Formulación matricial del modelo lineal general

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1 Formulación matricial del modelo lineal general Estimadores MCO, propiedades e inferencia usando matrices Mariana Marchionni marchionni.mariana@gmail.com Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 1 / 49

2 Temario de la clase El modelo en notación matricial 1 El modelo en notacion matricial 2 Estimadores MCO y propiedades algebraicas 3 estadísticas 4 Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 2 / 49

3 El modelo lineal con K variables Vimos el modelo Y i = β 1 + β 2 X 2i + β 3 X 3i + + β K X Ki + u i, i = 1,...n Como vale para i = 1,..., n, entonces podemos escribir: Y 1 = β 1 + β 2 X 21 + β 3 X β K X K 1 + u 1 Y 2 = β 1 + β 2 X 22 + β 3 X β K X K 2 + u 2. Y n = β 1 + β 2 X 2n + β 3 X 3n + + β K X Kn + u n Sistema de n ecuaciones lineales. ¾Lineales en qué? Todo sistema lineal puede ser expresado en matrices Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 3 / 49

4 Formulación matricial del modelo Notar que el modelo puede escribirse como: Y 1 Y 2.. Y n 1 X 21 X 31 X K 1 = 1 X 22 X 32 X K X 2n X 3n X Kn β 1 β 2.. β K + u 1 u 2.. u n Y = X β + u ¾Qué dimensiones tiene cada matriz/vector? Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 4 / 49

5 La matriz y los vectores X = 1 X 21 X 31 X K 1 1 X 22 X 32 X K X 2n X 3n X Kn Y = Y 1 Y 2.. Y n β = β 1 β 2.. β K u = u 1 u 2.. u n Las dimensiones: X es (n K), Y y u son (n 1), y β es (K 1). Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 5 / 49

6 Entonces, el modelo Y i = β 1 + β 2 X 2i + β 3 X 3i + + β K X Ki + u i, i = 1,...n Puede escribirse como Y = X β + u Este es el modelo lineal general (K variables) expresado en notación matricial Ventaja: nos permitirá trabajar expresiones sin el uso de sumatorias Desventaja: trabajar con álgebra matricial Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 6 / 49

7 Digresión: deniciones y resultados de álgebra matricial 1 Rango de una matriz. Número máximo de las y/o columnas linealmente independientes (li): ρ(x ) 2 Máximo nro. de columnas li = máximo nro. de las li 3 Matriz no singular: Una matriz cuadrada A (K K) es no singular, sii A = 0 existe una única matriz no singular A 1, a la que llamamos inversa de A, tal que AA 1 = A 1 A = I K ρ(a) = K = A 0 4 Sea una matriz A (K K). Entonces: ρ(a) < K = A = 0 5 Sea una matriz X (n K) con ρ(x ) = K (rango columna completo). Se cumple que ρ(x ) = ρ(x X ) = K Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 7 / 49

8 ¾Qué es X X en nuestro modelo? Supongamos n = 3 y K = 2: X = 1 X 21 1 X 22 1 X 23 [ X X = 3 X 21 + X 22 + X 23 X 21 + X 22 + X 23 X X X 2 23 ] Generalizando para cualquier n y K : X X = n X 2i X 3i X Ki X 2i X 2 2i X 2i X 3i X 2i X Ki X 3i X 2i X 3i X 2 3i X 3i X Ki X Ki X 2i X Ki X 3i X Ki X 2 Ki Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 8 / 49

9 ¾Qué es X X en nuestro modelo? Supongamos n = 3 y K = 2: X = 1 X 21 1 X 22 1 X 23 [ X X = 3 X 21 + X 22 + X 23 X 21 + X 22 + X 23 X X X 2 23 ] Generalizando para cualquier n y K : X X = n X 2i X 3i X Ki X 2i X 2 2i X 2i X 3i X 2i X Ki X 3i X 2i X 3i X 2 3i X 3i X Ki X Ki X 2i X Ki X 3i X Ki X 2 Ki Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 8 / 49

10 ¾Qué se requiere para que ρ(x ) = K? 1 X 21 X 31 X K 1 1 X 22 X 32 X K 2 X = X 2n X 3n X Kn Vimos que ρ(x ) = ρ(x X ) (resultado 5) ρ(x ) = K ρ(x X ) = K (X X ) 1 Esto es muy importante, ya veremos... Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 9 / 49

11 ¾Qué se requiere para que ρ(x ) = K? 1 X 21 X 31 X K 1 1 X 22 X 32 X K 2 X = X 2n X 3n X Kn Vimos que ρ(x ) = ρ(x X ) (resultado 5) ρ(x ) = K ρ(x X ) = K (X X ) 1 Esto es muy importante, ya veremos... Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 9 / 49

