Tema 3. Sistemas de ecuaciones lineales

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1 Memáics Aplicds ls Ciencis Sociles II Álger: Sisems de ecuciones lineles Tem Sisems de ecuciones lineles Sisems de dos ecuciones lineles con dos incógnis (Repso) c Su form más simple es (,, c,, c son números culesquier) c Son lineles porque ls incógnis e llevn eponene ; mpoco se muliplicn o dividen L solución de un sisem es un pr de vlores de e que cumple ls dos ecuciones l ve Cundo l solución es únic se dice que es compile deermindo (SCD) Si iene infinis soluciones se dice que es compile indeermindo (SCI) Si no iene solución se llm incompile (SIN) Inerpreción geoméric Cd ecución de l form c deermin los punos de un rec en el plno Por no, un sisem de dos ecuciones lineles esá socido dos recs que puedes corrse (SCD), coincidir (SCI) o ser prlels (SIN) Méodos de resolución Méodo de susiución: Se despej un incógni en un de ls ecuciones su vlor se susiue en l or Se oiene un nuev ecución, cu solución permie hllr l del sisem 8 jemplo: Pr resolver por susiución el sisem se procede sí: ) Se despej en l segund ecución ( ) ) Se llev (se susiue) su vlor l primer ecución: ( ) 8 ) Se resuelve l nuev ecución: ( ) 8 8 ) l vlor se llev l ecución despejd: L solución del sisem es: e Méodo de reducción: Se muliplic cd ecución por un número disino de, con el fin de que los coeficienes de un de ls incógnis sen igules (u opuesos) Resndo (o sumndo) ms ecuciones se oiene un nuev ecución cu solución permie hllr l del sisem 8 jemplo: Pr resolver por reducción el sisem puede procederse como sigue: 8 ) Se muliplic l segund ecución por : ) Se sumn ms ecuciones érmino érmino Se oiene: ) se vlor,, se susiue en culquier de ls ecuciones Se oiene Méodo de igulción: Se despej l mism incógni en ls dos ecuciones Igulndo ms incógnis se oiene or ecución L solución de es nuev ecución permie hllr l solución del sisem wwwmemicsjmmmcom José Mrí Mríne Medino

2 Memáics Aplicds ls Ciencis Sociles II Álger: Sisems de ecuciones lineles Sisems lineles indeermindos ( ): cómo se resuelven? Cundo un sisem iene infinis soluciones recie el nomre de compile indeermindo (SCI) Ls ecuciones que conformn esos sisems se repien: son equivlenes; sus gráfics se corresponden con dos recs idénics Algericmene, l rnsformr ls igulddes se llegrí l iguldd jemplo: l sisem es compile indeermindo L segund ecución es el dole de l primer: son ecuciones equivlenes Por no: {, pues l segund ecución sor (es reieriv) n esos csos, ls soluciones (que son infinis) deen drse dependiendo de un de ls incógnis (que ps considerrse un prámero), recien el nomre de soluciones o ecuciones prmérics n el ejemplo que nos ocup resul más fácil despejr en función de, que l revés Así, en l primer ecución () se deduce que Dndo vlores se oienen ls disins soluciones del sisem Así, si, ; si, ; si, Or lerniv (l recomendd) consise en hcer λ escriir él conjuno de λ soluciones en l form: ( λ indic culquier número rel) λ Tmién podrí escriirse ; o culquier or ler Si en se despej en función de, se endrí: ; si se dice que (o culquier or ler) s solución es prenemene disin de l nerior, pero ms genern los mismos pres de soluciones (Comprue que pr ; ;, los vlores de son los ddos rri) jemplo (de discusión resolución cundo el sisem resul compile indeermindo) l sisem se puede discuir resolver como sigue: m (Resndo) m m ( m ) SCI Si m, l segund ecución qued ( ) Pr culquier oro vlor se m, l ª ecución qued ( ) m SCD Por no, si m, el sisem (SDI) m Pr cd vlor de se oiene un vlor de Por ejemplo, si, ; si, L solución suele drse en l form:, siendo culquier número rel: R wwwmemicsjmmmcom José Mrí Mríne Medino

