Movimiento Armónico Simple

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1 17/10/007 Física ªBachiller 6.- La ecuación de un movimiento armónico es: Movimiento Armónico Simple 1.- La ecuación de un movimiento armónico es: x = 50sen(10t+5). Calcular el periodo. π/5 S.- Colocamos verticalmente un muelle de una longitud natural de 60 cm y lo sujetamos por un extremo. Cuando unimos una bola de 10 Kg al otro extremo, que queda por debajo, observamos un alargamiento de 5 cm. Provocamos pequeñas oscilaciones de la bola y medimos el período T. A continuación colocamos sobre una mesa horizontal, sin rozamientos el conjunto formado por la bolamuelle, fijamos el extremo libre y empujamos la bola que describe un movimiento circular uniforme de período 3T. Calcular: (Tomar g=10 m/s ) a) la constante recuperadora K del muelle. b) el valor del período T de las oscilaciones. c) el radio de la circunferencia que describe la bola. Rta: 000 N/m ; 0,44 s ; 0,676 m S 3.- Un reloj de péndulo ajustado en un punto en el que la gravedad g = 9,670 m/s se traslada a otro lugar en que g'= 9,813 m/s. Cuanto atrasará o adelantará en un día? (66,6 s/día) S x= 10sen(10t + π ) Calcular su velocidad en t=0. ( v 0 =0 ) S 7.- Una partícula se mueve con movimiento armónico simple de amplitud 0,05 m. y período 1 s. Calcular: 0,05 π a) La velocidad máxima. 1 π b) La aceleración máxima. 0,05 1 c) Escribir los valores de les constantes A y ω en la ecuación x = A sen ωt que describe el movimiento. π x = 0,05 sen t + ϕ S Una partícula describe un M.A.S. de frecuencia 100 Hz y amplitud 3 mm. Calcular la velocidad en el centro y en los extremos de la trayectoria.(barcelona Junio 97 COU) 0,6π ; 0 S Muelle Oscilante: El Péndulo: El bloque de la figura, de masa M = 1 kg, está apoyado sobre una mesa horizontal sin rozamiento y 4.- Un péndulo y un muelle elástico tienen periodos iguales en la superficie terrestre. Cual seria la relación entre sus periodos en un planeta en el que los cuerpos pesan 8 veces mas que en la Tierra? ( 8 en el péndulo, en el muelle 1)S 5.- Un cuerpo está vibrando con un movimiento armónico simple de amplitud 15 cm. y frecuencia de 4 c/s. Calcular el valor máximo de la velocidad. (1,.π m/s) S unido a la pared fija mediante un resorte, también horizontal de constante elástica K = 36 N/m Estando el bloque en reposo en su posición de equilibrio, se le da un impulso hacia la derecha, de forma que empiece a oscilar armónicamente en torno a dicha posición con amplitud A= 0,5 m mas06.doc Luis Ortiz de Orruño pg 1 de 9

2 17/10/007 Física ªBachiller a) Durante la oscilación, es constante la energía mecánica de M? Explica por qué b) Con qué frecuencia oscila M? c) Determina y representa gráficamente su velocidad en función del tiempo. Toma origen de tiempos t=0, en el instante del golpe (Zaragoza Junio97 LOGSE)3/π Hz ; x= 0,5 sen6t ; v = 3cos6t S Simulación del Péndulo simple Trabajo y energía del oscilador armónico. Representaciones gráficas Ep elongación. Interpretación de la Energía cinética y total Una partícula describe un M.A.S. de frecuencia 50 Hz y amplitud 5 mm. Calcular la aceleración en el centro y en los extremos de la trayectoria.(barcelona Septiembre97 COU) S 1.- En la gráfica se representa la posición en función del tiempo de un cuerpo de masa M=0,5 kg, que realiza una oscilación armónica en torno al origen de coordenadas. a) Escribe la ecuación de la velocidad de M en función del tiempo y represéntala gráficamente b) Explica qué fuerza debe estar actuando sobre M para producirle este movimiento: cómo depende del tiempo? Y de la posición de M? ) Zaragoza-Junio Dinámica del M.A.S. Periodo y frecuencia de oscilación de a) un muelle y b) de un péndulo simple En un M.A.S., cuánto vale la elongación, en el instante en que la velocidad vale la mitad de su valor máximo? Expresa el resultado en función de A (Barcelona Junio98 COU) ± A S La aceleración del movimiento de una partícula viene expresada por la relación a = ky, siendo y el desplazamiento respecto a la posición de equilibrio y k una constante. a) De qué movimiento se trata? b) Qué representa k? c) Cuál es la ecuación del citado movimiento? Razona las respuestas.( Madrid Junio97 LOGSE) 16.- Si la aceleración de un movimiento es a= x/4, se trata de un movimiento periódico? cuánto vale su periodo? S.- la aceleración es proporcional a la elongación y de sentido contrario a ella T = 4 π s 17.- Un resorte tiene una constante elástica k y suspendemos de él una masa m. El resorte se corta por la mitad y se suspende la misma masa m de una de los dos mitades. Cambia la frecuencia de oscilación? Justificarlo S.- La constante elástica del muelle depende solo de la naturaleza del muelle (duro o blando) no de la longitud 18.- Un péndulo simple de longitud 1 m se deja en libertad desde una posición tal que la cuerda forma un ángulo de 30º con la vertical. Calcular la máxima velocidad que alcanza el punto material (bolita o lenteja de péndulo simple) 1,6 m/s LOGSE S ; 0,π senπt ; F = k Δx ; F = k 0, cosπt Una partícula de 0,5 kg que describe un movimiento armónico simple de frecuencia 5/π Hz tiene, inicialmente, tiene una energía cinética de 0, J y una mas06.doc Luis Ortiz de Orruño pg de 9

