LOGRO: Reconoce distintas representaciones de los números reales y usa sus propiedades para resolver Problemas.

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1 ESTANDARES Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos. Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos. LOGRO: Reconoce distintas representaciones de los números reales y usa sus propiedades para resolver Problemas. INDICADORES: Reconoce el conjunto de los números Reales como la unión de los Racionales y los Irracionales Aplica las propiedades para realizar operaciones con números reales Ubica números reales en la recta numérica Resuelve problemas con números Reales NÚMEROS NATURALES Tal como nos sugiere el adjetivo naturales, estos son los primeros números que todos usamos: igual que los niños aprenden a contar usando sus dedos, los seres humanos comenzaron a contar objetos o animales. De forma natural, nosotros contamos: 1, 2, 3, etc. Sin embargo, y es algo que preocupa mucho a los matemáticos, los números naturales comienzan en el 0, no en el 1! Todos los números usados en matemáticas se derivan de los números enteros positivos, también llamados naturales. Se usa la letra N para designar al conjunto de todos los números naturales. Características de los números naturales: Es un conjunto ordenado Tiene primer elemento, pero no tiene último elemento. Con los números naturales realizamos operaciones de: Adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación, radicación y logaritmación. NÚMEROS ENTEROS Los números enteros están formados por los enteros positivos, los enteros negativos y el cero. El 0 no se considera ni positivo ni negativo. El valor absoluto de un número entero es el que se obtiene al prescindir de su signo. El opuesto de un número entero es el número con el mismo valor absoluto pero con distinto signo Para comparar números enteros, debemos tener en cuenta: Cualquier positivo es mayor que cualquier negativo. Cualquier negativo es menor que cero. Entre dos negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto; es decir, el que esté más próximo a 0 en la recta numérica OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS SUMA DE NÚMEROS ENTEROS Para sumar enteros del mismo signo: Se suman sus valores absolutos. El resultado tiene el mismo signo que el de los números que se suman. Por ejemplo (+100) = ( 30) = 70

2 Para sumar enteros de diferente signo: Se restan sus valores absolutos. Al resultado se le coloca el signo del que tenga mayor valor absoluto. Por ejemplo: RESTA DE +8 + ( 3) = (+9) = +4 NÚMEROS ENTEROS Para restar dos números enteros, sumamos al primero el opuesto del segundo. Ejemplos: (+8) (+6) = (+8) + ( 6) = +2 ( 20) ( 4) = ( 20) + (+4) = 16 ( 15) ( 13) = ( 15) + (+13) = 2 La regla de los signos El producto o el cociente de dos enteros del mismo signo son siempre positivos. + x + = = + - x - = = + El producto o cociente de dos enteros de distinto signo es siempre negativo. - x + = = - + x - = = - MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para multiplicar dos números enteros: Se multiplican sus valores absolutos. El signo del resultado es el que resulta de aplicar la regla de los signos. Por ejemplo: (+8) ( 7) = 56 ( 9) ( 12) = +108 DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para dividir dos números enteros: Se dividen sus valores absolutos. El signo del resultado es el que resulta de aplicar la regla de los signos. Por ejemplo:

3 POTENCIA DE NÚMEROS ENTEROS: La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas: 1. Las potencias de exponente par son siempre positivas. 2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base. Propiedades 1. a 0 = 1 2. a 1 = a 3. Producto de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes. a m a n = a m+n ( 2) 5 ( 2) 2 = ( 2) 5+2 = ( 2) 7 = División de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes. a m : a n = a m n ( 2) 5 : ( 2) 2 = ( 2) 5 2 = ( 2) 3 = 8 5. Potencia de una potencia: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes. (a m ) n = a m n [( 2) 3 ] 2 = ( 2) 6 = Producto de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases a n b n = (a b) n ( 2) 3 (3) 3 = ( 6) 3 = 216

4 7. Cociente de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases. a n : b n = (a : b) n ( 6) 3 : 3 3 = ( 2) 3 = 8 Operaciones combinadas Cuando encontramos diferentes operaciones en una misma expresión, hay que seguir un orden determinado orden: Para resolver operaciones combinadas es indispensable seguir estas reglas: 1º. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 2º. Calcular las potencias y raíces. 3º. Efectuar los productos y cocientes. 4º. Realizar las sumas y restas. Realizar las siguientes operaciones con números enteros 1 (3 8) + [5 ( 2)] = 2 5 [6 2 (1 8) 3 + 6] + 5 = 3 9 : [6 : ( 2)] = 4 [( 2) 5 ( 3) 3 ] 2 = 5 ( : 6 4 ) (4 : ) : (7 8 : 2 2) 2 = 6 [(17 15) 3 + (7 12) 2 ] : [(6 7) (12 23)] = (15 4) + 3 (12 5 2) + ( : 4) 5 + ( [15 ( : 2 )] [5 + (3 2 4 )] 3 + (8 2 3 ) NÚMEROS RACIONALES NUMEROS RACIONALES Llamamos números racionales al conjunto formado por todos los números enteros y todos los fraccionarios se lo designa por Q y se lo denomina conjunto de los números racionales Número racional es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. Los números enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a = a/1. Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. El conjunto de todos los números racionales se designa por Q.

