Tema 4: Variable Aleatoria Bidimensional

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2 Contenido 1 Definición de Variable Aleatoria Bidimensional 2 Distribución y fdp Conjunta 3 Clasificación de Variables Aleatorias Bidimensionales 4 Distribuciones Condicionales 5 Funciones de dos Variables Aleatorias 6 Momentos de dos Variables Aleatorias

3 Contenido 1 Definición de Variable Aleatoria Bidimensional 2 Distribución y fdp Conjunta 3 Clasificación de Variables Aleatorias Bidimensionales 4 Distribuciones Condicionales 5 Funciones de dos Variables Aleatorias 6 Momentos de dos Variables Aleatorias

4 Definición de Variable Aleatoria Bidimensional Variable Aleatoria Bidimensional Experimento Compuesto: ε = ε 1 ε 2 con < Ω, F, P > ε 1 con esp. prob. < Ω 1, F 1, P 1 > X: Ω 1 R ω 1 Ω 1 X(ω 1) R ε 2 con esp. prob. < Ω 2, F 2, P 2 > Y : Ω 2 R ω 2 Ω 2 Y (ω 2) R Variable Aleatoria Bidimensional: (X, Y ): Ω R 2 (ω 1, ω 2 ) Ω (X(ω 1 ), Y (ω 2 )) R 2 Rango o Recorrido: Ω XY = { (x, y) R 2 (ω 1, ω 2) Ω con X(ω 1) = x, Y (ω 2) = y } Análogo al caso unidimensional: Caso bidimensional Sucesos: areas {X x, Y y} = {X x} {Y y}

5 Contenido 1 Definición de Variable Aleatoria Bidimensional 2 Distribución y fdp Conjunta 3 Clasificación de Variables Aleatorias Bidimensionales 4 Distribuciones Condicionales 5 Funciones de dos Variables Aleatorias 6 Momentos de dos Variables Aleatorias

6 Función Distribución Conjunta Función Distribución Conjunta Definición: Se define la Función Distribución Conjunta de la v.a. bidimensional (X, Y ) como F XY : R 2 R (x, y) R 2 F XY (x, y) = P (X x, Y y) F XY contiene toda la información probabilística de la variable aleatoria (X, Y ). F XY (x, y) representa la probabilidad de que la v.a. bidimensional tome valores en el cuadrante (x, y).

7 Función Distribución Conjunta Función Distribución Conjunta. Propiedades 1 F XY (x, ) = F XY (, y) = 0 F XY (, ) = 1 2 F XY (x, ) = F X(x) F XY (, y) = F Y (y) 3 0 F XY (x, y) 1 4 FD es no decreciente (en x y en y). 5 x 1 < x 2 P (x 1 < X x 2, Y y) = F XY (x 2, y) F XY (x 1, y) 6 x 1 < x 2, y 1 < y 2 P (x 1 < X x 2, y 1 < Y y 2) = F XY (x 2, y 2) + F XY (x 1, y 1) F XY (x 1, y 2) F XY (x 2, y 1)

8 Función Densidad de Probabilidad Conjunta Función Densidad de Probabilidad Conjunta Definición: f XY (x, y) = δ2 F XY (x, y) δxδy f XY contiene toda la información probabilística de (X, Y ) Propiedades 1 f XY (x, y) 0 2 F XY (x, y) = x y α= β= f XY (α, β)dαdβ 3 y= f XY (x, y)dxdy = 1 x= 4 P ((X, Y ) D) = D f XY (x, y)dxdy 5 Concepto de densidad: f XY (x, y) = P (x < X x + x, y < Y y + y) lím x 0 + x y y 0 +

9 Funciones Marginales Funciones Marginales Marginal de X: Marginal de Y : F X (x) = F XY (x, ) f X (x) = F Y (y) = F XY (, y) f Y (y) = f XY (x, y)dy f XY (x, y)dx

10 Contenido 1 Definición de Variable Aleatoria Bidimensional 2 Distribución y fdp Conjunta 3 Clasificación de Variables Aleatorias Bidimensionales 4 Distribuciones Condicionales 5 Funciones de dos Variables Aleatorias 6 Momentos de dos Variables Aleatorias

