Estadística. Tema 2: Medidas de Tendencia Central.. Estadística. UNITEC Tema 2: Medidas de Tendencia Central Prof. L. Lugo

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1 Estadístca Tema : Meddas de Tedeca Cetral. Estadístca. UNITEC Tema : Meddas de Tedeca Cetral 1

2 Parámetros y Estadístcos Parámetro: Es ua catdad umérca calculada sobre ua poblacó La altura meda de los dvduos de u país La dea es resumr toda la formacó que hay e la poblacó e uos pocos úmeros (parámetros). Estadístco: Es ua catdad umérca calculada sobre ua muestra La altura meda de los que estamos e este aula. S u estadístco se usa para aproxmar u parámetro també se le suele llamar estmador.. Estadístca. UNITEC Tema : Meddas de Tedeca Cetral

3 Meddas Descrptvas. Estadístca. UNITEC Tema : Meddas de Tedeca Cetral 3

4 U brevísmo resume sobre estadístcos Cetralzacó Poscó Idca valores co respecto a los que los datos parece agruparse. Meda, medaa y moda Dvde u cojuto ordeado de datos e grupos co la msma catdad de dvduos. Cuatles, percetles, cuartles, decles,... Dspersó Forma Idca la mayor o meor cocetracó de los datos co respecto a las meddas de cetralzacó. Desvacó típca, coefcete de varacó, rago, varaza Asmetría Aputameto o curtoss. Estadístca. UNITEC Tema : Meddas de Tedeca Cetral 4

5 Estadístcos de Cetralzacó So meddas que busca poscoes (valores) co respecto a los cuales los datos muestra tedeca a agruparse. Meda Artmétca: es el promedo de los valores de ua varable. Suma de los valores dvddo por el úmero de valores volucrados. Medaa: es u valor que dvde a las observacoes e dos grupos co el msmo úmero de dvduos. Moda: es el o los valores dode la dstrbucó de frecueca alcaza u máxmo. Es el valor mas repetdo etre los valores estudados. Meda Geométrca: es la raz -ésma del producto de u cojuto de valores. Meda Armóca: es el recíproco de la meda artmétca de los recíprocos de u cojuto de valores. Es decr, es el úmero de valores dvddo por la sumatora de los recíprocos de estos valores. Meda Cuadrátca: es la raz cuadrada del promedo de los cuadrados de los valores estudados. E uestro curso vamos a trabajar solo co las tres prmeras, por ser estas las de uso mas comú.. Estadístca. UNITEC Tema : Meddas de Tedeca Cetral 5

6 Meda Artmétca Puto de balace o cetro de masa de los datos. Catdad obteda al dvdr el total e partes guales etre cada ua de las observacoes. S se tee ua poblacó de N valores de ua varable x y ua muestra de tamaño de estos valores; las medas poblacoales y muestrales se defe como: Meda Poblacoal : µ N 1 N x Meda Muestral : x 1 x. Estadístca. UNITEC Tema : Meddas de Tedeca Cetral 6

7 Meda Artmétca S los valores de la varable x e la muestra (o N s es la poblacó) está orgazados e ua tabla de frecuecas absolutas (f ); la meda artmétca se calcula: x 1 x 1 f f 1 x f La suma algebraca de las desvacoes de u cojuto de valores de x respecto de su meda artmétca es cero. 1 ( x x) 0. Estadístca. UNITEC Tema : Meddas de Tedeca Cetral 7

8 Medaa La medaa de u cojuto de valores de ua varable x ordeados e forma crecete, es el valor cetral del ordeameto; es decr, es el valor de x para el cual la mtad de todos los valores de x so meores que el y la otra mtad es mayor que el. S el úmero de valores de la varable x es mpar; la medaa es el valor que se ecuetra a la mtad del grupo de valores: Md + 1 S el úmero de valores de la varable x es par; se cosdera la medaa como el promedo artmétco de los dos valores que se ecuetra a la mtad del grupo de valores: Md ( ) + +. Estadístca. UNITEC Tema : Meddas de Tedeca Cetral 8