3 17/10/007 Física ªBachiller energía potencial de 0,8 J. a) Calcula la posición y la velocidad iniciales, así como la amplitud de la oscilación y la velocidad máxima. b) Haz un análisis de las transformaciones de energía que tienen lugar en un ciclo completo. Cuál será el desplazamiento en el instante en que las energías cinética y potencial son iguales? Andalucía 98 0,18 m; 0,89 m/s 0, m; m/s; 0,14 m Simulación del Resorte con oscilaciones Forzadas Una masa m = 10 3 kg que describe un movimiento armónico simple (m.a.s.), tarda 1 s en desplazarse desde un extremo de la trayectoria al otro extremo. La distancia entre ambos extremos es de 5 cm. Determina: a) El periodo del movimiento. b) La energía cinética de la partícula en t =,75 s, sabiendo que en t = 0 su elongación era nula. c) El primer instante en que las energías cinética y potencial del sistema coinciden. Cantabria 98; s; 1, J; 0,5 s 1.- Un cuerpo de 800 g de masa describe un movimiento armónico simple con una elongación máxima de 30 cm y un periodo de s. Calcula su máxima energía cinética. Comunidad Valenciana 98; 0,36 J.- Un péndulo simple oscila con una elongación máxima de 18º, desarrollando 10 oscilaciones por segundo. Tomando como instante inicial la posición de equilibrio: a) Escribe su elongación en función del tiempo. b) Determina su periodo de oscilación en la Luna, donde la gravedad es, aproximadamente, un sexto de la terrestre. Galicia 98; θ=18º sen(0π t ) ; 0,1 6 s 3.- Si se duplica la energía mecánica de un oscilador armónico, explica qué efecto tiene: a) En la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones. b) En la velocidad y el periodo de oscilación. Madrid 98 ; A ' = A ; v ' = v ; T=cte 4.- Un punto material está animado de un movimiento armónico simple a lo largo del eje X, alrededor de su posición de equilibrio en y = 0. En el instante t = 0, el punto material está situado en x = 0 y se desplaza en el sentido negativo del eje X con una velocidad de 40 cm/s. La frecuencia del movimiento es de 5 Hz. a) Determina la posición en función del tiempo. b) Calcula la posición y la velocidad en el instante t = 5s. Madrid 98 1,7 10 sen (10πt+π); 0; -0,4 m/s 5.- Energía del movimiento armónico simple. Murcia Una masa de 0 g realiza un movimiento vibratorio armónico en el extremo de un resorte que da dos oscilaciones por segundo, siendo la amplitud del mismo 5 cm. Calcula: a) La velocidad máxima de la masa que oscila. b) La aceleración de la masa en el extremo de su movimiento. c) La constante k del resorte. País Vasco 98; 0, π m/s ; 0,05(4π) ; 0,0(4π) N/m Simulación del Resorte con oscilaciones Amortiguadas html 7.- Un péndulo simple está construido con una bolita suspendida de un hilo de longitud L = m. Para pequeñas oscilaciones, su periodo de oscilación en un cierto lugar resulta ser T=,84 s. a) Determina la intensidad del campo gravitatorio en el lugar donde se ha medido el periodo. b) Considera que el movimiento de la bolita es prácticamente paralelo al suelo, a lo largo de un eje OX con origen, 0, en el centro de la oscilación. Sabiendo que la mas06.doc Luis Ortiz de Orruño pg 3 de 9

4 17/10/007 Física ªBachiller velocidad de la bolita cuando pasa por 0 es de 0,4 m/s, calcula la amplitud de su oscilación y representa gráficamente su posición en función del tiempo, x(t). Toma origen para el tiempo, t = 0, en un extremo de la oscilación. Zaragoza 98. 9,79 m/s ; A = 0,181 m S 8.- Una partícula de masa m = 10 g oscila armónicamente en torno al origen de un eje OX, con una frecuencia de 5 Hz y una amplitud de 5 cm. a) Calcula la velocidad de la partícula cuando pasa por el origen (1 p.) b) Determina y representa gráficamente la energía cinética de m en función del tiempo. Toma origen de tiempo, t = 0, cuando m pasa por x = 0. (1 p.) Zaragoza Junio 99 1,57 m/s S 9.- El bloque de la figura, de masa M =0, kg, está apoyado sobre una superficie horizontal sin rozamiento y unido a una pared mediante un resorte horizontal y de masa despreciable. Partiendo de la posición de equilibrio, se desplaza M hacia la derecha hasta conseguir un deformación del resorte ΔL = 10 cm y se libera M con velocidad inicial nula. Se observa que M realiza una oscilación armónica en torno a la posición de equilibrio, con periodo T = 0,5 s a) Calcula la constante recuperadora del resorte. (0,5 p) b) Determina y representa gráficamente la aceleración de M en función del tiempo, a partir del instante en que se libera.