4 Variables aleatorias discretas

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1 4 Variables aleatorias discretas Al realizar un experimento aleatorio, muchas veces no estamos interesados en el resultado, sino en una función del mismo. Por ejemplo si tiramos dos veces un dado, podemos estar interesados en saber cuál es la suma, cuántas veces salió un valor en particular, cuál es el máximo de los dos valores observados, etc. Una variable aleatoria es una función que a cada elemento del espacio muestral, le hace corresponder un número. Ejemplos: 1) Se tira un dado dos veces y se observa X = el número de veces que sale as 2) Se tira un dado dos veces y se observa Y = el máximo de los dos valores 3 )Se tira una moneda hasta que sale cara y se de ne Z = el número de tiradas necesarias 4) Se enciende una lámpara y se observa T = el tiempo hasta que se quema Todas estas son variables aleatorias, si consideramos el conjunto de valores que puede tomar cada una de estas variables vemos que: v X = f0; 1; 2g v Y = f1; 2; 3; 4; 5; 6g v Z = f1; 2; 3; :::g v T = (0; 1) En los dos primeros ejemplos el conjunto de valores es nito, en el tercero es in nito numerable y en el cuarto es no numerable. Cuando el conjunto de valores que toma una variable aleatoria es nito o numerable, la variable se denomina discreta. Las variables X, Y y Z de nidas anteriormente son v. a. discretas. Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor en un continuo, la T es una v.a.continua. Por el momento nos dedicaremos a estudiar las v. as. discretas. Utilizaremos la siguiente notación: (X = a) es un evento de, que está formado por todos los resultados para los que la variable X toma el valor a. En el primer ejemplo: 12

2 (X = 0) = (X = 1) = 8 >< (X = 3) = f(1; 1)g (2; 2); (2; 3); :::; (2; 6); (3; 2); (3; 3); :::; (3; 6); ::: (6; 2); (6; 3); :::; (6; 6) 9 >= >: >; (1; 2); (1; 3); (1; 4); (1; 5); (1; 6); (2; 1); (3; 1); (4; 1); (5; 1); (6; 1) Si el espacio es equiprobale, es fácil ver que: En el segundo ejemplo (Y = 1) = f(1; 1)g P (X = 0) = 25=36 P (X = 1) = 10=36 P (X = 2) = 1=36 (Y = 2) = f(1; 2); (2; 1); (2; 2)g (Y = 3) = f(1; 3); (3; 1); (2; 3); (3; 2); (3; 3)g (Y = 4) = f(1; 4); (4; 1); (2; 4); (4; 2); (3; 4); (4; 3); (4; 4)g etc Del mismo modo se pueden calcular las probabilidades P (Y = y), para valores de y = 1; 2; 3; 4; 5; 6 Función de distribución. La función de distribución de una variable aleatoria X se de ne como F (x) = P (X x) para todo x: Evidentemente es una función no decreciente y cumple para todo a < b P (a < X b) = F (b) F (a): 13

3 Función de frecuencia. La función de frecuencia de una variable aleatoria discreta X es f(x) = P (X = x): Permite calcular probabilidades referidas a la X: P (a X b) = X f(x) 8 a; b; axb donde la suma es sobre los valores x que toma X: La función de frecuencia cumple f(x) 0; X x f(x) = 1; (6) Se relaciona con la función de distribución a través de F (x) = P (X x) = X kx f(k): Es evidente, entonces, que la función de distribución de una variable aleatoria discreta es escalonada, con saltos en los valores que toma la variable y constante en el resto. La función de frecuencia de la v.a.x del ejemplo está dada por: x p(x) 25=36 10=36 1=36 Se puede ver que veri ca (6). La función de distribución para esta variable es: si x < 0 >< >= 25=36 si 0 6 x < 1 F (x) = 35=36 si 1 6 x < 2 >: >; 1 si x > 2 La función de frecuencia de la Y del ejemplo se muestra en la siguiente tabla: y p(y) 1=36 3=36 5=36 7=36 9=36 11=36 14

