Ejercicios de Análisis Matemático Series numéricas

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1 Ejercicios de Aálisis Matemático Series uméricas. Estudia la covergecia de las series a) X.C/ y b)x C > >log.. C / Solució. a) X. C /. C / C. C / C Luego X. C /!, es decir la serie X es covergete y su C. C / > > suma es igual a. b) log C log C X log. C / log log C log. C / Luego X log C flog. C /g!c, es decir la serie X es ositivamete. C / > > divergete.. Justifica las igualdades a) b) c) X X X 4 4 C 4 4 C 4 log. log. log. 4 Solució. a) y b) Sabemos que la serie armóica alterada es covergete y su suma es igual X. / C a log. log. Tambié sabemos que ua serie obteida asociado térmios e ua serie covergete tambié es covergete y co la misma suma. Las series e a) y e b) se obtiee de la serie armóica alterada asociado térmios de 4 e 4 o de e resectivamete, lo que justifica las igualdades e a) y e b). Fialmete, observa que la serie e c) se obtiee sumado las series e a) y e b).. emuestra que si los térmios de la serie armóica alterada se ermuta de tal modo que a cada gruo de térmios ositivos cosecutivos le siga u gruo de q térmios egativos cosecutivos, etoces la ueva serie así obteida es covergete co suma igual a log C log.=q/. X. / C Solució. Pogamos S. Cosideremos la sucesió S.Cq/ que es recisamete la serie que se obtiee asociado térmios de C q e C q e la serie del euciado. N Si dicha sucesió es covergete se sigue que la serie del euciado tambié es covergete y su to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

2 Ejercicios de Aálisis Matemático suma es igual a lkım! S.Cq/. Llamado, como de costumbre H S.Cq/ X Xq H H C X H q C C log. / C H q X log./ q, teemos que log.q/ q C log C log! q! log C log q log C log q 4. Estudia la covergecia de las siguietes series dode a > 0 y R. a/ X.!/ b/ X. C / c/ X = C > > > d/ X. C / e/ X f / X log!! a log. C / > > > g/ X a log h/ X log i/ X e C =.log / > > > j / X. / / X l/ X C C C > > > m/ X a P j =j / X > > C = o/ X se > / X./! q/ X log. C / 6.!/ 6 log > > s/ X > log se t/ X > cos r/ X >! e C u/ X log > Solució. Salvo ua exceció, so todas series de térmios ositivos. Para estudiar su covergecia alicaremos los criterios que acabamos de estudiar. a/ Pogamos a.!/. Alicaremos el criterio del cociete a C.. C /!/. C / a.c/.!/ C C C 4! 0 La serie es covergete. to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

3 Ejercicios de Aálisis Matemático. C / b/ Pogamos a. Aliquemos el criterio del cociete C a C. C /C C C C a. C / C. C / C C. C / C C C C C 4 C 4! e e a Además a C 6, or tato el criterio del cociete o roorcioa iformació sobre la covergecia de esta serie. Cuado esto ocurre igual sucede co el criterio de la raíz. Esto os idica que la serie o es comarable co ua serie geométrica. El criterio de Raabe o arece fácil de alicar. Podemos itetar el rimer criterio logarítmico. Teemos que log.a / log log. C / C. C / log log C log log C! > Por tato la serie es covergete. Este criterio os dice que la serie P a es comarable co ua serie de Riema de exoete. Que efectivamete esto es así es fácil de comrobar. Si os C fijamos e a y recordamos que la sucesió es creciete y coverge a e, eseguida os damos cueta de lo que sigue. C / C a C 6 e lo que ermite cocluir, or el criterio de comaració, que la serie es covergete. Observacio. Ates de emezar a alicar criterios de covergecia, fíjate bie e la forma que tiee el térmio geeral de la serie e iteta relacioarlo co algua sucesió coocida. e/ Pogamos a! a C a a. Aliquemos el criterio del cociete. C /! C a C a! a C! a e educimos que si 0 < a < e la serie es covergete, si a > e la serie es divergete. Para a e el criterio o roorcioa iformació. Ni el criterio de Raabe i el rimer criterio logarítmico arece fáciles de alicar. Cuado o queda otro recurso hay que itetar alicar el criterio de comaració. Suuesto que a e, teemos que a! e >!!. C / C C C > e C > 5 ode hemos usado que ara todo N es e < C C C C, de dode se sigue que ara todo N Y C e >! C. C / Cocluimos, or comaració co la serie armóica, que la serie es divergete ara a e. log f / Pogamos a. Aquí o es aroiado alicar el criterio del cociete log. C / orque o hay factores que se simlifique al calcular el cociete de u térmio al aterior. El criterio de la raíz uede alicarse, ero o roorcioa iformació sobre el carácter de la to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

