En el tema anterior se ha definido la integral de Riemann con las siguientes hipótesis

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1 59 Memáics I : Cálculo inegrl en IR Tem 5 Inegrles impropis 5. Inroducción En el em nerior se h definido l inegrl de Riemnn con ls siguienes hipóesis Domf = [, ] es un conjuno codo. f: [, ] IR esá cod en [, ]. Si lgun de ess condiciones no se cumple denominremos l inegrl correspondiene inegrl impropi. 5. Inegrles impropis de primer especie Definición 98.- Se f: [, + IR inegrle en [, ], pr odo, y se enonces F : [, + IR l función definid por F = f d. El pr f, F se denomin inegrl impropi de primer especie en [, + y se design por f d ó f. Definición 99.- Diremos que l inegrl impropi f d es convergene si eise y es finio F = f d y si ese ie es L se dice que el vlor de l inegrl impropi es L. Es decir, L = f d. Si el ie nerior es infinio ó se dice que l inegrl impropi es divergene hci ó hci, y si no eise se dice que es oscilne. De form nálog se definen ls inegrles impropis de primer especie en inervlos de l form, ] pr funciones f:, ] IR inegrles en [, ], pr odo IR, y ls represenmos por f d ó f. L inegrl d es divergene, pues d = ] = = + L inegrl ese úlimo ie no eise sen d es oscilne, pues sen d = cos ] = cos y + d converge, pues + d = rcg ] = rcg = Prof: José Anonio Ai Vin I.T.I. en Elecricidd

2 6 Memáics I : Cálculo inegrl en IR 5. Inegrles impropis de primer especie d 3 Esudir el crácer de, pr α IR. α Como l función iene primiivs disins pr α = y α, ls esudimos por seprdo: Si α =, luego diverge. Si α, α d = d = α+ α + luego diverge si α < y converge si α >. Resumiendo, d α ] ln = ln ln = ] ln = +, α+ = α + α+ α { = α + α = α, si α > +, si α < diverge si α y converge si α >. En ese úlimo cso, d = α α. Definición 3.- Se f: IR IR inegrle en odo inervlo cerrdo de IR. Diremos que convergene si eise lgún IR l que ls inegrles f d son ms convergenes. En ese cso su vlor es l inegrl Como + d = y + d converge y y + d = + d = f d, f d = + d + f d + f d f d es + d = rcg ] = rcg =, Oservciones:.- Se f: IR IR inegrle en odo inervlo cerrdo de IR. El crácer de puno ddo en l definición. + d = + = f d no depende del Y si l inegrl es convergene, su vlor no depende del puno elegido y que, pr culquier IR, f + f = f + f +.- Se f: IR IR inegrle en odo inervlo cerrdo. Si f + f = f + f converge, enonces f. L implicción conrri es fls. Es decir, puede eisir ese ie y l inegrl ser divergene. f = f. Conrejemplo d no es convergene, pues es divergene, sin emrgo d = d = ] = = + d = ] = =. Al vlor del fd se le denomin Vlor Principl de Cuchy, y suele denorse por V P f Prof: José Anonio Ai Vin I.T.I. en Elecricidd

3 6 Memáics I : Cálculo inegrl en IR 5. Inegrles impropis de primer especie Definición 3.- Diremos que dos inegrles impropis ienen el mismo crácer, y lo represenremos por, si son simulánemene convergenes, divergenes u oscilnes. Propieddes Se f: [, + IR inegrle en [, ] pr odo y se. Enonces fd fd..- Se f: [, + IR inegrle en [, ], y λ IR, con λ. Enonces f d λf d. 3.- Sen f, g: [, + IR inegrles en [, ],. Si f y g convergen, enonces: Demosrción:.- Como f + g converge y f d = f d + f + g d = f d = f d + f d + g d. f d el ie de l izquierd es finio, infinio o no eise si el ie de l derech es finio, infinio o no eise respecivmene. Y vicevers..- Como eisen. λf d = λ 3.- Bs considerr que eisen. f d, mos ies son simulánemene finios, infinios o no f +g d = f d+ g d, si los segundos ies d es convergene, y que + 3 = 3 + y por ls propieddes 33 ne- 3 riores, L inegrl d P. + d y d P. 3 ejemplo 3. Luego por l propiedd P.3 l inegrl convergenes y + 3 d = d + 3 d d P d, que son ms convergenes d es convergene por ser sum de inegrles Proposición 34.- Se f: [, + IR inegrle en [, ] pr odo [, +. Si enonces f d diverge. f = L + Oservción 35.- Como consecuenci de ese resuldo, si un función iene ie en +, su inegrl sólo puede ser convergene cundo el ie es cero. Si el ie no eise no se puede segurr nd. El recíproco de l proposición 34 no es ciero, un inegrl puede ser divergene, unque su ie se. Conrejemplo d diverge ver ejemplo 3 y sin emrgo, + =. Prof: José Anonio Ai Vin I.T.I. en Elecricidd