(1p) Zaragoza Septiembre 99; 31,58 N/m π 0,1 (4π ) sen 4πt + ó 0,1 (4π ) cos( 4πt ) S 30.- Una partícula oscila armónicamente a lo largo del eje OX alrededor de la posición de equilibrio X = 0, con una frecuencia de 00 Hz. Si en el instante inicial (t = 0), la posición de la partícula es Xo = 10 mm y su velocidad es nula, determinar en qué instante será máxima la velocidad de la misma. Si la partícula forma parte de un medio material, cuál será la longitud de onda del movimiento que se propaga a lo largo del eje OX sabiendo que su velocidad de propagación es de 340 m s 1 Valencia 96; 1, s ; 1,7 m Un muelle de masa despreciable tiene una longitud natural L 0, = 10 cm. Cuando colgamos un cuerpo de masa m = 0,1 kg de su extremo inferior, su longitud en equilibrio es L eq = 0 cm. Considera g = 10 m/s a) Cuál es la constante recuperadora de este resorte? (0,5 p) Supón que, partiendo de la posición de equilibrio, desplazamos la masa 5 cm hacia abajo y la soltamos con velocidad inicial nula, de forma que empieza a oscilar armónicamente. b)ecuación de la elongación en función del tiempo y representa gráficamente la longitud del resorte en función del tiempo, a partir del instante en que soltamos m. (1 p) c) Con qué amplitud oscilará? Con qué frecuencia? Con qué velocidad pasará por la posición de equilibrio?(1 p) g N/m ; 5 10 m ; 1,58 Hz,1 m/s ; x = 5 10 cos 9, 97t +π S ( ) 3.- Un cuerpo de 10 g se mueve con movimiento π armónico de ecuación: x = 10sen 10t +. a) Calcular su velocidad en t=0. (1 p) b) Calcular la energía potencial y la energía cinética cuando la elongación es cero (1 p) 0 m/s ; 50 J S 33.- La gráfica adjunta da la posición, en metros, y el tiempo, en segundos, de una partícula de masa m =l kg que realiza un movimiento vibratorio armónico simple. a) Escribe la ecuación que da su velocidad en función de t. b) Escribe la ecuación da su aceleración en función de t c) Escribe la ecuación de su energía total en función de t 0,471cos(0,094t ) ; 0,044sen(0,094t) ; es cte e independiente del tiempo. 0,111J S 34.- Un cuerpo de 10 g está vibrando con un movimiento armónico simple de amplitud 15 cm y frecuencia de 4 c/s. a) Calcular el valor máximo de la velocidad. (1 p) b) Calcula su energía potencial y cinética en el punto de máxima elongación(1 p) 1, π m/s ; 0 y 0,071 J S mas06.doc Luis Ortiz de Orruño pg 4 de 9

5 17/10/007 Física ªBachiller 37.- En la primera de las dos gráficas que se muestran en la página siguiente, se representa la variación con el tiempo del desplazamiento (elongación) que experimenta una partícula que se mueve con un movimiento armónico simple (m.a.s.). a) Cuál de las curvas numeradas, en la segunda gráfica, puede representar la variación de la aceleración con el tiempo del citado m.a.s.? (1 punto.) b) Representa gráficamente las energías cinética, potencial y total del anterior m.a.s. en función del tiempo utilizando los mismos ejes para las tres curvas. (1 punto.) Pendulum Java Applet by Fu-Kwun Hwang ang/ntnujava/pendulum/pendulum_s.htm 35.- Una masa de 0,05 kg realiza un m.a.s. según la ecuación: x = A cos( ω t + ϕ).sus velocidades son 1 y m/s cuando sus elongaciones son, respectivamente, 0,04 y 0,0 metros. Calcula: a) El periodo y la amplitud del movimiento. b) La energía del movimiento oscilatorio y las energías cinética y potencial cuando x = 0,03 m. Galicia 99 rad π ω = 50 ; T = s ; A = 0,044m Emec=0,16J; s 5 Ep=0,056; Ec=0,07 J 36.- Un bloque de masa m cuelga del extremo inferior de un resorte de masa despreciable, vertical y fijo por su extremo superior. a) Indica las fuerzas que actúan sobre la partícula explicando si son o no conservativas. b) Se tira del bloque hacia abajo y se suelta, de modo que oscila verticalmente. Analiza las variaciones de energía cinética y potencial del bloque y del resorte en una oscilación completa. Andalucía 99 Pendulum Java Applet by Fu-Kwun Hwang ave.html Nota: las respuestas deberán ser razonadas. Cantabria 99; Una partícula que describe un movimiento armónico simple (m.a.s.) de amplitud A = 10 cm, vibra en el instante inicial con su máxima velocidad de 10 m s 1 a) Halla la frecuencia de la oscilación b) Halla la aceleración máxima y la mínima del m.a.s. c) Determina la posición, velocidad y aceleración de la partícula en el instante t=1 s Cantabria 99 y = 0,1sen100t ; 50 3 Hz ; ± 10 m / s ; -0,05 m ; 8,6 π m/s 506,4 m/s 39.- La bolita de un péndulo simple realiza una oscilación aproximadamente horizontal y armónica, en presencia del campo gravitatorio terrestre, con un periodo T = s y una amplitud A = cm. a) Obtén la ecuación de la velocidad de la bolita en función del tiempo, y represéntala gráficamente. Toma origen de tiempo (t = 0) en el centro de la oscilación (1p.) b) Cuál sería el periodo de oscilación de este péndulo en la superficie de la Luna, donde la intensidad del campo gravitatorio es la sexta parte del terrestre? (1 p.) Zaragoza Junio 000 v = 0,0 π cosπt ; 6 s S mas06.doc Luis Ortiz de Orruño pg 5 de 9