4 Ejercicios de Aálisis Matemático 4 serie orque, como debes comrobar, a! y a 6. Podemos alicar el rimer criterio logarítmico. log.a / log.log. C //! C log La serie es covergete. educimos que se trata de ua serie que coverge más ráidamete que cualquier serie de Riema y meos ráidamete que cualquier serie geométrica. h/ Pogamos a log. Es aroiado alicar el criterio de la raíz..log / a log.log / log e log! 0 La serie es covergete. i/ Pogamos a e C=. Observa que como C < e ara todo N, se tiee que a > 0. Los criterios del cociete, de la raíz, de Raabe y los logarítmicos o arece aroiados ara estudiar esta serie. Cuado esto sucede hay que itetar alicar u criterio de comaració. Si recuerdas el límite, que hemos visto varias veces e lkım x!0. C x/ x x e ; se deduce que si fx g! 0 se verifica la equivalecia asitótica e. C x / =x e x. Por tato a e C = e ; y deducimos que la serie coverge or el criterio límite de comaració. Tambié odemos usar el criterio básico de comaració usado que ara todo N se verifica que e < C C. Co ello se tiee a e C < C C C C < e j / Pogamos a. /. Trata de alicar alguos criterios de covergecia. Las series que cuesta más trabajo estudiar so aquellas e las que los criterios del cociete, de la raíz, de Raabe y los logarítmicos o sirve ara estudiar su covergecia, ya sea orque los límites que hay que calcular so difíciles o orque dichos criterios o roorcioa iformació. Cuado esto ocurre hay que alicar u criterio de comaració. E uestro caso teemos que log e log log a educimos que la serie coverge si, y sólo si, >. C l/ Pogamos a. esués de esarlo u oco, arece C C C C aroiado usar el rimer criterio logarítmico. Teemos que log.a / log log log C C log C C log Por tato lkım! log.a / log C; si > I 0; si < to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

5 Ejercicios de Aálisis Matemático 5 La serie coverge si > y o coverge si <. Para se tiee que fa g! y or tato e la serie o coverge orque su térmio geeral o coverge a 0. m/ Pogamos a a P j =j. Es evidete que si a > se tiee que a > y, or tato, la serie o es covergete orque fa g o coverge a 0. Podemos alicar el criterio del cociete. a C a a C! Este criterio o roorcioa iformació sobre la covergecia de la serie. Itetemos el criterio de Raabe. a C R a log a C e C log a! log a a C educimos que si log a >, es decir, a < e la serie coverge, y si log a <, es decir, a > e la serie o coverge. E el caso e que a se tiee que e R e C 6 e C > e 6 C C Esta última desigualdad es cierta orque ara todo N es e < C C < C C. Tambié odemos hacer este ejercicio recordado la estrategia?? co lo que a a P j =j a Clog a a log a a log Tambié uede alicarse el rimer criterio logarítmico. / Pogamos a C =. Teemos que a rc! ex log C!! log C Por el criterio límite de comaració la serie coverge si, y sólo si, <, esto es, <. o/ Pogamos a se. Alicaremos el criterio de la raíz. a se Se trata de ua idetermiació del tio. Alicamos el criterio de equivalecia logarítmica se se! 6 se x x orque, como debe saber, lkım x!0 x 6. Luego a! e 6 < y la serie es covergete. / Pogamos a./!. Alicaremos el criterio del cociete orque hay muchos factores 6.!/ 6 que se va a simlificar. a C a. C /! 6C6.. C /!/ 6 6.!/ 6./!. C /. C / 6. C / 6. C / 8. C /! to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

