El momento k-ésimo para una variable aleatoria discreta respecto del origen, es. n = esperanza matemática de X

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1 Momentos El momento k-ésimo para una variable aleatoria discreta respecto del origen, es E(x) n = i = 1 k i ( ) x.p x El primer momento centrado en el origen (k=1) es la esperanza matemática de X También se definen momentos alrededor de cualquier punto fijo, en particular, alrededor de E(X) ( E x ) 2 µ 2 = E x ( ) El momento de 2do orden centrado en la esperanza, es la varianza de X. i

2 Momento de 3er orden centrado en E(x) ( ) 3 µ 3 = E x µ Para determinar la asimetría de la distribución : As = µ σ 3 3 Si As > 0, Hay asimetría derecha. Si As < 0, Hay asimetría a izquierda Si As = 0. Hay simetría. Para determinar el grado de agudeza o curtosis: 4 K = µ σ 4 Si K= 3, mesocúrtica. Si K>3, leptocúrtica. Si K< 3, platicúrtica.

3 Observaciones Los momentos de mayor orden son sólo de interés teórico. En la mecánica elemental, los momentos están asociados con las propiedades físicas de cuerpos de masa. El 1er momento con respecto al origen está relacionado con el centro de gravedad y el 2do momento con respecto al centro de gravedad es el momento de inercia. Otras características numéricas: Modo: Mo es el valor de x para el cual f(x) toma su valor máximo. (Si la fdp tiene un solo máximo). Ejemplo: Calcular el modo de f(x)=6x.(1-x)

4 Mediana Es el valor de X para el cual P( X < me ) = P( < X < me ) = f(x)dx ó P( X me ) 2 = = 2 2 Ejercicio: hallar la me de la variable X tal que m e x 2 si o < x 1 2 f ( x ) = si 1 < x si x > 2

5 Algunas distribuciones estadísticas teóricas En este capítulo presentamos modelos especiales de probabilidades. Reconocer dichos modelos nos ayudan a predecir la conducta de futuras repeticiones de un experimento y además al tener fórmulas matemáticas precisas para varias situaciones, los cálculos de probabilidades que intervienen pueden reducirse a operaciones corrientes.

6 Distribución de Bernoulli 1 x= 0 Experimento de Bernoulli: sólo son posibles dos resultados: éxito o fracaso. Podemos definir una variable aleatoria discreta X tal que: Se verifican las propiedades: P( x ) 0 i P( X = x) = P( X = 1) + P( X = 0) = p + 1 p = 1 xi P(xi) 1 (éxito) p 0 (fracaso) q=1-p Calcular la Esperanza y la Varianza de la variable de Bernoulli

7 El modelo Binomial Una variable binomial puede considerarse como la suma de n variables de Bernoulli independientes. Cada prueba es una variable de Bernoulli; es decir, puede resultar un éxito o un fracaso, con probabilidades p y 1-p respectivamente en cada prueba. Definición : Se dice que X es una variable aleatoria binomial con parámetros n y p si su distribución de probabilidades está dada por: X b (n,p ) n k P (x=k)= p. 1 p k ( ) n k

8 n Demostrar que la variable aleatoria binomial es una legítima distribución de probabilidad. n k P(x=k) =..( 1 p ) = p ( ) k = 0 k = 0 n p k n k Para identificar el modelo binomial: Hay n repeticiones independientes. n + 1-p = 1 Por binomio de Newton El resultado de cada prueba es dicotómico: un suceso A o su contrario. La probabilidad de A es p, constante en cada prueba.