6 17/10/007 Física ªBachiller El cuerpo de la figura tiene masa M = 0,5 kg, está apoyado sobre una superficie horizontal sin rozamiento y sujeto al extremo de un resorte de constante recuperadora K = 0 N/m. Partiendo de la posición de equilibrio, x = 0, se desplaza el bloque 5 cm hacia la derecha y se libera con velocidad inicial nula, de forma que empieza a oscilar armónicamente en torno a dicha posición. a) Calcula el periodo de la oscilación. (0,5 p.) b) Calcula las energías cinética y potencial de M en los extremos de su oscilación y cuando pasa por el centro de la misma. (1,5 p.) c) Durante la oscilación, es constante la energía mecánica de M? Por qué? (0,5 p.) Zaragoza Septiembre 000 ; 1s; 5 10 sen( t π π + ) ó 5 10 cos(πt ) ; Ec(ext)=0; Ep(ext)=0,05 J ; Ec(centro) =0,05 J ; Ep(centro) =0 ; Si en ausencia de rozamientos se conserva la energía mecánica 41.- a) Explica las variaciones energéticas que se dan en un oscilador armónico durante una oscilación. Se conserva la energía del oscilador? Razona la respuesta. b) Si se duplica la energía mecánica de un oscilador armónico, como varía la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones? Razona la respuesta. Andalucia Una masa de 1 kg vibra horizontalmente a lo largo de un segmento de 0 cm de longitud con un movimiento armónico de período T = 5 s. Determina: a) La ecuación que describe cada instante de tiempo la posición de la masa. b) La fuerza recuperadora cuando el cuerpo está en los extremos de la trayectoria. c) La posición en la que la energía cinética es igual al triple de la energía potencial. Cantabria 000 π t 0,1cos + ϕ ; ± 0,016π N ; Justifica la relación k m = ω x = ± A para un movimiento armónico simple siendo k la constante elástica recuperadora. Islas Canarias La aguja de una máquina de coser se mueve con un movimiento que puede considerarse vibratorio armónico. Si el desplazamiento vertical total, es 8 mm y realiza 0 puntadas en 10 segundos. a) Cuál será, la máxima velocidad de la aguja y en qué punto la alcanzará? b) Cuál será su máxima aceleración y en qué punto la alcanzará? País Vasco 000; 3 ± π m / s en x = 0 ; ± π 3 m / s en x = ± A 45.- La fuerza máxima que actúa sobre una partícula que realiza un movimiento armónico simple es 10-3 N, y la energía total es de J. a) Escribe la ecuación del movimiento de esa partícula, si el período es de 4 s y la fase inicial es de 30º. b) Cuánto vale la velocidad al cabo de 1 s de iniciarse π π el movimiento? Galicia 000; x = 0,5 sen t + ; 6 0,39 m/s 46.- Una partícula de masa m = 10 g oscila armónicamente en la forma x = Asenωt x. En la figura se representa la velocidad de esta partícula en función del tiempo. a) a) Determina la frecuencia angular, ω, y la amplitud, A, de la oscilación. (1 p.) b) Calcula la energía cinética de m en el instante t 1 = 0,5 s, y la potencial en t = 0,75 s. Coinciden? Por mas06.doc Luis Ortiz de Orruño pg 6 de 9

7 17/10/007 Física ªBachiller Rad 1 qué? (1,5 p.) Zaragoza Junio 001; π ; m ; s π 0,0 J ; 0,0 J 47.- Supón que en el laboratorio estás realizando una práctica con un muelle que tienes colgado verticalmente de un soporte fijo. a) Al colgar una pesa de masa m = 100 g de su extremo inferior, observas que el alargamiento del muelle en equilibrio es ΔL = 10,4 cm. Si sustituyes la pesa por otra de masa m' = 50 g, cuál esperas que sea el nuevo alargamiento en equilibrio? (1 p.) b) Imagina ahora que suspendes del muelle una tercera pesa de masa desconocida. Tras dar un pequeño empujón vertical a la pesa, cronometras el tiempo que tarda en realizar diez oscilaciones completas y obtienes 7,9 s. Supuesto que la masa del muelle es despreciable, cuál es la masa de esta pesa? (1 p.) Zaragoza Septiembre 001; 0,6 m; 0,147 kg : La ecuación del elongación será: x = x0 + Acos( ωt) m; 0,4 J; 0, J 50.