6 Ejercicios de Aálisis Matemático 6 Como este criterio o roorcioa iformació sobre la covergecia de la serie, alicaremos el criterio de Raabe.. C / R C 8 C 7 8. C / 8 C 4 C 4 C 8! > La serie coverge.! e r/ Pogamos a. Aliquemos el criterio del cociete. C a C a e C C! Este criterio o roorcioa iformació sobre la covergecia de la serie. Aliquemos el criterio de Raabe e su forma alterativa. a C C C! C e e a C C Teemos que! e. La sucesió z C! es ua idetermiació, e or tato fz g! e L dode L es el límite de C! e e Por tato a a C C e!! e La serie coverge si >, esto es > y o coverge ara <. Para = la serie o coverge; de hecho se verifica que C! R e 6 C ero esta desigualdad o arece que sea fácil de robar. s/ Pogamos a log se. esués de esarlo u oco te darás cueta de que hay que alicar u criterio de comaració. Teemos que a log se Observa que a < 0 orque ara x > 0 es se x < x. Esto lleva a cosiderar la fució! f.x/ log se x x Para x! 0 teemos las siguietes equivalecias asitóticas educimos que f.x/ se x x a se x x x f 6 6 x Por el criterio límite de comaració se sigue que la serie P. a / P a es covergete y, or tato, P a es covergete. to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

7 Ejercicios de Aálisis Matemático 7 5. Estudia la covergecia de las siguietes series dode ; ˇ R. a/ X. = /I b/ X > >. C C / log c/ X 4 6./ d/ X! X ex ˇ 5 7. C / > > Solució. a/ Pogamos a =. Teemos que a e log b/ Pogamos a. C / log C r! log Por el criterio límite de comaració, la serie es covergete.. Teemos que a C log C Por el criterio límite de comaració, la serie es covergete. c/ Pogamos a 46./ 57.C/. Alicaremos el criterio del cociete. a C a 4 6./. C / 5 7. C /. C 5/ 5 7. C / 4 6./ 5 C C 5 Este criterio o roorcioa iformació sobre la covergecia de la serie. Aliquemos el criterio de Raabe e su forma alterativa. a C 5! e C a C Por tato, si >, o sea, > la serie coverge, y si <, o sea, < la serie o coverge. Para la serie o coverge, ero este caso requiere u estudio esecífico que o vamos a hacer. Vamos a hacer este ejercicio co otro tio de técica que resulta muy coveiete ara series cuyo térmio geeral es arecido al de la serie que os ocua. Estrategia. Cosideremos ua serie del tio X.c / dode c y j ; q j so q q q > úmeros eteros ositivos. Además q es de la forma q C dode es u etero ositivo fijo. E el ejemlo que os ocua es y q C C. Observa que ara que fc g! 0 es ecesario que > 0. Ua estrategia bastate buea ara estudiar estas series cosiste e acotar directamete c usado la desigualdad (válida or ser < q ) < C q q C q q C Para que esta estrategia ueda alicarse se ecesita tambié que odamos relacioar co facilidad q C co. Lo usual es que se tega ua relació del tio q C C. E uestro ejemlo es q C C 6. C / C. Suuesto que esto es así, teemos que E uestro ejemlo es to. de Aálisis Matemático < q q C C < C C 6 () Uiversidad de Graada

