PAU Movimiento Vibratorio Ejercicios resueltos

Transcripción

1 PU Moviiento Vibratorio jeriios resueltos PU CyL S995 ley Hooke alitud y freuenia Colgado de un soorte hay un resorte de onste = 0 N/ del que uelga una asa de kg. n estas irunsias y en equilibrio, la asa dista del soorte. a) )Cuál es la longitud del resorte uando no susende ninguna asa? hora se inreenta la asa on otra de 0,5 kg. Partiendo del unto anterior, se libera el sistea. b) )Cuál es la alitud de la osilaión? ) )Cuál es la freuenia de la osilaión? a) La deforaión del resorte se deterina aliando la ley de Hooke: F = y g = y g kg 9,8 / Desejando: s y = = = 0,5 0 N/ La longitud del resorte uando no se susende ningún uero es: longitud = - 0,5 = 0,755 y b) Hay que deterinar el alargaiento del resorte uando se uelga la asa de kg + 0,5 kg. liando la ley de Hooke: F = y g = y g,5 kg 9,8 / Desejando: s y = = = 0, N/ sta antidad es la osiión de equilibrio al olgar la asa de,5 kg. Por to la alitud de la osilaión es la disia entre la osiión del uelle desargado y la nueva osiión de equilibrio. = 0,3675 = 0 N/,5 kg ) La freuenia es: f = = = 0,8 Hz = f PU CyL J003 Dado y osiión en un inste Una artíula iniia un oviiento arónio sile en el etreo de su trayetoria y tarda 0, s en llegar al entro de la isa. Si la disia entre abas osiiones es de 0, alule: a) l eríodo del oviiento y la ulsaión. b) La osiión de la artíula s desués de iniiado el oviiento. La disia entre el etreo y el entro de la trayetoria es igual a la alitud del oviiento y el tieo que tarda en reorrer esa disia es la uarta arte del eríodo, or to: = 0 ; = 0, s = 0, s La ulsaión del oviiento es: ω = π f = πrad 0, s 5 π rad/s La euaión general de la osiión en un oviiento vibratorio arónio sile es: y t) = os ω t + φ 0 ) La diferenia de fase se alula aliando las ondiiones iniiales del ejeriio, iniialente su osiión es el etreo de su trayetoria que suongaos es el ositivo. y t = 0) = = os ω 0 + φ 0 ); os φ 0 = φ 0 = 0 rad La euaión del oviiento es: y t) = 0 os 5 π rad/s t ) Y en el inste edido resulta que: y t = s) = 0 os 5 π rad/s s) = - 0 La artíula está en el otro etreo de la trayetoria. s n efeto la relaión entre el tieo transurrido y el eríodo es: t s,5 0,s Han transurrido dos eríodos y edio, or lo que la artíula está en oosiión de fase on el inste iniial, en el otro etreo de la trayetoria.

2 PU Moviiento Vibratorio jeriios resueltos PU CyL S00 Posiión, veloidad y aeleraión en un inste Una artíula desribe un oviiento arónio sile de 0 de alitud. Si alanza su veloidad áia, de 5 s -, en el inste iniial, a) Cuál será la aeleraión áia de la artíula? b) Cuáles serán la osiión, la veloidad y la aeleraión de la artíula en el inste t = s? La alitud es: = 0 Las eresiones generales de la elongaión, veloidad y aeleraión de la artíula son: dy dv y = sen ω t + o); v = = ω os ω t + o); a = = - ω sen ω t + φ 0 ) Coo en el inste iniial la veloidad es áia, se tiene que la fase iniial es: os ω 0 + 0) = 0 = 0 rad Del valor de la áia veloidad se deduen el resto de las onstes del oviiento. v áia = ω = 5 /s v 5 /s rad = a = = 5 0, /rad s Las eresiones de la elongaión, veloidad y aeleraión y sus valores en el inste t = s son: y = sen ω t + o) = 0 sen 5 rad/s t) y t = s = 0 sen 5 rad/ s s) = -,65 dy v = = 00 5 s - os 5 rad/s t) v t = s = 500 /s os 5 rad/ s s) = 95,6 /s dv a = = /s 5 s - sen 5 rad/s t) a t = s = -,5 0 /s sen 5 rad/s s) = = -, /s Y uyo valor áio es: a áia =,5 0 /s PU CyL J005 uaión general dada a áia y dadas dos veloidades en dos osiiones Un uero realiza un oviiento vibratorio arónio sile. sriba la euaión de diho oviiento en unidades del S.I. en los siguientes asos: a) su aeleraión áia es igual a 5π /s, el eriodo de las osilaiones es s y la elongaión del unto al iniiarse el oviiento era,5,5 untos). b) su veloidad es 3 /s uando la elongaión es, y la veloidad es /s uando su elongaión es,8. La elongaión al iniiarse el oviiento era nula,5 untos). a) La eresión general de un oviiento vibratorio arónio sile es: t = sen ω t + φ 0 ) La freuenia angular es: s s La alitud del oviiento se dedue de la eresión de la aeleraión áia: a áia = ω a áia 5 / s s 5 La fase iniial se alula sustituyendo las ondiiones iniiales en la euaión general: =0 = 5 sen ω 0 s + φ 0 ) =,5 ; sen φ 0 = 0,5 φ 0 = π/6 rad La eresión edida es: : t = 5 sen π s - t + π/6 rad) b) Para resolver esta uestión hay que eresar la veloidad en funión de la osiión. n ausenia de rozaiento la energía eánia del osilador se onserva, or lo que ara ualquier osiión se tiene: = v + Coo = ω, se obtiene la eresión: v = ω )

