MEDIA ARITMÉTICA SIMPLE

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1 MEDIA ARITMÉTICA SIMPLE Por Iga. Karim Paz, RESUMEN Por lo geeral cuado se hace referecia al térmio media, las persoas piesa de maera imediata e media aritmética, si embargo existe otros tipos de medias que tiee usos distitos y aplicacioes específicas. E el quehacer de la Igeiería se suele utilizar esos diversos tipos de medidas de tedecia cetral. E este artículo la autora trata e forma breve las defiicioes y usos de los distitos tipos de medias y las vetajas y desvetajas de cada ua de ellas. DESCRIPTORES Media aritmética. Media poderada. Media geométrica. Media armóica. Media cuadrática.. ABSTRACTS I geeral terms, wheever a referece is doe to Mathematical Mea defiitio, people thik immediately i arithmetic mea. Although, there are several others measures with their ow defiitios ad specific applicatios. I egieerig applicatios all these diverse tools for cetral tedecy measuremet are curretly used. I this article author refers briefly to defiitios ad uses of differet cetral meas ad their advatages ad troubles whe used i specific applicatios. KEYWORDS Arithmetic Mea. Weighed mea. Geometric mea. Harmoic mea. Quadratic mea. URL_07_BAS01.pdf 1 de 13

2 MEDIA ARITMÉTICA SIMPLE La media aritmética o promedio simple ( ) muestra el valor cetral de los datos costituyedo ser la medida de ubicació que más se utiliza. E geeral, es calculada sumado los valores de iterés y dividiedo etre el úmero de valores sumados. Propiedades Si multiplicamos o dividimos todas las observacioes por u mismo úmero, la media queda multiplicada o dividida por dicho úmero Si le sumamos a todas las observacioes u mismo úmero, la media aumetará e dicha catidad. Vetajas y desvetajas del uso de la media aritmética La media aritmética viee expresada e las mismas uidades que la variable. - E su cálculo iterviee todos los valores de la distribució. Es el cetro de gravedad de toda la distribució, represetado a todos los valores observados. Es úica. Su pricipal icoveiete es que se ve afectada por los valores extremadamete grades o pequeños de la distribució. Datos No Agrupados La media aritmética ( ), de ua catidad fiita de úmeros ( 1,, 3. ), es igual a la suma de todos ellos dividida etre el úmero de sumados (). Simbólicamete se expresa así: = ( 3 ) Datos Agrupados La fórmula correspodiete para su cálculo es la siguiete: _ f1 1 + f + f = f + f + f + f 1 3 f Cuádo se debería utilizar este tipo de media? Para respoder a esta iterrogate se preseta ua ilustració sobre la aplicació de esta medida de tedecia cetral. URL_07_BAS01.pdf de 13

3 APLICACIONES DE LA MEDIA ARITMÉTICA Ilustració 1. Se desea estimar el redimieto promedio de las llatas de cierta marca. Para ello se toma ua muestra de cuatro automóviles a los que se les coloca esta marca de llata. Ua vez las llatas se desgasta completamete se aota el úmero de kilómetros recorridos por cada auto, ecotrádose los siguietes valores: Número de Auto Recorrido (kms) 1 56,000 4, , ,000 Co base a la tabla aterior, se procede a calcular el promedio de la siguiete maera: ( 56, , , , 000) = = 48,500 Kilómetros 4 Por tato, se puede cocluir que el redimieto promedio de las llatas de esta marca (vida útil) es de 48,500 kilómetros. MEDIA PONDERADA Ua media poderada ( w ) es ua media o promedio de catidades a las que se ha asigado ua serie de coeficietes, llamados pesos, para teer e cueta adecuadamete su importacia relativa. Datos No Agrupados La media poderada de u grupo de datos 1,,..., co sus correspodietes pesos w 1, w,...,w, pude obteerse a través de la siguiete fórmula: ( w1 1 + w w = ( w + w w +... w ) ) Cuádo se debería utilizar este tipo de media? Se icluye ua ilustració para respoder a esta preguta. APLICACIONES DE LA MEDIA PONDERADA: Cuado se trabaja co la media aritmética simple, se asume que a cada observació se le da la misma importacia. Si embargo, e ciertos casos, puede querer darse mayor peso o importacia a alguas de las observacioes y etoces se plica la media poderada. URL_07_BAS01.pdf 3 de 13