8 Ejercicios de Aálisis Matemático 8 Ua vez dada la idea geeral, or comodidad, vamos a seguir co uestro ejemlo. Usado la desigualdad () ara ; ;, teemos que c 4./ 5 7. C / C < C C C / 8 0./. C /. C 4/. C 6/ 4 6. C /. C 4/. C 6/ c Observa que, alicado la desigualdad () a los factores que forma c, obteemos ua desigualdad que relacioa c co c ; ésta es la idea e la que se basa esta estrategia. e la desigualdad aterior deducimos que c < 48. C /. C 4/. C 6/ Suuesto que > 0 (codició ecesaria ara la covergecia) se sigue que c < 48. C /. C 4/. C 6/ Teiedo e cueta que 48. C /. C 4/. C 6/ 6 ; deducimos, or el criterio básico de comaració co la serie de Riema de exoete que si >, o sea, > la serie es covergete. Esto ya lo sabíamos or el estudio hecho reviamete. La ovedad viee ahora. Se uede reetir el mismo roceso aterior ara acotar c or abajo, o sea, ara miorar c. La idea es la misma. Si has etedido lo aterior lo que sigue debe estar claro. Usaremos ahora la desigualdad C > Usado esta desigualdad ara ; ;, teemos que /./ c C /. C / C C > > /. /. C /. C / 5. /. C /. C / 4 6./ 5. /. C /. C / c e dode, al igual que ates, se sigue que c > 5. /. C /. C / 5 educimos, or el criterio básico de comaració co la serie de Riema de exoete que si >, o sea, > (e articular ara ) la serie o es covergete.! X d/ Pogamos a ex ˇ. Teemos que a C a C e ˇ C! () to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

9 Ejercicios de Aálisis Matemático 9 Alicaremos el criterio de Raabe e su forma alterativa. a eˇ C! e eˇ eˇ C a C Por tato, si ˇ > la serie coverge y si ˇ < la serie o coverge. El caso e que ˇ o queda resuelto co este criterio. Otra forma de roceder es alicado la estrategia??. Teemos que! X a ex ˇ e ˇ log ˇ e ˇ log e ˇ eˇ ˇ eˇ ˇ Por el criterio límite de comaració, la serie coverge si, y sólo si, ˇ >. 6. Estudia la covergecia de las series. a) X >! C / b) X >.a a/.a a/.a a/.a > 0/ Solució. a) Pogamos a X >! C /. Teemos que a C a C. C /! C / C C /.5 C. C //! C C C 8! El criterio del cociete o roorcioa iformació sobre la covergecia de la serie. Alicaremos el criterio de Raabe e su forma alterativa. a a C C C 8 C C 5! e 5 e e C C La serie coverge. b) Pogamos a.a a/.a a/.a a/. Teemos que a C a a C a! a Por tato, si a <, o sea, 0 < a <, la serie coverge; y si a < o sea a > la serie o coverge. Para el caso e que a el criterio del cociete o roorcioa iformació sobre la covergecia de la serie. Alicaremos el criterio de Raabe. a C a C! log < La serie o coverge. 7. Sea fa g ua sucesió creciete de úmeros ositivos. ar codicioes que garatice que la serie X es covergete. a a a a > to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

10 Ejercicios de Aálisis Matemático 0 Solució. Pogamos x. Si fa g o está mayorada, como es creciete se tiee a a a a que fa g! C. Por tato, hay u úmero N tal que ara todo > se verifica que a >. educimos que ara > se verifica que a a a a a C a a a a a a C a 6 M M ode hemos uesto M que es ua costate ideediete de. Cocluimos a a a a que la serie es covergete or comaració co la serie geométrica de razó =. Si fa g está mayorada, como es creciete se tiee que fa g! L dode L > 0. Si L >, odemos tomar u úmero tal que < < L, co lo que odemos asegurar que hay algú N tal que a > ara >. Podemos ahora reetir el razoamieto aterior co sustituido or y cocluimos que la serie coverge or comaració co la serie geométrica de razó =. Si 0 < L 6, etoces como 0 < a 6 L, se tiee que 0 < a 6 ara todo N, lo que imlica que x > or tato fx g o coverge a 0, lo que imlica que la serie o coverge. Tambié uede alicarse el criterio del cociete. x C x a C! L dode fa g! LR C [ fcg. Por lo que si L > o si L C, se tiee que L < y la serie coverge. Si L < la serie o coverge, y si L tamoco coverge orque etoces x C x >. 8. ar ejemlos de sucesioes fa g! y decrecietes tales que la serie X sea e a a a a > u caso covergete y e otro caso divergete. Solució. La sucesió a C C a a a La corresodiete serie es divergete. decrece y coverge a. Teemos que 4. C / C La sucesió a = es decreciete y coverge a. Teemos que x a a a a P j j Esta serie es covergete orque alicado el criterio de Raabe obteemos r! x C C! log log > x 9. Sea a > 0 ara todo N. Prueba que las series X > diverge. a a y X > a C a ambas coverge o ambas Solució. Pogamos b. Como Ca >, la desigualdad b 6a rueba que si la serie P C a a es covergete tambié es covergete la serie P b. Recírocamete, si la serie P b es covergete etoces debe ser fb g! 0, or lo que hay algú N tal que ara todo > es b <, esto es, a < C a or lo que a <. Lo que imlica que a < a, y obteemos que a C a < a de dode a < a b. e esta desigualdad se sigue, or el criterio de C a comaració, que la serie P a tambié es covergete. to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

