PRELIMINARES. ab bc aec ac H. a b S / b a.

Transcripción

1 Introduccón Cuando un novel estudante de álgebra abstracta se enfrenta a expresones como grupo cocente, espaco cocente, cree y con justfcada razón, que se enfrentará a conjunto de cocentes, fnalmente se resgna a saber que esto no es así, lo cual no sgnfca que sean conceptos dfícles de asmlar EL objetvo de esta monografía es defnr y ejemplfcar la dea de grupo factor, tambén llamado GRUPO COCIENTE debdo a la notacón empleada, el cual es un conjunto de conjuntos llamados clases laterales que posee una estructura algebraca, la de grupo, es decr, sobre dcho conjunto se ha defndo una operacón bnara que cumple certas condcones; se enfatza el hecho que no sempre el conjunto de clases laterales tendrá la estructura de grupo, pequeño nconvenente que fue salvado por Evarsto Galos al ntroducr la brllante dea de SUBGRUPO NORMAL PRELIMINARES Debemos aclarar que el grupo G,* será representado sólo por G, y al elemento a* b se le representará usando la expresón ab Incaremos nuestra exposcón con la sguente ASERCIÓN: Sea H un subgrupo de G, la relacón en G defnda por a b(mod H) ab H es una relacón de equvalenca Como matemátcos no podemos quedarnos con la duda, en efecto: Reflexvdad Smetría S que b a(mod H) a a(mod H) aa e H luego a b(mod H) ab H Transtvdad Sean a b(mod H) y b c(mod H) ambos elementos ab ab bc aec ac H Conclumos que a b(mod H) es una relacón de equvalenca luego H, así ba ab, bc H H De modo multplcando Se tene que a c(mod H) Una relacón de equvalenca produce una partcón del conjunto en subconjuntos o celdas como veremos más adelante Nota 0- La relacón tambén puede ser defnda como DEFINICIÓN 0: S " a b(mod H) a b H "es una relacón de equvalenca en un conjunto S, entonces se a b S / b a defne la clase a de a, como De manera que el conjunto S queda partconado en celdas, las cuales son dsjuntas, al conjunto a tambén se le denomna clase de equvalenca Donde a es llamado representante de la clase a S b d c Teorema 0- S " "es una relacón de equvalenca en S y a, b S proposcones son equvalentes: ) a b ) S a b, entonces a ) S a b, entonces las sguentes Lc Ells R Hdalgo M

2 DEFINICIÓN 0: S H es un subgrupo de G y sea a G al conjunto Ha ha / hhse le denomna clase lateral zquerda Análogamente se puede defnr clase lateral derecha Se tene que: Luego a Ha laterales derechas a b G / b a b G / b a(mod H ) b G / ba H b G / h H, ba h b G / b ha, h H ha / h H, es decr las clases de equvalenca (congruenca derecha) son las clases A contnuacón veremos un ejemplo de cómo un conjunto es partconado en celdas a partr de una relacón de equvalenca Este ejemplo es mportarte y srve para ejemplfcar muchos conceptos que son tratados en álgebra abstracta como el concepto que aquí nos ocupa, el de GRUPO COCIENTE Nota 0- Hasta aquí ya es posble demostrar el mportantísmo teorema de Lagrange Ejemplo: Congruenca módulo n en el conjunto de los enteros Sean hk, defnmos la congruenca de h con k módulo n como: ASERCIÓN: h k mod n h k mod n h k es dvsble por n h k mn, m es una relacón de equvalenca en (Demostracón trval) Descrbamos las clases de equvalenca o resduales para n,,, n, en este caso se tene mod De modo que h k / h k m, es evdente que Para h k h k m m No exste partcón en, pues solamente hay una clase, el msmo Para h n, se tene h k mod h k m, m Así h m k, m, *S k 0 se tene que h m, m, o sea que la clase h sería la de los números dvsbles por Dándole valores a m se obtene h 0,, 4, 6,, como representante de esta clase se puede elegr cualquer valor como; cero, dos, menos cuatro, etc 0 4 0,, 4, 6, *S k se tene que h m, m, o sea que la clase números dvsbles por con resduo Dándole valores a,, 5, 7 como; uno, menos tres, nueve, etc 9,, 5, 7 h sería la de los m se obtene, como representante de esta clase se puede elegr cualquer valor Es fácl ver que el conjunto de los números enteros se partó o dvdó en dos subconjuntos o clases: los enteros dvsbles por dos y los enteros que no son dvsbles por dos Lc Ells R Hdalgo M