4 A cotiuació se muestra alguos ejemplos de aplicació de la media poderada. Ilustració. E la clase de Probabilidad y Estadística, para determiar la ota que u alumo obtedrá e el curso se asiga pesos de importacia, de la siguiete forma: Uidad I (0% del curso), Uidad II (35% del curso), Uidad III (0% del curso), Uidad IV (15% de la calificació), Uidad V (0% de la calificació). Si las calificacioes de u alumo so 80 e la primera uidad, 50 e la seguda, 80 e la tercera uidad, 100 e la cuarta uidad y 80 e la última uidad, obtiee la siguiete tabla: Uidad Poderació (w i ) Datos ( i ) I 0% = II 5% = III 0% = IV 15% = V 0% = La media poderada de las otas del alumo se determia de la siguiete maera: w = 80(0.) + 50(0.35)+ 80(0.0)+ 100(0.15)+ 80(0.10)/1 = 7.50 El promedio poderado etoces para este alumo es de ua calificació de 7.50 putos sobre 100, que era el total máximo. Ilustració 3. E tarde calurosa del sábado, Cristia u empleado de u kiosco de bebidas sirvió e total 50 bebidas durate la mañaa de ese día. Vedió 5 bebidas de $0.50, 15 de $0.75, otras 15 de $0.90, y otras 15 de $1.10. A cotiuació se muestra la media poderada del precio de las bebidas vedidas por Cristia para ese día: w = 5($0.50) + 15($0.75) + 15($0.90) +15($1.15) /50 = $0.89 La media poderada para el precio de las bebidas despachadas por Cristia e su kiosco, co base a los datos del día sábado, fue de $0.89 por bebida. MEDIA GEOMÉTRICA La media geométrica (MG) de u cojuto de úmeros positivos se defie como la eésima raíz del producto de úmeros. Vetajas y desvetajas: E su cálculo iterviee todos los valores de la distribució. Los valores extremos tiee meor ifluecia que e la media aritmética. Es úica. Su cálculo es más complicado que el de la media aritmética. URL_07_BAS01.pdf 4 de 13

5 Solo se puede calcular si o hay observacioes egativas. Datos o Agrupados La fórmula para su cálculo es: MG = ( 1)( )( 3)...( ) dode MG es media geométrica, es el úmero total de datos y es el valor de cada observació de la variable de iterés. Datos Agrupados = fi f1 f f MG ( y )( y )...( y ) 1 dode MG es media geométrica, y i es marca de clase, f i la frecuecia de clase correspodiete, el úmero total de datos utilizados. Cuádo se debería utilizar este tipo de media? Lo veremos a través de u par de ilustracioes. APLICACIONES DE LA MEDIA GEOMÉTRICA: Es útil para ecotrar el promedio de porcetajes, razoes, ídices o tasas de crecimieto. Se usa cuado se trabaja co observacioes, dode cada ua tiee ua razó aproximadamete costate respecto a la aterior. Para mostrar los efectos multiplicativos e el tiempo de los cálculos del iterés compuesto, la iflació y el crecimieto poblacioal. E estadística para calcular el crecimieto o decrecimieto de las poblacioes, e dode los valores está dados e sucesió geométrica. Se sugiere usar la media geométrica siempre que se desee calcular el cambio porcetual promedio e el tiempo para alguas variables. E ciertas situacioes, las respuestas obteidas co la media aritmética o difiere mucho de las correspodietes a la media geométrica, pero icluso diferecias pequeñas puede geerar malas decisioes. Ilustració 4. Las tasas de iterés vigetes de tres boos so 5%, 7% y 4%. La media geométrica es por lo tato: MG = 3 (7)(5)(4) = 5.19% Comparativamete, la media aritmética correspodiete sería de: = ( )/3 = 5.333%. Como puede observase, la MG da ua cifra de gaacia más coservadora porque o tiee ua poderació alta para la tasa de 7%. URL_07_BAS01.pdf 5 de 13

