1ER TRABAJO DE ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA PEDRO JAVIER CARMONA LUNA PRESENTADO A: HUGO R. PÉREZ CARRASCAL LIC. EN MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA

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1 1ER TRABAJO DE ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA PEDRO JAVIER CARMONA LUNA PRESENTADO A: HUGO R. PÉREZ CARRASCAL LIC. EN MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA FACULTAD DE INGENIERÍAS PROGRAMA DE INGENIERÍA AMBIENTAL MONTERÍA-CÓRDOBA 2014

2 EJERCICIO 1. La factorización LU es una variante de la eliminación gaussiana, la cual descompone una matriz como un producto de una matriz triangular inferior (Lower) y una matriz triangular superior (Uper). De allí su nombre LU. Suponga que una matriz A de n x n puede escribirse como un producto de una matriz L, triangular inferior, y una matriz U, triangular superior; esto es: Si es así, se dice que A tiene una factorización o descomposición LU. Esta factorización puede utilizarse eficientemente para resolver un sistema lineal del tipo: Al sustituir LU por A: Haciendo, la ecuación matricial se transforma en: Como L es la forma triangular inferior, se resuelve directamente para z por medio de una sustitución hacia adelante. Una vez hallado z, y como U es triangular superior, se resuelve por sustitución hacia atrás. En resumen, si una matriz A de n x n tiene factorización LU, la solución del sistema puede hallarse por medio de una sustitución hacia adelante, seguida de una sustitución hacia atrás. EJERCICIO 2. i.

3 Factorizando la matriz A como un producto de dos matrices triangulares LU, entonces: Se aplica sobre A las siguientes operaciones elementales para obtener la matriz U así: La matriz L se obtiene de manera sencilla, al reemplazar en la parte inferior de la diagonal principal de una matriz identidad, los números utilizados en las operaciones elementales para transformar A en una matriz triangular superior U, pero con signo opuesto. Es decir: Verificando que la factorización sea correcta: Como ; Sea entonces:

4 Por sustitución hacia adelante se halla z1, z2 y z3 respectivamente. ; ; Ahora para Por sustitución hacia atrás se hallan los valores de X. ; ; ; La solución del sistema es: ii. Siguiendo los pasos del ejercicio anterior, se tiene que.

5 La matriz triangular inferior será: Como ; Sea entonces: Por sustitución hacia adelante se halla z1, z2 y z3 respectivamente. ; ; Ahora para Por sustitución hacia atrás se hallan los valores de X. ; ; ; /34 La solución del sistema es:

6 EJERCICIO 3. Una cadena de Markov o proceso de Markov es aquel en el que la probabilidad de que un sistema esté en un estado particular en un periodo de observación dado, depende solamente de su estado en el periodo de observación inmediatamente anterior. Una cadena de Markov consta de unos estados E1 E2 E3 E4..En. Que inicialmente en un tiempo 0 o paso 0 se le llama estado inicial, además de esto consta de una matriz de transición que significa la posibilidad de que se cambie de estado en un próximo tiempo o paso. Dicha matriz también se conoce como matriz de Markov, matriz estocástica o matriz de probabilidades. En una matriz de transición: La suma de las probabilidades de los estados debe ser igual a 1 ya sea en las columnas o en las filas. La matriz de transición debe ser cuadrada. Las probabilidades de transición deben estar entre 0 y 1. EJEMPLOS: I. Supongamos que el clima de una determinada región sólo puede ser soleado (s1) o nublado (s2) y que las condiciones del clima en mañanas sucesivas forman una cadena de Markov con probabilidades de transición estacionarias. La matriz de transición está dada por: Si un día concreto está nublado, cuál es la probabilidad de que esté nublado el día siguiente? La respuesta es II. Suponga que en el mercado se consiguen 3 tipos de gaseosas colas que son: coca cola, Pepsi cola y big cola cuando una persona a comprado coca cola existe una probabilidad de que la siga consumiendo del 75%, un 15% de que compre Pepsi cola y un 10% de que compre big cola; cuando el comprador actualmente consume Pepsi existe una probabilidad de que la siga comprando de 60%, un 25% que compre coca cola y un 15% big cola; si en la actualidad consuma big cola la probabilidad de que la siga consumiendo es del 50%, un 30% que compre coca cola y 205 Pepsi cola.

7 En la actualidad cada marca Coca-Cola, Pepsi y big cola tienen los siguientes porcentajes en participación en el mercado respectivamente (60% 30% 10%) Elaborar la matriz de transición. Hallar la probabilidad de cada marca en el periodo 5. Respuesta Matriz de transición Probabilidad en el periodo 5 o P 5 P P P P P P APLICACIONES DE LAS CADENAS DE MARKOV: Búsqueda de genes Mapeo de vinculación genética Análisis filogenético Predicción de estructura secundaria de proteínas Búsqueda de sitios conservados vs sitios variables Predicción de regiones que codifican proteínas dentro de genomas Modelado de familias de secuencias de proteína o ADN relacionado Predicción de elementos de estructura secundaria en secuencias primarias de proteína.

8 EJERCICIO 4. La transpuesta de una matriz de transición de una cadena de Markov, también es una matriz de transición de una cadena de Markov. Ya que cumple con las características de una matriz de transición antes mencionadas en el ejercicio 3. Ejemplo. Nótese que para A y A transpuesta: Todos los valores dentro de las matrices están entre 0 y 1. Ambas matrices son cuadradas. La suma de las probabilidades de transición para cada estado es 1, tanto en las columnas para A como en las filas de AT. Concordando así con las tres propiedades de una matriz de transición o matriz estocástica. EJERCICIO 5. Se tiene la siguiente matriz de transición: Para hallar el momento en el cual el proceso alcanza el equilibrio, se calcularan las matrices de transición en n pasos así:

9 Obsérvese que en la matriz de siete pasos T7, las probabilidades de transición en las filas son idénticas. Por lo tanto las probabilidades en cualquier fila de esta matriz de 7 pasos se denominan probabilidades de estado estable de la cadena de Markov. De acuerdo a lo anterior se puede decir que el proceso alcanzara el estado estable seis generaciones después a partir del primer cruce. Es decir cuando se alcance la matriz T7. Además el porcentaje de plantas con flores rojas, rosadas y blancas en el estado estable será 25, 50 y 25 por ciento respectivamente. Nota: el cálculo de las matrices en n pasos se realizó con el programa Excel, y los resultados en cada una de las componentes de dichas matrices se trabajaron con dos cifras decimales. BIBLIOGRAFÍA UTILIZADA. Algebra Lineal, Stanley I. Grossman S. Ed.6 Bernard Kolman; David R. Hill. Ed.8 Consultas en internet.