3 Memáics Aplicds ls Ciencis Sociles II Álger: Sisems de ecuciones lineles 7 Sisems de res ecuciones con res incógnis Definiciones Un sisem de res ecuciones lineles de con res incógnis, en su form esándr, es un conjuno de res igulddes de l form: Ls lers i, ij i represenn, respecivmene, ls incógnis, los coeficienes los érminos independienes (Se llm linel porque ls incógnis siempre vn fecds por el eponene, que no se indic Ls incógnis, suelen designrse por ls lers,,, respecivmene Los coeficienes o los érminos independienes pueden ser ) L solución del sisem es el conjuno de vlores de, que verificn sus ecuciones Dos sisems son equivlenes si ienen ls misms soluciones Discuir un sisem es deerminr sus posiiliddes de solución Puede ser: compile deermindo, cundo el sisem iene un únic solución (SCD) compile indeermindo, si iene infinis soluciones (SCI) incompile, cundo no iene solución (SIN) jemplos: ) L ern,, es solución del sisem Cumple ls res ecuciones (Compruéese) n cmio,,, no es solución: cumple l primer segund ecuciones; pero no l ercer ) Los sisems son equivles, pues mos ienen por 7 8 solución los vlores,, (Puede comprorse) Oservción: Un form sencill de oener sisems equivlenes consise en sumr o resr ls ecuciones enre sí Aquí, el segundo sisem se h oenido cmindo por, por c) Los sisems son compiles indeermindos Amos ienen infinis soluciones Por ejemplo, ls erns (,, ) (,, ) n el primero de ellos puede verse que n el segundo, fl un ecución d) l sisem es incompile Puede verse que ls ecuciones segund ercer son conrdicoris Un mism cos,, no puede vler, l ve, wwwmemicsjmmmcom José Mrí Mríne Medino

4 Memáics Aplicds ls Ciencis Sociles II Álger: Sisems de ecuciones lineles 8 Méodos de resolución Méodo de susiución s el más elemenl de los méodos de resolución Consise en despejr un incógni en lgun de ls ecuciones llevr su vlor ls ors Se oiene sí un sisem socido l primero, pero con un ecución menos L discusión del sisem inicil coincide con l del sisem finl jemplo: ( ) Méodo de Guss Consise en rnsformr el sisem inicil,, en oro equivlene él, de l form: (Sisem esclondo: "ringulr") l pso de un sisem oro se consigue medine ls rnsformciones de Guss conocids: sumndo o resndo ecuciones hs eliminr l incógni de l ecución segund () ls incógnis de l ercer ecución () sudindo l ercer ecución resulne,, pueden deerminrse ls posiiliddes de solución del sisem, pues: Si el sisem es compile deermindo L incógni puede despejrse; su vlor se llev ls ors dos ecuciones se oienen los de Si el sisem es compile indeermindo L ercer ecución qued:, que se cumple pr culquier vlor de Si el sisem es incompile L ercer ecución quedrí:, que es surdo Oservción: Como ls ecuciones pueden reordenrse, lo de menos es que el sisem quede ringulr; lo imporne es dejr un ecución con un sol incógni A prir de es ecución se hrá l discusión jemplos: ) , l sisem es compile deermindo Su solución es,, wwwmemicsjmmmcom José Mrí Mríne Medino

5 Memáics Aplicds ls Ciencis Sociles II Álger: Sisems de ecuciones lineles wwwmemicsjmmmcom José Mrí Mríne Medino 9 ) l sisem es compile indeermindo, equivlene : 9 9 Hciendo, se iene: 9 Pr cd vlor de se iene un solución Oservción: Que un sisem se compile indeermindo signific que un de ls ecuciones es redundne, que depende linelmene de ls ors n definiiv, que fln dos pr concrer l solución; por eso se d en función de un de ls incógnis n ese ejemplo, ls incógnis dependen del vlor que se quier dr c) Como es flso, el sisem propueso es incompile Oservción: Que un sisem se incompile indic que sus ecuciones son conrdicoris jemplo de discusión de un sisem con un prámero medine el méodo de Guss Clsific, según los vlores del prámero, el sisem ) ( Resuélvelo, si es compile, cundo Solución: Aplicndo rnsformciones de Guss se iene: ) ( ( 9) A prir de l ercer ecución puede deducirse: Si 9, (lo que implic que ) SCD Oserv que si 9 puede despejrse, oeniéndose: 9 l vlor de ls ors incógnis se oiene por susiución Si, quedrí, que es imposile n ese cso, el sisem es incompile: SIN Si, quedrí, que es ciero, pero se pierde un ecución: SCI n ese cso, el sisem qued

6 Memáics Aplicds ls Ciencis Sociles II Álger: Sisems de ecuciones lineles wwwmemicsjmmmcom José Mrí Mríne Medino Solución medine l mri invers Si se definen ls mrices: A, X B, (mrices de coeficienes, de incógnis de érminos independienes), el sisem B AX Si l mri A es inverile ( A ), l solución del sisem es B A X jemplo: l sisem puede escriirse mricilmene sí: Como A, eise l mri invers, que es: 7 A Con eso, l solución del sisem es: 7 Regl de Crmer Cundo el deerminne de l mri de coeficienes es disino de cero (mri inversile), es más cómodo plicr l regl de Crmer (Sui, 7 7), cu form genéric, pr sisems, es: ; ; jemplo: Pr el sisem nerior: se iene: ; ;