6 OTRA APLICACIÓN DE LA MEDIA GEOMÉTRICA Otra aplicació de la media geométrica es para determiar el porcetaje promedio del icremeto e vetas, producció u otros egocios o series ecoómicas de u periodo a otro. La fórmula para este tipo de problema es: MG = ( valor al fial del período) /( valor al iicio del período) 1 dode es el úmero de años compredido etre el iicio del período y el fial del período de iterés. Se ejemplifica la aplicació de la media geométrica utilizado la fórmula aterior. Ilustració 5. El úmero total de mujeres iscritas e las distitas uiversidades del país aumetó de 755,000 e 1996 a 835,000 e el año 005. Aquí = 10 (años compredidos etre 1996 y 005), así ( - 1) = 9. Es decir, la media geométrica de la tasa de crecimieto del úmero de mujeres iscritas e las distitas uiversidades del país es 1.7%. Ilustració 6. A cotiuació se muestra el crecimieto de u depósito de ahorro de $100 durate cico años, de acuerdo a las tasas de iterés de 7, 8, 10, 1 y 18% para los años 1,, 3, 4 y 5 respectivamete. Crecimieto de u Depósito de $100 e ua Cueta de Ahorro Año Tasa de iterés % Factor de Ahorros al fial crecimieto del año ($) Si se usa la media aritmética simple sería: = ( )/5 = 1.11 Por lo que si se multiplica el promedio de la tasa de iterés de los cico años por la iversió iicial, se obtiee: $100 x 1.11 x 1.11 x 1.11 x 1.11 x 1.11 = $ Como puede verse e la tabla aterior, la cifra real gaada fue sólo de $ Por lo tato, el factor de crecimieto promedio correcto debe ser ligeramete meor a Para obteer el valor exacto, se debe de utilizar la media geométrica: ( )( )( )( )( ) 5 MG = = = Así, el factor de crecimieto es de 1.10 URL_07_BAS01.pdf 6 de 13

7 Ilustració 7. E las ecoomías co u alto ídice de iflació, los bacos debe pagar altas tasas de iflació y los bacos debe pagar altas tasas de iterés para atraer clietes. Supoga que e u período de cico años, e ua ecoomía co iflació alta los bacos paga tasas de iterés aual de 100, 00, 50, 300 y 400%. Año Tasa de iterés % Factor de crecimieto Ahorros al fial del año ($) , , ,000 Por lo tato, la tasa media de crecimieto geométrico se calcula así: MG = 5 () *(3) *(3.5) *(4) *(5) = Este factor de crecimieto correspode a ua tasa de: =.347 = 34.7% El factor de crecimieto como media aritmética sería de: = ( )/5 = 3.5 que correspode a ua tasa de iterés promedio aual del 50%. Como se puede apreciar e la tabla a cotiuació: Año Tasa de Factor de Ahorros al fial iterés % crecimieto del año $ , , , ,5 MEDIA ARMÓNICA La media armóica (MH) se defie como la recíproca de la media aritmética de los recíprocos de u cojuto de datos. Datos o agrupados La fórmula correspodiete para su cálculo es la siguiete: MH = 1/ y ) ( i URL_07_BAS01.pdf 7 de 13