5 Así como en el conjunto Z de los números enteros cada número tiene un siguiente (el siguiente al 7 es el 8, el siguiente al -5 es el -4), no pasa lo mismo con los racionales, pues entre cada dos números racionales existen infinitos números. Q= { m/n, m Z, n Z, n =0 } Los números racionales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse y el resultado es un número racional. Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario. Al expresar un número racional, no entero, en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódico. Si la fracción es irreducible y en la descomposición factorial del denominador sólo se encuentran los factores 2 y 5, entonces la fracción es igual a un número decimal exacto, pero si en el denominador hay algún factor distinto de 2 o 5 la expresión decimal es periódica; por ejemplo: COMPARACIÓN Toda fracción positiva es mayor que cualquier fracción negativa. Si las fracciones tienen igual denominador será mayor aquella cuyo numerador sea mayor. Si tienen distinto denominador se comparan las fracciones equivalentes a las dadas con igual denominador. SUMA y RESTA DE NÚMEROS RACIONALES Sumar y restar fracciones con igual denominador es muy sencillo. El resultado tendrá por numerador a la suma o resta de los numeradores y el denominador será el mismo. Si las fracciones no tienen el mismo denominador, se sustituyen por fracciones equivalentes con igual denominador (determinamos un denominador común). Luego se opera de la misma manera que en el cálculo anterior. PRODUCTO DE NÚMEROS RACIONALES La multiplicación de dos racionales es otro número racional que tiene: Por numerador el producto de los numeradores. Por denominador el producto de los denominadores. COCIENTE La división de dos Racionales es otro Racional que tiene: Por numerador el producto de los extremos. Por denominador el producto de los medios.

6 1º.Pasar a fracción los números mixtos y decimales. 2º.Calcular las potencias y raíces 3º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 4º.Efectuar los productos y cocientes. 5º.Realizar las sumas y restas. Primero operamos con las productos y números mixtos de los paréntesis. Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos en el último. Realizamos el producto y lo simplificamos. Realizamos las operaciones del paréntesis. Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado. EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1( 3) 1 ( 3) 3 ( 3) 4 = 2 ( 27) ( 3) ( 3) 2 ( 3) 0 = : 5 3 = : 5 3 = : 5 3 = 3 ( 3) 2 ( 3) 3 ( 3) 4 = = : 5 3 = 9 ( 3) 1 [( 3) 3 ] 2 ( 3) 4 =

7 10 [( 3) 6 : ( 3) 3 ] 3 ( 3) 0 ( 3) 4 = Realiza las siguientes operaciones con potencias: 3 Opera: 4 Efectúa 5 Calcula qué fracción de la unidad representa: 1La mitad de la mitad. 2La mitad de la tercera parte. 3La tercera parte de la mitad. 4La mitad de la cuarta parte. 6 Elena va de compras con 180. Se gasta 3/5 de esa cantidad. Cuánto le queda? 7 Dos automóviles A y B hacen un mismo trayecto de 572 km. El automóvil A lleva recorridos los 5/11 del trayecto cuando el B ha recorrido los 6/13 del mismo. Cuál de los dos va primero? Cuántos kilómetros lleva recorridos cada uno? 8 Hace unos años Pedro tenía 24 años, que representan los 2/3 de su edad actual. Qué edad tiene Pedro? 9 En las elecciones locales celebradas en un pueblo, 3/11 de los votos fueron para el partido A, 3/10 para el partido B, 5/14 para C y el resto para el partido D. El total de votos ha sido de Calcular: 1 El número de votos obtenidos por cada partido. 2El número de abstenciones sabiendo que el número de votantes representa 5/8 del censo electoral. 10 Un padre reparte entre sus hijos Al mayor le da 4/9 de esa cantidad, al mediano 1/3 y al menor el resto. Qué cantidad recibió cada uno? Qué fracción del dinero recibió el tercero?