11 Ejercicios de Aálisis Matemático 0. Sea P a ua serie de térmios ositivos covergete. Qué uede decirse de las series P a y P a a C? Solució. Como fa g! 0, hay u úmero N tal que ara todo > es 0 < a <, lo que imlica que 0 < a < a y deducimos, or el criterio de comaració, que la serie P a es covergete. Como a a C 6.a C a C /; se sigue, tambié or el criterio de comaració, que la serie P a a C es covergete.. Sea P a ua serie covergete de térmios ositivos. Prueba que la serie X a es covergete si > =. a u ejemlo de ua serie P a covergete tal que la serie X a sea divergete. Solució. Recuerda la desigualdad ab 6.a C b /. Sustituye a or a y b or y resulta que a 6 a C Como > la serie P es covergete. Como P a es covergete or hiótesis, de la desigualdad aterior se sigue, or el criterio de comaració, que P a es covergete. La serie P.log / es covergete ero P.log /. Estudia la covergecia de las sucesioes es divergete. a/ x X ; b/ y X log.log / Sugerecia. Estudia la covergecia de las resectivas series de diferecias cosecutivas. Solució. a) Teemos que x C x C C C C C C C C. C C / C. C C / Puesto que C. C C/ la serie P = C. C C/ es covergete. Por tato, la sucesió X x C.x C x / x C es covergete. to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

12 Ejercicios de Aálisis Matemático b) Usado que log. C / log. C / log C log. C /, teemos que Como log y y C log C C.C/, la serie X log C es covergete. Tambié es cover- C > orque log C. Usado la desigualdad que ya gete la serie X > debes saber de memoria log. C / C log. C / C log. C / C log C.log. C //.log / C log C log C.log / C C log C C log log C log C C C log C C log C log C log C C log C C C < log C < ; se sigue que 0 < log C C <. C / ; de dode se deduce que la serie X log log C es covergete. Cocluimos C > que la serie P.y y C / es covergete or ser suma de tres series covergetes. Por tato, la sucesió X.y y C / y C y es covergete.. Estudia la covergecia absoluta y la covergecia o absoluta de las siguietes series. a/ X. / C. / ;. R/ b/ X log C. / > > c/ X 5. /. / C ;. R/ d/ X. / C log C 4 6 > > Solució. a) Pogamos a C. /. Si 6 0 etoces fa g o coverge a 0 y la serie o coverge. Suodremos e lo que sigue que > 0. Teemos que a C. / educimos que si > la serie coverge absolutamete. Cosideremos que 0 < 6. Pogamos. / C. /. / C b b. C. / / to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