4 6 Memáics I : Cálculo inegrl en IR 5. Inegrles impropis de primer especie 5.. Crierios de comprción pr funciones no negivs Lem 36.- Se f: [, + IR inegrle y no negiv en [, ], pr odo IR. Enonces l función F = f d es creciene en [, +. Demosrción: L función F es creciene y que si, [, +, con, enonces F F = por ser f pr odo [, +. f d Teorem 37.- Se f: [, + IR inegrle y no negiv en [, ], IR. f d es convergene F = f d esá cod superiormene. No: En consecuenci, pr funciones no negivs, f d sólo puede ser convergene o divergene. Primer crierio de comprción 38.- Sen f, g: [, + IR inegrles en [, ] pr odo y supongmos que eise > l que f g pr odo. Enonces: Si Si g d converge f d diverge Demosrción: Por l propiedd de 33, f d luego s prorlo en [, +. Si Si g d converge, G = f d mién converge. g d mién diverge. Por ser f g, se endrá que F = f d luego F esá cod superiormene y y g d g d esá cod superiormene. f d es divergene mién lo es f d g d = G, f d es convergene. f d y, por no, F = superiormene. Como F G, G no esá cod superiormene y g d es divergene. g d, f d no esá cod g d es divergene, luego + d es convergene, pues en [, +, < < + de donde < + <. Luego + d d y como l myor es convergene, l menor mién. Prof: José Anonio Ai Vin I.T.I. en Elecricidd

5 63 Memáics I : Cálculo inegrl en IR 5. Inegrles impropis de primer especie d + d es divergene, pues en [, +, < + < + = de donde < < +. Luego + d y como l menor es divergene, l myor mién lo es. Segundo crierio de comprción 39.- Sen f, g: [, + IR inegrles en [, ], pr odo y no negivs. Supongmos que eise = L. Enonces: + f g Si < L < + = Si L =, se iene: f d g d. [i] si [ii] si g d converge = f d diverge = c Si L = +, se iene: f d converge. g d diverge. [i] si [ii] si f d converge = g d diverge = g d converge. f d diverge. Luego d d es convergene, pues [, + es posiiv y d que converge. + = + =. Oservción: Aunque los crierios ddos son válidos únicmene pr funciones posiivs en un enorno de +, eniendo en cuen que f 5.. Convergenci solu f, pr ls funciones negivs s esudir el crácer de f. Definición 3.- Se f: [, + IR inegrle en [, ] pr odo. Diremos que solumene convergene si f d converge. fd es Teorem 3.- Se f: [, + IR inegrle en [, ] pr odo. Si f d converge, enonces fd converge. En ors plrs, si un inegrl impropi converge solumene enonces converge. Demosrción: Pr odo [, + se iene f f f, luego f + f f. Enonces, si f d converge se iene que 3 de 33, se iene que converge. fd = f + f d es convergene y, por no, plicndo l propiedd f + f d f d Prof: José Anonio Ai Vin I.T.I. en Elecricidd