9 Medaa S los valores de la varable x e la muestra está orgazados e ua tabla de frecuecas absolutas (f ); la medaa se calcula: Md L + f F 1 Ic Dode: L Límte feror de la clase, dode está la medaa. La clase es aquella dode se ecuetra el valor medo del grupo de datos. úmero total de valores de x volucrados. f frecueca absoluta de la clase ; es decr, de la clase dode se ecuetra la medaa. F 1 frecueca absoluta acumulada de la clase preva a la clase ; es decr, frecueca acumulada de todas las clases prevas a la clase dode se ecuetra la medaa. Ic tervalo de clase. (logtud del tervalo que abarca la clase). Estadístca. UNITEC Tema : Meddas de Tedeca Cetral 9

10 Moda Es el o los valores mas comues etre u grupo de valores estudados. Es el o los valores dode la dstrbucó de frecuecas alcaza u máxmo. La moda puede ser mas de u valor. S todos los valores tee la msma frecueca, la moda o exste. S ua dstrbucó tee ua sola moda, se dce que es umodal, s tee dos modas, se dce que es bmodal; e geeral ua dstrbucó co varas modas se le cooce como multmodal. S la gráfca de la dstrbucó umodal es smétrca, la meda, la medaa y la moda cocde.. Estadístca. UNITEC Tema : Meddas de Tedeca Cetral 10

11 Moda S los valores de la varable x e la muestra está orgazados e ua tabla de frecuecas absolutas (f); la moda se calcula: Mo L Ic L + ( f f ) 1 ( f f ) + ( f f ) Ic Dode: L Límte feror de la clase, dode está la moda. La clase es aquella co la frecueca absoluta mayor del grupo de datos. f frecueca absoluta de la clase ; es decr, de la clase dode se ecuetra la moda. f 1 frecueca absoluta de la clase preva a la clase ; es decr, frecueca absoluta de la clase preva a la clase dode se ecuetra la moda. f + 1 frecueca absoluta de la clase sguete a la clase ; es decr, frecueca absoluta de la clase sguete a la clase dode se ecuetra la moda. Ic tervalo de clase. (logtud del tervalo que abarca la clase). Estadístca. UNITEC Tema : Meddas de Tedeca Cetral 11

12 Muestra de 5 edfcos Ua muestra de cco edfcos señala que éstos tee 1, 1, 4, 8 y 9 apartametos. Exste algú valor que represete estos datos? Crteros de represetacó: Valor más comú 1, 1, 4, 8, 9 : Moda 1 Valor tal que la mtad de los datos so mayores o guales y la otra mtad meores o guales 1, 1, 4, 8, 9: Medaa 4 Valor alrededor del cual se agrupa los datos 1, 1, 4, 8, 9: Meda ( ) 5 4,6. Estadístca. UNITEC Tema : Meddas de Tedeca Cetral 1

13 Meddas de tedeca cetral Dstrbucó delúm ero de apartam etos e cco edfcos Número de edfcos M ore Número de apartam etos Moda Medaa Meda. Estadístca. UNITEC Tema : Meddas de Tedeca Cetral 13

14 Ejemplo co datos o agrupados De acuerdo co la revsta Iformes al Cosumdor e su úmero de febrero de 1980, las cuotas auales de 40 compañías para u seguro de $ 5000 para hombres de 35 años de edad so la sguetes: (e $) (Caavos, p 5) Hallar la meda artmétca, la medaa y la moda Estadístca. UNITEC Tema : Meddas de Tedeca Cetral 14

