IES Fernando de Herrera 13 de enero de 2014 Primer trimestre Examen de autoevaluación 1º Bach CCSS NOMBRE:

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1 IES Fernndo de Herrer de enero de 04 Primer trimestre Exmen de utoevlución º Bch CCSS NOMBRE: 7 ) ) Representr en l rect rel: b) Qué número es el indicdo en el gráfico? 0 ) Clculr el resultdo simplificdo de (no usr clculdor: ) ) Siendo A {,, }, clculr: [ 4, ) A y [ 4, ) A. b) Escribir en form de intervlo: A {xr / < x } y B {xr / x > } 4) Escribir en notción científic: ) 4, 0 b) 0,004 c) ) Simplificr plicndo propieddes de rdicles y potencis, de mner que el resultdo quede sin exponentes negtivos ni frccionrios y con el denomindor rcionlizdo: ) ( ) ( 8) ( 4) b) 4 c) ) Resolver y discutir (clsificr) el siguiente sistem por el método de Guss en su form mtricil (no es válido ningún otro método). Si tuvier más de un solución, demás de dr l form generl de tods ls soluciones, decir dos soluciones concrets: x y z 0 4x y z x 7y z 7) ) Fctorizr los siguientes polinomios: P(x) x 4 + x x ; Q(x) x + x b) Hllr el vlor de x que hce que el cociente de P(x) entre Q(x) vlg 0. 8) Hllr los vlores de y b pr que se exct l división del polinomio P(x) x 4 + x + bx 4 entre x +, y teng como resto si lo dividimos entre x +. ) Resolver l ecución: x+ 4 x + 0) Resolver: log ( x) log (7 x ) 0

2 IES Fernndo de Herrer de enero de 04 Primer trimestre Exmen de utoevlución º Bch CCSS SOLUCIONES 7 ) ) Representr en l rect rel: Si dividimos 7 entre nos result un dividendo entero igul con de resto. 7 Esto signific que. Así que vnzmos uniddes en sentido negtivo sobre l rect rel y seguimos / más, esto es, dividimos el trozo entre 4 y en prtes igules (cutro mrcs intermedis) y tommos l segund contndo de derech izquierd (porque vnzmos en sentido negtivo, o se, 4 0 decreciendo. b) Qué número es el indicdo en el gráfico? El trmo entre y (que es un unidd) está dividido en prtes igules 0 (medinte mrcs intermedis). Nuestro número es l ª de ests mrcs contndo en sentido negtivo (decreciente, hci l izquierd), por lo que se trt de / más l izquierd que. Luego es: 77 ) Clculr el resultdo simplificdo de (no usr clculdor): Es muy recomendble simplificr lo ntes posible. Y esto consiste en dividir un fctor (no sumndo ni prte de sumndo, sino un número que esté multiplicndo) del numerdor y otro del denomindor entre un mismo número, sustituyendo cd uno de ellos por el resultdo de dich división (esto es l propiedd fundmentl de ls frcciones). Recordr que no es posible relizr, puesto que no es un sumndo, sino prte del primer sumndo: ) ) Siendo A {,, }, clculr: [ 4, ) A y [ 4, ) A. L intersección de dos conjuntos es otro conjunto formdo por los elementos que están en mbos conjuntos l vez. Por tnto, y ddo que y están en mbos conjuntos, pero pertenece A pero no B: [ 4, ) A {, }. IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