4 Que también veri ca (6). La función de distribución para esta variable es: 0 si x < 1 1=36 si 1 x < 2 4=36 si 2 x < 3 F (x) = 9=36 si 3 x < 4 16=36 si 4 x < 5 25=36 si 5 x < 6 1 si x 6 La probabilidad de cualquier evento que se relacione con el máximo de las dos tiradas puede calcularse usando la función de distribución. por ejemplo: sean A el evento el máximo de las dos tiradas es al o sumo 3, B el máximo de las dos tiradas es 4, C el máximo es mayor que 2 y menor que 5 P (A) = P (X 3) = F (3) = 9=36 P (B) = P (X = 4) = P (X 4) P (X 3) = F (4) F (3) P (C) = P (2 < X < 5) = P (2 < X 4) = F (4) F (2) Variables aleatorias independientes. El ejemplo de las dos mesas de ruleta dado anteriormnte motiva la siguiente de nición: Las variables X; Y son independientes si para todo a; b; los eventos (X a) y (Y b) son independientes. Para variables aleatorias discretas, la de nición de independencia es eqivalente a: para todo a; b; los eventos (X = a) y (Y = b) son inependientes. Esta noción será útil para representar los resultados de experimentos que no se in uyen mutuamente. Realice los ejercicios de 1 a Distribución binomial Supongamos que en un hospital hay 3 pacientes internados con determinada enfermedad, a los cuales se les aplica el mismo tratamiento (estos individuos no son parientes). Supongamos que la probabilidad de que un individuo sane en una semana de tratamiento es p. Sea Y el número de individuos que sanan en una semana de tratamiento. Y puede tomar los valores 0 (ninguno 15

5 sana en una semana), 1, 2 o 3 (todos sanan en una semana). Los posibles resultados y sus respectivas probabilidades se resumen en la siguiente tabla. Pac 1 Pac 2 Pac 3 Valor de Y Probabilidad de este resultado N N N 0 (1 p)(1 p)(1 p) = (1 p) 3 S N N 1 p(1 p)(1 p) = p(1 p) 2 N S N 1 (1 p)p(1 p) = p(1 p) 2 N N S 1 (1 p)(1 p)p = p(1 p) 2 S S N 2 pp(1 p) = p 2 (1 p) S N S 2 p(1 p)p = p 2 (1 p) N S S 2 (1 p)pp = p 2 (1 p) S S S 3 ppp = p 3 Si nos interesa unicamente saber cuantos pacientes sanan en la primera semana de tratamiento (el valor de Y), y las respectivas probabilidades, se puede resumir aun más. Valor de Y Probabilidad 0 (1 p) 3 1 3p(1 p) 2 2 3p 2 (1 p) 3 p 3 esta es una manera de expresar la función de frecuencia de la variable aleatoria Y. Este es un caso particular de la distribución binomial, en general si tenemos n repeticiones de un ensayo que puede tener solo dos resultados, que se suelen llamar éxito y fracaso, la probabilidad de éxito p, es la misma en cada repetición y los resultados de cada repetición son independientes, la variable aleatoria que cuenta el número de éxitos en los n ensayos tiene distribución binomial con parámetros n y p (X s B(n; p)) Se puede demostrar que su función de frecuencia es n f(k) = P (X = k) = p k (1 p) n k (k = 0; 1; :::; n): k En el ejemplo dado anteriormente, cada paciente se considera un ensayo: para cada paciente los posibles resultados son S (sana en una semana de tratamiento) y N (no sana en una semana de tratamiento); la probabilidad 16

6 de sanar es p, la misma para cada individuo; y los resultados de los diferentes individuos son independientes. X s B(3; p); donde p es la probabilidad de que un individuo sane en una semana de tratamiento. La distribución binomial es también útil cuando se toman muestras de una población nita. Supongamos por ejemplo una población de N = personas, de las cuales M = 4000 son fumadores. Se toma una muestra aleatoria de n = 50 personas; sea X la cantidad de fumadores en la muestra. Entonces la distribución de la variable aleatoria X es aproximadamente binomial con n = 50 y p = M=N = 0:4: Esto se puede aplicar en general cuando el tamaño N de la población es grande. Realice los ejercicios de 6 a Distribución de Poisson Una variable aleatoria que toma los valores 0; 1; 2; : : : se dice que tiene distribución de Poisson con parámetro > 0, (X s P ()) si su función de frecuencia está dada por: f(k) = P (X = k) = e k (k = 0; 1; 2; : : :) k! La distribución de Poisson sirve para modelizar el número Y de eventos raros que ocurren en el tiempo o en el espacio. Por ejemplo el número de partículas emitidas por una sustancia radiactiva en un intervalo de tiempo, el número de accidentes industriales ocurridos en un período, el número de bacterias en un volumen de agua, el número de árboles de determinada especie distribuidos aleatoriamente en un área, etc. Algunos de esos ejemplos son procesos temporales, interesa conocer cuántas veces ocurre un evento en un intervalo de tiempo; y otros son procesos espaciales, interesa conocer cuántos puntos hay en un volumen o un área. Se denomina proceso temporal de Poisson cuando cumple las siguientes características: Invariancia: Las condiciones no cambian en el tiempo. Falta de memoria: Lo que sucede en el intervalo de tiempo [0; t) no in uye en lo que suceda en el intervalo [t; t 0 ) para t 0 > t: 17

