RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS QUE NO PODEMOS OLVIDAR
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- María Teresa Peña Contreras
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1 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS QUE NO PODEMOS OLVIDAR Relaciones fundamentales de la trigonometría Las tres relaciones fundamentales de la trigonometría pueden resumirse en una, que viene dada por la construcción del triángulo rectángulo de hipotenusa unidad. En este triángulo los catetos son los os y coos de uno de los ángulos que no sea el ángulo recto: cos ( x ) + ( x) = [] Las otras dos relaciones se obtienen dividiendo la anterior por cos (x) o por (x) y son: tg ( x) + = sec ( x) [] + cot ( x) = cos ec ( x) Coo de la diferencia: cos( β) Supongamos que trazamos en la circunferencia de radio unidad los vectores u y v que forman ángulos y β respectivamente con respecto al eje x. Si esto es así, entonces el ángulo entre u y v es β. serán: Las coordenadas de los vectores u y v u = cos() i + () j v = cos(β) i + (β) j donde i y j son la base canónica del sistema cartesiano (vectores perpendiculares entre sí y de módulo unidad). Conociendo las coordenadas de los vectores u y v podemos calcular su producto escalar de dos formas distintas: ) utilizando la definición de producto escalar: u v = u v cos β = cos β [3] ( ) ( ) donde los módulos de u y v valen ya que son radios de la circunferencia unidad. ) utilizando las coordenadas de los vectores u(cos(),()) y v(cos(β),(β)): u v = cos cos β + β [4] ( ) ( ) ( ) ( ) La base canónica está formada por los vectores cuyas coordenadas contiene un siendo 0 el resto, así i(,0) y j(0,) para el plano constituyen su base canónica. Para el espacio la base canónica está formada por los vectores i(,0,0), j(0,,0) y k(0,0,). Podemos generalizar esta definición a n dimensiones. Así un espacio n-dimensional tendrá como base canónica un colección de n vectores que irán del u (,0,...,0,0) hasta el u n (0,0,...,0,) Matemáticas II David Miguel del Río
2 PREGUNTA.- Por qué el producto escalar se puede calcular como la suma de los productos de las coordenadas de los vectores? Si igualamos las expresiones [3] y [4] obtenemos que: Coo de la suma: cos( + β) ( β ) = cos( ) cos( β ) + ( ) ( β ) cos [5] CONSEJO: Siempre que tengamos que calcular alguna expresión que desconocemos debemos basarnos en otra, u otras, que sí conozcamos. En este caso conviene recordar que ya sabemos calcular el coo de la resta. Por lo tanto trataremos de convertir la suma de ángulos en resta y utilizar la expresión [5] que calculamos para el coo de la diferencia: ( + β ) = cos( ( β )) = cos( ) cos( β ) + ( ) ( β ) cos [6] Ahora únicamente tenemos que recordar cuál era la relación entre los os y coos de los ángulos negativos con sus correspondientes positivos: cos( β ) = cos( β ) [7] ( β ) = (β ) Sustituyendo las expresiones [7] en la [6] obtenemos: Seno de la suma: ( + β) ( + β ) = cos( ) cos( β ) ( ) ( β ) cos [8] Seguimos recordando cosas ya conocidas: cuál es la relación entre os y coos? La relación la dan los ángulos complementarios (los que difieren de 90): cos ( δ ) = δ ( δ ) = cos δ [9] Aplicando las relaciones [9] en la expresión [5] obtenemos: π ( + β ) = cos ( + β ) = cos β = cos cos( β ) + ( β ) Para ver esta relación basta con pintar un triángulo rectángulo y marcar sus ángulos no rectos. Una simple observación nos hará ver que el o de uno es el coo de otro, ya que os y coos son los catetos (si la hipotenusa es la unidad). Además la relación entre los dos ángulos que no son rectos es que suman 90 grados o, lo que es lo mismo, son ángulos que difieren de 90. Matemáticas II David Miguel del Río