11 Clasificación de Variables Aleatorias Bidimensionales Clasificación en función del Rango de la v.a. Bidimensional 1 Rango = Conjunto de puntos aislados 2 Rango = Conjunto de líneas 3 Rango = Área no nula

12 Clasificación de Variables Aleatorias Bidimensionales 1: Rango = Conjunto de Puntos Aislados X e Y v.a. discretas. Ω X = {x 1, x 2,...}, Ω Y = {y 1, y 2,...} P (x i, y k ) = P (X = x i, Y = y k ) = p ik Función Distribución: F XY (x, y) = x i x y k y p ik = (x i,y k ) Ω XY p ik u(x x i)u(y y k ) Función Densidad de Probabilidad: f XY (x, y) = p ik δ(x x i)δ(y y k ) (x i,y k ) Ω XY P ((X, Y ) D) = (x i,y k ) D p ik Marginales: P (X = x i) = k p ik P (Y = y k ) = i p ik Ejemplos: Lanzamiento de dos monedas independientes 1 X cara o cruz, Y cara o cruz. 2 X cara o cruz primera moneda. Y número de cruces.

13 Clasificación de Variables Aleatorias Bidimensionales 2: Rango = Conjunto de Líneas 1 X discreta, Y continua (o viceversa) Ω XY conjunto de líneas verticales (u horizontales) x i Ω X, y Ω Y P (X = x i, Y y) Función Distribución: F XY (x, y) = P (X = x i, Y y) = P (X = x i, Y y)u(x x i ) x i Ω X x i x Función Densidad de Probabilidad: f XY (x, y) = δp (X = x i, Y y) δ(x x i ) δy x i Ω X Marginales: P (X = x i ) = P (X = x i, Y ) F Y (y) = 2 X continua, Y = g(x) Ω XY : línea y = g(x) x i Ω X P (X = x i, Y y) 3 X = g(z), Y = h(z) F XY (x, y) en función de F Z(z)

14 Clasificación de Variables Aleatorias Bidimensionales 3: Rango = Área no Nula X e Y continuas (o mixtas) Ejemplo: V.a. uniforme en Ω XY { K (x, y) ΩXY f XY (x, y) = 0 resto Obtención de K: Ω XY Kdxdy = KArea(Ω XY ) = 1 K = 1 Area(Ω XY ) Caso Particular: Ω XY rectángulo x 1 < x < x 2, y 1 < y < y 2. Marginales: f X (x) = f Y (y) = { 1 x f XY (x, y)dy = x 2 x 1 < x < x resto { 1 y f XY (x, y)dx = y 2 y 1 < y < y resto Ambas vuelven a ser uniformes (éste es un caso especial)

15 Contenido 1 Definición de Variable Aleatoria Bidimensional 2 Distribución y fdp Conjunta 3 Clasificación de Variables Aleatorias Bidimensionales 4 Distribuciones Condicionales 5 Funciones de dos Variables Aleatorias 6 Momentos de dos Variables Aleatorias

16 Distribuciones Condicionales Función Distribución Condicionada Definición: Para un suceso M, la función distribución de (X, Y ) condicionada a M se define como: F XY (x, y M) = P (X x, Y y M) = Marginales: P ({X x, Y y} M) P (M) F X(x M) = F XY (x, M) F Y (y M) = F XY (, y M) Función Densidad de Probabilidad Condicionada Definición: Marginales: f X(x M) = f XY (x, y M) = δ2 F XY (x, y M) δxδy f XY (x, y M)dy f Y (y M) = f XY (x, y M)dx

17 Distribuciones Condicionales Obtención de la Distribución Conjunta Sea M = {Y y}: F X (x M) = Haciendo M = {X x}: P ({X x} {Y y}) P (Y y) = F XY (x, y) F Y (y) F XY (x, y) = F X(x Y y)f Y (y) F XY (x, y) = F Y (y X x)f X(x) = F X (x Y y) Obtención de la fdp Conjunta A partir de M = {y < Y y + y} (o M = {x < X x + x}): f XY (x, y) = f X(x Y = y)f Y (y) f XY (x, y) = f Y (y X = x)f X(x) f XY (x, y) = f X(x y)f Y (y) f XY (x, y) = f Y (y x)f X(x)