3 PU Moviiento Vibratorio jeriios resueltos Sustituyendo los valores del ejeriio, resulta que: 3 /s) /s) 8 9 5,76 7,8 Oerando: 9 70,56 = 3,0 ; 5 = 7,5 = 3,08 Sustituyendo en una de las euaiones del sistea, resulta que la freuenia angular es: 3 /s) = ω [3,08 ), ) ] ω =,55 rad/s ligiendo la funión seno ara desribir el oviiento, en el inste iniial la fase es igual a 0 rad, la eresión del oviiento es: t = sen ω t + φ 0 ) = 3,08 sen,55 rad/s t) PU CyL J005 Relaiones y en instes y osiiones Un unto realiza un oviiento vibratorio arónio sile de eriodo y alitud, siendo nula su elongaión en el inste iniial. Calule el oiente entre sus energías inétia y otenial: a) en los instes de tieo t = /, t = /8 y t = /6 unto). b) uando su elongaión es = /, = / y = unto). a) Hay que enontrar una relaión que ligue las eresiones de las energías en funión del tieo. La eresión general de la elongaión del oviiento es: t = sen ω t + φ 0 ) n el inste iniial: t=0 = sen ω 0 + φ 0 ) = 0 φ 0 = 0 Coo = ω, las eresiones generales de la veloidad, energía otenial y energía inétia son: t = sen ω t); = ½ = ½ ω sen ω t) dv v t = = ω os ω t); = ½ v = ½ ω os ω t) Dividiendo térino a térino se tiene la relaión entre las energías en funión del tieo: sen os Coo: ω = π f =, resulta que: Para t = / 3 6 Para t = /8 8 Para t = / b) hora hay que enontrar una relaión que ligue las eresiones de las energías en funión de la osiión. La energía total de un osilador arónio es: = ½, or lo que las eresiones generales de las energías otenial y inétia son: = ½ ; = = ½ ½ = ½ ) t

4 PU Moviiento Vibratorio jeriios resueltos Dividiendo térino a térino se tiene la relaión entre las energías en funión de la elongaión: Si = / 5 ; Si = / 3 Si = oda la energía está en fora de energía otenial, la elongaión es áia y la veloidad es igual a ero. PU CyL J005 Relaión f, y longitud De dos resortes on la isa onste elástia k se uelgan sendos ueros on la isa asa. Uno de los resortes tiene el doble de longitud que el otro l uero vibrará on la isa freuenia? Razone su resuesta untos). l eríodo on el que vibra un resorte no deende de su longitud, or to su k freuenia taoo. Los dos objetos vibran on la isa freuenia. PU CyL S005 Resorte relaiones inétia y otenial on elongaiones Una asa de kg osila unida a un resorte de onste k = 5 N/, on un oviiento arónio sile de alitud 0 -. a) Cuando la elongaión es la itad de la alitud, alule qué fraión de la energía eánia es inétia y qué fraión es otenial.,5 untos). b) Cuánto vale la elongaión en el unto en el ual la itad de la energía eánia es inétia y la otra itad otenial?, 5 untos). La energía eánia de un osilador arónio es igual a la sua de su energía otenial elástia, asoiada a la osiión, y de su energía inétia, asoiada a su veloidad v. Las eresiones de estas energías son: = ½ ; = ½ v Cuando la artíula asa or los etreos de la vibraión toda la energía es de tio otenial v = 0) y uando asa or el entro toda la energía es de tio inétia = 0). Por lo que la energía total de la artíula se uede esribir: = ½ = ½ v áia a) Cuando la elongaión es la itad de la alitud, = /, se tiene que: La energía otenial es un uarto de la energía total. l resto orresonde a la energía inétia: = 3 b) Si los valores de la energía otenial y inétia son iguales, entones la energía otenial es igual a la itad de la energía eánia. ; Desejando, la elongaión en la osiión en la que se igualan las energías es: 0