3 Para El grupo cocente n, se tene h k mod h k m, m Así h m k, m obvamente se tendrán tres conjuntos dferentes a saber: * S k 0 se tene que h m, m, o sea que la clase h sería la de los números dvsbles por Dándole valores a m se obtene h 0,, 6, 9,, como representante de esta clase se puede elegr cualquer valor como; cero, tres, menos ses, etc 0 6 0,, 6, 9, * S k se tene que h m, m, o sea que la clase números dvsbles por con resduo Dándole valores a h sería la de los m se obtene,4,7,0,,, 5, 8,,, como representante de esta clase se puede elegr cualquer valor Se suele elegr a * S k se tene que h m, m, o sea que la clase números dvsbles por con resduo Dándole valores a h sería la de los m se obtene,5,8,,4,, 4, 7, 0,, como representante de esta clase se puede elegr cualquer valor Se suele elegr a Es fácl ver que el conjunto de los números enteros se dvde en tres subconjuntos o clases: m m m 0 Podemos nferr nductvamente que para la congruenca módulo n el conjunto de los números enteros se partcona en n subconjuntos: 0 n Nota 0- El número de elementos de las clases de equvalenca o clases laterales es el msmo, como se demuestra rápdamente empleando la transformacón : a H Ha a h ha, la cual por defncón es una sobreyeccón, además es uno a uno defnda medante DEFINICIÓN 0: Un subgrupo N de un grupo G se denomna subgrupo normal de G, s g Ng N, g G, y se denota N G La expresón g Ng N debe entenderse en el sguente sentdo: s g y n son elementos cualesquera de G y N respectvamente el producto veces se escrbe en la defncón g Ng N g ng sempre es un elemento de N A, no obstante es posble demostrar N g Ng ( Hágalo!) de modo que la gualdad es válda Los subgrupos normales son los subgrupos resaltantes de un grupo ya que tenen la propedad : G G / h g hg, de mantenerse nvarantes bajo un automorfsmo nterno podemos decr que bajo este automorfsmo dos elementos de N permutan respecto a un g g Lc Ells R Hdalgo M

4 n g gn, es decr, pueden cambar de nombre pero no dejan N elemento de G enténdase Por otro lado, las clases laterales zquerdas obtendas a partr de N concden con las clases derechas lo cual permte una de las construccones más smples en la teoría de grupos Nota 04- Un somorfsmo es una sobreyeccón entre dos grupos, : G G', que cumple la condcón ab ab, cuando G' G se le denomna automorfsmo Ejemplo: Consderemos el grupo smétrco de grado tres S Recordemos que el grupo smétrco de grado n denotado S n ó AS es el grupo de todas las aplcacones nyectcas del conjunto S sobre s msmo, con card ( S) n, cuyos elementos son denomnados permutacones En el caso S tomaremos S,,, ya que es posble hacer una comparacón maravllosa entre los elementos de S y las permutacones de los vértces de un trángulo equlátero S consderamos un trángulo equlátero de vértces, y, llamaremos 0º del trángulo Así se tene que: a las rotacones de Poscón ncal rota 0º rota 40º rota 60º Obtenéndose las rotacones sucesvas : S S dadas por: : : 0 : A las reflexones de dos vértces respecto de la bsectrz del tercer vértce del trángulo las llamaremos de modo que: Se han generado las aplcacones : : : El poder dentfcar los elementos de S con las aplcacones defndas anterormente se debe a la poderosa dea de somorfsmo, a través del cual dos conjuntos son ndstngubles desde el punto de vsta algebraco La tabla obtenda al realzar todas las posbles multplcacones entre los elementos de S se muestra más abajo Debe aclararse que la operacón de grupo adecuada es la composcón de aplcacones la cual se defne como,, S Lc Ells R Hdalgo M 4

5 Por ejemplo:, S entonces, así se tendrá que:, de modo que Sean, de modo que, de modo que Podemos ver que se ha generado la aplcacón La tabla para el grupo será: De la tabla se puede deducr que: El elemento dentdad es 0 y la nversa de una rotacón es otra rotacón de 60º en sentdo horaro, además las nversas de las reflexones son las msma reflexones * Consderemos el subgrupo N,, será 0 Debemos verfcar que se cumple la condcón N S? g ng N Tomemos S N, por lo tanto N no es subgrupo normal de S La condcón * Ahora sea el subgrupo N,, Podemos verfcar fáclmente que 0 g ng N, será se debe cumplr g S N S?, para j j N, para j j N N Evdentemente j N N S luego Teorema 0- N zquerda G s y sólo s toda clase lateral derecha de N es una clase lateral Demostracón: S N Gentonces luego, sean n, n g Ng N, g G N cualesquera Así g g n g gn gg n g gn n g gn así Ng gn, g G S g G, además gn N g para alguna clase Ng g ng n Ahora s g ge g gn g N g, tambén g eg g Ng pero según el teorema 0 las clases son dsjuntas, así N g g Ng N Ng Por lo tanto Ng gn evdentemente se tene que Lc Ells R Hdalgo M 5