7 Sucesos aislados: La probabilidad de que en un intervalo de tiempo muy corto ocurra más de una vez el evento, es despreciable comparada con la probabilidad de que ocurra una o ninguna vez. Para un proceso de este tipo, si X t es la variable aleatoria que mide el número de veces que ocurre el evento en un intervalo de tiempo de longitud t, puede verse que X t es una variable aleatoria discreta cuya función de frecuencia está dada por: ct (ct)k f(k) = e k! entonces X t tiene distribución de Poisson con parámetro = ct, donde c es una constante positiva que está relacionada con el tipo de proceso. Las características de un proceso espacial de Poisson se pueden expresar como: Homogeneidad espacial: La probabilidad de que un punto esté en una región dada, sólo depende del tamaño de esa región (área o volumen) y no de su forma o posición. No interacción: lo que ocurre en una región es independiente de lo que ocurre en otra, si no se superponen. La variable aleatoria X a que mide el número de puntos en una región de área o volumen a, tiene distribución de Poisson con parámetro = ca Ejemplo 4.1 Suponga que estamos midiendo la emisión de partículas radiactivas, y que este es un proceso de Poisson con tasa 6 por minuto. Cuál es la probabilidad de que en un período de 1/2 minuto ocurran al menos dos emisiones? Si X es la variable aleatoria que mide el número de emisiones en 1/2 minuto, esta tiene distribución de Poisson con = 6 0:5 = 3. P (X 2) = 1 P (X < 2) = 1 (P (X = 0) + P (X = 1)) = = 1 e 3 ( 30 ) = 1 0:05(1 + 3) = 1 0:2 = 0: ! 1! Ejemplo 4.2 La distribución de plantas de cierta especie en una zona sigue un proceso de Poisson con una tasa de 6 plantas por metro cuadrado. De qué medida debe ser tomado el radio r de una región circular de muestreo para que la probabilidad de hallar al menos una planta de esa especie en la región de muestreo sea 0:99? 18

8 Si la región de muestreo es circular de radio r, el área de esa región es a = r 2, y la variable aleatoria X a que mide el número de plantas en esa región tendrá distribución de Poisson con = 6 r 2, entonces P (X > 0) = 1 P (X = 0) = 1 exp( 6r 2 ) 0:99 y despejando: r 2 ln 0:01=6 =) r 0:4943 Aproximación de Poisson a la binomial En muchas aplicaciones tratamos con una variable aleatoria con distribución binomial donde n es grande y p es pequeña, en esos casos el cálculo de los números combinatorios es sumamente engorroso, y es útil tener alguna aproximación al valor de la probabilidad. Puede demostrarse que en ese caso: n f(k) = p k (1 p) n k ' e k ; donde = np k k! esta aproximación es aceptable si p < 0:10 Ejemplo 4.3 Se sabe que el peso al nacimiento muy bajo (<1500gr), es una de las causas de morbilidad infantil. Se conoce que en determinada población el porcentaje de niños con muy bajo peso al nacimiento es de 1.2%. Si consideramos los 200 nacimientos en un hospital de esa población, cuál es la probabilidad de que el número de recién nacidos con muy bajo peso en ese grupo sea mayor de 3? La variable aleatoria X que cuenta el número de niños con muy bajo peso entre los 200 nacimientos, tiene distribución binomial donde n = 200 y p = 0:012, y se puede aproximar con una Poisson con = 2:4 P (X > 3) = 1 P (X 3) ' 1 e 2:4 (1+2:4+ 2:42 + 2:43 ) = 1 0:7787 = 2! 3! 0:2213 Realice los ejercicios de 9 a Parámetros de una variable aleatoria discreta El valor medio o esperado de una variable aleatoria X se indica con EX y es un promedio ponderado de los valores que toma, cada valor con un peso dado por su probabilidad. Más formalmente, se de ne: 19