8 dode MH es la media armóica, es el umero de datos, y i cada valor observado correspodiete a la variable de iterés. Obsérvese que la iversa de la media armóica es la media aritmética de los iversos de los valores de la variable. No es acosejable e distribucioes de variables co valores pequeños. Vetajas y desvetajas: E su cálculo iterviee todos los valores de la distribució Su cálculo o tiee setido cuado algú valor de la variable tomo valor cero Es úica Datos agrupados La fórmula correspodiete para su cálculo es la siguiete: MH = ( f i / yi ) dode MH es la media armóica, es el umero de datos, f i el valor de cada frecuecia, y i cada valor observado correspodiete a la variable de iterés. Cuádo se debería utilizar este tipo de media? APLICACIONES DE LA MEDIA ARMÓNICA Esta medida se emplea para promediar variacioes co respecto al tiempo tales como productividades, tiempos, redimietos, cambios, etc., tal como se describe a cotiuació. Precio promedio Si se compra varios tipos de productos co distitas catidades de uidades de cada tipo, pero gastado e ellos igual catidad de diero, el precio promedio por uidad es igual a la media armóica de los precios por uidad de cada tipo de producto. Redimieto promedio de producció E u grupo puede haber operarios co distita velocidad para producir u artículo. Si cada ua de estas persoas tiee que elaborar igual catidad de artículos, el promedio de velocidad de redimietos de tal grupo, es igual al promedio armóico de las velocidades de redimieto de cada ua de los operarios que lo itegra. Redimieto Promedio de la Producció Si v 1, v, v so las velocidades de redimieto de cada uo de las operarios, que auque sea e distita catidad de tiempo, produce igual catidad de productos, el promedio de velocidad de redimieto del grupo es: MH = / (1/v 1 + 1/v + 1/v ) dode es el úmero de operarios. URL_07_BAS01.pdf 8 de 13

9 Ilustració 8. Se compra 4 cajas de bolígrafos. Las cuatro cajas costará Q0.00 cada ua. El precio de cada lapicero es: Caja Precio de cada lapicero (Q) Este problema puede ser resuelto por dos métodos, los cuales se describe a cotiuació: Primer Método Precio promedio = catidad total gastada / catidad total de lapiceros comprada Número de lapiceros = precio de la caja / precio de cada lapicero Caja Precio de cada Número de lapicero (Q.) lapiceros Total gastado = Q.0.00/caja * 4 cajas = Q80.00 e total Total de lapiceros comprados = = 86 lapiceros Precio promedio = Q / 86 lapiceros = Q.0.93 / lapicero Segudo Método: Como las 4 cajas cuesta 0 quetzales, el precio promedio de los lapiceros que cotiee es igual al promedio armóico de los precios de los lapiceros de cada caja. MH = / [ (1/p 1 ) + (1/p ) + (1/p 3 ) + (1/p 4 ) ] MH = 4 / [ (1/0.50) + (1/1.00) + (1/1.5) + (1/.00) ] MH = Q.0.93 / lapicero Ilustració 9. Si u mesajero coduce 100 millas e ua vía rápida a 60 millas/hora y las siguietes 10 millas después de la vía rápida las coduce a 30 millas/hora. Cuál es la velocidad promedio? Distacia recorrida = 0 millas Tiempo recorrido: Vía rápida = horas Vía ormal = 0333 horas Tiempo total = 0.5 horas El promedio del tiempo es 0/0.5 = 40 millas / h MH = / Σ (1/yi) = /(1/60+1/30) = 40 millas/h Por lo tato, el promedio de la velocidad e que coduce el mesajero es de 40 millas por hora. URL_07_BAS01.pdf 9 de 13

10 MEDIA CUADRÁTICA Ua media cuadrática (MC) se defie como la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de los valores de la variable. Datos No Agrupados Para datos o agrupados su fórmula puede expresarse como: MC = y i dode MC es la media cuadrática, y i el valor correspodiete a cada dato observado de la variable de iterés, el úmero total de datos. Datos Agrupados Para datos agrupados se puede ecotrar mediate la siguiete fórmula: MC = ( yi )( fi) dode MC es la media cuadrática, y i el valor correspodiete a cada dato observado de la variable de iterés, f i la frecuecia correspodiete a cada valor observado, el úmero total de datos. Cuádo se debería utilizar este tipo de media? Este tipo de media se utiliza mucho e cálculos cietíficos. APLICACIONES DE LA MEDIA CUADRÁTICA Ilustració 10. A cotiuació se muestra ua serie de datos (agrupados e itervalos) de 56 medicioes de temperatura e grados cetígrados. Se va a calcular la media geométrica, armóica y cuadrática para mostrar la diferecia que se obtiee co cada medida. Por medio de la fórmula de la media geométrica se obtiee los siguietes resultados: log MG = (Σ f i * log y i )/ = 94.33/56 = MG = C Si se aplica la media armóica se obtiee el siguiete resultado: MH = / Σ (f i /y i ) = 56 / = C Y co el uso de la media cuadrática se obtiee el siguiete resultado: URL_07_BAS01.pdf 10 de 13