7 Memáics Aplicds ls Ciencis Sociles II Álger: Sisems de ecuciones lineles Sisems lineles en generl Teorem de Rouché (Frnci, 8 9) Pr un sisem más grnde, de m ecuciones con n incógnis: n n n n m m mn n m puede generlirse culquier de los méodos esudidos pr sisems de ecuciones con incógnis No osne, pr su discusión es más efic plicr el eorem de Rouché, que dice: l condición necesri suficiene pr que un sisem de ecuciones lineles eng solución es que el rngo de l mri de coeficienes (A) se igul l rngo de l mri mplid (M) so es: el sisem es compile rngo de A rngo de M Ls mrices de coeficienes mplid son, respecivmene, n n n n A : : : :, M : : : : : m m mn m m mn m Ams mrices suelen escriirse juns Así: A : m : m : n n : mn M : m Discusión: Si rngo de A rngo de M n l número de incógnis, el sisem es compile deermindo: iene un únic solución Si rngo de A rngo de M r < n, el sisem es compile indeermindo: iene infinis soluciones, con n r grdos de lierd Pr resolverlo se prescinde de ls ecuciones sornes; demás, h que rsponer n r incógnis l ldo de los érminos independienes Ls soluciones se dn en función de ess incógnis rspuess Si rngo de A < rngo de M, el sisem es incompile jemplo: Pr el sisem de ecuciones con incógnis: Ls mrices socids son: A ; M l rngo de A es ; pero el de M es, pues M ( ) Como r(a) < r(m), el sisem es incompile wwwmemicsjmmmcom José Mrí Mríne Medino

8 Memáics Aplicds ls Ciencis Sociles II Álger: Sisems de ecuciones lineles Oservciones: ) Recuérdese que el rngo de un mri es igul l número de fils (o de columns) linelmene independienes de es mri ) Ls mrices A M ienen ls misms fils; pero, como M iene un column más que A, es mri es un menor de M n consecuenci, siempre se cumple que r(a) r(m) ) Si h menos ecuciones que incógnis (m < n), el sisem será compile indeermindo o incompile ) Si h más ecuciones que incógnis (m > n), l menos hrá m n ecuciones sornes, que serán cominción linel de ls ors jemplos: ) Sisem de ecuciones con incógnis: Ls mrices socids son: A M Como A r(a) L mri M iene solo fils, luego su rngo no puede ser mor que Por no, r(m) n consecuenci: r(a) r(m) el sisem es compile deermindo (Su solución se hll por culquier de los méodos esudidos s:,, ) ) Pr el sisem de ecuciones con incógnis: 7 Ls mrices socids son: A ; M 7 7 Ams mrices ienen rngo, pues M 7 ( ) 7 Como r(a) r(m) número de incógnis, el sisem es compile deermindo Como h más ecuciones que incógnis puede suprimirse un de ells n ese cso puede ser culquier Por no: Pr hllr su solución se resuelve culquier de los sisems de dos ecuciones equivlenes Puedes compror que l solución es: e wwwmemicsjmmmcom José Mrí Mríne Medino

9 Memáics Aplicds ls Ciencis Sociles II Álger: Sisems de ecuciones lineles c) Sisem de ecuciones con incógnis: Ls mrices socids son: A M (n ese cso, no el rngo de A como el de M pueden llegr vler ) Trnsformndo ls mrices iniciles se oiene: F F A M A M FF F F F F Pueden suprimirse F C: Quedn ls mrices A M Como el rngo de A es, pues ; el de M no puede ser, se deduce que ms ienen rngo Al ser r(a) r(m) < nº de incógnis, el sisem es compile indeermindo (SCI) so signific que sor un de ls ecuciones, pero cuál de ells? Sin enrr en delles puede suprimirse l ecución que se h elimindo l clculr el rngo (l ); mién que l incógni que dee psrse l ldo derecho es, l correspondiene l column chd Con eso, el sisem equivlene l inicil es ( Guss) d) Sisem de ecuciones con incógnis: Ls mrices socids son: A M s evidene que ms ienen rngo, pues el menor mrcdo es disino de Por no es sisem es compile indeermindo Pr resolverlo h que dejr en los miemros de l iquierd el menor disino de : eso es, h que resolver wwwmemicsjmmmcom José Mrí Mríne Medino