- Un muelle de constante elástica k = 00 N/m, longitud natural Lo = 50 cm y masa despreciable se cuelga del techo. Posteriormente, se engancha de su extremo libre un bloque de masa M = 5 kg y se deja estirar el conjunto lentamente hasta alcanzar el equilibrio estático del sistema. a) Cuál será la longitud del muelle en esta situación? Si, por el contrario, una vez enganchado el bloque se liberase bruscamente el sistema, produciéndose por tanto oscilaciones: b) Calcula la longitud del muelle en las dos posiciones extremas de dicha oscilación. Oviedo El bloque de la figura, de masa M = 0,5 kg, está apoyado sobre una superficie horizontal sin rozamiento y unido a una pared mediante un resorte de masa despreciable y constante recuperadora k = 8 N/m. Inicialmente se hace actuar sobre M una fuerza F = N en el sentido indicado. A continuación, una vez que M ha alcanzado el equilibrio, se anula F. Conversor de Unidades: Tabla de Conversiones Una bola de masa m = 10 g describe un movimiento armónico simple, (m.a.s.) a lo largo del eje X entre los puntos A y B que se muestran en la figura: a) Con qué amplitud oscilará M? Con qué frecuencia angular ω? (1p.) b) Determina y representa gráficamente las energías cinética, potencial y mecánica de M en función del tiempo. Toma origen de tiempo, t=0, en el instante de anular F. (1,5p) Zaragoza Junio Una partícula oscila armónicamente a lo largo del eje OX en la forma representada en la figura. a) Cuánto vale la amplitud del m.a.s. que describe la bola? b) Si en el punto B la aceleración del movimiento es a=5 m/s cuánto valdrá el período del m.a.s.? c) Cuánto valdrá la energía mecánica total del oscilador en el punto C?.Cantabria Una partícula de 0, kg está sujeta al extremo de un muelle y oscila con una velocidad v () t = sen( t) m / s en donde el tiempo se mide en segundos y los ángulos, en radianes. En el instante inicial, dicha partícula se encuentra en el origen. Calcula las siguientes magnitudes de la partícula: a) Posición en t = π/ s. b) Energía total. c) Energía potencial en t = π/8 s. Murcia. 001 Nota: En este problema el centro de la oscilación no coincide con el origen de coordenadas a) Determina y representa gráficamente la velocidad y la aceleración de la partícula en función del tiempo. (1,5 p.) b) En qué instantes es máxima la energía cinética de la partícula? Qué valor tiene en estos instantes su energía potencial? (1 p.) Zaragoza Septiembre a) Qué características debe tener una fuerza para que al actuar sobre cuerpo le produzca un movi- mas06.doc Luis Ortiz de Orruño pg 7 de 9

8 17/10/007 Física ªBachiller miento armónico simple? b) Representa gráficamente el movimiento armónico simple de una partícula dado por la ecuación: π y = 5cos 10t +, en unidades del S.I., y otro movimiento armónico que tenga una amplitud doble y una frecuencia mitad que el anterior. Andalucía Sea un muelle suspendido verticalmente del techo y de una determinad longitud. Si a su extremo libre se engancha un bloque de 60 g se observa que, en el equilibrio, el muelle se alarga en 10 cm. Posteriormente se da un pequeño tirón hacia abajo, con lo que el bloque se pone a oscilar Calcula la frecuencia de la oscilación. Asturias Se considera el péndulo simple, de longitud l, colocado como en la figura. Los choques de la masa m contra la pared vertical son perfectamente elásticos. Cantabria 00; 0; 9, J 3π x = 0,0sen 7t + ; 9, J ; 57.- Un oscilador armónico se encuentra en un instante determinado en una posición que es igual a la mitad de su amplitud (x = A/). Qué relación existe entre su energía cinética y su energía potencial? Islas Canarias.00; Una partícula de 10 g de masa oscila armónicamente según la expresión x = Asen( ωt). En la figura se representa la velocidad de esta partícula en función del tiempo. Calcula: a) La frecuencia angular ω y la amplitud, A, de la oscilación. b) La energía cinética de la partícula en el instante t 1 = 0,5 s, y la energía potencial en t = 0,75 s. c) Qué valores tienen las dos energías anteriores? a) Se desplaza ligeramente la masa m de su posición de equilibrio y se suelta. Cuál es el periodo de oscilación? b) Se trata de un movimiento armónico simple? Explícalo. Datos: l = 5 cm; g = 9,8 m/s Cantabria Cierto muelle, que se deforma 0 cm cuando se le cuelga una masa de 1,0 kg (figura A), se coloca sin deformación unido a la misma masa sobre una superficie sin rozamiento, como se indica en la figura B. En esta posición, se tira de la masa hasta que el muelle se alarga,0 cm y, posteriormente, se suelta. Despreciando la masa del muelle, calcula: a) La ecuación de la posición para el movimiento armónico simple resultante. b) Las energías cinética, potencial elástica y mecánica total cuando ha transcurrido un tiempo t = (3/4 T), donde T es el período del m.a.s Dato: g = 9,8 m/s Por qué? Islas Canarias.00; π Rad/s; 1/π m 59.- Qué diferencia existe entre un movimiento armónico simple y un movimiento vibratorio? Cita un ejemplo de cada uno de ellos. Islas Canarias Una masa de kg está unida a un muelle horizontal cuya constante recuperadora es k = 10 N/m. El muelle se comprime 5 cm desde la posición de equilibrio (x = 0) y se deja en libertad. Determina: a) La expresión de la posición de la masa en función del tiempo, x=x(t) b) Los módulos de la velocidad y de la aceleración de la masa en un punto situado a cm de la posición de equilibrio. c) La fuerza recuperadora cuando la masa se encuentra en los extremos de la trayectoria. d) La energía mecánica del sistema oscilante. Nota: Considera que los desplazamientos respecto a la posición de equilibrio son positivos cuando el muelle está estirado. Madrid.00; x 0,05sen( 5t) = ; 0,10 m/s, 0,1 m/s ; 0,5 N; 0,015 J 61.- Un péndulo simple está formado por un hilo de longitud L = 99, cm y una bolita que oscila en horizontal con una amplitud A = 6,4 cm y un periodo T =,00 s. a) Calcula la intensidad del campo gravitatorio local, g. (1 p.) mas06.doc Luis Ortiz de Orruño pg 8 de 9