15 Cálculo de la meda artmétca La meda artmétca se calcula dvdedo la suma de las cuotas auales etre el úmero total de cuotas; es decr, etre 40. x 1 x , El valor 97,9 $ represeta la catdad alrededor de la cual se agrupa los datos, es el puto de balace o cetro de masa de los datos. Comprobemos esto calculado las desvacoes de cada valor co respecto a la meda y sumádolas. Esta suma debe ser ula. 1 1 ( x x) ( 8 97,) + ( 85 97,) ( 11 97,) ( x x) 15, 1, , Estadístca. UNITEC Tema : Meddas de Tedeca Cetral 15

16 Cálculo de la medaa Ya que el úmero de valores es par, 40, la medaa es el promedo artmétco de los dos valores que se ecuetra a la mtad del grupo de valores Md Md ( ) ( 40 ) Md 98,5. Estadístca. UNITEC Tema : Meddas de Tedeca Cetral 16

17 Cálculo de la moda Es el o los valores mas comues etre u grupo de valores estudados El valor que aparece e mayor úmero de oportudades es el:, hay 5 cotzacoes de $ ; por lo tato la moda es gual a.. Estadístca. UNITEC Tema : Meddas de Tedeca Cetral 17

18 Ejemplo co datos agrupados Para el ejemplo de los salaros semaales de los empleados de la empresa P&R (clase pasada), hallar la meda artmétca, la medaa y la moda de los datos, agrupádolos e ua tabla de dstrbucó de frecuecas Estadístca. UNITEC Tema : Meddas de Tedeca Cetral 18

19 Ejemplo co datos agrupados R 319, ,5 70 As, podemoscostrur ua tabla co 7clases y u Ic 10. E cada clase vamos a cosderar cludos los límtes ferores; y por ede, excludos los límtes superores. Ic x f h F H % 8 1 % % 18 7 % % 34 5 % % % % % % % % %. Estadístca. UNITEC Tema : Meddas de Tedeca Cetral 19

20 Cálculo de la meda artmétca La meda artmétca se calcula dvdedo la suma de los productos de cada frecueca absoluta de clase por el cetro de clase etre la frecueca acumulada de la últma clase; es decr, etre 65. x 1 x f ( 55)( 8) + ( 65)( 10) ( 315)( ) 65 79,77. Estadístca. UNITEC Tema : Meddas de Tedeca Cetral 0

21 Cálculo de la medaa Md Ic E prmer lugar hallamos el dato cetral, que e este caso esta etre el 3 y el 33; es decr, el úmero 79. Este úmero correspode a la tercera clase. Esta es la clase de la medaa, a su límte feror le sumamos el resultado de multplcar el tervalo de clase por la dvsó de la dfereca etre el dato cetral (3,5) y la frecueca acumulada de la clase preva (clase co frecueca acumulada gual a 10) etre la frecueca absoluta de la clase de la medaa (16) Md L + f ( 10) 79, 06 F 1. Estadístca. UNITEC Tema : Meddas de Tedeca Cetral 1

22 Cálculo de la moda Mo L Ic L + ( f f ) 1 ( f f ) + ( f f ) Ic E prmer lugar hallamos la clase de la moda; es decr, aquella clase co la mayor frecueca absoluta, e este caso 16. Este úmero correspode a la tercera clase. Esta es la clase de la moda, a su límte feror le sumamos el resultado de multplcar el tervalo de clase por la dvsó de la dfereca etre la frecueca absoluta de la clase modal (16) y la frecueca absoluta de la clase preva (clase co frecueca absoluta gual a 10) etre la suma de la dfereca ateror y la dfereca etre la frecueca absoluta de la clase modal (16) y la frecueca absoluta de la clase sguete (clase 4 co frecueca absoluta gual a 14). ( 16 10) ( ) ( ) ( 10) , 5 Mo Estadístca. UNITEC Tema : Meddas de Tedeca Cetral

23 Meddas de Tedeca Cetral y el Polígoo de Frecuecas Frecueca Absoluta Medaa (79,06) Moda Salaro Semaal ($) (77,50) Meda (79,77). Estadístca. UNITEC Tema : Meddas de Tedeca Cetral 3

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