6 64 Memáics I : Cálculo inegrl en IR 5.3 Inegrles impropis de segund especie No: El recíproco no es ciero. Conrejemplo Como Vemos que converge. sen sen d = sen d converge pero no converge solumene. d converge. = sen cos { u = d = ] = cos d cos y d converge, } { } du = d dv = sen d v = cos = cos cos d sen Vemos que no converge solumene. Si pueso que cos d = cos cos d converge solumene, luego converge y, por no d = cos d sen + sen por el segundo crierio de comprción; en consecuenci, pueso que Luego sen + cos sen d = d convergier, enonces 3 sen sen + cos y como d diverge, necesrimene d diverge y sen d no converge solumene. d sen cos d d d convergerí, d convergerí. Pero eso es surdo sen + cos d h de ser divergene. Oservción 3.- Los crierios eslecidos pr inegrles impropis de primer especie en [, + sí como l convergenci solu dmien versiones nálogs pr inegrles impropis de primer especie en, ] se consruyen similrmene como se hce en l sección No osne, si f:, ] IR, l función g: [, + IR definid por g = f verific que fd = gudu, pr odo, ], luego fd gudu. Puede, por no, esudirse f en, ] esudindo f en [, +. Como Esudir el crácer de d = d. d que converge, l inegrl d converge. 5.3 Inegrles impropis de segund especie Definición 33.- Se f:, ] IR inegrle en [, ], pr odo, ], y no cod. Se F :, ] IR l función definid por F = fd. El pr f, F se denomin inegrl impropi de segund especie en, ] y se design por + fd ó + f. Prof: José Anonio Ai Vin I.T.I. en Elecricidd

7 65 Memáics I : Cálculo inegrl en IR 5.3 Inegrles impropis de segund especie Definición 34.- Diremos que l inegrl impropi + fd es convergene si eise y es finio F = + + fd y si ese ie es L se dice que el vlor de l inegrl impropi es L, es decir, L = + fd. Si el ie nerior es infinio se dice que l inegrl impropi es divergene y si no eise se denomin oscilne. De form nálog se definen ls inegrles impropis de segund especie en inervlos de l form [, pr funciones f: [, IR inegrles en [, ], [, y no cods. Ls represenremos por fd ó f. Definición 35.- Se f:, IR inegrle en odo inervlo cerrdo conenido en, y no cod. Diremos que fd es convergene si eise lgún c IR l que ls inegrles + son ms convergenes. En ese cso su vlor es c c c fd = fd c fd. + fd y fd 36 Solución: Si α =, Si α, Esudir el crácer de + d = + d α + y de ] ln = d = ln ] + d α, pr los α IR. ln ln = + = ln ln = + d + α = + α = + d α = = α α α α ] α α ] α = α α = { α, α si α < +, si α > { α, α si α < +, si α > luego converge si α < y diverge si α. Análogmene se hce l segund, y se oiene que d α converge si α < y diverge si α Crierios de comprción pr funciones no negivs Ls inegrles impropis de segund especie pr funciones no negivs, dmien crierios nálogos los ddos pr ls inegrles de primer especie. En ese senido, osérvese que el Teorem 38 siguiene es idénico su homólogo pr inegrles de primer especie. Prof: José Anonio Ai Vin I.T.I. en Elecricidd

8 66 Memáics I : Cálculo inegrl en IR 5.3 Inegrles impropis de segund especie Por ello, enunciremos los crierios omiiendo sus demosrciones, que ienen un desrrollo prejo ls demosrciones de los crierios pr ls inegrles de primer especie. Vése l oservción 3 poserior, que idenific ls inegrles de segund especie con ls de primer especie, donde se por más informción sore esos comenrios. Lem 37.- Se f:, ] IR inegrle en [, ], pr odo, ], no negiv y no cod. Enonces, l función F = fd es decreciene. Teorem 38.- Se f:, ] IR inegrle en [, ], pr odo, ], no negiv y no cod. Enonces + fd es convergene F = fd esá cod superiormene. Primer crierio de comprción 39.- Sen f, g:, ] IR inegrles en [, ], pr odo, ], y no cods. Supongmos que eise c, ] l que f g, pr odo, c], enonces Si Si gd converge = fd mién converge. + + fd diverge = gd mién diverge. + + Segundo crierio de comprción 3.- Sen f, g:, ] IR inegrles en [, ], pr odo, ], no negivs y no cods. Supongmos que eise y es finio = L. Enonces: f + g Si L enonces, Si L =, se iene: fd gd. + + [i] Si [ii] Si + gd converge = + fd mién converge. fd diverge = gd mién diverge. + + Teorem 3.- Convergenci solu. Se f:, ] IR inegrle en [, ],, ], y no cod. Si f d convergene = fd + + es convergene. No: Tmién pueden drse enuncidos nálogos pr inegrles impropis de segund especie en [,. Oservción 3.- Culquier inegrl impropi de segund especie puede rnsformrse medine un cmio de vrile decudo en un inegrl impropi de primer especie: Segund especie Cmio de vrile Primer especie + fd = f + d fd = f d Prof: José Anonio Ai Vin I.T.I. en Elecricidd