18 Principales Teoremas Teorema de la Multiplicación f XY (x, y) = f X (x y)f Y (y) = f Y (y x)f X (x) Teorema de la Probabilidad Total f X (x) = f X (x y)f Y (y)dy f Y (y) = f Y (y x)f X (x)dx Teorema de Bayes f Y (y x) = f X(x y)f Y (y) f X (x) f X (x y) = f Y (y x)f X (x) f Y (y)

19 Independencia de Variables Aleatorias Independencia de Variables Aleatorias Recordamos: Sucesos independientes P (A B) = P (A)P (B) Definición: X e Y son variables aleatorias independientes sii los sucesos {X x}, {Y y} son independientes para todo x, y, es decir En el caso discreto: P ({X x} {Y y}) = P (X x)p (Y y) F XY (x, y) = F X(x)F Y (y) f XY (x, y) = f X(x)f Y (y) f X(x y) = f X(x) f Y (y x) = f Y (y) P (X = x i, Y = y k ) = P (X = x i)p (Y = y k ) x i Ω X, y k Ω Y Teorema: Si las v.a. X e Y son independientes, las v.a. Z = g(x), W = h(y ) también son independientes.

20 Independencia de Variables Aleatorias Ejemplos 1 (X, Y ) v.a uniforme en el rectángulo x 1 < X < x 2, y 1 < Y < y 2: { 1 (x, y) Ω f XY (x, y) = (x 2 x 1 )(y 2 y 1 ) XY 0 resto { 1 x f X (x) = x 2 x 1 < x < x resto f Y (y) = { 1 y 2 y 1 y 1 < y < y 2 0 resto f XY (x, y) = f X (x)f Y (y) (X, Y ) son independientes 2 (X, Y ) v.a. uniforme en el círculo unidad (R = X 2 + Y 2 1): { 1 x f XY (x, y) = π 2 + y resto { 2 { f X (x) = π 1 x 2 1 x 1 2 f 0 resto Y (y) = π 1 y 2 1 y 1 0 resto f XY (x, y) f X (x)f Y (y) (X, Y ) no son independientes { f Y (y x) = f 1 XY (x, y) 1 x = 2 1 x 2 y 1 x 2 2 f X (x) 0 resto fdp condicionada uniforme f Y (y x) f Y (y)

21 Contenido 1 Definición de Variable Aleatoria Bidimensional 2 Distribución y fdp Conjunta 3 Clasificación de Variables Aleatorias Bidimensionales 4 Distribuciones Condicionales 5 Funciones de dos Variables Aleatorias 6 Momentos de dos Variables Aleatorias

22 Una función de dos Variables Aleatorias Función de una v.a. bidimensional (X, Y ) v.a. bidimensional: (X, Y ): Ω R 2 (ω 1, ω 2) Ω (X(ω 1), Y (ω 2)) R 2 Z v.a. función de (X, Y ) Z: R 2 R (X, Y ) Z = g (X(ω 1), Y (ω 2)) Objetivo: Caracterizar Z a partir del conocimiento de g( ) y suponiendo caracterizada la v.a. (X, Y ) F Z (z) = P (Z z) = P ((X, Y ) B XY ) B XY = { (x, y) R 2 g(x, y) z } Proceso: Búsqueda de B XY para cada z Obtención de P (Z z) = P ((X, Y ) B XY ) Ejemplos: Amplificador de entrada a un receptor, modulador, avión bimotor, salto de longitud (3 v.a.),...

23 Una función de dos Variables Aleatorias Función de v.a. bidimensional. Ejemplo 1 X, Y variables aleatorias independientes Z = X + Y F Z (z) = P (Z z) = P (X + Y z) = f XY (x, y)dxdy B XY = { (x, y) R 2 x + y z } B XY z x F Z (z) = x= y= z x = x= y= Derivando respecto a z: f Z(z) = x= v.a. indep f XY (x, y)dxdy = f X (x)f Y (y)dxdy = f X (x)f Y (z x)dx x= f X(x)f Y (z x)dx f Z(z) = f X(z) f Y (z)