9 para una variable discreta con función de frecuencia f; es EX = X x xf(x); donde x recorre todos los valores que toma X: El signi cado intuitivo del valor medio es el siguiente: imaginemos que el experimento se repite un gran número N de veces, y se toma el promedio de los valores de X observados; entonces EX es el límite de esos promedios cuando N! 1: Si X es una variable aleatoria y h es una función cualquiera, h(x) es una variable aleatoria cuya media se calcula como: para una variable aleatoria X discreta con función de frecuencia f Eh(X) = X x h(x)f(x) Una consecuencia inmediata es que el valor medio tiene la propiedad de linealidad: si a; b son constantes E(aX + b) = aex + b: (7) La varianza de X se de ne como var(x) = E(X EX) 2 = EX 2 (EX) 2 Cumple para todo a; b constantes: var(ax + b) = a 2 var(x) La desviación típica de X es una medida de dispersión, de nida como dt(x) = p var(x): Cumple para todo a; b constantes: dt(ax + b) = jaj dt(x): (8) Si X es constante: X c; entonces EX = c y dt(x) = 0: 20

10 Si X tiene media y varianza 2 ; se deduce de (7) y (8) que la variable normalizada (X ) Z = tiene media 0 y varianza 1. En efecto EZ = 1 E(X ) = 1 (EX E) = 1 ( ) = 0; dt(z) = 1 dt(x ) = 1 dt(x) = = 1: Se puede probar que la media y varianza de una variable X con distribución binomial son EX = np; var(x) = np(1 p): (9) y la media y varianza de una variable X con distribución de Poisson son EX = ; var(x) = (10) El cuantil- de la variable X con función de distribución F es el número x() tal que F (x()) = : Los cuantiles para =0.50, 0.25 y 0.75 se llaman mediana y cuartiles de X: El cuantil de digamos = 0:45 se suele llamar también el percentil del 45%. Realice el resto de los ejercicios. 21

11 Práctica 2 1. Sea X una varable aleatoria que toma los valores f0; 1; 2; 3; 4g (a) Cuál de las siguientes tres funciones p i (x) es realmente una función de frecuencia legítima para X, y por qué no se permiten las otras dos? x p 1 (x) 0; 3 0; 2 0; 1 0; 05 0; 05 p 2 (x) 0; 4 0; 1 0; 1 0; 1 0; 3 p 3 (x) 0; 2 0; 4 0; 2 0; 3 0; 1 p 4 (x) 0; 4 0; 1 0; 2 0; 1 0; 3 (b) Para la función de frecuencia legítima de la parte a), calcule P (2 X 4); P (X 2); P (X 6= 0) (c) Si p(x) = c(5 x) para x = 0; 1; 2; 3; 4 es otra función de frecuencia cuál es el valor de c? 2. Se lanzan tres monedas, sea X = número de caras observadas (a) Calcular la función de frecuencia de la variable aleatoria X (b) Calcular la función de distribución (c) Calcular E(X) 3. Un bolillero contiene 7 bolillas blancas y 3 negras. Se extraen 3 bolillas, calcular la función de distriución de la variables X = número de bolillas blancas obtenidas, en las dos situaciones siguientes (a) Las extracciones se realizan con reemplazo (b) Las extracciones se realizan sin reemplazo 4. Sea X una variable aleatoria cuya función de distribución está dada por: 0 si x < 1 0; 30 si 1 x < 3 F (x) = 0; 40 si 3 x < 4 0; 45 si 4 x < 6 0; 60 si 6 x < 12 1 si x 12 22

12 (a) Calcular P (3 < X 6); P (X < 6); P (X 4) (b) Calcular la función de frecuencia. 5. Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos cientos de pesos como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de pesos como marca el dado. Determinar la función de frecuencia de Y = ganancia del jugador y gra que. 6. Un examen con multiple choice está compuesto por 15 preguntas, con 5 respuestas posibles cada una, de las cuales sólo una es correcta. Supóngase que uno de los estudiantes que realiza el examen contesta las preguntas al azar. Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente al menos 10 preguntas? 7. Considere un grupo de 7 individuos elegidos de un población de 65 a 74 años de edad. Se conoce que la prevalencia de diabetes en la población de esa edad es de 0; 125. (a) Cuál es la probabilidad de que exactamente 4 de los individuos de la muestra padezca diabetes? (b) Cuál es la probabilidad de que ninguno de los individuos de la muestra padezca diabetes? (c) Cuál es el número esperado de diabéticos en la muestra? 8. El número de solicitudes de asistencia recibido por un servicio de remolque de vehículos es un proceso de Poisson con tasa c = 4 por hora. (a) Calcule la probabilidad de que se reciban 10 solicitudes entre las 16 y las 17 hs. (b) Si los operadores de las grúas se toman un descanso de 30 min. Cuál es la probabilidad de que no se reciba ninguna llamada de asistencia durante ese período? 9. Una compañía de seguros recibe un número medio de 3 reclamos por día. Suponiendo que la distribución del número de reclamos por día es Poisson, (a) calcule la probabilidad de que en un día se reciban menos de 3 reclamos, 23