9 17/10/007 Física ªBachiller b) Determina y representa gráficamente la velocidad de la bolita en función del tiempo, v(t). Toma origen de tiempo, t = 0, cuando la bolita pasa por su posición de equilibrio. (1,5 p.). Zaragoza Junio Una partícula de masa m = 5 g oscila armónicamente a lo largo del eje OX en la forma x = Acosωt, con A = 0,1 m y ω = 0π s -1. a) Determina y representa gráficamente la velocidad de la partícula en función del tiempo. (1 p.) b) Calcula la energía mecánica de la partícula. (0,5 p.) c) Determina y representa gráficamente la energía potencial de m en función del tiempo. (1 p.). Zaragoza Septiembre 003; 0,01π J 63.- Analiza el comportamiento de un péndulo simple y discute como puede ser utilizado para la determinación de g. Asturias Una partícula oscila según un movimiento armónico simple de 8 cm de amplitud y 4 s de periodo. Calcula su velocidad y su aceleración en los casos: a) Cuando la partícula pase por el centro de oscilación. b) Medio segundo después de que la partícula haya pasado por uno de los extremos de su trayectoria. Asturias 003; 4 10 π m/s 0 m/s ; m 8,89 10 m / s ; m 0,14 m / s 65.- a) En un movimiento armónico simple, Cual es la relación entre la energía total y la amplitud? b) Un oscilador armónico se encuentra en un momento dado en una posición igual a la mitad de su amplitud (x = A/) Cual es la relación entre la energía cinética y la energía potencial en ese momento? Cantabria 003; 1 EMecánica = ka ; Una masa de 0 g realiza un movimiento vibratorio armónico simple en el extremo de un muelle que realiza dos oscilaciones por segundo, siendo la amplitud del movimiento 5 cm. a) La velocidad máxima que llega a alcanzar la masa que oscila. b) La aceleración de la masa en el extremo del movimiento vibratorio armónico. c) La constante del muelle. Cantabria 003; 0,π m/s; 0,8π m/s ; 0,3π m 67.- a) Se han medido en el laboratorio los siguientes valores de masas y períodos de oscilación de un resorte; obtén a partir de ellos el valor de la constante elástica. T(s) 3,5 3,91 4,1 4,4 4,35 m(kg) 0,6 0,75 0,85 0,9 0,95 b) Depende el período de un péndulo simple del ángulo de oscilación? Cuánto varía el período si se aumenta la longitud un 0%? Galicia 003; 1,97 N/m; ΔT = 1, 1 T 68.- Un cuerpo dotado de un movimiento armónico simple de 10 cm de amplitud, tarda 0, s en describir una oscilación completa. Si en el instante t = 0 s su velocidad era nula y la elongación positiva, determina: a) La ecuación que representa el movimiento del cuerpo. b) La velocidad del cuerpo en el instante t = 0,5 s. π Comunidad Valenciana 003; 0,1sen 10πt + ; v(0,5)= π m/s 69.- Una partícula realiza un movimiento armónico simple. Si la frecuencia disminuye a la mitad, manteniendo la amplitud constante, qué ocurre con el período, la velocidad máxima y la energía total Comunidad Valenciana 003; T; v max /; E/ Un resorte de masa despreciable se estira 10 cm cuando se le cuelga una masa de 00 g. A continuación el sistema formado por el resorte y la masa se estira con la mano otros 5 cm y se suelta en el instante t = 0 s. Calcula: a) La ecuación del movimiento que describe el sistema. b) Las energías cinética y potencial cuando la elongación es y = 3 cm. Dato: g = 9,80 ms Galicia 003; y( t) = 0,05 cos( 9, 89t + π ); 15, J; 8, J E total= 4, J 71.- La frecuencia de una oscilación armónica simple se duplica desde 0,5 Hz hasta 0,50 Hz. Cuál es el cambio que se ha producido en el período de oscilación? La Rioja 003; 4 s a s 7.- Una partícula inicia un movimiento armónico simple en el extremo de su trayectoria y tarda 0,1 s en llegar al centro de ella. Si la distancia entre ambas posiciones es de 0 cm, calcula: a) El período del movimiento y la pulsación b) La posición de la partícula 1 s después de iniciado el movimiento. Castilla y León 003; 0,4 s; 5π rad/s; π x ( t) = 0,sen 5πt + ; x(1)= 0, m 73.- Un muelle de masa despreciable tiene una longitud natural L o = 0 cm. Cuando de su extremo inferior se cuelga un cuerpo de masa M = 0,1 kg, la longitud en equilibrio del muelle es L q = 30 cm. a) Calcula la constante recuperadora, k, de este muelle. (0,5 p.) Considera g = 10 m/s. Partiendo de la posición de equilibrio anterior, se desplaza M hacia arriba 10 cm, es decir hasta que el muelle tiene su longitud natural. A continuación se suelta M con velocidad inicial nula, de forma que empieza a oscilar armónicamente en dirección vertical. mas06.doc Luis Ortiz de Orruño pg 9 de 9