3 IES Fernndo de Herrer de enero de 04 Primer trimestre Exmen de utoevlución º Bch CCSS Por otr prte, pr que un elemento esté en l unión de dos conjuntos, bst con que pertenezc lguno de los dos. Como y están en mbos, el único elemento nuevo que port A l intervlo es el. En consecuenci: [ 4, ) A [ 4, ] b) Escribir en form de intervlo: A {xr / < x } y B {xr / x > } Según ls definiciones de intervlo: A {xr / < x } (, ] (no entr pero sí ) B {xr / x > } (, +) (no entr ni ni +, que no es un número) 4) Escribir en notción científic: ) 4, 0 b) 0,004 c) Convertimos el número que está en notción hbitul notción científic y multiplicmos, después, ls potencis de 0, en sus csos: 4, 0 4, 0 0-4, 0 0,004 4, , , 0 0 ) Simplificr plicndo propieddes de rdicles y potencis, de mner que el resultdo quede sin exponentes negtivos ni frccionrios y con el denomindor rcionlizdo: ( ) ( 8) ) ( 4) Si el exponente es impr, positivo o negtivo, el resultdo de un potenci de bse negtiv es, tmbién, negtivo. Pero si el exponente es pr, el resultdo de l potenci será positivo. Por otr prte, un exponente negtivo se convierte en positivo cmbindo l potenci complet de un ldo otro de l frcción siempre que dich potenci se fctor (esté multiplicndo). Así: ( ) ( 8) ( 4) 4 ( 8) 4 ( 8 ) Pr poder unificr ls potencis, intentmos hcer coincidir ls bses: 4 4 ( ) ( ) ( ) 4 b) 4 Pr introducir un fctor en un rdicl, se multiplic el exponente del fctor por el índice del rdicl. Y l ríz de un ríz (sin nd entre ells) es otr ríz con el índice resultnte de multiplicr los índices originles. Y pr rcionlizr el denomindor, multiplicmos por un ríz del mismo índice con los mismos fctores elevdos exponentes tles que, l sumrlos con los de prtid, resulten potencis con exponentes múltiplos del índice: IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

4 IES Fernndo de Herrer de enero de 04 Primer trimestre Exmen de utoevlución º Bch CCSS pr multiplicr dos rdicles, necesitmos que tengn el mismo índice. Pr ello, multiplicmos índice y exponentes por un mismo número: c) Pr rcionlizr un denomindor que conteng ríces cudrds en un sum o rest, multiplicmos y dividimos por el conjugdo del denomindor: ( ( ) ) ( En un expresión simplificd, el signo no debe quedr fectndo todo el denomindor: 7 8 ( 7 8 ) 7 8 ( ) ( ) ) ) Resolver y discutir (clsificr) el siguiente sistem por el método de Guss en su form mtricil (no es válido ningún otro método). Si tuvier más de un solución, demás de dr l form generl de tods ls soluciones, decir dos soluciones concrets: x y z 0 4x y z x 7y z Tringulrizmos l mtriz mplid. Recordr que no se pueden buscr 0 en l column de términos independientes (l últim): F F 4 0 F F F F Y está tringulrizd. Al ser l últim fil complet de 0, l eliminmos. Quedn, entonces, ecuciones con incógnits, por lo que estmos nte un sistem comptible indetermindo. Reconstruimos el sistem y lo resolvemos: x y z 0 x y Llmmos x t (le dmos un vlor rbitrrio y fijo un de ls incógnits, que no se z, porque en ell hy uno de los 0 de l tringulrizción y nos resultrí lgo más lrgo resolver l ecución, unque tmbién lo conseguirímos). Psándol l segundo miembro, el sistem será: IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

5 IES Fernndo de Herrer de enero de 04 Primer trimestre Exmen de utoevlución º Bch CCSS t y z t ª ec : y y t t t t 8 t 8 t ª ec : z t z t t L form de ls infinits soluciones es, entonces: t,, Nos piden dos soluciones concrets: t 0 (0, /, /) t (,, ) 7) ) Fctorizr los siguientes polinomios: P(x) x 4 + x x ; Q(x) x + x Fctorizmos P(x) por Ruffini: Llegdos este punto, no encontrmos cómo seguir. Así que intentmos fctorizr el polinomio igulándolo cero y resolviendo l ecución de segundo grdo resultnte: x + x + 0 (Multiplicndo mbos miembros por /): x + x x que no tiene solución, puesto que no existe l ríz de un número negtivo. Por tnto, como no conocemos ls 4 ríces posibles del polinomio de grdo 4, no es plicble el Teorem de Descomposición Fctoril de Polinomios, por lo que l fctorizción es l que hemos obtenido por Ruffini: P(x) x 4 + x x (x )(x + )(x + x + ) Fctorizmos Q(x). Como es de grdo, en lugr de probr por Ruffini, lo igulmos cero y verigumos sus ríces: 4 x 4 + x 0 x Como conocemos ls ríces del polinomio, que es de grdo, plicmos el Teorem de Descomposición Fctoril de Polinomios: Q(x) x + x (x + )(x + /) b) Hllr el vlor de x que hce que el cociente de P(x) entre Q(x) vlg 0. 4 x x x Lo que nos piden es resolver l ecución: 0 x x Los dos polinomios los tenemos descompuestos, por lo que podemos simplificr l ecución: IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin 4 de

