Álgebra Intermedia. Prof. Nilsa I. Toro Catedrática Recinto Universitario de Mayagüez Instituto de Verano 2006 AFAMaC

Transcripción

1 Álgebra Intermedia Prof. Nilsa I. Toro Catedrática Recinto Universitario de Mayagüez Instituto de Verano 006 AFAMaC Semana #1: 11 al 16 de junio de 006

2 Polinomios Definiciones: 1. Un monomio en la variable x es de la ax n n forma, donde ax es real y n es un a número cardinal. n. Un polinomio en la variable x es la suma de monomios en la variable x. La a forma general de un polinomio de grado n en n n 1 la variable x es anx + an 1x ax 1 + a0 donde a, a,... a son constantes y a n n

3 El grado de un polinomio es la potencia más alta de la variable y el coeficiente líder es el coeficiente de esta potencia. Además el término constante es el que no tiene variable. 3

4 Ejemplo Completar la siguiente tabla: Polinomio Grado Coeficiente líder Término constante 4 3 x 5x x x x

5 Suma y Resta de Polinomios Sumamos los polinomios, combinando los términos semejantes. Restamos los polinomios, cambiando la resta a suma y luego efectuando la suma. 5

6 Ejemplos Efectuar la operación indicada y simplificar: ( x x + x+ ) + ( x x ) ( x + 3x + 7x ) ( 8x + 4x + 6x ) 3 3 ( x x + x+ ) + ( x x ) ( x x + x+ ) + ( x x ) ( x + x + x ) ( x + x + x ) ( x ) 1. ( x 6x 3) 3 7 ( x x ). ( ) + 5 x x ( x 7 + x 4 + x 6) ( x 7 + x + x 4) (5x+ ) + (7x 1) + ( 4x+ 3) 6

7 Multiplicación de Polinomios Usar la propiedad distributiva para multiplicar polinomios. Esto es, multiplicar cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio y entonces combinar los términos semejantes. 7

8 Ejemplos Efectuar la operación indicada y simplificar: ( )( x x x+ ) ( 4 )( x x + x ) ( x x + )( x ) ( )( + ). x x 3y x 4y. x 3 x 1 x + 4x+. x x 3y x+ 4y ( )( )( ) ( )( ) ( 4 )( x x + x ) ( )( + ). x x 3y x 4y 8

9 Observación La multiplicación de dos binomios se puede recordar de una manera corta usando el método FOIL. Esta palabra me dice los términos de los binomios que debemos multiplicar para luego combinar los términos semejantes. F significa First los primeros O significa Outter los de afuera I significa Inner los de adentro L significa Last los últimos 9

10 Ejemplo ( )( ) Hallar 3x 5 x+ 7 usando First - el ( 3x)( método x) = 6x Outter - FOIL. ( 3x)( 7) = 1x = ( )( ) ( x)( ) ( )( x) ( )( ) ( )( ) First - 3x x = 6x Outter = 1x = 11x Inner - 5 = 10x Last = 35 3x 5 x 7 6x 11x 35 + = + Inner - 5 = 10x ( )( x) ( )( ) ( )( ) Last = 35 11x x x+ = x + x 10

11 Ejercicios Efectuar la operación indicada y simplificar: ( m )( m ) x x+ y y ( c + )( c ) ( p+ q) 11

12 De la multiplicación de polinomios surgen unos productos, los cuales son bien comunes y los llamamos Productos Especiales o Productos Notables, veamos. 1

13 Productos Especiales ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) a+ b = a + ab+ b a b = a ab+ b a+ b a b = a b a+ b = a + 3a b+ 3ab + b a b = a 3a b+ 3ab b 13

14 Ejemplos Usar los productos especiales para hallar: 1. 3 ( x + y) ( mn+ )( mn ) ( x + y)

15 Ejercicios Efectuar la operación indicada y simplificar: ( 3 ) ( 3 x + x x+ + x + x ) ( ). 5 x + x ( x 1) x( x 3) ( )( + x x + x+ ) ( x )( x+ ) ( x y) ( a b) ( a+ b) ( m n)