24 Una función de dos Variables Aleatorias Teorema de la Convolución Teorema: Sean X e Y v.a. independientes y Z = X + Y f Z (z) = f X (z) f Y (z) Otros resultados importantes Dadas las v.a. independientes X 1,..., X N, la combinación lineal N Y = b + a k X k, es una v.a. con media y varianza k=1 N η Y = b + a k η Xk k=1 σ 2 Y = N k=1 a 2 k σ2 X k Si X 1,..., X N son v.a. Gaussianas, Y es Gaussiana. Si N entonces Y es Gaussiana independientemente de las distribuciones de X 1,..., X N (Teorema del Límite Central)

25 Una función de dos Variables Aleatorias Función de v.a. bidimensional. Ejemplo 2 X, Y variables aleatorias independientes Z = máx(x, Y ) B XY : {Z z} = {X z} {Y z} v.a. indep F Z(z) = P (Z z) = P ({X z} {Y z}) = = P (X z)p (Y z) = F X(z)F Y (z) Función de v.a. bidimensional. Ejemplo 3 ε: Lanzamiento de dos dados independientes X: puntuación dado 1. Y : puntuación dado 2 Ω X = {1,..., 6} P (X = x i) = 1/6 x i = Ω X Ω Y = {1,..., 6} P (Y = y k ) = 1/6 y k = Ω Y Z: Suma de puntuaciones Z = X + Y f Z(z) = f X(z) f Y (z)

26 Dos Funciones de dos Variables Aleatorias Funciones de dos Variables Aleatorias (X, Y ) v.a. bidimensional g( ), h( ) funciones de (X, Y ) Z: R 2 R W : R 2 R (X, Y ) Z = g (X, Y ) (X, Y ) W = h (X, Y ) (Z, W ) es una v.a. bidimensional Objetivo: Caracterizar Z y W de manera conjunta a partir del conocimiento de g( ), h( ) y suponiendo caracterizada la v.a. (X, Y ) F ZW (z, w) = P (Z z, W w) = P ((X, Y ) B XY ) B XY = { (x, y) R 2 g(x, y) z, h(x, y) w } Ejemplos: Interferencias en sistemas wireless, Separación ciega de fuentes,...

27 Dos Funciones de dos Variables Aleatorias Teorema Fundamental Teorema: Sean X, Y v.a. continuas y g(x, y), h(x, y) funciones no constantes en ningún intervalo de Ω XY. Entonces la fdp conjunta de las variables aleatorias Z = g(x, Y ), W = h(x, Y ) viene dada por f ZW (z, w) = n i=1 f XY (x i, y i) J(x i, y i) J(x, y) es el Jacobiano δz δz δx δy J(x, y) = δw δx δw δy = 1 J(z, w) J(z, w) = δx δz δy δz δx δw δy δw (x i, y i) son las raíces del sistema de ecuaciones } z = g(x, y) w = h(x, y)

28 Dos Funciones de dos Variables Aleatorias Teorema Fundamental Ejemplo: R, Θ v.a. independientes f R (r) = r r 2 σ 2 e 2σ 2 r 0 (Rayleigh) f Θ (θ) Uniforme en ( π, π) f RΘ (r, θ) = f R (r)f Θ (θ) = r r 2 { 2πσ 2 e 2σ r 0 2 π < θ < π Transformación: X = R cos Θ, Y = R sin Θ Jacobiano: δx δx J(r, θ) = δr δθ = cos θ sin θ Raíces: x = r cos θ y = r sin θ } δy δr δy δθ sol. única = r sin θ r cos θ = r { r1 = x 2 + y 2 θ 1 = arctan(y/x)

29 Dos Funciones de dos Variables Aleatorias Teorema Fundamental Ejemplo (Continuación): R, Θ v.a. independientes f R (r) = r r 2 σ 2 e 2σ 2 r 0 (Rayleigh) f Θ (θ) Uniforme en ( π, π) f RΘ (r, θ) = f R (r)f Θ (θ) = r r 2 { 2πσ 2 e 2σ r 0 2 π < θ < π Transformación: X = R cos Θ, Y = R sin Θ Obtención de la fdp: f XY (x, y) = f RΘ(r 1,θ 1 ) J(r 1, θ 1 ) = 1 x 2 +y 2 2πσ 2 e 2σ 2 { < x < < y < Marginales: N (0, σ) f X (x) = 1 2πσ e x2 2σ 2 f Y (y) = 1 2πσ e y2 2σ 2 f XY (x, y) = f X (x)f Y (y) X, Y independientes

