Mecánica para Ingeniería (Bedford-Fowler)

Transcripción

1 Universidad Nacional San Cristóbal De Huamanga Facultad De Ingeniería Minas, Geología Y Civil Escuela De Formación Profesional De Ingeniería Civil Resolución de Problemas Mecánica para Ingeniería (Bedford-Fowler) Cinemática de Partícula y cuerpo Rígido Asignatura :Dinámica (IC-246) Alumnos : Calderón Quispe, Gilmer Navarro Bautista, Paul Maldonado Carlos, Juan José Infante Leva, Samuel Docente : Ing. Cristian Castro Pérez Ayacucho - Peru

2 Universidad Nacional san Cristóbal de Huamanga Escuela de Formación Profesional Ing. Civil Departamento Académico de Ingeniería Minas y civil Problemas 1. Problema 2.33 Si Θ=1 rad Y dθ/dt = 1rad/s, cual es la velocidad de P con respecto de O? Estrategia: se puede escribir la posición de P respecto de O como: s = (2pie) cos θ + (2pie) cos θ Y luego calcular la derivada de esta epresión con respecto al tiempo para determinar la velocidad. 2m 2m O P s Solución La ubicación de P desde el punto O está dado por: s = 2 cos θ + 2 cos θ = 4 cos θ derivando respecto del tiempo para hallar la velocidad ds dθ = 4senθ dt dt Evaluando para θ = 1rad y ds dt = 1rad/s ds = 4sen(1rad) = 3,37m/s dt 2. Problema 2.53 Un oscilador consiste en una masa y un resorte conectados como se muestra. La coordenada s mide el desplazamiento de la masa respecto a su posición cuando el resorte no esta estirado. Si el resorte es lineal, la masa esta sometida a una desaceleración proporcional a s. Suponga que a = 4sm/s2, y que la masa tiene una velocidad v = 1m/s en la posición s = 0. Dinámica # 2 " DAIMC

3 s a) Qué distancia se moverá la masa hacia la derecha antes de que el resorte se detenga? b) ) Qué velocidad tendrá la masa cuando regrese a la posición s = 0? Solución como la aceleracion esta en funcion de S usaremos: Del datoa = 4s sustituyendo integramos vdv = ads vdv 4sds v 2 Para v(0) = 1m/s y s = 0 en (1) (1) 2 2 = 4s2 2 + C v 2 2 = 2s2 + C (1) 2 = 2(0)2 + C C = 1 2 Quedando la ecuacion (1) de la forma v 2 2 = 2s a) La velocidad es cero cuando se detiene entonces. quedaría (0) 2 2 = 2s (α) la distancia que se mueve hacia la derecha s = ± 1 2 m s = 1 2 m

4 b) La velocidad para s = 0 De la ecuacion α v 2 2 = 2(0) v = ±1m/s como el móvil regresa v = 1îm/s 3. Problema 2.82 un automóvil viaja a 100km/h sobre un camino recto con pendiente creciente cuyo perfil vertical se puede aproimar con la ecuación mostrada. Cuando la coordenada horizontal del automóvil es = 400m, Cuál es su aceleración? y y = Solución Datos v = 100Km/h = 27 78m/s y = con c = y = c 2 sabemos que: v = ẋ 2 + ẏ 2 (I) derivando la ecuación de la trayectoria ẏ = 2cẋ (II) Remplazando en la epresión(i) despejamos ẋ v = ẋ = ẋ 2 + (2cẋ) 2 v 1 + (2c) 2 (III)

5 remplazamos para = 400m ẋ = m/s Derivamos nuevamente (III) ẍ = 4vc 2 (1 + (2c)) 3/2 remplazamos para = 400m ẍ = 0 099m/s 2 Derivando la ecuación (II ) ÿ = 2c(ẋ 2 + ẍ) ÿ = 0 414m/s 2 Remplazando para = 400m La aceleración será ( ) a = 0 099î ĵ m/s 2 4. Problema un automóvil incrementa su velocidad a una razón constante de 40mi/h en A y a 60mi/h en B. Cuál es la magnitud de su aceleración 2s después de que pasa por el punto A? y 120 pies 30 B A 80 pies 100 pies pies Solución Datos: v A = 40mi/h pies/s v B = 60mi/h 88 0pies/s Partamos de: vdv = ads a=cte (condición del problema)

6 Integrando de v 2 = 2as + C hallamos la aceleración v 2 = 2as + C para v A = pies/s; s = 0 C = v 2 2as = a = v2 C 2s s = 80(2) + 30 π( ) 180 s = pies a = (88) ( ) a = 7 816pies/s 2 Remplazando para v B = 88pies/s La velocidad en funcion del tiempo v(t) = v A + at (7 816)t s(t) = v A at t (7 816)t 2 v(2) = pies/s s(2) = pies Ubicado en el primer arco Hallando aceleracion normal a n = v2 R 5. Problema a n = (74 299) a n = pies/s 2 a = (46 003) 2 + (7 816) 2 a = pies/s 2 La barra gira en el plano y de la figura con velocidad angular constante ω 0 = 12rad/s. La componente radial de la aceleración del collarín C es a r = 8r. Cuando r = 1m, la componente radial de la velocidad de C es v r = 2m/s. Determine la componente radial y transversal de la velocidad de C cuandor = 1,5m.

7 y v 0 C r Usando la regla de la cadena y escribiendo en términos de la aceleración radial Luego tenemos Calculando la velocidad radial v r Resolviendo obtenemos Ademas tenemos 2 d 2 r d 2 t = dv r dt = dv r dr dr dt = dv r dr v r a r = d2 r d 2 t r(dθ dt )2 = 8r d 2 r d 2 t = ([dθ dt ]2 8)r = ( )r 136r rad/s 2 d 2 r d 2 t = v dv r r dr = 136r 1 5 v r dv r = 136 rdv r v 2 r = 136( ) 1 v r = 13 2 m/s v θ = r dθ dt = (1 5)(12) v θ = 18 m/s De esta manera tenomos: V = 13 2ê r + 18ê θ m/s

8 6. Problema Dos automóviles A y B se aproiman a una intersección. A viaja a 20m/s y va desacelerando a 2m/s 2, y B viaja a 10m/s y va desacelerando a 3m/s 2. En el sistema coordenado fijo a la tierra mostrado, determine la velocidad de A respecto a B y la velocidad de B respecto a A. Se toma com origen de cooerdenadas la interseccion de su trayectoria v A = 20î y v B = 10ĵ v A/B esta dado por v A/B = v A v B v A/B = 20î 10ĵ v A/B = ( 20) 2 + ( 10) 2 v A/B = m/s De forma analoga para V B/A 7. Problema v B/A = 10ĵ ( 20î) = 10ĵ + 20î v B/A = 500 v B/A = m/s Un río fluye hacia el norte a 3m/s (suponga que la corriente es uniforme). Si se quiere viajar en línea recta del punto C al punto D en un bote que navega a velocidad constante de 10m/s respecto al agua, en qué dirección debe apuntar el bote? Cuánto tarda en efectuar el cruce? será

9 3 m/ s D 400 m N W S E C 500 m Asumiendo un angulo θ medido desde el este v bote/tierra = v bote/agua + v agua/tierra v bote/agua = 10(cosθî + sinθĵ) v agua/tierra = 3m/sĵ v bote/tierra = [(10cosθî) + (3 + 10sinθĵ)] Queremos que el bote viaje en ángulo tanφ = Por consiguiente tenemos: sinθ 10cosθ = θ = Calculando la velocidad absoluta Por lo tanto el tiempo será v = (10cosθ) 2 + (3 + 10sinθ) 2 v = 11 60m/s t = d v = t = 55 2 s

10 8. Problema La velocidad v = 2m/s es constante. Cuáles son las magnitudes de la velocidad y aceleración del punto P cuando = 0,25m? y P y = 0.2 sin π 1 m Hallando el tiempo para = 0,25 = 2t t = 0 125s (MRU) De la ecuacion y = 0 2sin(2πt) derivamos dy dt = 0 4πcos(2πt) d 2 y d 2 t = 0 8π 2 sin(2πt) (Velocidad) (Aceleración) Remplazando para t = 0 125s y y = dy dt = v y = m/s d 2 y d 2 t = a y = 5 58 m/s 2 POr consiguiente hallaremos los módulos v = v = v 2 + vy m/s a = a = a 2 + v 2 a 5 58 m/s 2 9. Problema 6.13 La placa rectangular oscila con brazos de igual longitud. Determine el vector de velocidad de (a) La placa rectangular (b) La barra AB

11 y A 10 rad/s D B C Como se ve en la figura el cuadrilatero ABCD siempre forma un paralelogramo dado que AD = BCyAB = DC y por tanto necesariamente AD//BC y AB//DC. β = θ (porserunparalelogramo) β = θ ω AB = ωac = 10rad/s ω BC = ω De la figura AB = AB( cosθ, sinθ) DC = DC( cosβ, sinβ) (I) (II) (I ) Y (II ) iguales hallando la parte a) La barra AB por ser un cuerpo rigido todos los puntos de este poseen igual velocidad angular y que apunta en la direccion de eje Z + hallando la parte b) ω AB = 10ˆkrad/s v B = w r AB v C = v B + w r BC v C = ω r DC ; Ademas r AB = r DC (I) (II) (III) De las ecuacones (I),(II) y (III) v B + w r BC = ω r DC w r AB + w r BC = 10ˆk r AB w r BC = 10ˆk ( r AB r AB ) w r BC = (0, 0, 0) w = (0, 0, 0)rad/s

12 10. Problema 6.41 En la fig. p6.41, si ω AB = 2rad/s y ω BC = 4rad/s, Cuál es la velocidad del punto C, donde el cubo de la ecavadora está conectado? y v A B B v BC C 5.5 m 5 m 1.6 m A 4 m 3 m 2.3 m Hallando el radio vector Calculando la velocidad ene el punto B r A/B = 3î + (5,5 1,6)ĵ = 3î + 3,9ĵ(m) Encontrando el radio vector BC que es: Hallando la velocidad en el punto C v B = ω AB r A/B î ĵ ˆk v B = = 7 8î + 6ĵ(m/s) r C/B = 2 3î + (5 5 5)ĵ = 2 3î 0 5î 11. Problema 6.83 v C = v B + ω BC r C/B î ĵ ˆk v C = 7 8î + 6ĵ v C = 9 8î 3 2ĵ m/s En la fig. p6.85, si ω AB = 2rad/s, α AB = 2rad/s 2, ω BC = 1rad/s, y α BC = 2rad/s 2, Cuál es la aceleración del punto C donde se conecta el cucharón de la ecavadora?

13 y v a A B A B B v BC a BC C 5.5 m 5 m 1.6 m A 4 m 3 m 2.3 m De la grafica hallando los puntos A, B,y C medidos del etremo inferior izquierdo r A = 4î + 1 6ĵ r B = 7î + 5 5ĵ r C = 9 3î + 5ĵ Calculando los vectores de posición relativos r B/A = r B r A = (7î + 5 5ĵ) (4î + 1 6ĵ) = 3î + 3 9ĵ r C/B = r C r B = (9 3î + 5ĵ) (7î + 5 5ĵ) = 2 3î 0 5ĵ Encontrando la aceleración del punto B a B = α AB r B/A ωab r 2 B/A î ĵ ˆk a B = (2 2 )(3î + 3 9ĵ) a B = 2( 3 9î + 3ĵ) 4(3î + 3 9ĵ) = 19 8î 9 6ĵ m/s 2 La aceleración del punto C en términos de la aceleración en el punto B es: 12. Problema a C = a B + α BC r C/B ωbc r 2 C/B î ĵ ˆk a C = 19 8î 9 6ĵ (2 3î 0 5ĵ) a C = 24 1î 18 3ĵ m/s 2 La velocidad angular ω AC = 5 0 /s. Determine la velocidad angular del actuador hidráulico BC y la razón a la que se etiende.

14 C v A C a A C 2.4 m A B 1.4 m 1.2 m Transformando la velocidad angular ω AC = 5( π 180 ) = rad/s La velocid del punto C está dado por v C = ω AC r C/A î ĵ ˆk v C = 0 0 ω AC = î ĵ m/s (I) Hallando el vector unitario paralelo al actuador BC ê = 1 2î + 2 4ĵ = î ĵ La velocidad del punto C en términos de la velocidad del actuador está dado por: v C = v C rel e + ω BC r C/B v C = v C rel(0 4472î ĵ) + î ĵ ˆk 0 0 ω BC v C = v Crel (0 4472î ĵ) + ω BC ( 2 4î + 1 2ĵ) (II) Comparando las ecuaciones (I ) y (II ) = v Crel 2 4ω BC (III) = v crel + 1 2ω BC (IV )

15 Resolviendo las ecuacones (III ) y (IV ) ω BC = rad/s v Crel = m/s Que es también la velocidad de etensión del actuador 13. Problema Un automóvil A en latitud norte L viaja hacia el norte en una carretera con orientación nortesur a una velocidad constante. Determine las componentes X,Y,Z de la velocidad y aceleración del automóvil (a) respecto al sistema coordenado fijo a la Tierra mostrado; (b) respecto a un sistema coordenado sin giro con su origen en el centro de la Tierra. N y L A B R E a) Hallando la velocidad y la aceleración respecto al coordenado fijo a la tierra v rel = vĵ a rel = v2 R E î El movimento que describe es un circulo b) Hallando respecto a un sistema coordenado sin giro v A = v Arel + ω E r A/B + r B ( v B = 0) v a = vĵ + (ω E sinlî + ω E coslĵ) R E î v a = vĵ ω E R E coslˆk a A = a B + a Arel + 2 ω E v Arel + α r A/B + ω E ( ω E r A/B ) donde ω E esta dado por: ω E = ω E sinlî + ω E coslĵ y r A/B = R E î a A = 0 v2 R E î + 2vω E sinlˆk + (ω E sinlî + ω E coslĵ) ( ω E R E coslˆk) a A = ( v2 R E + ω 2 ER E cos 2 L)î + (ω 2 ER E sinlcosl)ĵ + 2vω E sinlˆk