E1.3: Energía mecánica

Transcripción

1 I.E.S. ARQUITECTO PEDRO GUMIEL Física y Química BA1 E1.3: Energía mecánica 1. Se deja caer verticalmente una piedra de kg desde 50 m de altura. Calcula: a) Su energía mecánica en el punto inicial. En el punto inicial la energía cinética es nula (el cuerpo está en reposo, pues se deja caer ), de tal forma que la energía mecánica es igual a la potencial gravitatoria. Si se toma como referencia de altura el suelo: E m0 =E p0 =m g y 0 = 9,8 50=980 J b) Su altura cuando alcance una velocidad de 10 m/s. En este punto la energía mecánica tendrá una contribución de la energía cinética y otra de la potencial gravitatoria: E m1 =E c1 + E p1 = 1 m v 1+m g y 1 Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica, igualando a la inicial, es posible despejar la altura pedida: E m1 =E m0 1 m v 1+m g y 1 =m g y 0 y 1 = y 0 v 1 g c) Su velocidad al llegar al suelo. = ,8 =44,90 m Al llegar al suelo la energía potencial gravitatoria es nula, de tal forma que la energía mecánica es igual a la cinética: E m = E p = 1 m v Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica, igualando a la inicial, es posible despejar la velocidad pedida: E m = E m0 1 m v =m g y 0 v = g y 0 = 9,8 50=31,30 m/ s (hacia abajo). Un ciclista circula a una velocidad constante de 18 km/h por una carretera plana. Si la masa total del ciclista más la de la bicicleta es de 80 kg y el coeficiente de rozamiento entre las ruedas y la carretera es de 0,; calcula: a) La fuerza y la potencia desarrollada por el ciclista. Sobre el ciclista actúan las siguientes fuerzas: En el eje OY: El peso, m g, hacia abajo; y la reacción normal del suelo, N, hacia arriba. En el eje OX: La fuerza motriz desarrollada por el cilista, F M, en el sentido del movimiento; y la fuerza de rozamiento con el suelo, F R, en sentido contrario. Puesto que en el eje OY no hay movimiento, las leyes de Newton implican que las fuerzas en esta dirección se anulan, luego: N =m g Puesto que el eje OX la velocidad es constante, la aceleración es nula y las leyes de Newton implican que las fuerzas en esta dirección se anulan, luego: F M Raúl Corraliza 1

2 Puesto que F R =μ d N, de ambas ecuaciones es posible despejar la fuerza que desarrolla el ciclista: F M =μ d N =μ d m g=0, 80 9,8=156,8 N (el signo positivo indica que la fuerza que desarrolla el ciclista tiene realmente el sentido del movimiento). La potencia desarrollada por el ciclista se calcula: P=F M v=156,8 5=784 W b) La potencia que debe desarrollar para mantener la misma velocidad al llegar a una pendiente de 6º de inclinación respecto de la horizontal. Se considera el sistema de ejes coordenados OX, en la dirección tangente a la superficie sobre la que se apoya el cuerpo, con sentido positivo igual al del movimiento; y OY, en la dirección normal a dicha superficie, con sentido positivo hacia fuera. La única fuerza que no está contenida en uno de estos ejes es el peso. Sus componentes en estos ejes se determinan mediante proyección, siendo su componente en el eje OX igual a m g sen6º y su componente en el eje OY igual a m g cos6º. Puesto que en el eje OY no hay movimiento, las leyes de Newton implican que las fuerzas en esta dirección se anulan, luego: N =m g cos6º Puesto que el eje OX la velocidad es constante, la aceleración es nula y las leyes de Newton implican que las fuerzas en esta dirección se anulan, luego: F M +m g sen 6º Puesto que F R =μ d N, de las ecuaciones anteriores es posible determinar la fuerza motriz que desarrolla el ciclista: F M =μ d N +m g sen6º=μ d m g cos6º+m g sen6º=m g(μ d cos6º+sen 6º)= =80 9,8(0, cos 6º+sen 6º)=37,9 N (en el sentido del movimiento). La potencia desarrollada por el ciclista se calcula: P=F M v=37,9 5=1189,5 W Raúl Corraliza