13 Ejercicios de Aálisis Matemático Por el criterio de Leibiz, la serie P. / es covergete ( > 0). Como 0 < b, or el criterio límite de comaració, la serie P b es covergete si, y sólo si, > =. Cocluimos que la serie X. / C. / coverge si > =. E resume, la serie coverge absolutamete si > y coverge o absolutamete si = < 6. La serie o coverge ara 6 =. > b) Pogamos a log C. /. Observa que a. / x dode x ja j. Probemos que x C 6x 6x, de dode se sigue que fx g decrece a 0. Usaremos la desigualdad (que tú debes comrobar), válida ara 0 < x <, log. x/ 6 x. Teemos x ˇ ˇlog ˇˇˇˇ log > > > log C x Luego x < x ara >. Por otra arte x C log C log C C log C log C x Cocluimos, or el criterio de Leibiz, que la serie P a es covergete. Puesto que ja j ˇ ˇlog C. / ˇˇˇˇ la serie o es absolutamete covergete. 5. / c) Estudiaremos rimero la covergecia absoluta. Sea a. Si etoces fa g o coverge a 0 y la serie o es covergete. Suodremos e lo que sigue que > 0. Teemos que a C C! a C El criterio del cociete o roorcioa iformació sobre la covergecia absoluta de la serie. Alicaremos el criterio de Raabe e su forma alterativa. a C C! e C C a C Por tato, si >, o sea > la serie coverge absolutamete; si <, o sea < la serie o coverge absolutamete. El caso e que requiere u estudio articular (ver más adelate). Nos queda or estudiar lo que ocurre si 0 < 6. Observa que ara > 0 es evidete que la sucesió fa g es decreciete. Lo que o es evidete es que coverja a 0. Para alicar el criterio de Leibiz a la serie P. / C a hay que robar que fa g! 0. Esto uedes hacerlo comrobado que la sucesió log.a /!. Esto es fácil y te lo dejo ara que lo hagas tú. Yo 5. / voy a seguir otro camio. Alicado la estrategia?? a la sucesió x se 4 6 obtiee fácilmete que < x < C < a = <. C /= esigualdad que imlica que fa g! 0 ara todo > 0. Además esta desigualdad os dice que ara es a > lo que imlica que la serie o coverge absolutamete ara. E resume hay covergecia absoluta ara > y hay covergecia o absoluta ara 0 < Estudia, segú los valores de R, la covergecia absoluta y la covergecia o absoluta de la serie X. / C log > to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

14 Ejercicios de Aálisis Matemático 4 Solució. Pogamos z. / C absoluta. Teemos que log. Estudiaremos rimero la covergecia x log. x/ lkım x!0 x f.x/ x y or tato jz j f. Por tato, la serie P z coverge absolutamete si, y sólo si, >, o sea, <. Si 6 0, o sea >, etoces fz g o coverge a 0 y or tato la serie P z o es covergete. Queda or ver lo que ocurre cuado 6 <. Para dichos valores de se tiee que fz g! 0. Probaremos que fz g es decreciete. Pogamos f.x/ x. x log. x// dode 0 < x <. Observa que z. / C f.=/. Teemos que f 0 xc.x/ x C x. x log. x//; recordado que x log. x/ > 0 ara 0 < x <, se sigue que f 0.x/ > 0 ara 0 < x <. < f. El criterio Por tato f es estrictamete creciete e 0; y, e articular, es f C de Leibiz os dice que la serie P z es covergete ara 6 <. 5. Calcula la suma de las siguietes series. a/ X 4 > d/ X. C /. C / > b/ X. C / C C > e/ X. / C! >0 c/ X > C. C / f / X. / > Solució. a) Haremos la descomosició e fraccioes simles de la fució racioal 4x x. Teemos que 4x x x.4x /x.x C/.x /. El deomiador tiee tres raíces reales simles. Escribamos Fácilmete se obtiee A 4x x A x C B x C C C x, B C. Por tato 4 C C C Observa que cuado sumemos os va a quedar exresioes que odremos relacioar co la serie armóica alterada or lo que coviee sumar desde hasta. Como ya es usual oemos H P y usaremos la estrategia?? que ya debes coocer. Luego X X 4 C X C C X C X C. / C C. / C! C log C log log X C C X C C C H 4C H H C C H X C C C C log.4 C / C 4C.log./ C / log. C / C C.log./ C / C C! log. 4 to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