5 PU Moviiento Vibratorio jeriios resueltos PU CyL J007 eresiones de energías en funión del tieo Una artíula de asa está aniada de un oviiento arónio sile de alitud y freuenia f. Deduza las eresiones de las energías inétia y otenial de la artíula en funión del tieo unto). Deduza la eresión de la energía eánia de la artíula unto). a) Las eresiones generales de la osiión y veloidad de la artíula son: = sen ω t); v = d/ = ω os ω t) Las eeresiones de las energies inétia y otenial en funión del tieo son: otenial = ½ = ½ sen ω t) inétia = ½ v = ½ ω os ω t) b) La energía eánia es igual a la sua de las energías inétia y otenial elástia. eánia = otenial + inétia = ½ sen ω t) + ½ ω os ω t) Coo: = ω, oerando: eánia = ½ [sen ω t) + os ω t)] = ½ PU CyL J008 Muelle se igualan energías y v áia Un uero de kg de asa se enuentra sujeto a un uelle horizontal de onste elástia k = 5 N/. Se deslaza reseto a la osiión de equilibrio y se libera, on lo que oienza a overse on un oviiento arónio sile. a) qué disia de la osiión de equilibrio las energías inétia y otenial son iguales? untos). b) Calule la áia veloidad que alanzará el uero unto). a) Si el objeto se deslaza y se libera, la alitud de la osilaión es =. La energía total asoiada a la artíula es: = Si los valores de las energías son iguales, entones la energía otenial elástia es la itad de la total: y ; = = y 0 Desejando, la elongaión ara la que se igualan los dos tios de energía es: y b) liando la ley de la onservaión de la energía eánia, la energía otenial elástia en un etreo de la vibraión es igual a la energía inétia del objeto en el entro del reorrido. 5 N/ váia 7,7 0 0 kg - = váia = = 0,0 = /s PU CyL S008 tieo ara llegar a una osiión y energía y desfase Una artíula de 0, kg de asa, se ueve on un oviiento arónio sile y realiza un deslazaiento áio de 0,. La artíula se ueve desde su áio ositivo hasta su áio negativo en,5 s. l oviiento eieza uando el deslazaiento es = +0,. a) Calule el tieo neesario ara que la artíula llegue a = -0,06 untos). b) Cuál será la energía eánia de diha artíula? unto).

6 PU Moviiento Vibratorio jeriios resueltos La euaión general del oviiento es: = sen ω t + φ 0 ) = 0, ; =,5 s =,5 s; 0,5 rad/ s,5 s Coo en t = 0 s resulta que = 0,, se tiene: 0, = 0, sen 0,5 π 0 + φ 0 ) φ 0 = π/ rad Sustituyendo en la euaión del oviiento uando = - 0,06, resulta que: - 0,06 = 0, sen 0,5 π t + π/); - 0,5 = sen 0,5 π t + π/) Oerando: 7 π/6 = 0,5 π t + π/ t =,8 s Y la energía eánia es: = ½ = ½ ω = ½ 0, kg 0,5 π rad/s) 0, ) =, 0-3 J PU CyL S009 gráfias de energía en funión de osiión y del tieo Una artíula de asa desribe un M..S. de euaión: t) = senω t +Ф ). a) Deterine y reresente en un diagraa óo varían las energías inétia, otenial y eánia ara diha artíula en funión de su osiión unto). b) Deterine y reresente en un diagraa óo varían las energías inétia, otenial y eánia ara diha artíula en funión del tieo t unto). a) La energía eánia de una artíula on M..S. es una antidad onste. = + = ½ = ½ v áia La energía otenial elástia es áia en los etreos de la osilaión e igual a ero en el entro. = ½ La energía inétia es áia en el entro de la vibraión e igual a ero en los etreos. = - = ½ - ½ = ½ - ) b) La energía eánia de una artíula on M..S. es una antidad onste. = + = ½ = ½ v áia = ½ ω Si la osiión de una artíula en funión del tieo es: t) = sen ω t + Ф), entones la veloidad de la artíula es: v t) = dt) = ω os ω t + Ф) y las energías otenial y inétia asoiadas a la artíulas son: = ½ = ½ sen ω t + Ф) = ½ v = ½ ω os ω t + Ф) = = ½ os ω t + Ф)