30 Método de la Variable Aleatoria Auxiliar Método de la v.a. Auxiliar Motivación: Dada (X,Y ) v.a. bidimensional continua, formamos Z = g(x, Y ) y se desea obtener f Z (z) 1 Se define W = h(x, Y ) (normalmente W = X o W = Y ) 2 f ZW (z, w) a partir de f XY (x, y) mediante el T a Fundamental 3 Se obtiene f Z(z) = fzw (z, w)dw Ejemplo X, Y v.a. independientes. Z = X + Y 1 Definimos W = Y 2 f XY (x, y) = f X (x)f Y (y) δz δz J = δx δw δx δy δw δy = = 1 z = x + y w = y } { x1 = z w y 1 = w f ZW (z, w) = f XY (x 1, y 1 ) = f XY (z w, w) = f X (z w)f Y (w) J(x 1, y 1 ) 3 f Z (z) = f ZW (z, w)dw = f X(z w)f Y (w)dw = f X (z) f Y (z)

31 Contenido 1 Definición de Variable Aleatoria Bidimensional 2 Distribución y fdp Conjunta 3 Clasificación de Variables Aleatorias Bidimensionales 4 Distribuciones Condicionales 5 Funciones de dos Variables Aleatorias 6 Momentos de dos Variables Aleatorias

32 Media y Varianza Media de una Función de dos Variables Aleatorias Definición: Z = g(x, Y ) E [g(x, Y )] = g(x, y)f XY (x, y)dxdy En el caso discreto: E [g(x, Y )] = i g(x i, y k )P (X = x i, Y = y k ) k Media condicionada: E[g(X, Y ) M] = g(x, y)f XY (x, y M)dxdy Teorema X, Y v.a. independientes E[XY ] = E[X]E[Y ]

33 Media y Varianza Varianza de una Función de dos Variables Aleatorias Var[g(X, Y )] = E [ g 2 (X, Y ) ] E [g(x, Y )] 2 Teorema Resumen X, Y v.a. independientes Var[X + Y ] = Var[X] + Var[Y ] Dadas X 1,..., X N v.a. independientes: N N N Y = b + a k X k E[Y ] = b + a k E[X k ] Var[Y ] = a 2 kvar[x k ] k=1 k=1 Además: Si X 1,..., X N son v.a. Gaussianas, Y es Gaussiana. Si N entonces Y es Gaussiana independientemente de las distribuciones de X 1,..., X N (Teorema del Límite Central) k=1

34 Momentos de dos Variables Aleatorias Momento no centrado de orden (r, s) m rs = xr y s f XY (x, y)dxdy = E[X r Y s ] Momento centrado de orden (r, s) µ rs = (x ηx)r (y η Y ) s f XY (x, y)dxdy = E[(X η X) r (Y η Y ) s ] Casos Particulares Medias: m 10 = E[X] = η X, m 01 = E[Y ] = η Y Varianzas: µ 20 = E[(X η X) 2 ] = σx, 2 µ 02 = E[(Y η Y ) 2 ] = σy 2 Covarianza: µ 11 = Cov(X, Y ) = E[(X η X)(Y η Y )] = C XY = σ XY Coeficiente de Correlación: r XY = Cov(X, Y ) σ Xσ Y = Cov(X, Y ) σ 2 X σ 2 Y 1 r XY 1

35 Relaciones Estadísticas Relación Estadística entre dos Variables Aleatorias Independencia: f XY (x, y) = f X(x)f Y (y) f X(x y) = f X(x) f Y (y x) = f Y (y) No existe relación estadística entre X e Y Incorrelación: No existe relación estadística lineal entre X e Y C XY = 0 E[XY ] = E[X]E[Y ] r XY = 0 Ortogonalidad: E[XY ] = 0 Además... X, Y v.a. independientes X, Y incorreladas r XY = ±1 Existe relación estadística lineal exacta entre X e Y Y = ax + b

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