10 Memáics Aplicds ls Ciencis Sociles II Álger: Sisems de ecuciones lineles Discusión de sisems con un prámero Cundo lguno de los números (coeficienes o érminos independienes) que figurn en un sisem no esá deermindo, se susiue por un ler llmd prámero n esos csos h que discuir pr qué vlor o vlores del prámero el sisem iene solución o no L discusión se reli esudindo comprndo los rngos de ls mrices de coeficienes, A, mplid, M (Teorem de Rouché) jemplos: ) Clsificción resolución en función del prámero λ R, del sisem de ecuciones: λ λ λ Ls mrices A M, de coeficienes mplid, son: A M λ l deerminne de A es: λ A λ λ λ 9 λ λ 8 ( λ )(λ 8) λ se deerminne vle si λ o λ 8/ Con eso: Si λ 8/ r(a) r(m) l sisem será compile deermindo Su solución, si se pide, dee drse en función del prámero Por Crmer se oiene: λ λ ( λ) ( λ)( λ8) ( λ)( λ8) ( λ)( λ8) λ 8 λ λ λ ( λ 9) ( λ ) ; ( λ )( λ 8) ( λ )( λ 8) ( λ )( λ 8) λ 8 λ λ ( λ ) ( λ )( λ 8) ( λ )( λ 8) ( λ )( λ 8) λ 8 Oservción: L discusión del sisem mién podrí hcerse prir de ess soluciones: ( λ) ( λ)( λ8) λ 8 ( λ ) ( λ ) ; ( λ )( λ 8) λ 8 ( λ )( λ 8) λ 8 Como el denomindor, que es A ( λ )(λ 8), se nul cundo λ o λ 8/, se conclue: wwwmemicsjmmmcom José Mrí Mríne Medino

11 Memáics Aplicds ls Ciencis Sociles II Álger: Sisems de ecuciones lineles wwwmemicsjmmmcom José Mrí Mríne Medino Si λ 8/, los vlores de,, pueden hllrse son únicos en cd cso l sisem es compile deermindo Si λ 8/ ls soluciones no esán definids: el sisem será incompile Si λ, unque mpoco esán definids, l poder simplificr ls res incógnis por el fcor λ, se dviere que pr λ se puede seguir rjndo n efeco, susiuendo en ls ecuciones λ por el vlor se descure que ls ecuciones son linelmene dependienes, el sisem compile indeermindo Así se confirmrá coninución Si λ, se iene M A l rngo de A es (Bs con oservr que h un menor de orden disino de ) Pr ver el rngo de M se clcul: M Por no, el rngo de M mién vle Oservción: No es necesrio clculr más menores de M, pues si el rngo de A vle ls columns son dependienes puede quirse un de ells, por ejemplo C; qued sí un único menor de M: M (Si dos de ls columns fuesen proporcionles, hrí que prescindir, necesrimene, de un de ells pr clculr l rngo de M) n definiiv, si λ, el sisem es compile indeermindo Susiuendo ese vlor (λ ) en el sisem inicil, qued: (Como r(a) r(m), sor culquier de ls ecuciones, por ejemplo l ercer, Aunque no hce fl compror nd más, puede verse que, luego podrí suprimirse culquier de ls ecuciones) Así pues, el sisem es equivlene Hciendo : Si λ 8/, se iene M A 8 / 8 / l rngo de A es Pr ver el rngo de M se clcul: 8/ M Por no, el rngo de M vle Luego, si λ 8/ el sisem es incompile

12 Memáics Aplicds ls Ciencis Sociles II Álger: Sisems de ecuciones lineles wwwmemicsjmmmcom José Mrí Mríne Medino jemplo ): Discue según los vlores del prámero m el sisem: m m Ls mrices socids son: M m m A m m A Por no: si m A rngo(a) l sisem será compile deermindo si m A el rngo de A vle, pues el menor n ese cso, l mri M qued: M / / Como el menor / M, se deduce que el rngo de M es n consecuenci, si m el sisem es incompile, pues r(a) < r(m) jemplo c): Discue según los vlores del prámero el sisem: ( ) Ls mrices de coeficienes mplid son: M A ( ) ( ) A A si o Por no: Si r(a) r(m) l sisem será compile deermindo Si, se iene: M A r(a) Como el menor M r(m) Luego, si el sisem es incompile