9 67 Memáics I : Cálculo inegrl en IR 5.4 Ejercicios Por consiguiene, como y nunciámos, los eorems y crierios de comprción esudidos pr ls inegrles impropis de primer especie dmien enuncidos nálogos pr ls inegrles impropis de segund especie. Ls demosrciones pueden hcerse uilizndo los cmios de vrile rri indicdos y los resuldos y conocidos referenes ls inegrles impropis de primer especie, o ien siguiendo los mismos psos de ls demosrciones relizds en l susección Ejercicios 5. Clculr el vlor de d Clculr e d y e d. 5. Esudir el crácer de + d y hllr V P + d. 5.3 Pror que 5.4 Pror que d α diverge pr culquier α IR. sen d no es convergene. Eise V P sen d? 5.5 Esudir el crácer de ls siguienes inegrles, según los vlores de. sen d. d ln, pr >. 5.6 Responder rzondmene, sore l vercidd o flsedd de ls siguienes firmciones: Si f: [, + IR, es inegrle en [, ] pr odo [, +, y fd converge. + Si f: [, + IR, es coninu y f =, enonces fd converge. + c Si f: [, + IR, es derivle, creciene y cod enonces d Si e Si f Si fd es convergene, enonces f + gd converge, enonces fd y gd convergen, enonces 5.7 Pror que si f y g son funciones posiivs les que, el ie de un de ls funciones, enonces fd fd y fd. f d converge. f =, enonces gd convergen necesrimene. fgd converge necesrimene. fd y fgd converge. gd convergen y eise, cundo Prof: José Anonio Ai Vin I.T.I. en Elecricidd

10 68 Memáics I : Cálculo inegrl en IR 5.4 Ejercicios 5.8 Esudir el crácer de ls inegrles siguienes: d g j m p + sen d ch d e e 4d h + 4 d k e sen d n d cos q e d c e d d f e 4d e d i d l d o e e d r sen 3 +cos +e d ln + d sen +cos d e sen d 5.9 Esudir el crácer de ls inegrles siguienes: d g sen d 4 5 d e sen d c d ln f sen d h ln ln + d i ln d d e e + d. 5.3 Esudir el crácer de ls inegrles siguienes: c e g i 4 g sen e e + e 4 d e d d sen 3 ln 3 d f e cos d h + 8 +sen 7 d j 4 4 rcsen d 3 rcg 3 d 4 sen ln+ d e cos d sen rcg 3 3 sh d. 5.3 Enconrr los vlores de, pr que ls inegrles siguienes sen convergenes. d g cos d sen d e sen d h sen d c d f d i e d d 3 4 d 5.3 Se define l función e por Bp, q = los que l función Bp, q esá definid. p q d. Enconrr los vlores reles de p y q pr Prof: José Anonio Ai Vin I.T.I. en Elecricidd

11 69 Memáics I : Cálculo inegrl en IR 5.4 Ejercicios 5.33 Se define l función gmm por Γp = p e d. Pror que es función esá definid pr odo p >. Pror que se verific l iguldd Γp + = pγp, pr culquier p. c Clculr, usndo, 6 e d Se f: [, + IR. Se define l función rnsformd inegrl de Lplce de l función f, que denoremos por L{f}, como L{f} = F s = que: Si f =, F s = L{} = s. Si F s = L{f} y Gs = L{g}, enonces, pr odo λ, µ IR, fe s d, siempre que l inegrl eis. Pror L{λf + µg} = λl{f} + µl{g}. c Si f es derivle y verific que + fes =, prir de un ciero s, y eise L{f }, enonces L{f } = sl{f} f. d L{} = s y que L{sen} = s +, usndo el resuldo del prdo c. Prof: José Anonio Ai Vin I.T.I. en Elecricidd