3 y volviendo a utilizar las relaciones [9] queda: ( + β ) = cos cos( β ) + ( β ) = ( ) cos( β ) + cos( ) ( β ) queda: ( β ) = ( ) cos ( β ) + cos( ) ( β ) Seno de la diferencia: ( β) + [0] Utilizaremos el o de la suma para calcular el o de la diferencia: ( β ) = ( + ( β )) = ( ) ( β ) + cos( ) ( β ) y utilizando las relaciones [7] en la expresión [] tenemos: Seno del ángulo doble: () ( β ) = ( ) cos( β ) cos( ) ( β ) cos [] [] Recurrimos a la expresión [0] del o de la suma haciendo que los dos ángulos sean : ( + ) = ( ) cos ( ) + cos( ) ( ) queda: = cos [3] Coo del ángulo doble: cos() ( ) ( ) ( ) Recurrimos a la expresión [8] del coo de la suma haciendo que los dos ángulos sean : cos ( + ) = cos( ) cos( ) ( ) ( ) queda: cos = cos [4] ( ) ( ) ( ) Seno y coo del ángulo mitad: y cos Para obtener estas relaciones vamos a utilizar una estrategia consistente en sumar o restar dos expresiones. Las expresiones van a ser la ley fundamental de la trigonometría (expresión []) y la fórmula del coo del ángulo doble (expresión [4]) pero ligeramente transformadas: cos + = cos cos = cos + = ( ) cos = cos( ) Matemáticas II David Miguel del Río 3
4 Si las sumamos obtenemos: cos + = cos = cos( ) + cos = + cos despejando: + cos cos = [5] Si las restamos (sumamos el opuesto) obtenemos: cos + = cos + = cos( ) + = cos despejando: cos = [6] IMPORTANTE: Estas expresiones serán muy útiles para calcular las integrales del o y del coo cuadrado. Conversión de productos en sumas o restas Podemos convertir los productos de os y coos en sumas (o restas) utilizando las expresiones [5], [8], [0] y [] del coo de la suma y la diferencia y del o de la suma y la diferencia. Si sumamos las expresiones del o de la suma y del o de la diferencia obtenemos: ( + β ) = ( ) cos ( β ) + cos( ) ( β ) ( β ) = ( ) cos( β ) cos( ) ( β ) ( + β ) + ( β ) = ( ) cos( β ) ( ) cos ( β ) = ( + β ) + ( β ) [7] ( 5 x) cos( 3x) = ( 5x + 3x) + ( 5x 3x) = ( 8x) + ( x) Si restamos (sumamos el opuesto) las expresiones del o de la suma y del o de la diferencia obtenemos: Matemáticas II David Miguel del Río 4
5 cos ( + β ) = ( ) cos ( β ) + cos( ) ( β ) ( β ) = ( ) cos ( β ) + cos( ) ( β ) + β β = cos β ( ) ( ) ( ) ( ) cos ( ) ( β ) = ( + β ) ( β ) [8] ( 5x) ( 3x) = ( 5x + 3x) ( 5x 3x) = ( 8x) ( x) Si sumamos las expresiones del coo de la suma y del coo de la diferencia obtenemos: cos ( + β ) = cos( ) cos( β ) ( ) ( β ) cos ( β ) = cos( ) cos( β ) + ( ) ( β ) cos ( + β ) + cos( β ) = cos( ) cos( β ) cos ( ) cos( β ) = cos( + β ) + cos( β ) [9] cos ( 5x) cos( 3x) = cos( 5x + 3x) + cos( 5x 3x) = cos( 8x) + cos( x) Si restamos (sumamos el opuesto) las expresiones del coo de la suma y del coo de la diferencia obtenemos: cos ( + β ) = cos( ) cos( β ) ( ) ( β ) cos ( β ) = cos( ) cos( β ) ( ) ( β ) cos( + β ) cos( β ) = ( ) ( β ) ( ) ( β ) = cos( + β ) + cos( β ) [0] ( 5 x) ( 3x) = cos( 5x + 3x) + cos( 5x 3x) = cos( 8x) + cos( x) IMPORTANTE: Estas expresiones serán muy útiles a la hora de integrar funciones que sean producto de trigonométricas, por eso debemos recordarlas. Por qué? Porque a la operación integral le ocurre lo mismo que a la operación derivada. La deriva del producto NO es el producto de las derivadas, sin embargo la derivada de la suma (o resta) SÍ es la suma (o resta) de las derivadas. De la misma forma la integral del producto NO es el producto de las integrales, pero la integral de la suma SÍ es la suma de las integrales. Así, si podemos expresar el producto como una suma (o resta) será mucho más fácil integrarlo. Matemáticas II David Miguel del Río 5
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