6 Hasta aquí hemos vsto que un grupo puede ser dvddo en celdas, será posble operar con estas celdas? DEFINICIÓN 04: Sea N de clases laterales (derechas) como G y sean Na y Nb clases laterales de N defnmos el producto Na Nb Nab Veamos s este producto está ben defndo, es decr, que s elegmos cualquer par de representantes de ambas clases el producto sempre está en la msma clase lateral (derecha en este caso) Sean a', a'' Na y b', b'' Nb se debe probar que a' b' Nab y a'' b" Nab ó lo que es lo msmo a' b' a" b"(mod N) Se tene que, s a' Na a' na '', b' Na b' nb" a' b' n a" n b" n a" n b", pero por el teorema 0 Na an, así luego n a" n b" n n a" b" n n a" b" ' ' " " a b a b n n N Nota 05- En el caso de emplear la notacón adtva, que es reservada para grupos abelanos,, la operacón de clases se escrbría G G, N a N b N a b Ya tenemos los elementos necesaros construr nuestro grupo, pues hablar de grupo mplca tener un conjunto (como el conjunto de clases laterales derechas o ben zquerdas), ya lo tenemos! y una operacón bnara ya la defnmos!, Podemos formar un grupo? veamos: GRUPO COCIENTE Teorema 0- S N G y sea el conjunto G / N g/ g G Ng / g G G/ N es un grupo bajo la operacón Na Nb Nab, entonces Demostracón: Ya se probó que la operacón nducda está ben defnda La asocatvdad es nmedata, s Na, Nb y Nc son elementos de G/ N de ahí que NaNbNc NaNbc Na bc, y por otro lado NaNbNc Nab Nc N abc, pero por la asocatvdad en G tenemos que abc abc, de modo que se cumple la ley asocatva para clases Por otro lado afrmamos que Ne N es el elemento dentdad del grupo, pues es fácl verfcar que NaNe Nae Na y NeNa Nea Na Esto debe entenderse como s en la clase Ne N todos los elementos de N se converten en " e " Fnalmente el nverso para cada elemento de / Na G N vene dado por Na Por lo tanto G/ N es un grupo llamado grupo factor de G módulo N ó grupo cocente de G por N Nótese que la defncón de G/ N se hace para clases derechas, gualmente resulta s se hace para clases zquerdas Debe quedar claro que la dea de subgrupo normal es aquí prmordal, puesto que para cualquer subgrupo H de G el conjunto de clases laterales derechas o zquerdas no sempre será un grupo con la operacón nducda como podemos ver en el: Lc Ells R Hdalgo M 6

7 Ejemplo: Sea H 0, clases laterales derechas de H obtenemos tres: H,, H, H, el conjunto H, H, H 0, como vmos anterormente no es subgrupo normal, s hallamos las 0 cerrada como se ve fáclmente: 0 y el msmo será grupo? No Ya que la operacón no es H H H H H, o sea, s tomamos elementos de clases dferentes de H su producto debe estar en H, pero H Podemos resumr que: s un grupo es dvddo en celdas, o medante las clases laterales generadas a partr de determnado subgrupo o medante una relacón de equvalenca congruente con determnado subgrupo, no obstante estas celdas se operan empleando la operacón heredada del grupo; entonces este nuevo conjunto será un grupo sempre y cuando el subgrupo empleado sea normal o nvarante Quén es G/ N?no es más que un reagrupamento de los elementos de G de modo que es posble pensar en una relacón entre ambos grupos un homomorfsmo (lo tratamos brevemente más adelante y conlleva a una dea captal: la de somorfsmo) De ser G fnto se tene que el número de elementos de G/ N es G / N como es fácl demostrar Ejemplo: S volvemos al grupo smétrco S y consderamos el subgrupo normal N 0,,, quén será S / N?, cómo se dvde son las clases laterales de N?, vemos que las clases laterales son:, por otro lado N N N,, N N N N 0 dos clases la clase de las rotacones 0 S a partr de este subgrupo?, Cuáles así y la clase de las reflexones S,, 0,, / S N Se observa a smple vsta que S 6, N luego S/ N S / N 6/ Ejemplo: S consderamos el grupo nfnto S se dvde en,, recordemos que en un ejemplo anteror vmos que la congruenca módulo en a dvde a en tres subconjuntos Tomemos el subgrupo normal, (el grupo formado por los múltplos de ) entonces las clases laterales, con la notacón adtva, que se obtenen a partr de este subgrupo serán solo tres: m m m m m m m 0 0 / 0 / / De modo que las clases laterales son exactamente las clases de equvalenca que obtuvmos anterormente Lc Ells R Hdalgo M 7