12 Digresión: derivando con matrices Resultado 1: sean a y b dos vectores (K 1), entonces: (b a) b = a Resultado 2: sea A una matriz simétrica (K K) y b un vector (K 1), entonces: (b Ab) b = 2Ab Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 10 / 49

13 Chequeamos resultado 1: (b a) Supongamos K = 2: a = [ a1 a 2 = a b [ b1 y b = b 2 Notar que b a = b 1 a 1 + b 2 a 2 es un escalar! ] ] (b a) b es un escalar derivado por un vector. ¾Y eso? Derivar por un vector (K 1) es derivar por cada uno de los K elementos del vector. Luego, las K derivadas se apilan en un nuevo vector (vector de derivadas). Derivamos: (b a) b = es el vector de derivadas! [ (b a) b1 (b a) b2 ] [ = a 1 a 2 ] = a Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 11 / 49

14 Chequeamos resultado 2: (b Ab) b [ b1 Supongamos otra vez K = 2: b = b 2 = 2Ab ] [ A11 A y A = 12 A 12 A 22 Notar que b Ab = b 2 1 A 11 + b 2 2 A b 1 b 2 A 12 es una función cuadrática en b (y es un escalar) ] Entonces, ¾qué es (b Ab)? b Derivamos: (b Ab) b = [ (b Ab) b1 (b Ab) b2 ] [ 2b1 A = b 2 A 12 2b 2 A b 1 A 12 ] = 2Ab Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 12 / 49

15 MCO en matrices El modelo en notación matricial La formulación matricial del modelo lineal general: Y = X β + u Sea ˆβ el vector que apila los estimadores del vector de parámetros ˆβ 1 ˆβ 2 ˆβ =.. ˆβ K Deniciones 1 Vector de estimaciones de Y (n 1): Ŷ X ˆβ 2 Vector de residuos o errores de estimación (n 1): e Y Ŷ = Y X ˆβ Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 13 / 49

16 Recordemos la función de pérdida del método de MCO: SRC n e 2 = [ ] e i 1 e 2 e n i=1 e 1 e 2.. e n Es decir, la suma de residuos cuadráticos se puede reescribir como: SRC e e Recordando que e Y X ˆβ es fácil ver que SRC es una función de ˆβ : SRC( ˆβ) (Y X ˆβ) (Y X ˆβ) Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 14 / 49

17 El problema de MCO: Min ˆβ SRC(ˆβ) e e = (Y X ˆβ) (Y X ˆβ) Notar que la función a minimizar es escalar (1 1) Hay que derivar un escalar respecto del vector ˆβ Las CPO igualan el vector de derivadas al vector cero: SRC(ˆβ) ˆβ =0 Sistema de K ecuaciones con K incógnitas Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 15 / 49

18 Obtención de los estimadores MCO ( ) ( ) ( e e = Y Ŷ Y Ŷ = Y X ˆβ ) ( Y X ˆβ ) = Y Y Y X ˆβ ˆβ X Y + ˆβ X X ˆβ = Y Y 2 ˆβ X Y + ˆβ X X ˆβ El último paso requiere notar que los términos 2do y 3ro son escalares iguales Ahora hay que derivar respecto del vector ˆβ Notar que el 2do término es de la forma b a (recordar resultado 1) Notar que el 3er término es de la forma b Ab (recordar resultado 2) Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 16 / 49

19 La función a minimizar: e e = Y Y 2 ˆβ X Y + ˆβ X X ˆβ Las CPO: e e ˆβ = 0 2X Y + 2X X ˆβ = 0 X X ˆβ = X Y Si existe (X X ) 1, entonces: ˆβ = (X X ) 1 X Y ˆβ es el vector de estimadores MCO Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 17 / 49

20 ¾De qué depende que exista (X X ) 1? Vimos antes que si X es (n K) con ρ(x ) = K (rango columna completo), entonces ρ (X ) = ρ (X X ) = K Entonces: ρ ( X X ) ( = K X X = 0 X ) 1 X El supuesto de no multicolinealidad perfecta justamente dice que ρ (X ) = K La ausencia de multicolinealidad perfecta es necesaria para que exista el vector de estimadores MCO Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 18 / 49

21 Propiedades algebraicas en notación matricial Propiedad 1: los estimadores de MCO son lineales, es decir tienen la forma ˆβ = AY donde A es una matriz (K n) con elementos no estocásticos (no aleatorios). Prueba: son ˆβ = (X X ) 1 X Y Si llamamos A a la matriz (X X ) 1 X (de dimensión K n), ˆβ queda escrito en la forma lineal Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 19 / 49