9 Ejemplos de variable binomial Ejemplos Lanzar una moneda 10 veces. Hallar la probabilidad de que se obtengan 3 caras. Se analizan 18 muestras de aire y se sabe que la probabilidad de que cada muestra de aire contenga una molécula rara es 0,1 Hallar la probabilidad de que a lo sumo 2 muestras de aire contengan una molécula rara. Se administra a 30 pacientes que padecen una enfermedad, un medicamento con el cual tienen una probabilidad de 0,35 de experimentar una mejoría. Un examen de opción múltiple contiene 20 preguntas, cada una con cuatro opciones, y se pide a un alumno que resuelva el examen sin haber estudiado. Hallar la probabilidad de contestar bien 4 o 5 preguntas. Variable X Nro de caras obtenidas Nro de muestras de aire con esa molécula rara. Nro de pacientes mejorados Nro de respuestas correctas

10 Características numéricas de la variable binomial X Demostrar que si x es binomial, E(x)= np y V(x) = n.p.(1-p) Del ejemplo anterior, calcular el número de pacientes esperado que experimentan mejoría y su varianza.

11 Ejemplo: Variable aleatoria Hipergeométrica La producción diaria de 850 partes contiene 50 que no cumplen con los requerimientos del cliente. Se toman 4 partes al azar, sin sustitución, de la producción del día y se define la siguiente variable aleatoria X: número de partes que no cumplen con los requerimientos del cliente.

12 Ejercicio: Calcular la probabilidad de que 2 partes no cumplan con los requerimientos. Contamos con: N = tamaño de la población. k elementos poseen cierta característica (no cumplir con los requerimientos) N-k elementos no poseen cierta característica X es el nro de elementos del tipo de k en n extracciones sin reposición n-x es el número de elementos del tipo de N-k

13 Variable aleatoria Hipergeométrica Una variable hipergeométrica es generada según las condiciones siguientes: n pruebas no independientes. El resultado de cada prueba es dicotómico: A o su contrario. La probabilidad del suceso A no es constante, varía en cada prueba. Definición: Se dice que X es una variable aleatoria hipergeométrica con parámetros N, n y k, si su distribución de probabilidades está dada por: P ( X = x ) = N k k n x x N n

14 Esperanza y varianza de una variable hipergeométrica. k E( X ) = n N k k N n V ( x ) = n 1 N N N 1 Conviene hallarlas a partir de la distribución en la tabla

15 Variable aleatoria de Poisson Ejemplo: Las fallas superficiales de un alambre delgado de cobre se presentan de manera aleatoria. X es el número de fallas superficiales de un alambre de cobre de longitud L mm. El número promedio de fallas en una longitud L mm es λ

16 Características de la distribución de Poisson La longitud se puede dividir en n subintervalos. Si el subintervalo es lo bastante pequeño, entonces la probabilidad de que en él se tenga más de una falla es insignificante. Las fallas se presentan de manera aleatoria, entonces cualquier subintervalo tiene la misma probabilidad de contener una falla. La probabilidad de que un subintervalo contenga una falla es independiente de la de otros subintervalos

17 Variable aleatoria de Poisson Definición: Se dice que X es una variable aleatoria de Poisson con parámetro 0 λ > Si su distribución de probabilidades está dada por X po( λ) k e P( x = k) = k! Donde λ Es el promedio de ocurrencias en el intervalo y : λ λ 1. La probabilidad de más de una ocurrencia en el subintervalo es cero. 2. La probabilidad de una ocurrencia en el subintervalo es la misma para todos los subintervalos y es proporcional a la longitud de éstos. 3. El número de ocurrencias en cada subintervalo es independiente del de los demás subintervalos.

18 Verificar que la distribución de Poisson es una legítima distribución de probabilidades λ k k e λ λ λ λ λ P( x = k) = = e. = e. e = 1 k! k! k= 0 k= 0 k= 0 E(X) = V(x) = λ Ejercicio1 : Para el caso del alambre de cobre, λ= 2,3 es el promedio de fallas por mm, hallar P(X=2) Ejercicio 2: Si X es Poisson, y P(x=2) =2/3 P(x=2), hallar P(x=0)

19 La distribución de Poisson como aproximación de la binomial Demostrar que si n y p 0 = np k e λ λ lim P(x = k) = n k! Observaciones: 1) Para n tendiendo a infinito y p a cero, el suceso es raro y es una buena aproximación de la binomial a la de Poisson. 2) En la práctica esto es para n mayor o igual que 50, si np es menor o igual que 5. λ

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