8 Sendo así, el grupo cocente / tene sólo tres elementos: 0,, / , 4, ,, 6, 9, 5, 8, 5, 8, 4, 7 El grupo cocente HOMOMORFISMOS La relacón exstente entre el grupo ncal G y el grupo resultante G/ N vene dada matemátcamente a través de una transformacón llamada homomorfsmo, dea que analzamos a contnuacón: Sea una transformacón, dgamos, entre dos grupos G y G ' con sus respectvas operacones, es decr, un g G es transformado en g ' g G ' vía Ahora, s a, b G es posble hablar de ab G del msmo modo que se debe tener a b G' exgmos para cualquer par se cumpla ab a b S (la transformacón preserva la operatvdad de a y b para sus mágenes), entonces a se le llama homomorfsmo Una defncón formal será: DEFINICIÓN 05: Sean los grupos transformacón : G G' Ejemplo: Sean que satsface a* b a b, y G,* y G ', se llama homomorfsmo a la, para cualquer a, b G 5, grupos bajo la suma usual, la transformacón : 5 dada por ( n) 5n es un homomorfsmo, ya que ( n m) 5( n m) 5n 5 m ( n) ( m) Teorema 04-S N Gentonces exste un homomorfsmo de G sobre G/ N Para la demostracón del teorema se necesta defnr la transformacón, la cual exste naturalmente como se ve en los dos últmos ejemplos de grupo cocente Así : G G / N dado por a a Luego ab ab ab a b DEFINICIÓN 06: Se llama kernel de un homorfsmo : G G', denotado Ker, a todos los elementos de G cuya magen bajo sea el elemento dentdad e ' de G ', así: G Ker g G / ( g) e' Ker e' G ' Lc Ells R Hdalgo M 8

9 Ejemplo: De acuerdo con el teorema 04 podemos defnr : / quén será Ker? El grupo cocente, dgamos ( n) n, Por defncón Ker k / ( k) 0, ya que el elemento dentdad de / es luego ( k) 0 m/ m m, entonces k m Ker m/ m 0, que maravlla, el kernel del homomorfsmo es el subgrupo normal que genera al grupo cocente Esto queda justfcado en los sguentes teoremas: Teorema 05- S : G G' es un homomorfsmo y H es un subgrupo de G, entonces H ( h), h H es subgrupo de ' G Nota 06- Se demuestra fáclmente que ( e) e' y ( g ) ( g), en este sentdo los homomorfsmos son las transformacones que preservan la estructura algebraca de grupo Teorema 06- S : G G' es homomorfsmo, entonces Ker G Demostracón: k, k S, k k Ker ( k ) ( k ) e' Así ( kk ) ( k) ( k) e' e' e' Hemos probado la cerradura en k, k Ker Ker, ahora empleando un conocdo teorema, sean Ker, luego ( k k ) ( k ) ( k ) e' ( k ) e'( e') e' Por tanto Ker es subgrupo, nos falta demostrar la nvaranza, e, s g veamos G g kg Ker, k Ker, g kg ( g ) ( k) ( g) ( g) e' ( g) e' Se concluye que Ker G Fnalmente, hemos vsto que G y G/ N están relaconados (teorema 04) Además puesto que el núcleo (kernel) de cualquer homomorfsmo es un subgrupo normal (teorema 06) podemos construr el grupo cocente G/ K donde K representa el kernel Así exste un homomorfsmo : G G / K, K Ker G G/ K K Por otro lado, el kernel de un homomorfsmo : G G' por defncón está relaconado con G ', precsamente con e' ( e) G G G/ K K G G ' Lc Ells R Hdalgo M 9

10 Nos preguntamos exstrá alguna relacón entre / G K y G El grupo cocente?por supuesto, la relacón vene dada por el teorema sguente, donde empleamos la dea de somorfsmo (un homomorfsmo que además es una byeccón) que nos ndca que dos estructuras algebracas (grupos) son déntcas salvo por el nombre de sus elementos y la forma de operar a sus elementos G y G ', serán guales? En el gráfco anteror vale preguntar cómo son Teorema Fundamental del homomorfsmo- S : G G' es un homomorfsmo y K Ker, entonces exste un somorfsmo canónco del grupo G sobre G/ K Aquí la palabra canónco debe entenderse como natural, exstenca evdente Para la demostracón se defne naturalmente la transformacón : G / K G Ka ( a), generando G G G/ K como Del dagrama se obtene la factorzacón Esperamos haber cumpldo con nuestro objetvo, rogamos a los estudantes en quenes caga esta monografía no dejar de maravllarse con las matemátcas puras Referencas: Hersten I N Álgebra Abstracta Grupo Edtoral Iberoamercana, Méxco 988 Fralegh Jhon B Álgebra Abstracta Addson-Wesley Iberoamerca, Méxco 988 Adlson Goncalves Introducao à álgebra IMPA, Brasl 999 Algunos enlaces en la Web: OCIENTEhtm Lc Ells R Hdalgo M 0