13 (b) calcule la probabilidad de que en un día se reciban 4 reclamos, (c) calcule la probabilidad de que en 3 de los próximos 5 días, reciba 4 reclamos. 10. Se supone que el número de bacterias en el agua de un estanque es una variable aleatoria X con distribución de Poisson con media de 0,5 bacterias por mm 3 (a) Cuál es la probabilidad de que en un mm 3 de agua del estanque no haya ninguna bacteria? (b) En 4 tubos de ensayo se toman muestras de agua del estanque (1 mm3 de agua en cada tubo). Qué distribución sigue la variable Y = "n de tubos de ensayo, entre los 4, que no contienen bacterias"?. Calcular, aproximadamente, P (Y 2). (c) Si sabemos que en un tubo hay bacterias, cuál es la probabilidad de que haya menos de tres? 11. En cierta ciudad, hay un promedio de 375 parásitos de diversos tipo en 1000 litros de água corriente. Cuál es la probabilidad de encontrar al menos un parásito en 1 litro de água? Modelice la situación 12. Sea X la variable aleatoria que representa la cantidad de niños, en un grupo de 2000, que mueren antes de cumplir el primer año de vida. En determinada población la probabilidad de que un niño muera antes del año es de 0; 0085 (a) Cuál es el número medio de niños en ese grupo que morirá antes del año de vida? (b) Cuál es la probabilidad de que a lo sumo 5 de esos niños mueran antes del año de vida? (c) Cuál es la probabilidad de que mueran entre 15 y 20 de esos niños antes del año de vida? 13. Calcular las medias y varianzas de las variables aleatorias de nidas en los ejercicios (1), (3), (4) y (5). 14. Sea X s B(n; p); para n ja: 24

14 (a) hay valores de p (0 p 1) para los cuales V (X) = 0? (b) para que valores de p se maximiza la V (X)? 15. Consideremos una enfermedad que se detecta mediante una prueba sanguínea (la suponemos exacta); y sea p la probabilidad de que un individuo tenga esa enfermedad. Se seleccionan n individuos para analizar. Primero se toma una parte de cada muestra de sangre, se mezclan estas muestras y se realiza una sola prueba. Si ninguno tiene la enfermedad esta prueba da un resultado negativo y no es necesario hacer más análisis. Si por lo menos un individuo tiene la enfermedad, la prueba de la mezcla dará un resultado positivo, y en ese caso será necesario hacer las n pruebas individuales. (a) Si p = 0; 1 y n = 3, cuál es el número esperado de pruebas utilizando este procedimiento? (b) Y si p = 0; 1 y n = 5? 16. Gra que las funciones de frecuencia de variables aleatorias con distribución binomial, para n = 5 y p = 0; 1, 0; 5 y 0; 9 (utilizar la tabla de probabilidades acumuladas). Observe la simetría para p = 0; 5 y la dirección del sesgo para p = 0; 1 y p = 0; Gra que las funciones de frecuencia de variables aleatorias con distribución de Poisson, para = 0; 5; = 1; 0; = 4; 0 y = 10; 0. (Utilizar la tabla de probabilidades acumuladas). Observe el sesgo en cada caso. 18. La moda de una variable aleatoria X discreta con función de frecuencia f(x) es el valor k para el cual f(x) es máxima (el valor más probable) (a) Sea X s B(n; p), demostrar que la moda x es el entero que satisface (n + 1)p 1 k (n + 1)p (b) Sea X s P (), demostrar que la moda es el máximo entero menor que. Si es entero, demostrar que 1 y ambos son modas. 19. Sean X e Y las variables aleatorias que cuentan el número de veces que sale 1 y el número de veces que sale 6, respectivamente, en 5 tiradas de un dado. Veri car si X e Y son independientes. 25

15 20. Un contrato de compra estipula que el número de artículos efectuosos no debe superar el 10%. Se recibe un gran lote de productos, para inspeccionar la calidad se seleccionan al azar 10 artículos y se considera el lote aceptable cuando hay a lo sumo 2 artículos defectuosos en la muestra seleccionada. Estudiar como varía la probabilidad de aceptación del lote cuando la proporción real de defectuosos es 0; 05; 0; 10; 0; 20; 0; 25 26