10 17/10/007 Física ªBachiller b) Calcula la longitud máxima del muelle, en el punto más bajo de la oscilación de M. (1 p.) c) Calcula la amplitud y la frecuencia de la oscilación, y la velocidad de M cuando pasa por su posición de equilibrio. (1 p.) Zaragoza Junio 004; 10 N/m; 0,4 m; 0,1 m; 5/π Hz; 1 m/s 74.- Un cuerpo de masa m = 0,1 kg oscila armónicamente a lo largo del eje OX. En la figura se representa su velocidad en función del tiempo. a) Determina y representa gráficamente la posición (elongación) de la partícula en función del tiempo. (1,5 p.) b) Calcula las energías cinética y potencial de la partícula en el instante t = 0,05 s. (1 p.) Zaragoza Septiembre 004; x( t) = sen5πt ; E c =0,1 J; E p = 0,1 J 0,4 π 75.- a) Comenta si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: "En un movimiento armónico simple, dado por x = Asenωt, las direcciones y los sentidos de la velocidad y de la aceleración coinciden todos los puntos de la trayectoria". b) Un objeto oscila según un movimiento armónico simple dado por x = Asen( ωt). Si el valor de la amplitud de la oscilación es 6 cm, y la aceleración del objeto cuando x = 4 cm es 4 cm/s, calcula: b1) La aceleración cuando x = 1 cm. b) La velocidad máxima que alcanza el objeto Asturias 004; 0,06 m/s ; ± 0,15m / s 76.- a) Al colgar una masa en el extremo de un muelle en posición vertical, este se desplaza 5 cm, de qué magnitudes del sistema depende la relación entre dicho desplazamiento y la aceleración de la gravedad? b) Calcula el período de oscilación del sistema muellemasa anterior si se deja oscila en posición horizontal ( sin rozamiento) Dato: g = 9,81 m/s Madrid 004; mg x = ; 0,45 s k 77.- Un resorte de masa despreciable se estira 0,1 m cuando se le aplica una fuerza de,45 N. Se fija en su extremo libre una masa de 0,085 kg, se estira 0,15 m a lo largo de una mesa horizontal a partir de su posición de equilibrio y se suelta, dejándolo oscilar libremente sin rozamiento. Calcula: a) La constante elástica del resorte y su período de oscilación. b) La energía total asociada a la oscilación y las energías potencial y cinética cuando x= 0,075 m. Galicia 004; 4,5 N/m; 0,37 s; 0,8;0,069;0,1 J 78.- Una partícula de masa m = 0,1 kg oscila armónicamente en la forma x = Asenωt, con amplitud A = 0, m y frecuencia angular ω = π rad/s a) Calcula la energía mecánica de la partícula. (1 p.) b) Determina y representa gráficamente las energías potencial y cinética de m en función de la elongación 3 x. (1,5 p.) Zaragoza Junio 005; 8 10 π J 79.- a) Escribe la ecuación de la elongación de un movimiento vibratorio armónico simple y comenta el significado físico de las magnitudes que aparecen en dicha ecuación. (1 p.) Un bloque de masa M = 0,4 kg desliza sobre una superficie horizontal sin rozamiento con velocidad vo = 0,5 m/s. El bloque choca con un muelle horizontal de constante elástica k = 10 N/m. Tras el choque, M se queda enganchada en el extremo del muelle. b) Calcula la frecuencia y la amplitud de las oscilaciones de M. (1 p.) c) Determina y representa gráficamente la posición del centro de M en función del tiempo, x(t), a partir del instante del choque (t = 0). en el sistema de referencia indicado en la figura. (1 p.) Zaragoza Septiembre 005; 0,8 Hz; x = 0,1sen 5 t 0,1m; ( ) 80.- Una partícula de masa 0,1 kg realiza un movimiento armónico simple de las siguientes características: amplitud, A = 1,7 cm; período, T = 0, s. en el instante t = 0 se encuentra en la posición x = 1 cm: a) Escribe la ecuación del movimiento. Represéntala gráficamente. b) Calcula su velocidad en el instante en que la partícula pasa por el origen, x = 0. c) Calcula su aceleración en ese mismo instante, d) Calcula su energía mecánica. Navarra 005; mas06.doc Luis Ortiz de Orruño pg 10 de 9

11 17/10/007 Física ªBachiller x( t) = 1,7 cos(10π t +,) ; x 005; 3 π π x ( t ) = 4 10 sen t ; π m / s 1,5 1 0, ,5 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 x -1-1,5 - v max = 17 π cm / s v ( 0,08) = 17π sen(10π 0,08 +,) = 17π cm / s ; 0 cm / s ; 1,43 10 J 81.- Un cuerpo realiza un movimiento vibratorio armónico simple. Escribe la ecuación de dicho movimiento en unidades del S.I. en los siguientes casos a) Su aceleración máxima es igual a 5π cm/s, el período de las oscilaciones es s y la elongación del punto al iniciarse el movimiento era,5 cm b) Su velocidad es 3 cm/s cuando la elongación es,4 cm y la velocidad es cm/s cuando su elongación es,8 cm. La elongación al iniciarse el movimiento era π nula Castilla y León 005; x ( t) = 5 10 sen πt + ; 6 x( t) = 3,08 10 sen(1,55t) 8.