13 Memáics Aplicds ls Ciencis Sociles II Álger: Sisems de ecuciones lineles wwwmemicsjmmmcom José Mrí Mríne Medino 7 Sisems homogéneos Definiciones Un sisem de ecuciones lineles se llm homogéneo cundo el érmino independiene de cd un de ls ecuciones es Por no, son de l form: n mn m m n n n n sos sisems siempre son compiles, pues los vlores,,, n Si r(a) n número de incógnis, el sisem es compile deermindo Su únic solución es l rivil son un solución del sisem; es es l llmd solución rivil Tmién es evidene que l mri M es l mplición de A con un column de ceros, lo cul no fec l rngo; luego r(a) r(m) Si r(a) < n, el sisem será compile indeermindo l sisem homogéneo endrá infinis soluciones n el cso de que eng el mismo número de ecuciones que de incógnis deerá cumplirse que A jemplos: ) l sisem sólo iene l solución rivil,,,, pues el deerminne de l mri de coeficienes, 9 A ) l sisem 7 es compile indeermindo, pues el deerminne de l mri de coeficienes, 7 A r(a) < el número de incógnis l sisem es equivlene Alguns soluciones de ese sisem son: (,, ), (,, ), (,, ), ; nurlmene siempre esá l solución (,, ) c) l sisem es compile indeermindo Compile porque es homogéneo; indeermindo porque iene menos ecuciones que incógnis (Su solución es:,, )

14 Memáics Aplicds ls Ciencis Sociles II Álger: Sisems de ecuciones lineles 8 Discusión de un sisem homogéneo con un prámero Como se h dicho neriormene, los sisems homogéneos siempre ienen solución Por no, l discusión de esos sisems consise en deerminr cundo ienen sólo l solución rivil cundo ienen infinis soluciones jemplos: ) Discusión, según los vlores del prámero, del sisem: Resul ovio que el sisem es homogéneo L mri de coeficienes, A A ( ) si / Por no: Si /, r(a), sisem compile deermindo L únic solución es l rivil:,, Si /, r(a) l sisem es compile indeermindo, equivlene, cu solución puede drse como: ( λ) ( λ) ( λ) ) Discusión resolución, dependiendo de los vlores de λ, del sisem l deerminne de l mri de coeficienes es: λ λ ( λ)( λ)( λ ) Se nul si λ, λ o λ λ Por no: Si λ,, el rngo de A es el sisem compile deermindo Su solución es l rivil:,, Si λ, el sisem qued Si λ, el sisem qued (Como nd se dice de, es qued indeermind) Si λ, el sisem qued L solución del sisem es wwwmemicsjmmmcom José Mrí Mríne Medino

15 Memáics Aplicds ls Ciencis Sociles II Álger: Sisems de ecuciones lineles 9 7 Prolems de sisems Como en culquier prolem, en los que dn lugr un sisem de ecuciones, el proceso seguir puede ser: ) Leerlo despcio enenderlo ) Definir ls incógnis ) Descurir los dos ls relciones lgerics enre ls incógnis los dos: escriir ls ecuciones ) presr ess ecuciones en l form esándr discuir resolver el sisem oenido A coninución se proponen curo prolems prenemene fáciles ( sí son) Se sugiere l lecor ineresdo que los procure resolver por su cuen, que no se conene con esudirlos enenderlos, pues eso resul demsido fácil Prolem Desuno Tres grupos de persons desunn en un cfeerí l primer grupo om cfés, refresco dulces, por lo que pgn 8, ; el segundo grupo om cfés, refresco dulces, por lo que pgn,8 ; el primer grupo om cfés, refresco dulces, por lo que pgn 7, Cuáno cues cd cos? Solución: Sen,, los precios de un cfé, un refresco un dulce, respecivmene Grupo : 8, Grupo :, 8 Grupo : 7, Se oiene un sisem que puede resolverse por el méodo de Guss: 8, 8, 8,,8,, 7, 9,, Si,,;,8 Un cfé cues, ; un refresco,,8 ; un dulce,, Prolem Mecls (Propueso en Selecividd en 998, Cnris) Se mecln res clses de vino de l siguiene mner: ) liros de Tenerife, de L Plm de Lnroe, resulndo un mecl de peses/liro ) liros de Tenerife, de L Plm de Lnroe, dndo un vino de peses/liro c) liros de Tenerife, de L Plm de Lnroe, dndo un vino de peses/liro Hll el precio por liro de cd clse de vino Solución: Sen,, el precio del liro de vino de Tenerife, L Plm Lnroe, respecivmene Con los dos ddos, se oiene el sisem: Los precios de los vinos son: Tenerife, p/l; L Plm, p/l; Lnroe, p/l wwwmemicsjmmmcom José Mrí Mríne Medino