22 Propiedad 2: X e = 0 Puede obtenerse a partir de la CPO: X X ˆβ = X Y Implica 2 resultados que ya vimos antes: 1 2 n i=1 e i = 0 n X ki e i = 0 k = 2,...K i=1 ¾Intuición? Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 20 / 49

23 Propiedad 3: similar a la propiedad anterior: Ŷ e = 0 Propiedad 4: el punto ( X, Ȳ ) pertenece al hiperplano estimado por MCO: Ȳ = X ˆβ Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 21 / 49

24 Bondad del ajuste usando notación matricial La descomposición de la suma de cuadrados es N (Y i Ȳ ) 2 = i=1 Y Y nȳ 2 }{{} N (Ŷ i Ȳ ) 2 + N e 2 i i=1 i=1 = Ŷ Ŷ nȳ 2 }{{} + e e }{{} STC = SEC + SRC Entonces, la bondad del ajuste puede escribirse como: Ver R 2 ajustado R 2 = Ŷ Ŷ nȳ 2 Y Y nȳ 2 = 1 e e Y Y nȳ 2 Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 22 / 49

25 Supuestos clásicos en notación matricial Modelo lineal: Y = X β + u Supuestos clásicos: 1 E(u) = 0 2 V (u) = σ 2 I n 3 X es una matriz (n K) no estocástica (no aleatoria) con ρ(x ) = K (rango columna completo) Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 23 / 49

26 Esperanza de u Recordemos que u es un vector aleatorio E(u) es el vector de las esperanzas u = u 1 u 2.. u n = E(u) = E(u 1 ) E(u 2 ). E(u n ) El supuesto 1 establece que el vector de esperanzas es igual al vector nulo, es decir: E(u i ) = 0 para i = 1,...n Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 24 / 49

27 Matriz de varianzas y covarianzas de u La matriz de varianzas y covarianzas de un vector aleatorio u se dene como: V (u) = E [(u E(u))(u E(u)) ] = V [u 1 ] Cov[u 1, u 2 ] Cov[u 1, u n ] Cov[u 2, u 1 ] V [u 2 ] Cov[u 2, u n ] Cov[u n, u 1 ] Cov[u n, u 2 ] V [u n ] Notar que V [u] es una matriz n n y simétrica ¾Qué signica entonces suponer que V (u) = σ 2 I n? Notar: V (u) = E(uu ) Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 25 / 49

28 Propiedades estadísticas de los estimadores MCO ˆβ es un vector que contiene K variables aleatorias ¾Qué propiedades conocían en el caso de MCO con 2 variables? ¾De qué dependían? Vamos a demostrar esas mismas propiedades usando notación matricial Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 26 / 49

29 Insesgadez de ˆβ El modelo en notación matricial ˆβ = (X X ) 1 X Y = (X X ) 1 X (X β + u) = (X X ) 1 X X β + (X X ) 1 X u = β + (X X ) 1 X u ( ) E[ ˆβ] = β + (X X ) 1 X E[u] = β Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 27 / 49

30 Varianza de ˆβ El modelo en notación matricial Mostraremos que V ( ˆβ) = σ 2 (X X ) 1 V [ ˆβ] = E[( ˆβ E( ˆβ))( ˆβ E( ˆβ)) ] = E[( ˆβ β)( ˆβ β) ] = E[(X X ) 1 X u ((X X ) 1 X u) ] = E[(X X ) 1 X uu X (X X ) 1 ] = (X X ) 1 X E[uu ] X (X X ) 1 = (X X ) 1 X σ 2 I n X (X X ) 1 = σ 2 (X X ) 1 X X (X X ) 1 = σ 2 (X X ) 1 Es importante saber qué supuestos fueron utilizados para obtener esta expresión. Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 28 / 49

31 ¾Qué dimensión tiene V ( ˆβ) = σ 2 (X X ) 1? V [ ˆβ] = V [ ˆβ 1 ] Cov[ ˆβ 1, ˆβ 2 ] Cov[ ˆβ 1, ˆβ K ] Cov[ ˆβ 1, ˆβ 2 ] V [ ˆβ 2 ] Cov[ ˆβ 2, ˆβ K ] Cov[ ˆβ 1, ˆβ K ] Cov[ ˆβ 2, ˆβ K ] V [ ˆβ K ] Notar: cada elemento de la diagonal es V [ ˆβ k ] = σ 2 A kk, k = 1,...K, donde A kk es el elemento en la la k y columna k de la matriz (X X ) 1 cada elemento fuera de la diagonal es Cov[ ˆβ j, ˆβ k ] = σ 2 A jk, j k, donde A jk es el elemento en la la j y columna k de la matriz (X X ) 1 Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 29 / 49