3 3. La presa de una central hidroeléctrica tiene una altura de 80 m. Calcula la potencia que suministraría la central si el caudal fuese de 4 m 3 de agua por segundo y no hubiese pérdidas (esto es, toda la energía mecánica se transformase en energía eléctrica). En un segundo se produce el descenso de una masa de agua: m=ρ H O V =1 000 kg m 4 3 m3 =4 000 kg La variación de energía mecánica en un segundo de la masa de agua es igual a la de energía potencial gravitatoria: Δ E m =Δ E p =m g Δ y= ,8 ( 80)= J (negativa, pues el agua desciende y pierde energía). La energía eléctrica generada se corresponde con la perdida con el agua (principio general de conservación de la energía). La potencia correspondiente se determina dividiendo esta energía entre el periodo de tiempo: P= Δ E m = Δ t J 1 s = W (positiva, pues la energía eléctrica se genera). 4. Un trineo de 100 kg parte del reposo y desliza 0 m hacia abajo, sin rozamiento, por la ladera de una colina de 30º de inclinación respecto a la horizontal. a) Dibuja un diagrama de fuerzas y calcula el trabajo realizado por cada una de ellas. Sobre el cuerpo actúan dos fuerzas: El peso, m g, en la dirección vertical hacia abajo. La reacción al peso de la superficie sobre la que se apoya, N, en la dirección perpendicular a dicha superficie hacia fuera. Se considera el sistema de ejes coordenados OX, en la dirección tangente a la superficie sobre la que se apoya el cuerpo, con sentido positivo igual al del movimiento; y OY, en la dirección normal a dicha superficie, con sentido positivo hacia fuera. La única fuerza que no está contenida en uno de estos ejes es el peso. Sus componentes en estos ejes se determinan mediante proyección, siendo su componente en el eje OX igual a m g sen 30º y su componente en el eje OY igual a m g cos30º. Puesto que la reacción normal es perpendicular al desplazamiento, no realiza trabajo: W N =0 El peso sí realiza trabajo, pero únicamente la componente tangente al desplazamiento (en su misma dirección y sentido). Su trabajo se calcula: W Peso =m g sen 30º Δ x=100 9,8 sen 30º 0=9800 J Raúl Corraliza 3

4 b) Comprueba, con los resultados obtenidos en el apartado anterior, el principio de conservación de la energía. En ausencia de fuerzas no conservativas (en ausencia de rozamiento), la energía mecánica del sistema se conserva. De acuerdo con el teorema de la energía cinética, el trabajo realizado por el peso se invierte íntegramente en variar la energía cinética del trineo: Δ E c =W Peso =9800 J Para determinar la variación de energía potencial se necesita calcular la variación de altura que experimenta el trineo al desplazarse 0 m a lo largo de la pendiente inclinada 30º. Se corresponde con el cateto opuesto a un ángulo de 30º en un triángulo rectángulo de 0 m de hipotenusa: Δ y sen 30º= Δ y =0 sen30º=10 m 0 La variación de energía potencial se calcula: Δ E p =m g Δ y=100 9,8 ( 10)= 9800 J (la variación de altura es negativa porque el cuerpo desciende). Como Δ E c + Δ E p = =0, efectivamente se cumple el principio de conservación de la energía. c) Calcula la velocidad del trineo. Puesto que el trineo parte del reposo, la variación de energía cinética se corresponde con la energía cinética : Δ E c =E c, f = 1 m v f 9800= v f v f = =14 m/s 100 Raúl Corraliza 4

5 5. En una terminal ferroviaria se ha diseñado un parachoques consistente en un sistema de resortes que es capaz de detener, en un espacio de 4 m, a un tren de 300 t que choque con él a 9 km/h. a) Calcula la fuerza, supuesta constante, que deberá ejercer el parachoques. b) Calcula la constante elástica del sistema de resortes para que sea capaz de absorber la energía de acuerdo con las especificaciones del enunciado. En primer lugar se calcula la variación de la energía mecánica del tren, igual a la variación de energía cinética: Δ E m =Δ E c = 1 m (v tren pierde energía). )= (0,5 )= J (negativa, pues el Una primera forma de resolver este ejercicio es mediante una visión dinámica, a través de la fuerza de Hooke y el trabajo realizado por dicha fuerza. La variación de energía cinética del tren se debe a la acción del parachoques, y es igual al trabajo realizado por la fuerza que ejerce el mismo (principio de conservación de la energía mecánica): W parachoques = F Δ x (negativo, pues es un trabajo resistente, la fuerza que ejerce el parachoques tiene sentido contrario al desplazamiento). Igualando ambas expresiones, es posible obtener la fuerza que ejerce el parachoques: W parachoques =Δ E m F Δ x= 1 m (v ) F 4= F = = N (en la dirección del movimiento del tren, con sentido contrario). 4 Esta fuerza es, en módulo, la fuerza elástica del muelle, que se determina mediante la ley de Hooke: F =K Δ x Igualando el valor anterior de la fuerza, es posible determinar la constante elástica del sistema de resortes: K = F Δ x = =58593,75 N /m 4 Una segunda forma de resolver este ejercicio es mediante una visión energética, a través de la energía potencial elástica y la fuerza de Hooke. La energía mecánica que pierde el tren se transforma en energía potencial elástica que gana el sistema de resortes (principio de conservación de la energía). Así pues: Δ E p, resortes = Δ E m, tren 1 K (Δ x) = 1 m (v ) De esta expresión es posible determinar la constante elástica del sistema de resortes: K = m (v ) = (0,5 ) =117187,5 N / m Δ x 4 Con este valor de la constante elástica es posible determinar la fuerza que ejerce el sistema de resortes, a partir de la ley de Hooke (con módulos): F =K Δ x=117187,5 4= N (en la dirección del movimiento del tren, con sentido contrario). Ambos métodos producen resultados diferentes. Esto es debido a que la fuerza elástica no es constante, y el valor supuesto constante que se calcula es un valor promedio. En cada caso se está determinando este valor promedio de forma implícita de forma diferente (en un caso es una media cuadrática, mientras que en el otro es una media lineal), por lo que los resultados difieren. Raúl Corraliza 5