16 Memáics Aplicds ls Ciencis Sociles II Álger: Sisems de ecuciones lineles Prolem Trjdores nre espñoles, europeos no espñoles (U) ercomunirios, h un ol de rjdores en un empres Si el número de ercomunirios se riplicse hrí rjdores en l empres si se duplicse el número de espñoles se redujese l mid el número de europeos, hrí Plne el correspondiene sisem de ecuciones que permi deerminr cuános rjdores h de cd grupo Solución: Si el número de rjdores espñoles es, el de europeos no espñoles el de ercomunirios, se dee cumplir: l sisem es equivlene Hciendo rnsformciones de Guss: 8 Susiuendo en ls ors ecuciones qued: ; 9 H rjdores espñoles, 9 europeos no espñoles ercomunirios Prolem Números (Propueso en Selecividd en, Andlucí) Ddo un número de res cifrs ABC, se se que l sum de sus cifrs es Por or pre, si permumos ls cenens con ls uniddes, oenemos el número inicil incremendo en 98 Si en el número inicil permumos decens con uniddes, oenemos el inicil disminuido en 7 Plne el sisem de ecuciones lineles que conduc l oención de ls cifrs del cido número Solución: n número ABC A cenens B decens C uniddes A B C Se se que l sum de sus cifrs es : A B C Si se permun ls cenens con ls uniddes: ABC CBA: el número se incremen el 98 Se cumple: CBA ABC 98 Luego, C B A A B C 98 99C 99A 98 C A Si se permun ls decens con ls uniddes: ABC ACB: el número disminue en 7 Se cumple: ACB ABC 7 Por no, A C B A B C 7 9C 9B 7 C B Se iene el sisem: A B C A B C A B C 99C 99A 98 C A A C 9C 9B 7 C B B C Susiuendo en los vlores de A B en l primer ecución se iene: C C C C C ; A ; B 8 l número ddo es el 8 wwwmemicsjmmmcom José Mrí Mríne Medino

17 Memáics Aplicds ls Ciencis Sociles II Álger: Sisems de ecuciones lineles 8 jercicios finles Se proponen coninución un serie de prolems diversos pr que el esudine pued prcicr compror su nivel de conocimienos Como siempre, se dviere que no se r de esudir los prolems: deen hcerse personlmene jercicio pres l ecución mricil resuélvelo Solución: Operndo: en form de sisem; 8 De ls dos primers ecuciones: ; Susiuendo en, 8 jercicio sudi, en función de m, l compiilidd del sisem m m Resuélvelo uilindo l regl de Crmer cundo m Solución: Ls mrices de coeficienes mplid son: A M m m Como A m si m, se endrá: Si m, r(a) r(m) SCD Si m, A M r(a) r(m) SCI Pr m, el sisem qued Aplicndo Crmer: ; wwwmemicsjmmmcom José Mrí Mríne Medino

18 Memáics Aplicds ls Ciencis Sociles II Álger: Sisems de ecuciones lineles jercicio Se l mri A k el sisem A k 9 ) Hll el rngo de A según los vlores del prámero rel k ) Clsific según los vlores de k el sisem c) Resuélvelo pr k d) Resuélvelo, si es posile, cundo k Solución: ) l rngo de A es cundo A A k k k k k k k k k o k k n consecuenci: Si k, A el rngo de A es Si k, l mri A iene rngo, pues el menor Si k, l mri A mién iene rngo, pues el menor ) l sisem A es equivlene k 9 k 9 Puede discuirse plicndo el eorem de Rouché: el sisem es compile si r(a) r(m) ss mrices, de coeficienes mplid, son: A k M k 9 Si k, como A es evidene que r(a) r(m) ; por no el sisem será compile deermindo Si k, l mri mplid es M Como l cur column es 9 proporcionl l ercer no vrí el rngo de A (Tmién pueden verse dos fils repeids) n consecuenci, el sisem será compile indeermindo: r(a) r(m) Si k, l mri mplid es M l siución es similr l nerior 9 (Ls columns º, ª ª son proporcionles): r(a) r(m) SCI wwwmemicsjmmmcom José Mrí Mríne Medino

19 Memáics Aplicds ls Ciencis Sociles II Álger: Sisems de ecuciones lineles wwwmemicsjmmmcom José Mrí Mríne Medino ) Pr k el sisem es: 9 Solución:,, c) Si k, el sisem es equivlene ) (9 9 jercicio ) Clsific, en función de plicndo el méodo de Guss, el sisem 7 ) Resuélvelo cundo se compile indeermindo c) Resuélvelo cundo Solución: ) Se plicn ls rnsformciones de Guss que se indicn 7 ) ( ) ( Aendiendo l ercer ecución se oserv que: Si, el sisem resul compile indeermindo, pues qued l ecución, que se pierde: serí un sisem de ecuciones con incógnis Si, el sisem resul compile deermindo n cd cso, l solución se hll despejndo en l ercer ecución susiuendo en ls ors dos Así: ) Pr, (SCI), el sisem equivlene es Hciendo, despejndo susiuendo, se oiene: ) ( c) Pr el sisem es compile deermindo: Se resuelve por susiución de jo rri:

20 Memáics Aplicds ls Ciencis Sociles II Álger: Sisems de ecuciones lineles jercicio Clsific, dependiendo de los vlores de λ, el sisem homogéneo ( λ) ( λ) ( λ) Resuélvelo en los csos λ λ Solución: Como es un sisem homogéneo siempre será compile Pr ver si es deermindo o indeermindo se hce el deerminne de l mri de coeficienes λ A λ ( λ) [( λ)( λ) ] ( λ) (fcor común) λ [ ] ( )( ) ( λ) ( λ)( λ) λ λ λ ( λ)( λ )( λ ) Por no, A si λ, λ o λ Pr esos vlores de λ el sisem será compile indeermindo (n los demás csos, l únic solución será l rivil) Si λ (SCD) l únic solución es l rivil: ; ; Si λ, qued Puede oservrse que jercicio (Propueso en Selecividd en, Csill-León) Discue según los vlores de m resuelve cundo se posile, el sisem de ecuciones m lineles m m Solución: s un sisem de ecuciones con incógnis Pr que eng solución es necesrio que el rngo de l mri mplid se menor que Por no, m m m m ( m) ( m) m m m o m Luego, el sisem puede ener solución cundo m o m Si m, el sisem es Su solución, inmedi, es ; Si m, el sisem es videnemene es incompile: sus ecuciones son conrdicoris Por no, el sisem sólo es compile si m wwwmemicsjmmmcom José Mrí Mríne Medino

21 Memáics Aplicds ls Ciencis Sociles II Álger: Sisems de ecuciones lineles wwwmemicsjmmmcom José Mrí Mríne Medino Prolems propuesos Clsificción resolución de sisems por méodos elemenles Resuelve uilindo el méodo de de reducción de Guss, los sisems: ) ) Resuelve uilindo el méodo de Guss los sisems: ) 8 ) 7 Aplicndo el méodo de Guss discue, en función de los vlores del prámero m, los sisems: ) m ) m Aplicndo el méodo de Guss discue, en función de los vlores del prámero m, los sisems: ) m ) m Aplicndo l regl de Crmer hll l solución generl, en función del prámero m, del sisem m sudi l compiilidd de los siguienes sisems Cundo eis, d su solución ) ) 7 Pr qué vlor de m endrá solución el sisem: ) m ) m

22 Memáics Aplicds ls Ciencis Sociles II Álger: Sisems de ecuciones lineles wwwmemicsjmmmcom José Mrí Mríne Medino 8 pres en l form mricil AX B el sisem de ecuciones lineles Resuélvelo clculdo l mri invers de A despejndo X 9 Resuelve el sisem ( ) AB, siendo A B Sisems con un prámero Aplicción del eorem de Rouché sudi, en función del vlor de m, l compiilidd del sisem 7 m Resuélvelo cundo eng infinis soluciones, d un pr de ess soluciones Resuelve el sisem ) ( ) ( k k k k pr los vlores de k que lo hgn compile Discue, según los vlores del prámero k, el sisem k k k Resuélvelo pr el vlor de k ) Discue en función de los vlores de el sisem ) ( ) ( ) Si es el posile, resuélvelo cundo cundo ) Hll, si eisen, los vlores del prámero pr que el sisem se compile deermindo ) Resuélvelo, si es posile, pr pr ) Discue en función de los vlores de el sisem ) Resuélvelo pr el cso

23 Memáics Aplicds ls Ciencis Sociles II Álger: Sisems de ecuciones lineles wwwmemicsjmmmcom José Mrí Mríne Medino 7 (Propueso en Selecividd 999, Mdrid) sudi el siguiene sisem linel, según los diferenes vlores del prámero rel n los csos en que se compile, resuélvelo 7 (Propueso en Selecividd, L Rioj) sudi, según los vlores de m, resuelve cundo se posile el sisem de ecuciones: m Sisems homogéneos 8 Hll el vlor de k pr que el sisem k eng solución disin de l rivil Pr dicho vlor de k, clcul sus soluciones 9 Ddo el sisem ) Hll sus soluciones ) Añde or ecución pr que el sisem sig siendo homogéneo eng solución únic c) Añde or ecución pr que el sisem sig siendo compile indeermindo Discue resuelve, en función de los vlores de k, el sisem ) ( ) ( k k k k k Discue, según los vlores del prámero k, el sisem: ) ( ) ( k k k Resuélvelo cundo se compile indeermindo Discue, según los vlores del prámero, el sisem Resuélvelo en los csos en que se compile, resolverlo

24 Memáics Aplicds ls Ciencis Sociles II Álger: Sisems de ecuciones lineles 8 Prolems con enuncido (Propueso en Selecividd 9, Csill León) l dueño de un supermercdo h comprdo emuido, eids conservs, por un impore ol de l vlor de ls conservs es el mismo que el de ls eids emuidos junos Si vende odos esos producos, ñdiendo un eneficio del % en el emuido, el % en ls eids el % en ls conservs, oendrá un impore ol de Clcul lo que pgó por cd uno de ellos (Propueso en Selecividd, Pís Vsco) n l eposición de un eslecimieno de meril de oficin h uniddes, enre lámprs, sills mess, con un vlor ol de Si el vlor de un lámpr es de, el de un sill el de un mes 8,, demás, h ns lámprs como sills mess juns, cuáns lámprs, sills mess h en l eposición? Hll ls eddes cules de un mdre sus dos hijos siendo que hce 9 ños l edd de l mdre er veces l sum de ls eddes de los hijos en quel momeno, que denro de 8 ños l edd de l mdre será l sum de ls eddes que los hijos endrán en ese momeno que cundo el hijo mor eng l edd cul de l mdre, el hijo menor endrá ños ncuenr l ecución de l práol de ecución c, cu gráfic ps por los punos (, ), (, ) (, ) 7 Se dese preprr un die priendo de res limenos ásicos, [], [] [] L die dee incluir ecmene uniddes de clcio, 8 uniddes de hierro uniddes de vimin A l número de uniddes de cd ingrediene por cd pquee de limenos se indic en l l djun Cuános pquees de cd limeno deen emplerse pr conseguir l die requerid? Uniddes por pquee Alimeno [] [] [] Clcio Hierro Vimin A 8 Un person dispone de euros pr inverir en onos, fondos de inversión cciones L renilidd medi de esos civos es de un, %, respecivmene l inversor quiere inverir en cciones el dole que en onos, conseguir un renilidd medi del 7% Cuáno h de inverir en cd uno de esos ienes? 9 Un person decide inverir un cnidd de en ols, comprndo cciones de res empress disins A, B C Inviere en A el dole que en B C juns Trnscurrido un ño, ls cciones de l empres A se hn revlorido un %, ls de B un % ls de C hn perdido un % de su vlor originl Como resuldo de odo ello el inversor h oenido un eneficio de, Deermin cuáno invirió en cd un de ls empress (Propueso en Selecividd, Asuris) Luis iene hor mismo m veces l edd de Jvier Denro de m ños, Luis endrí el riple de ños que Jvier ) Plne un sisem de ecuciones (en función de m) donde ls incógnis e sen l edd de Luis de Jvier, respecivmene Bsándoe en un esudio de l compiilidd del sisem nerior, es posile que Luis eng hor mismo el riple de ños que Jvier? ) Resuelve el sisem pr m Cuános ños iene Luis en ese cso? wwwmemicsjmmmcom José Mrí Mríne Medino

25 Memáics Aplicds ls Ciencis Sociles II Álger: Sisems de ecuciones lineles 9 Soluciones ) ) ) ) Incompile / ) Si m, ; si m, ) Si m, / ; si m, incompile m m ) Si m, incompile Si m : ; ; m m m m m ) Si m, incompile Si m : ; ; m m m m ; m m ; m m ) ; ) Incompile 7 ) m ) m 7 8 A ; ; 7 9 Si m, SCD Si m, k k k k Siempre compile: ; ; k k k Si k,, SCD Si k, SCI Si k, SIN Pr k : /; /; / ) Si, SCD Si, incompile Si, compile indeermindo / d) Pr, / Pr, / ) Si : SIN Si o, SCD ) ; SIN ) Si, SCD; Si, SCI; Si, SIN ) /; /; / Si, compile indeermindo Si, incompile Pr : 7 Si m 9, incompile Si 9 m : ; 7 ; 7 7 wwwmemicsjmmmcom José Mrí Mríne Medino

26 Memáics Aplicds ls Ciencis Sociles II Álger: Sisems de ecuciones lineles 7 8 k ; 9 ) ) ; ; c) Si k, SCD: Si k : Si k :,, Pr k : Si /, SCD Si /:,,,,,, ños pquees del [], pquees del [] pquees del [] 8 en onos; en fondos; en cciones 9 8, 7, No; wwwmemicsjmmmcom José Mrí Mríne Medino

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