16 División de polinomios Para dividir un polinomio entre un monomio, dividimos todos los términos del polinomio entre el monomio. Ejemplo Dividir x + x x 16

17 Para dividir un polinomio entre un polinomio, usamos un método similar al de división larga usado en la aritmética para dividir dos números naturales. Ejemplo Dividir

18 Ejemplo Efectuar la división: 1. Dividir x + 3x+ 4 entre x Dividir entre 3 6 x x x x Observación: Ambos polinomios deben estar en orden descendiente de potencias y si al dividendo le falta algún término debemos que recordar que el coeficiente de este término es cero. 18

19 Ejemplo El largo de un rectángulo esta dado por la expresión 3x+ y su área esta dada por la expresión 9x 4. Hallar una expresión para el ancho del rectángulo en términos de x. 19

20 Factorización Factorizar un polinomio significa expresar el polinomio como un producto de dos o más polinomios. La factorización es el proceso inverso de la multiplicacion. Vamos a ver cuatro métodos para factorizar: 1. Sacar factor común. Factorización por fórmulas 3. Factorización por agrupación 4. Factorización de ax + bx+ c 0

21 Sacar factor común Sacamos el factor común de todos los términos. Factorizar: 1. x + 3x 3. 8x 4x + 1x x y + 1x y 4xy ( ) x( x ) 4. 4x x

22 Factorización por fórmulas Las fórmulas las obtenemos de los productos especiales vistos anteriormente. ( ) a ab b a b ( ) ( )( ) a ab b a b a b a b a b ( )( ) 3 3 ( )( ) + + = + Cuadrado Perfecto + = Cuadrado Perfecto = + a + b = a+ b a ab+ b Diferencia de Cuadrados Suma de Cubos 3 3 a b = a b a + ab+ b Diferencia de Cubos

23 Ejemplos Factorizar: 1. x + 10x (4x+ 3) ( x 3). 4x 4xy+ y x x 1 3

24 Ejercicios Factorizar: 1. x 8x x y t 1t 9 5. x x xy+ y x x ( ) ( ) 4

25 Factorización por agrupación Arreglar los términos tal que los primeros dos términos tengan un factor común y los últimos dos términos tengan factor común. En cada par de términos, saca el factor común. Si hay un factor común binomial, sácalo. Si no hay un factor común binomial, empezamos de nuevo, rearreglando los términos de diferente manera. 5

26 Ejemplos: Factorizar: 3 1. m + 3m 16m x + x + 8x bm m + b x x y 3xy + y 5. 4ax 4ab bx+ b 6

27 Factorización de ax + bx+ c Esta se puede dividir en dos partes: Cuando. 1. Buscamos los factores de c. c> 0 a=1. Si, la suma de los factores tiene que ser b. 3. Si c<0, la diferencia de los factores tiene que ser b. 4. Rescribimos el trinomio con la suma o la diferencia equivalente al término del medio (bx). 5. Factorizamos por agrupación. 7

28 Ejemplos Factorizar: 1. x + 7x+ 1. a + 13a x 17x m + 6m 7 8

29 a 1 Cuando. 1. Multiplicamos a y c.. Buscamos los factores ac. 3. Si ac> 0, la suma de los factores tiene que ser b. 4. Si ac<0, la diferencia de los factores tiene que ser b. 5. Rescribimos el trinomio con la suma o la diferencia equivalente al término del medio (bx). 6. Factorizamos por agrupación. 9

30 Ejemplos Factorizar: 1. x 7x+ 3. 3x + 11x z + 6z x + 80x

31 También está el método de tanteo que es el que se ve regularmente. 31

32 Ejemplos Factorizar completamente: x + x 3x 4. x 8x x y xy 3