Computabilidad y lenguajes formales: Sesión 19. Gramáticas Incontextuales (Context Free Grammars)

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1 Computabilidad y lenguajes formales: Sesión 19. Gramáticas Incontextuales (Context Free Grammars) Prof. Gloria Inés Alvarez V. Departamento de Ciencias e Ingeniería de la Computación Pontificia Universidad Javeriana Cali 6 de abril de 2008

2 Gramáticas Incontextuales Son una forma de representar lenguajes. Sus características principales son: Son más poderosas que los DFAs y las expresiones regulares. Pueden describir algunas características con estructura recursiva. Se utilizaron primero en el estudio de los idiomas humanos.

3 Gramáticas Incontextuales Tienen múltiples aplicaciones: Para expresar la relación que hay entre las diversas categorías gramaticales en el estudio de los idiomas humanos. En la especificación y compilación de los lenguajes de programación.

4 Gramáticas Incontextuales Una gramática incontextual es una 4-tupla (V,Σ,R,S) donde: V es un conjunto finito de símbolos no terminales (variables) Σ es un conjunto finito de símbolos terminales R es un conjunto finito de producciones de la forma A α donde A V y α {V Σ} S V es el símbolo inicial

5 Ejemplo de Gramática Incontextual Sea G 1 = (V,Σ,R,S), donde: V = {A,B} Σ = {0,1,#} R = A 0A1,A B,B # S = A Una gramática se utiliza para generar cadenas. Por ejemplo, G 1 genera la cadena 000#111, se puede ver su derivación y dibujar su árbol de análisis sintáctico.

6 Derivación Sean u,v,w {V Σ} y (A w) R se dice que uav uwv. Se dice que u deriva v,(u v) si u = v ó si existe u 1,u 2,...,u k con k 0 tal que u u 1 u 2 u k v.

7 Lenguaje de una gramática El lenguaje de una gramática G es {w w Σ,S w}, siendo S el símbolo inicial de G. Ejemplos: G 3 = ({S}, {a,b}, {S asb SS ε}, {S}) G 4 = ({EXP,TERM,FACT }, {a,+,,(,)}, {EXP EXP + TERM TERM,TERM TERM FACT FACT,FACT (EXP) a}, {EXP})

8 Diseño de Gramáticas Incontextuales Un lenguaje incontextual puede ser la unión de otros más simples Si el lenguaje es regular, se puede construir un DFA que lo reconozca y luego convertir el autómata en gramática: Construir un no terminal R i por cada estado q i Agregar una regla R i = ar j por cada transición δ(q i, a) = q j Agregar una regla R i ε por cada estado final R 0 será el símbolo inicial de la gramática si q 0 es el estado inicial del autómata Para coordinar la primera y segunda parte de una cadena, usar reglas de la forma R urv

9 Ambigüedad Una derivación de una cadena w en una gramática incontextual G es una derivación más izquierda si a cada paso se reemplaza el símbolo no terminal que se encuentra más a la izquierda. Una cadena w es derivada ambiguamente de una gramática incontextual G si tiene dos o más derivaciones más izquierdas. Una gramática G es ambigua si genera alguna cadena ambiguamente. Un lenguaje inherentemente ambiguo es aquel que sólo puede reconocerse con gramáticas ambiguas.

10 Ejemplo 1 de Gramática ambigua EXP EXP + EXP EXP EXP EXP EXP (EXP) EXP a Ver árboles de análisis sintáctico para a + a a

11 Ejemplo 2 de Gramática ambigua ORACION F SUST F VERBAL F SUST SUST COMP SUST COMP F PREP F V ERBAL VERBO COMP VERBO COMP F PREP F PREP PREP SUST COMP SUST COMP ART SUST VERBO COMP VERBO VERBO F SUST ART un una el la SUST juan maria flor telescopio VERBO mira cuida PREP con juan mira a maria con el telescopio

12 Forma Normal de Chomsky Una gramática incontextual está en forma normal de Chomsky si todas sus reglas son de la forma: A BC ó A a donde A,B,C son no terminales y B,C no son el símbolo inicial de la gramática. Se permite la producción S ε para el símbolo inicial. Teorema Todo lenguaje incontextual es generado por una gramática en forma normal de Chomsky.

13 Demostración Demostración. Toda gramática incontextual puede transformarse en una en forma normal de Chomsky que reconoce el mismo lenguaje. La transformación se realiza por etapas: 1 Se adiciona un nuevo símbolo inicial 2 Se consideran las reglas vacías: A ε se elimina y por cada vez que aparece A en el lado derecho de una regla se adiciona otra regla igual salvo que la ocurrencia de A no está. 3 Se considera las reglas unitarias: A B se elimina y toda regla de la forma B u se duplica cambiando B por A. 4 Se convierten el resto de reglas: A u 1,u 2,...,u k con k 3 se reemplaza por las reglas: A u 1 A 1,A 1 u 2 A 2,...,A k 2 u k 1 u k. Si u i es un terminal, se reemplaza por U i y se adiciona U i u i

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