f) Opercioes co rdicles: ). ) 0 8 c) d) : e) : f) 0 0. Efectú: ) ) 0 8 c) d) g) 0. e) 9 f) 8 8 g) 0 Rciolizr. Rcioliz los deomidores: ) ) c) d) e) f). Rcioliz y simplific: ) ) c). Efectú y simplific: ) ` d) e) ( ) ( ) (+ ) f) c) (- ) : ( Notció cietífic:. L ms del Sol es 0000 veces l de l Tierr, proimdmete, y est es,98 0 t. Epres e otció cietífic l ms del Sol, e kilogrmos.. El ser vivo más pequeño es u virus que pes del orde de 0-8 g y el más grde es l lle zul, que pes, proimdmete, 8 t. Cuátos virus serí ecesrios pr coseguir el peso de l lle?. Mtemátics º de ESO. Cpítulo º: Potecis y ríces LirosMreVerde.tk Autor: José Atoio Eco de Lucs Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

11 . Los cico píses más cotmites del mudo (Estdos Uidos, Chi, Rusi, Jpó y Alemi) emitiero illoes de toelds de CO e el ño 99, ctidd que represet el, % de ls emisioes de todo el mudo. Qué de CO se emitió e el ño 99 e todo el mudo?. Epres e otció cietífic: ) Recudció de ls quiiels e u jord de l lig de fútol: 8000 ) Toelds de CO que se emitiero l tmósfer e 99 e Estdos Uidos 8, miles de milloes. c) Rdio del átomo de oigeo: 0, m 8. Efectú y epres el resultdo e otció cietífic: ) ( 0 - ) (8 0 8 ) ) ( 0 - ) ( 0 - ) c) ( 0 ) : ( 0 - ) d), e)( 0 ) - 9. Epres e otció cietífic y clcul: 0, )(800) : (000) ) c) (0,00) (0,000) d) ,000 0,0000 0, Efectú y epres el resultdo e otció cietífic: 0 0, 0 ) ), 0 c)(, 0 -, 0 ) Que resultdo es correcto de l siguiete operció epresd e otció cietífic: (,.0 ) (8, 0 ): ),98 0 ),98 0 c),98 0 d),98 0 AUTOEVALUACION. El úmero 8 / vle: ) u dieciseisvo ) Dos c) U curto d) U medio.. Epres como poteci de se cd uo de los úmeros que v etre prétesis y efectú después l operció: / ( ) ( ) ( ). El resultdo es: 8 ) -/ ) -/ c) -/ d) -. El úmero: 8 es igul : ) / ) / c) / /9 d) 8. Cuál es el resultdo de l siguiete epresió si l epresmos como poteci úic?: ) ) c). d). Simplificdo y etryedo fctores l siguiete epresió tiee u vlor:. c )...c. c )..c.. c c)...c.. c d)...c.. c. Cuál de los siguietes vlores es igul /?. ) / ) /. - c) ( ) d). -. Cuál es el resultdo de est operció co rdicles?: ) ) 8 c) 8. d). 8. U epresió co u úico rdicl de: ( ) ( ) está dd por: ).( ) ( ) ) 8.( ).( ) c) 8.( ) 9.( ) d).( ).( ) 9. Pr rciolizr l epresió: hy que multiplicr umerdor y deomidor por: c) + d) ) ) 0. Cuál es el resultdo e otció cietífic de l siguiete operció?:, ,9 0, 0 0 ),88.0 ),88 0 c),8 0 d),88 0 0, 0. Cuál es el resultdo de l siguiete operció epresdo e otció cietífic?:, 0 ) 0,8.0 ) 8, 0 c) 8, 0 d) 8,.0 Mtemátics º de ESO. Cpítulo º: Potecis y ríces LirosMreVerde.tk Autor: José Atoio Eco de Lucs Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

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