32 V ( β) ˆ en la práctica V ( ˆβ) depende de σ 2, un valor desconocido. En su lugar usaremos un estimador insesgado: S 2 = 1 n Σ e 2 n K i i=1 = e e n K Luego, el estimador de la matriz de varianzas y covarianzas es: ˆV ( ˆβ) = S 2 (X X ) 1 Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 30 / 49

33 Teorema de Gauss-Markov Bajo todos los supuestos clásicos, el estimador de MCO es el más eciente de todos los estimadores lineales e insesgados (MELI). Además: sea c un vector de K constantes arbitrarias, c ˆβ es el mejor estimador lineal e insesgado de c β. Es decir, la combinación lineal de los estimadores MCO es MELI para estimar la combinación lineal de los parámetros. Al aplicar el TGM para comparar un estimador con ˆβ, recuerden los requisitos: 1 Modelo lineal 2 Se deben cumplir los supuestos clásicos (cond. nec. y suf.) 3 El estimador a comparar debe ser lineal e insesgado para β Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 31 / 49

34 Ver demostración del TGM en apéndice Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 32 / 49

35 en el modelo lineal general Supuesto adicional: normalidad u N(0,σ 2 I n ) Resultado: ˆβ tiene distribución normal multivariada ˆβ N(β,σ 2 (X X ) 1 ) ¾Por qué? Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 33 / 49

36 Test de hipótesis simples En forma general, consideremos una prueba con la siguiente hipótesis nula: H 0 : c β r = 0 c es algún vector de K constantes y r es algún escalar. Es decir: H 0 : K Σ c j β j r = 0 j=1 Dependiendo de c y r, podemos considerar distintos casos particulares para H 0 : 1 Signicatividad individual: H 0 : β j = 0 2 Valores particulares: H 0 : β j = r 3 Igualdad de dos coecientes: H 0 : β j = β h 4 Otros: sumas y diferencias de coecientes, etc. Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 34 / 49

37 Dado que ˆβ ( N β, V ( ˆβ) ), entonces: c ˆβ ( r N E(c ˆβ r), V (c ˆβ ) r) Calculemos la esperanza y la varianza de esta combinación lineal: [ E c ˆβ ] r = c β r V [ c ˆβ ] r = V [ c ˆβ ] = c V [β]c ˆ Luego: c ˆβ ( r N c β r,σ 2 c (X ) X ) 1 c Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 35 / 49

38 Bajo la H 0 : c β r el estadístico de prueba es: c ˆβ r N(0, 1) V[c ˆβ r] Por lo tanto, se pueden utilizar los criterios usuales: valores críticos y/o p-valor. En la práctica, se usa S 2 en lugar de σ 2, entonces: [ ˆV c ˆβ ] [ r = c ˆV ˆβ] c = S 2 c (X X ) 1 c Luego, c ˆβ r ˆV[c ˆβ r] T n K Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 36 / 49

39 Signicatividad global (Test F) En el modelo de K variables, Y i = β 1 + β 2 X 2i β K X Ki + u i Consideremos las siguientes hipótesis: H 0 : β 2 = 0 β 3 = 0... β K = 0 H 1 : β 2 0 β β K 0 Para este caso, el estadístico es: F = SCE/(K 1) SRC/(n K) F (K 1,n K) ¾Qué valores esperarían para F si la H 0 fuese verdadera? Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 37 / 49

40 Signicatividad de un grupo de variables En el modelo de K variables, Y i = β 1 + β 2 X 2i β K X Ki + u i Consideremos las siguientes hipótesis: H 0 : β 2 = 0 β 3 = 0 H 1 : β 2 0 β 3 0 ¾Cuál es la diferencia con el caso anterior? Pensemos que estamos contrastando dos modelos: 1 Modelo irrestricto: contiene a las K variables explicativas. 2 Modelo restricto: considera como verdadera a la H 0. Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 38 / 49

41 Si la H 0 contiene q restricciones de signicativad, llamemos: 1 SRC I a la SRC del modelo con K variables. 2 SRC R a la SRC del modelo que excluye las q variables consideradas en la H 0. El estadístico de prueba para contrastar H 0 es: F = (SRC R SRCI )/q SRCI /(n K) F (q,n K) Si la H 0 fuese verdadera, ¾qué valores esperarían para F? Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 39 / 49

