aletos TEMA 15 ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA

Transcripción

1 aletos Energía potencial elástica Hay cierto tipo de sólidos que no son rígidos, capaces, por tanto, de eperimentar deormaciones. La deormación de un sólido rígido puede ser plástica, o elástica. Deormación plástica es aquélla que eperimenta el sólido cuando queda deormado permanentemente, después de haber desaparecido la causa que la ha producido. Deormación elástica es la deormación transitoria o temporal que desaparece cuando se anula la causa que la produce. Ningún sólido es totalmente plástico o elástico. Las deormaciones reales dependen de numerosos actores, que no analizaremos, pues nos vamos a limitar al estudio de un caso ideal en una dimensión, en el que: La uerza necesaria para producir la deormación, a la que llamaremos uerza deormadora, aumenta proporcionalmente a la deormación producida, siempre que ésta no sea demasiado grande. El enunciado anterior es conocido como Ley de HOOKE y ue deducida eperimentalmente por ROBERT HOOKE ( ), y publicada en El sólido que utilizaremos para estudiar esta propiedad de la materia es un muelle ideal, que supondremos carente de masa y de rozamiento interno, sometido a deormaciones pequeñas comparadas con su longitud, como establece la ley de Hooe. Comenzaremos por estudiar un caso sencillo, en el que supondremos un muelle ideal, sin deormar, cuya longitud natural es l 0, sujeto a la pared y a un pequelo bloque de masa m, que se apoya sobre una supericie horizontal sin rozamiento, como indica la igura [15-1(a)]. H l 0 l 0 l 0 FIG F N F r F mg Si desplazamos el bloque hacia la derecha una distancia, medida a partir de la posición de equilibrio inicial, aplicando una uerza horizontal, y lo mantenemos en reposo en dicha posición, tanto el muelle como el bloque se encuentran en equilibrio. Fig.[15-1(b)]. Consideremos por separado el bloque y el muelle, como dos sistemas distintos, y analicemos qué uerzas actúan sobre cada uno de ellos. Fig.[15-1(c)] Las uerzas que actúan sobre el bloque son: su peso, mg, la uerza normal N, ejercida por la supericie horizontal de apoyo, la uerza F que aplicamos al bloque y la uerza F r, que ejerce el muelle sobre el bloque. Las uerzas que actúan sobre el muelle son: la uerza horizontal H que ejerce la pared sujetando al muelle y la uerza que ejerce el bloque sobre el muelle, tirando de él. Las uerzas y F r son uerzas de acción y reacción. Vamos a tomar como reerencia la posición de equilibrio inicial, y adoptaremos el siguiente convenio de signos: Cualquier magnitud vectorial dirigida horizontalmente hacia la derecha, es decir, en el sentido en el que se han desplazado el bloque y el muelle a partir de la posición de equilibrio, la consideraremos como positiva, y en sentido contrario, hacia la izquierda, negativa. Por tanto, el desplazamiento es positivo en este caso. Se observa, eperimentalmente, que, en la situación de equilibrio descrita anteriormente, la uerza aplicada sobre el bloque cumple con la ley de Hooe: F = y, puesto que el bloque se encuentra en equilibrio, ΣF = 0, y, por tanto, (a) (b) (c) F r = F es decir, F r = siendo una constante característica del muelle, llamada constante de elasticidad, o simplemente, constante del muelle. La uerza F r recibe el nombre de uerza recuperadora elástica, por ser la uerza ejercida por el muelle sobre el bloque, intentando recuperar su orma inicial.

2 15.2 aletos Por ser las uerzas F r y, uerzas de acción y de reacción, se veriica que, = F r y, por tanto, = recibe el nombre de uerza deormadora elástica, por ser la uerza que deorma al muelle. Calculemos ahora el trabajo realizado para desplazar el bloque, desde una posición en la que la deormación del muelle sea i, hasta otra posición en la que la deormación sea, de orma que el desplazamiento realizado por el bloque es i. Supondremos que el desplazamiento es etraordinariamente lento y se realiza de orma que la velocidad del bloque es muy pequeña y constante durante todo el desplazamiento. Por consiguiente, el bloque se encuentra en equilibrio en todo instante. La energía cinética en cualquier instante es prácticamente nula y, por tanto, su incremento ΔE c es nulo, y el trabajo realizado por la uerza aplicada es: W = F = i i = i2 Y el trabajo realizado por la uerza recuperadora elástica es: W = F r = = i2 i i Puesto que la uerza recuperadora elástica depende solamente de la deormación, que, en este caso, desempeña el papel de vector de posición unidimensional, es una uerza conservativa, como puede comprobarse, ya que: Fdr = d = 0 C C Se puede deinir, pues, una energía potencial elástica del muelle, dada por: 1 V() = F r = = [15.3] donde 0 representa la posición de un punto de reerencia para el cual, V( 0 ) = 0, que, en este caso, corresponde a la posición, 0 = 0, en la cual el muelle no está deormado. Con lo cual: [15.1] [15.2] V() = [15.4] representa la energía potencial elástica del muelle cuando tiene una deormación. Consideremos ahora como sistema, el conjunto bloque + muelle. Supongamos que desplazamos el bloque a una cierta distancia a partir de su posición de equilibrio, y, una vez desplazado, lo abandonamos. Mientras el bloque pasa desde un punto en el que la deormación del muelle es i, hasta otro en el que dicha deormación es, la energía potencial elástica eperimenta una variación dada por: y, en consecuencia, el trabajo realizado es: y como ΔV =V( ) V( i ) = i2 W = ΔV = V( ) V( i ) = V( )+V( ) i W = E c E ci se obtiene, de donde, inalmente, E c E ci = V +V i E c +V = E ci +V i = constante donde nuevamente se pone de maniiesto que: Cuando un sistema está sometido a uerzas conservativas, la suma de las energías cinética y potencial es una constante durante la evolución del sistema, que depende únicamente de las condiciones iniciales. La cantidad constante, T i + V i = T +V = E, se denomina energía mecánica del sistema. [15.5]

3 aletos Dinámica del movimiento vibratorio armónico En el Capítulo I Movimiento vibratorio armónico, nos ocupamos solamente de las relaciones entre el desplazamiento, velocidad, aceleración y el tiempo de una partícula que eectúa un movimiento vibratorio armónico simple sin atender para nada a las causas que producen este tipo de movimiento. Vamos a analizar ahora qué clase de uerzas dan lugar a esta clase de de movimiento. El bloque de la igura 15.1 cuando es desplazado una distancia a partir de su posición de equilibrio queda sometido a la uerza recuperadora elástica del muelle, F = que, como hemos visto, es una uerza conservativa y, por tanto, deriva de un potencial. Si aplicamos la segunda ley de Newton a la partícula igualando los segundos miembros de [15.6] y [15.7], y despejando a, se obtiene [15.6] F = ma [15.7] a = m [15.8] y teniendo en cuenta que se obtiene a = dv dt Multiplicando y dividiendo el primer miembro por y recordando que sustituyendo en la relación anterior de donde quitando denominadores dv dt dv [15.9] dt = m [15.10] = m dt = v v dv = m mv dv = Pasando el segundo miembro al primero e integrando en orma indeinida 1 2 mv =C = E mec [15.11] [15.12] siendo C una constante de integración que depende de las condiciones iniciales impuestas al bloque. El primero y segundo términos del primer miembro son, respectivamente, la energía cinética del bloque y la energía potencial asociada al movimiento, debida esta última al carácter conservativo de la uerza que actúa sobre el bloque. De modo que la constante C representa la energía mecánica E del bloque en cualquier instante, y, a su vez representa, o bien, la energía cinética máima del bloque, o bien, la energía potencial máima asociada a su movimiento. Cuando la velocidad del bloque es nula, la energía potencial es máima, que es la correspondiente a =± A. y cuando el desplazamiento del bloque es nulo, es decir cuando el bloque pasa por su posición de equilibrio, su energía cinética es máima v = 0 E mec = 1 Para 2 A2 = 0 E mec = 1 [15.13] 2 mv 2 O

4 15.4 aletos Si nos quedamos con la primera de las epresiones [15.13] de la energía mecánica E mec y la sustituimos en [15.12] 1 2 mv = 1 2 A2 de donde, simpliicando y despejando v, se obtiene Por otra parte, v es v = ± v = dt e igualando los segundos miembros de [15.14] y [15.15] m A2 2 [15.13] [15.14] [15.15] y agrupando variables dt = ± epresión que, integrada en orma indeinida, da ± A 2 2 = m A2 2 m dt [15.16] [15.17] = ± A 2 2 [15.18] siendo C una constante de integración que se determina teniendo en cuenta las condiciones iniciales impuestas al bloque. La integral del primer miembro se puede escribir, multiplicando y dividiendo el radicando por A 2, en la orma = = = A ± A 2 2 ± A 2 (1 2 A ) ± A 1 2 ± 1 [15.19] 2 2 A 2 A 2 y haciendo el cambio de variable /A = u, y dierenciando Sustituyendo en [15.19] y llevando a su vez esta epresión a [15.18] A = u, A = ± 1 2 A 2 du = ± 1 u 2 La integral del primer miembro admite dos soluciones: de modo que las de [15.22] son du ± 1 u 2 A = du du ± 1 u 2 arc sen u = arc cos u [15.20] [15.21] [15.22] arc sen u = [15.23]

5 aletos 15.5 y arc cos u = t +C [15.24] m que, a su vez, deshaciendo el cambio de variable, quedan en la orma arc sen A = arc cos A = de las que se obtienen La constante m m = = A sen = A cos tiene por ecuación de dimensiones Fuerza/Longitud = Masa Las constantes que aparecen dentro del corchete del segundo miembro tienen el siguiente signiicado: Masa Aceleración Masa Longitud = Longitud Tiempo 2 Longitud = Tiempo -1 [15.25] [15.26] que es la misma que la de la magnitud ω que se deine en el movimiento armónico, como pulsación, por tanto podemos sustituirla en las ecuaciones [15.25] y [15.26]. = A sen (ωt +C) = A cos (ωt +C) Y la constante C, puesto que las ecuaciones en Física deben ser homogéneas en sus dimensiones, debe ser un ángulo ϕ medido en radianes, ya que ωt resulta medido en radianes. Así que, las ecuaciones [15.25] y [15.26] quedan escritas inalmente en la orma = A sen (ωt + ϕ) = A cos (ωt + ϕ) [15.27] [15.28] La decisión de tomar una u otra, así como el valor de la constante ϕ, que recibe el nombre de corrección de ase, dependen de las condiciones iniciales impuestas al oscilador Movimiento de un pequeño bloque suspendido de un muelle vertical En el epígrae 15.1 se ha estudiado el movimiento de un pequeño bloque de masa m, apoyado sobre una supericie horizontal sin rozamiento, unido un muelle ideal, sin deormar, cuya longitud natural es l 0, sujeto a la pared. Veamos qué sucede si el bloque está suspendido de un muelle que cuelga verticalmente, sujeto por su etremo superior a un soporte horizontal. Si el bloque está en reposo, se encuentra en equilibrio bajo la acción de su peso mg y de la uerza recuperadora del muelle, F r. Hay que hacer notar que a dierencia de lo que ocurría en el caso estudiado en el epígrae 15.1, en el que el muelle tenía su longitud natural estando el bloque en equilibrio, en este caso el muelle tiene una deormación inicial 0 cuando el bloque se encuentra en reposo. Esta situación suele plantear alguna diicultad acerca del criterio de signos que se debe seguir para plantear correctamente las ecuaciones del movimiento.

6 15.6 aletos V L 0 Es importante seguir la siguiente norma en todos los casos: Tomando como reerencia la longitud natural del muelle, tanto si éste se encuentra en posición horizontal, como en posición vertical, se toma como sentido positivo aquél en que se deorme, o se haya haya deormado el muelle. Y la ecuación de equilibrio, ΣF = 0, o la ecuación de la dinámica, ΣF = ma, se escriben considerando el sumatorio de uerzas como una suma algebráica. F r mg FIG Vamos a ver cómo se deduce la ecuación del movimiento del bloque de la igura 15.2, que supondremos inicialmente en reposo. Sobre el muelle actúan la uerza deormadora, ejercida por el bloque, y la uerza vertical V ejercida por el soporte. El muelle está en equilibrio, por consiguiente, V = Sobre el bloque actúan, su peso mg y la uerza recuperadora elástica F r ejercida por el muelle. Ls uerzas y F r son uerzas de acción y reacción, por tanto, sus módulos son iguales = F r Puesto que el bloque está en equilibrio, se veriica que ΣF = 0. En consecuencia, siguiendo el criterio establecido anteriormente, V 0 + mg = 0 [15.29] L 0 0 Supongamos ahora que desplazamos el bloque una distancia hacia abajo y lo abandonamos [Fig. 15-3]. La deormación del muelle en ese instante es 0 +, y los módulos de las uerzas deormadora y recuperadora son ( 0 +). La ecuación de la dinámica aplicada ahora al bloque siguiendo el criterio establecido, es Eectuando operaciones ( 0 + )+ mg = ma [15.30] 0 + mg = ma y teniendo en cuenta [15.29], y despejando la aceleración, queda [15.31] F r mg FIG a = m [15.32] que es la misma ecuación que la [15.8], y por tanto, el movimiento se rige por las mismas ecuaciones. Para concluir, es conveniente insistir en dos aspectos que, recuentemente, dan lugar a dudas. Uno es, la interpretación del signo negativo que aparece en la uerza recuperadora elástica y en la aceleración del oscilador. En ambos casos representa, simplemente que dichas magnitudes son de sentido contrario a la elongación del oscilador. El otro aspecto es el relacionado, precisamente, con el origen de reerencia para medir la elongación o des - plazamiento del oscilador: Cualquiera que sea el movimiento vibratorio u oscilatorio armónico, el origen de reerencia es siempre su posición de equilibrio, entendiendo por tal, aquélla en la que la resultante de las uerzas eteriores que actúan sobre el oscilador es nula. Si el movimiento oscilatorio uese circular, como ocurre con el péndulo simple y el péndulo ísico, el signo negativo del momento recuperador y de la aceleración angular representa, igualmente, que dichas magnitudes son de sentido contrario a la elongación del oscilador. Y ésta se mide, asimismo, a partir de su posición de equilibrio, siendo aquélla en la que la resultante de los momentos eteriores que actúan sobre el oscilador es nula.