15 Ejercicios de Aálisis Matemático 5 b) Basta observar que. C / C C. C / C. C / e dode se obtiee fácilmete que. C / C C C C educimos que X. C / C C C C X. C / C C c) Pogamos a C. Teemos que. C / a C. C / C. C / educimos que d) Teemos que X a. C / X C. C / educimos que. C /. C / C. C /. C / C C X. C /. C / C X. C /. C / e) Es ua serie de la forma X >0./ x dode./ C y x!. Pogamos C a 0 C a C a. / C a. /. / Haciedo 0 se obtiee a 0 ; haciedo se obtiee a 0; haciedo se obtiee a y haciedo se obtiee a. Por tato X. / C X C. / C. /. /!! 0 0 X C X X!. /! 7. /! 0 e C e f) Es ua serie de la forma P./x dode./ y x. Se trata, ues, de ua serie to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

16 Ejercicios de Aálisis Matemático 6 aritmético-geométrica. Pogamos S S Pogamos S X. /. Teemos que S X X C. /. / X. C /. C / C X C. / 9 C X. C /. C /. / C 9 C X X. Hemos robado que S S 9 C S S 6 4 S Calcularemos ahora S. Teemos que X S S X C X C X C. C / 4 X. C / 4 X educimos que S 7 4 y, or tato, S 6 6. Estudia la covergecia de las series 4 S. i) X ii) X cos C i se iii) X cos C i se. C i/ >0 > > iv) X cos C i se v) X. C i/ vi) X. C 4i/. C i/ i.4 C i/ C 7 > > >0 Solució. i) ˇ. C i/ ˇ ˇ C i ˇ. La serie es absolutamete covergete. Observa que se trata de ua serie geométrica de razó z C i. ii) cos C i se ˇ ˇ ˇ. La serie o es absolutamete covergete. Para estudiar la covergecia o absoluta alicaremos el criterio articular de irichlet (corolario??). Pogamos b y a cos C i se e i. Teemos que fb g es moótoa y coverge a 0. Además X X a e iˇˇˇˇˇ X e ˇ ˇˇˇˇˇ i ˇ ˇ ˇ e i.c/ e i ˇ e i ˇ ˇ ˇei.C/ e iˇˇ ˇ ˇei.C/ˇˇ C ˇˇeiˇˇ ˇ 6 ˇ ˇ ˇei ˇˇ ˇei ˇˇ ˇei ˇˇ to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

17 Ejercicios de Aálisis Matemático 7 Puesto que ˇ es ua costate ideediete de, el criterio articular de irichlet os ˇei ˇˇ dice que la serie es covergete. iii) cos C i se ˇ ˇ. La serie es absolutamete covergete. iv) La serie de las artes reales, X cos es ua serie de térmios ositivos divergete orque > cos. Luego la serie o coverge. v). C i/ j C ij ˇ. C i/ ˇ j C ij. La serie o coverge absolutamete.para estudiar la covergecia o absoluta odemos alicar el criterio articular de irichlet. Pogamos b y Ci. Ci Teemos que fb g es moótoa y coverge a 0. Además, oiedo w Ci Ci, a teemos que X X a w ˇˇˇˇˇ ˇ ˇˇˇˇˇ ˇ ˇ w C w w ˇ ˇ ˇwC jw j wˇˇ 6 jwjc C jwj jw j jw j Como es ua costate ideediete de, el criterio articular de irichlet os dice jw j que la serie es covergete. Observa que el criterio articular de irichlet imlica que las serie de úmeros comlejos de la forma X > z b dode fb g es ua sucesió de úmeros reales moótoa y covergete a 0 y z es u úmero comlejo de módulo y distito de, (z ; jzj), so covergetes. Naturalmete si jzj < tales series coverge absolutamete. vi) Es fácil comrobar que el térmio geeral de la serie o coverge a cero y, or tato, la serie o es covergete. X X 7. Sea R co jj < y # R. Calcula los límites cos.#/ y se.#/. Sugerecia. Llama A a la rimera suma y B a la seguda. Calcula A C ib. Solució. Observa que or ser jj < las dos series so absolutamete covergetes. Teemos que X A C ib cos.#/ C i se.#/ X e i# e i# educimos que A e i# C cos # cos # C cos # C i se # C cos # X cos # cos.#/ C cos # ; B X se # se.#/ C cos # 0 to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada