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1 Tabla d contnido Página Ecuacions actas linals Ecuacions difrncials actas Torma 4 Solución d una cuación difrncial acta Ecuacions linals 1 Solución d una cuación linal 1 Rsumn 19 Bibliografía rcomndada 19 Párrafo no 0 Autovaluación formativa 1

2 Copright 1999 FUNDACION UNIVERSITARIA SAN MARTIN Facultad d Ingniría d Sistmas. Sistma d Educación Abirta a Distancia. Santa F d Bogotá, D.C. Prohibida la rproducción total o parcial sin autorización por scrito dl Prsidnt d la Fundación. La rdacción d st fascículo stuvo a cargo d JAIME PRECIADO LOPEZ Sd Santa F d Bogotá, D.C. Disño instruccional orintación a cargo d MARIANA BAQUERO DE PARRA Disño gráfico diagramación a cargo d SANTIAGO BECERRA SAENZ ORLANDO DIAZ CARDENAS Imprso n: GRAFICAS SAN MARTIN Call 1A No Tls.: Santa F d Bogotá, D.C.

3 Ecuacions actas linals En st fascículo vamos a continuar l trabajo con las cuacions difrncials d primr ordn; aprndrmos a rconocr a solucionar nuvos tipos d cuacions, las cuacions difrncials actas las cuacions difrncials linals; cada uno d stas class d cuacions las trabajarmos por sparado. Comnzarmos con las cuacions actas. Al trminar l studio dl prsnt fascículo, l studiant: Rconoc la dfinición d cuación difrncial acta. Dtrmina si una cuación s acta o no. Rsulv corrctamnt cuacions difrncials actas. Rconoc la forma stándar d una cuación difrncial linal. Halla corrctamnt l factor d intgración para una cuación difrncial linal. Rsulv d forma corrcta cuacions difrncials linals. Ecuacions difrncials actas Una cuación d la forma M (, d N(, d 0 s dnomina cuación difrncial acta si l lado izquirdo d sta cuación corrspond a la drivada total d alguna función f (,. Ejmplo La cuación d d 0 s una cuación difrncial acta porqu l primr mimbro d la cuación s la drivada d la función f (,, s dcir, d( d d

4 Ejmplo La cuación ( 5 4 d ( 4 8 d 0 s una cuación difrncial acta porqu 5 4 d 4 ( 5 4 d ( 4 8 d El torma qu sigu a continuación, nos auda a rconocr fácilmnt una cuación difrncial acta. Torma San (, M (, N funcions continuas, con drivadas parcials d primr ordn, continuas n alguna rgión R dl plano,. Entoncs una condición ncsaria suficint para qu M, d N(, d 0 ( sa una función difrncial acta s: M N La dmostración d st torma la puds ncontrar n la bibliografía rcomndada. Vamos ahora algunos jmplos d aplicación. Ejmplo Vamos si la cuación difrncial( d ( 4 d 0 s una cuación acta. Idntifiqumos hacindo M M N 4 N tnmos, ahora si drivamos 4

5 M 4 N Por tanto, la cuación dada s acta. Ejmplo 1 Vamos si la cuación difrncial ( ln d ln d 0 s acta. drivando tnmos: d dond 1 M ( ln N ln M ln 1 N ln M N Por tanto la cuación difrncial no s acta. Ejmplo La cuación difrncial 1 ln d ( 1 ln d 0 s acta. Vamos N 1 ln M ( 1 ln 5

6 N 1 M 1, lo qu indica qu N M por tanto la cuación difrncial dada s acta. Solución d una cuación difrncial acta A continuación dscribimos paso a paso l método d solución d una cuación difrncial acta. Dada la cuación M (, d N(, d 0 Vrifiqumos, n primr lugar, qu s trat d una cuación difrncial acta, sto s: M N podmos suponr ntoncs qu ist una función f tal qu f M(, por tanto podmos ncontrar f intgrando ambos lados d la cuación con rspcto a mantnindo constant, lo cual corrspond a: f (, M(, d g( (1 dond g ( s la constant d intgración n términos d ; ahora si drivamos (, así: f con rspcto a, dbmos obtnr N (,

7 d dond f M(, d g( M(, d g ( N(, g ( N(, M(, d Si intgramos sta última prsión rspcto a obtnmos l valor d g ( qu al rmplazarlo n (1 nos prmit ncontrar, n su totalidad, la función f (, qu corrspond a la solución d nustra cuación difrncial acta. Vamos algunos jmplos d aplicación. Ejmplo Solucionmos la cuación ( 4 d ( 1 0. Vrifiqumos si s una cuación difrncial acta: M N 0 por tanto la cuación s acta. Ahora procdamos a rsolvrla. f Supongamos qu: M(, 4 f s dcir: 4 Intgrmos a los dos lados d sta prsión rspcto a summos la constant g ( f (, 4 g( (1 7

8 8 Ahora drivmos, ( f rspcto a igualémosla a, ( N 1 g f ( Si intgramos con rspcto a sta prsión, ncontramos l valor d ( g c g ( si rmplazamos l valor d ( g n (1 tnmos: c f 4, ( d dond podmos scribir como solución d la cuación difrncial dada: c 4 Ejmplo Rsolvamos la cuación 0 d d. Vrifiqumos qu s trat d una cuación acta. M, ( N, ( M N por tanto: N M Rsolvamos sta cuación difrncial acta suponindo qu:

9 9 f Intgrando rspcto a tnmos: (, ( g f (1 Si drivamos (1 rspcto a obtnmos: ( g f Igualando a, ( N ( g D dond 0 ( g. Al intgrar sta prsión tnmos: c g ( dond c s una constant arbitraria. Si rmplazamos n (1 tnmos: c f, ( d dond podmos scribir como solución a nustra cuación c Ejmplo Rsolvamos la cuación: d d

10 podmos rscribir sta cuación como: d ( vamos si sta s una cuación acta: d 0 M ( N La intgral d d s raliza por parts hacindo u dv d ntoncs: M N 1 1 M N por tanto la cuación dada corrspond a una cuación difrncial acta, vamos a rsolvrla: f ( intgrando rspcto a obtnmos: f (, ( d f (, g( (1 Si drivamos (1 rspcto a obtnmos: f g ( N(, por tanto: g( g( 0 así g( c Si rmplazamos n (1 obtnmos: 10

11 f (, c qu podmos scribir como: c 9.1 a. Dtrmina si la cuación dada s acta; si lo s, rsuélvla: 1. ( d ( d 0. ( sn sn d (cos cos d 0 1 d d. ( cos 4 sn 0 4. ( ( d ( d 0 5. ( sn d ( cos d 0. ( d d 0 7. ( d ( d 0 1 d d 9. (tan sn( sn( d cos( cos( d ( cos sn d ( 5 d 0 b. Rsulv la cuación difrncial con la condición inicial dada 11. ( d ( 1 d 0 con (

12 Ecuacions linals Dcimos qu una cuación difrncial s linal si la podmos scribir d la forma: d d P( Q( dond P( Q( son prsions n términos d la variabl. Son jmplos d cuacions difrncials linals: a b c d d sn d d cos d f ( f ( Solución d una cuación linal Para solucionar la cuación linal: d d P( Q( (1 d Tomamos P ( valuamos ; st término s llamado l Factor d Intgración; lugo multiplicamos ambos mimbros d la cuación por l factor d intgración obtniéndos: d d d d d P( Q( ( Si obsrvas con atnción puds rconocr l primr mimbro d la d cuación como la drivada d, d dond podmos rscribir la cuación ( como: 1

13 d Q( d d d al intgrar los dos mimbros d sta cuación obtnmos: d p ( Q( d por tanto la solución d la cuación (1 s: Q( d d Vamos algunos jmplos d solución d cuacions linals. d d Ejmplo Rsolvamos la cuación tan sc. (1 Esta s una cuación difrncial linal; idntificamos P( tan, l factor d intgración corrspond a: d d tand lncoss ln(cos (cos 1 cos 1 1 Cuando s calcula l factor d intgración no s ncsario utilizar la constant al ralizar la intgral. 1

14 Si ahora multiplicamos (1 por l factor d intgración obtnmos: quivalnt a: 1 cos 1 cos qu podmos scribir como: 1 tan sc cos cos 1 sn cos 1 sc d cos 1 cos d Intgrando los dos lados d la cuación tnmos: 1 sc d cos 1 tan k cos (tan kcos Podmos rscribir sta solución como sn k cos Ejmplo Rsolvamos la cuación: ( con la condición 0 cuando 1 1 (1. podmos scribir sta cuación como: 1 ( 14

15 ( corrspond a una cuación linal, dond ncontrmos l factor d intgración: P( d 1 d P ln 1 (, Si multiplicamos los dos mimbros d ( por l factor d intgración obtnmos: lo cual quival a: ( 1 ( 1 1 ( El lado izquirdo d ( corrspond a la drivada d, por tanto, podmos scribir: d d ( 1 (4 Si intgramos (4 obtnmos: 1 d c d dond c (5 Si rmplazamos la condición inicial 0 cuando 1 n (5 obtnmos: 0 1 c 15

16 d dond c 1. Si rmplazamos n (5 podmos dcir qu la solución d nustra cuación s: 1 Una d las aplicacions más importants d las cuacions difrncials corrspond a la física. Vamos una d stas utilidads n los circuitos. En un circuito lctrónico simpl, como l qu s mustra n la figura No. 1, compusto d un intrruptor S, una rsistncia R (mdida n ohms, un inductor con inductancia L (mdida n Hnrs una batría o gnrador E qu ntrga al circuito un voltaj E(t voltios n l timpo t, s cumpl qu: di L dt RI E(t (1 dond I corrspond a la corrint dl circuito mdida n amprios, s di dcir rprsnta l cambio d la corrint con rspcto al paso dl dt timpo dspués d crrar l intrruptor. Figura 9.1. Circuito léctrico sncillo. La cuación (1 corrspond a una cuación difrncial linal por tanto podmos rsolvrla para valors d L, R E(t dados; vamos un jmplo. 1

17 Ejmplo Encontrmos la corrint I n función dl timpo para l circuito qu s prsnta a continuación; si l intrruptor S s cirra n I = 0 cuando t = 0. Figura 9.. Circuito léctrico para l jmplo. Si rmplazamos los valors d los lmntos dl circuito n la cuación (1 obtnmos: di 1 dt 10 I 1 d dond nustro factor d intgración s: 10 dt multiplicando ( por l factor d intgración: d dond: di dt dt 10 I I d ( intgrando a ambos lados d la cuación obtnmos: I dt I I c c ( 17

18 Así, si rmplazamos n ( la condición inicial I = 0 cuando t = 0 tnmos: d dond ( s convirt n I( t 1 c 1 1 Est rsultado nos indica qu si t aumnta ( t la corrint I(t s 1 amprio Rsulv st mismo problma si: a. Cambiamos la batría por un gnrador qu proporcion un voltaj E( t sn 4t voltios. b. Quitamos la rsistncia, s dcir R = 0. Rsulv las cuacions siguints: d d d 10 d d d d d d d d cos sn d a. 0 b. 1 c. d.. f. 1 g. h. 1

19 i. ( 1 sn j. ( 1 cos d ( sn tan d 0 k. d ( 1 ( d d ( d d 5 0, ( 0 d d, ( 1 d l. 0 m. n. 5 En st fascículo hmos continuado nustro studio d las cuacions difrncials, hmos conocido solucionado cuacions difrncials actas linals d primr ordn, admás las hmos aplicado a la solución d circuitos sncillos compustos d rsistncias, inductors funts d voltaj. Rainvill, Earl D. otros. Ecuacions Difrncials. Ed. Prntic Hall. Octava Edición. Méico 1997, Cap. 1 Zill, Dnnis G. Ecuacions Difrncials con Aplicacions d Modlado. Ed. Intrnacional Thomson Editors. Sta Edición. Méico 000, Cap.. Sccions

20 En l próimo fascículo trabajarmos la solución d cuacions difrncials por sustitución; vrmos cómo al fctuar una sustitución sncilla sobr algunas cuacions, éstas s pudn transformar n cuacions d alguno d los tipos qu hmos trabajado. Puds ncontrar información sobr st tipo d cuacions n la bibliografía rcomndada n st fascículo. 0

21 Autovaluaciónformativa Ecuacions difrncials - Fascículo No. 9 Nombr Apllidos Fcha Ciudad Smstr 1. Dfin: a. Ecuación difrncial acta b. Factor d intgración. Rsulv las cuacions difrncials dadas: ( cos d ( sn ln d 0 a. con (0 b. (tan cos, con ( 0 1 1

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