42 Ejemplo: materias aprobadas y horas de estudio Muestra: 1961 estudiantes de la carrera Contador Público de la UBA encuestados en Referencia: Sosa Escudero, Giovagnoli y Porto (2007) The Eects of Individual Characteristics on the Distribution of College Performances. Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 40 / 49

43 Estimación MCO El modelo en notación matricial Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 41 / 49

44 Ni la edad ni el género son individualmente signicativas para explicar a la performance académica (valor-p mayores a 0.10). Un año adicional en educación de los padres aumenta un 2 % la cantidad promedio de materias aprobadas, ceteris paribus. Dado todo lo demás constante, la relación entre el total de materias aprobadas y las horas de estudio es no lineal (la variable horas2 es estadísticamente signicativa al 1 %). ¾Cómo evaluarian la hipótesis de que las horas de estudio no afectan a el total de materias aprobadas?. Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 42 / 49

45 Si escribimos el modelo de la siguiente manera: ltotmat i = β 1 + β 2 horas i + β 3 horas 2 i + β 4 edad i + + β 5 hombre i + β 6 educmp i + u i Podemos utilizar el test de signicatividad para un grupo de variables: En Stata: H 0 : β 2 = 0 β 3 = 0 H 1 : β 2 0 β 3 0 Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 43 / 49

46 Apéndice: demostración del teorema de Gauss-Markov (TGM) El enunciado del teorema formalmente si ˆβ es el vector de estimadores MCO del vector de parámetros β y β es cualquier otro vector de estimadores lineales e insesgados de β, entonces bajo los supuestos clásicos V ( β) V ( ˆβ) es una matriz semidenida positiva Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 44 / 49

47 Denición: matriz semidenida positiva Sea H una matriz K K y sea c cualquier vector de K constantes. Se dice que H es semidenida positiva si y sólo si: c Hc 0 c R K Resultado: varianza de una combinación lineal Sea ˆβ el vector de K estimadores MCO (variables aleatorias) y sea c cualquier vector de K constantes V [c ˆβ] = c V [ ˆβ]c c R K Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 45 / 49

48 Denición: matriz semidenida positiva Sea H una matriz K K y sea c cualquier vector de K constantes. Se dice que H es semidenida positiva si y sólo si: c Hc 0 c R K Resultado: varianza de una combinación lineal Sea ˆβ el vector de K estimadores MCO (variables aleatorias) y sea c cualquier vector de K constantes V [c ˆβ] = c V [ ˆβ]c c R K Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 45 / 49

49 Supongamos el modelo lineal, donde u cumple con todos los supuestos clásicos. Consideremos a un estimador β que cumpla con: 1 Lineal: existe A no estcoástica de n K tal que β = AY. 2 Insesgado: E( β) = β En este contexto, el requisito de linealidad hace que: E( β) = AX β ¾Qué requisito debe cumplir A para que β además de lineal también sea insesgado? Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 46 / 49

50 Falta demostrar que V ( β) V ( ˆβ) es semidenida positiva. Denamos a ˆγ = β ˆβ o trivialmente: β = ˆβ + ˆγ Noten que: V ( β) = V ( ˆβ) + V (ˆγ) + 2COV ( ˆβ, ˆγ) Importante: si mostramos que COV ( ˆβ, ˆγ) = 0 probaremos el teorema (¾por que?). Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 47 / 49

51 Computemos la covarianza: COV ( ˆβ, ˆγ) = E [( ˆβ E( ˆβ))(ˆγ ] E(ˆγ)) = E [( ˆβ ] β)ˆγ [¾por qué?] Noten que: ˆγ = AY (X X ) 1 X Y [ = A (X X ) 1 X ] Y = [ A (X X ) 1 X ] (X [ β + u) = A (X X ) 1 X ] u Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 48 / 49

52 Recordando que ˆβ β = (X X )X u, la covarianza queda: COV ( ˆβ, ˆγ) = E [( ˆβ ] β)ˆγ [ = E (X X ) 1 X uu (A (X X ) 1 X [ ) ] (X X ) 1 X uu (A X (X X ) 1 ) ] = E = (X X ) 1 X E(uu ) [ A X (X X ) 1] = σ 2 [ (X X ) 1 X A (X X ) 1 X X (X X ) 1] = 0 Por lo tanto, V ( β) V ( ˆβ) = V (ˆγ), que por denición es semidenida positiva. Mariana Marchionni Formulación matricial del modelo lineal general 49 / 49

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