6 IES Fernndo de Herrer de enero de 04 Primer trimestre Exmen de utoevlución º Bch CCSS 4 x x x 0 x x ( x )( x )(x x ) 0 ( x )( x / ) ( x )( x x ) 0, si x, x / ( x )( x / ) ( x )( x x ) 0, si x, x / ( x )( x / ) Como el denomindor no se puede nulr nunc, no hbrí que especificr que tiene que ser x /, porque y se ve que hce 0 el denomindor; pero hemos de señlr que tiene que ser x, porque es informción se h perdido en l simplificción. Un frcción se hce 0 si y solmente si lo hce el numerdor, pero no el denomindor. De modo que l solución de est ecución son los vlores que nulen el numerdor, pero, de ellos, hy que descrtr los que tmbién nulen el denomindor. En este cso, l hber hecho l simplificción, y hn sido descrtdos los que nuln tmbién el denomindor, pero recordmos l teorí generl. Así, l solución l obtendremos de: (x + )(x x 0 x + x + ) 0 x x 0, no tiene solución Lo que se h resuelto teniendo en cuent que un producto vle 0 si, y sólo si, lguno de los fctores se nul. Por tnto, l solución finl es x. 8) Hllr los vlores de y b pr que se exct l división del polinomio P(x) x 4 + x + bx 4 entre x +, y teng como resto si lo dividimos entre x +. Por el Teorem del Resto, el resto de dividir P(x) entre x ( ) es igul P( ). Por tnto, debe ocurrir: P( ) 0 ( ) 4 + ( ) + b( ) b b b 4 De l mism form, como el resto de l división entre x + vle : P( ) ( ) 4 + ( ) + b( ) 4 7 b b 7 + b 0 + b 4 Nos h queddo un sistem de dos ecuciones con dos incógnits, que resolvemos por reducción: 4 b 4 Sustituyendo en l ª ec : b 4 b 4 b 0 4 Por tnto: 4, b y el polinomio es: P(x) x 4 + 4x x 4. ) Resolver l ecución: x+ 4 x + Intentremos conseguir que x quede en un único lugr. De no logrrlo, probremos un cmbio de incógnit: x+ 4 x + x 4 x ( x ) (/4) ( ) x ( x ) (/4) () 4x ( x ) (/4) ( x ) Y llmndo t x, qued: t (/4) t Mult. por 4: 8t t IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

7 IES Fernndo de Herrer de enero de 04 Primer trimestre Exmen de utoevlución º Bch CCSS Se trt de un ecución bicudrd. Hcemos un nuevo cmbio de incógnit y multiplicmos por. El cmbio es t : Deshcemos el último cmbio: Si /, como t t /, lo que no es posible. Si 4 t 4 t 8. Deshcemos el otro cmbio: Si t 8, como t x x 8 x x. 0) Resolver: log ( x) log (7 x ) 0 Y que no es posible desrrollr logritmo de un sum o rest, no nos qued más remedio que intentr eliminr los logritmos: log ( x) log (7 x ) 0 log ( x) log (7 x ) 0 ( x) ( x) log log ( x) 7 x 7 x 7 x 08x 8x x 7 x 8x 08x 44 0 x x Pr desrrollr ( x) hemos de multiplicr ( x) por sí mismo tres veces. Nosotros hemos puesto y el resultdo. Ls soluciones de l ecución de segundo grdo l que hemos llegdo son y 4. Como ningun de ells nul los rgumentos de los logritmos de l ecución inicil, son válids. Luego ls soluciones son: x ó x 4. IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

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