11 MC = y f / = 136,076 / 56 = 49.9 C i i Límites reales y i f i f i *log y i f i /y i f i.y i TOTAL ,075 RELACIÓN ENTRE LAS MEDIAS ARITMÉTICA, GEOMÉTRICA, ARMÓNICA Y CUADRÁTICA La relació etre la media armóica, la media geométrica y la media cuadrática puede expresarse de la siguiete maera: MH MG MC Como puede observarse a través de la relació aterior, el máximo valor medio de ua serie de datos se tiee al calcular la media cuadrática (MC) y el míimo valor medio se obtiee al calcular la media armóica (MH) E distribucioes simétricas los valores de las medias armóica, aritmética, geométrica y cuadrática, so iguales etre sí, es decir: MH = MA = MG = MC A cotiuació se describe u ejemplo e dode se aplica la media cuadrática y la armóica, para ilustrar estas relacioes. Ilustració 11. U igeiero obtuvo los siguietes datos de cocetració de mercurio e partes por milló (ppm) e ocho localidades a lo largo de u arroyo: Desea determiar la cocetració máxima y la cocetració míima de mercurio. URL_07_BAS01.pdf 11 de 13

12 La cocetració máxima y míima de mercurio correspode a la media cuadrática y a la media armóica, ya que estos datos da los valores extremos de la serie de datos: MC = = (máximo) MH = 8 / (1/ / /0.066) = (míimo) Cocetració máxima de mercurio = ppm Cocetració míima de mercurio = ppm CONCLUSIONES La media cuadrática tiee aplicacioes cietíficas. El máximo valor medio de ua serie de datos se tiee al calcular la media cuadrática (MC) y el míimo valor medio se obtiee al calcular la media armóica (MH). E distribucioes simétricas los valores de las medias armóica, aritmética, geométrica y cuadrática, so iguales etre sí. Se suele utilizar para promediar variables tales como productividades, velocidades, tiempos, redimietos, cambios, etc. La media geométrica se utiliza para determiar el porcetaje promedio del icremeto e vetas, producció u otros egocios o series ecoómicas de u periodo a otro. Para mostrar los efectos multiplicativos e el tiempo de los cálculos del iterés compuesto, la iflació y el crecimieto poblacioal. Tambié se utiliza e estadística para calcular el crecimieto o decrecimieto de las poblacioes, e dode los valores está dados e sucesió geométrica. BIBLIOGRAFÍA 1. WEBSTER, ALLEN (000). Estadística Aplicada a los egocios y la ecoomía. Editorial Mc Graw- Hill. México. Tercera edició.. ANDERSON, SWEENEY & WILLIAMS (004) Estadística para admiistració y Ecoomía. Octava edició. Editorial Thomso. México. 3. TRIOLA, MARIO ( 004). Estadística Editorial Pearso. México. Novea edició. 4. SPIEGEL, MURRAY (1990). Estadística. Serie Schaum. Editorial Mc Graw-Hill. México. Primera edició. URL_07_BAS01.pdf 1 de 13

13 5. NAVIDI (006). Estadística para Igeieros y cietíficos. Editorial Mc Graw Hill. México. Primera edició e español. E-GRAFIAS 1. CIENCIA Y TÉCNICA ADMINISTRATIVA. Descripció de los datos: medidas de ubicació. Que es la estadística. Volume 6 - Número Cosultado e: CONDE, EDUARDO. Págia Persoal. Cosultado e: 3. SOCIEDAD ANDALUZA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA THALES. Medidas de Cetralizació. Cosultado e: idacticas/53-1-u-put151.html 4. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA. Uidad 1 Estadística Descriptiva. Cosultado e: /leccioes_html/u1/1_8_3.html 5. UNIVERSITAT JAUME I. Media Aritmética. Cosultado e: D37.doc 6. WIKIPEDIA. Media aritmética. Cosultado e: URL_07_BAS01.pdf 13 de 13