- Una partícula de masa m empieza su movimiento a partir del reposo en x = 5 cm y oscila alrededor de su posición en equilibrio en x = 0 con período de 1,5 s. Escribe las ecuaciones que nos proporcionan x en función de t, la velocidad en función de t y la aceleración en función de t. La Rioja Un punto realiza un movimiento vibratorio armónico simple de período T y amplitud A, siendo nula su elongación en el instante inicial. Calcula el cociente entre sus energías cinética y potencial a) En los instantes de tiempo t=t/1, t=t/8 y t=t/6 b) Cuando su elongación es de x=a/4, x=a/ y x=a Castilla y León Se tiene un cuerpo de masa m = 10 kg que realiza un movimiento armónico simple. La figura adjunta es la representación de su elongación, y, en función del tiempo, t. Calcula: a) La ecuación matemática del movimiento armónico y(t) con los valores numéricos correspondientes, que se tienen que deducir de la gráfica. b) La velocidad de dicha partícula en función del tiempo y su valor concreto en t=5 s Comunidad Valenciana π x = x0sen ωt + ; 0,037 J; 0 J 85.- Una partícula de masa m, que sólo puede moverse a lo largo del eje OX, se sitúa inicialmente (t = 0) en la posición x = x o y se libera con velocidad nula. Sobre ella actúa una fuerza, dirigida según el eje OX, F =-kx, donde k es una constante positiva a) Qué tipo de movimiento realiza la partícula? Describe analítica y gráficamente cómo dependen del tiempo su posición, x (t), y su velocidad, v (t). (1,5 p.) b) Para m = 0,1 kg, k = 30 N/m y xo = 5 cm, calcula las energías cinética y potencial de la partícula cuando pasa por x = 0. (1 p.) Zaragoza junio 006; x x cosωt x = x cos ω t + π =, ( ) La bolita de un péndulo simple realiza una oscilación aproximadamente horizontal y armónica, en presencia del campo gravitatorio terrestre, con un periodo T = s y una amplitud A = 5 cm. a) Determina y representa gráficamente la velocidad de la bolita en función del tiempo, v (t). Toma origen de tiempo, t = 0, cuando la bolita pasa por el centro de su oscilación desplazándose en sentido positivo. (1,5 p.) b) Cuál sería el periodo de oscilación de este péndulo en la superficie de la Luna, donde la intensidad del campo gravitatorio es la sexta parte del terrestre? (1 p.) Zaragoza septiembre 006; x = x senπt ; v = 0,05π cosπt, T Luna = 6 s 87.- a) Demuestra que en un oscilador armónico simple la aceleración es proporcional al desplazamiento pero de sentido contrario. b) Una partícula realiza un movimiento armónico simple sobre el eje OX y en el instante inicial pasa por la posición de equilibrio. Escribe la ecuación del movimiento y razona cuándo es máxima la aceleración. Andalucía. Junio, Un estudiante dispone de un muelle y de cuatro masas (M), las cuales suspende sucesivamente del primero y realiza experimentos de pequeñas oscilaciones, midiendo en cada caso el período de oscilación (T). El estudiante representa los resultados experimentales según se muestra en la figura: 0 mas06.doc Luis Ortiz de Orruño pg 11 de 9

12 17/10/007 Física ªBachiller a) Determina la constante elástica del muelle. b) Justifica físicamente el comportamiento observado. Asturias Una masa de 5 kg unida a un muelle está realizando un movimiento armónico simple. La figura representa la elongación en función del tiempo. a) Cuánto vale la frecuencia angular b) Determina la ecuación que describe dicho movimiento c) Cuánto vale la velocidad, la energía cinética y la energía potencial elástica de la masa para t= 1, s d) A un muelle idéntico suspendido del techo le colgamos lentamente una masa de 10 kg. Cuando la masa queda en equilibrio Cuánto se estira el muelle respecto de la posición inicial? Cantabria 006; 0 cos πt ; 119,3 cm/s; 3,6 J; 0,38 J; 3,98 J; 0,49 m Zaragoza junio 007; 5 Hz; 0,01 m 9.- Una partícula de masa m = 0 g. oscila armónicamente en la forma x( t) = Asenωt. En la figura se representa la velocidad de la partícula en función del tiempo. a) Determina la frecuencia angular ω y la amplitud A de la oscilación. (1 p.) b) Calcula la energía cinética y la potencial de la masa m en función del tiempo. Justifica cuanto vale la suma de ambas energías. (1, 5 p.). Zaragoza septiembre 007; 5π rad/s; m 90.- De dos resortes con la misma constante elástica, k, se cuelgan sendos cuerpos con la misma masa. Uno de los resortes tiene el doble de longitud que el otro. Vibrarán con la misma frecuencia? Razona tu respuesta. Castilla y León Un cuerpo de masa M = 0,1 kg oscila armónicamente en torno al origen O de un eje OX. En la figura se representa la aceleración de M en función del tiempo. a) Determina la frecuencia y la amplitud de oscilación de M.(1,5p.) b) Determina y representa gráficamente la energía cinética de M en función del tiempo. (1 p.) S Problemas resueltos, localizables en la página web mas06.doc Luis Ortiz de Orruño pg 1 de 9