km. , considerando que es un cuerpo negro calentado por el Sol. 2. Determinar la temperatura del suelo de Marte, T (1)

Transcripción

1 Problema 1 El planeta Marte, de radio R M = 3400 m rota alrededor del sol a lo largo de una órbita casi circular de radio r M = 2, m. Las medidas efectuadas por la sonda Viing I permiten afirmar que su temperatura al sol está comprendida, dependiendo de la estación, entre 20 C y 100 C. Se intentará recuperar este orden de magnitud a partir del balance térmico, suponiendo que la temperatura de Marte es uniforme. Se utilizarán los siguientes datos: el Sol radia como un cuerpo negro a T S = 5800K. la radiación solar que recibe una superficie de la Tierra, perpendicular a la dirección Sol-Tierra vale E T = 1300W m 2 La Tierra, de radio 6400 radio medio r T = 1, m, gira alrededor del sol sobre una órbita de m. 1. Determinar la radiación solar E M sobre Marte en función de E T, r M y r T. 2. Determinar la temperatura del suelo de Marte, T (1) M, considerando que es un cuerpo negro calentado por el Sol. 3. Las observaciones de espectro de Viing I permitieron establecer la ley de evolución espectral del suelo del planeta rojo: e λ = ε 1 = 0,8 λ 0,55µm e λ = ε 2 = 0,1 0,55 λ 1µm e λ = ε 1 = 1 λ 1µm Deducir: a) La absortancia total A S del suelo de Marte respecto de la radiación solar. b) La emisividad total ε M del suelo de Marte. c) La temperatura media de Marte, T (2) M. 4. El valor obtenido en el punto anterior para la temperatura de Marte es inferior al valor medio experimental ( 60 C) obtenido por Viing I. Se propone mejorar el modelo teniendo en cuenta el hecho de que, como la Tierra, Marte está constituido por un núcleo caliente de temperatura T N 2000 C, recubierto de una corteza de espesor δ = 5 m, de conductividad térmica = 10W m 1K 1.

2 Solución: a) Escribir la nueva ecuación de balance térmico retomando, para la radiación, los datos del punto anterior. b) Deducir el valor de la temperatura promedio del suelo de Marte T (3) M. 1. Radiación solar sobre Marte: E T A 1 = E M A 2 Entonces E M = E T r 2 T r 2 M E M 563W m Consideramos a Marte un cuerpo negro, La radiación efectiva que recibe es sólo función del factor de forma F SM. Para ello, asimilamos la geometría al caso de una esfera (Marte) cercana a una superficie plana (Sol). Es, en este caso F 12 = 1/2. Luego, considerando que sólo llega la mitad de la radiación emitida por el Sol, E S /2. E M = E S /2 F SM = E S /4 En equilibrio, como Marte es un cuerpo negro, E M = σt 4 M, σ = 5, W/m 2 K 4, luego T M = 223K = 50 C. a) Características espectrales del suelo de Marte: Recordamos que definimos como potencia emisiva monocromática, E bλ de una superficie negra como la energía radiante por unidad de área de la superficie y por unidad de longitud de onda, como define la ley de Planc: E bλ = C 1 λ 5 1 (e C 2/λT 1) [W m 3 ] Integrando sobre todas las longitudes de onda, es posible obtener una expresión para la potencia radiantes por unidad de superficie: E b = 0 E bλ dλ

3 El cálculo se simplifica utilizando la función fraccionaria externa f e, que puede consultarse, pej en la Tabla 6.5 pag 571 de [1]. El coeficiente de absortancia total se estima según: α tot = α 1 f e (λ 1 T S ) + α 2 (f e (λ 2 T S ) f e (λ 1 T S )) + α 3 (1 f e (λ 2 T S )) Reemplazando, se obtiene α T OT = 0,57. b) En la determinación de la emisividad, se considera la temperatura propia del cuerpo. Ésta es, del primer cálculo, de aproximadamente 50 C. Entonces, ε T OT 1. Notamos que la variación de T M alrededor de el valor anterior, no modifica este último resultado. c) La temperatura de Marte, en base a los coeficientes calculados: A partir del balance térmico, α tot (πrm 2 )E S = ε T OT 4πRM 2 E M siendo E M = σtm 4 Luego, T (2) M = 79 C 3. Dado que δ R M, podemos adoptar un modelo plano. a) La continuidad del flujo térmico en la superficie de Marte nos permite asegurar: 4πR 2 M δ [T N T (3) M ] = ε M4πR 2 Mσ(T (3) M )4 α tot πr 2 ME S Obtenemos el valor de T (3) M = 76 C. El modelo no permite recuperar el valor medio de temperatura medido por la sonda pues no se incluyó en él la influencia de la atmósfera de Marte. Problema 2 Una construcción agrícola de grandes dimensiones está recubierta por un techo de tejas que forman un diedro de ángulo θ en el vértice superior. Este edificio se halla lleno de heno hasta el nivel de la base del techo, de superfice S 3. Se pide calcular la temperatura estacionaria T 3 de esta superficie, considerada como adiabática, en los dos casos siguientes: 1. La radiación solar cae en forma vertical sobre el techo (sol en el cénit). 2. La radiación solar cae en forma perpendicular a un de los dos costados del techo. Se adoptan las siguientes hipótesis: La radiación solar sobre una superficie perpendicular a los rayos es: E S = 750W/m 2

4 Todas las superficies son negras. Los intercambios de calor en el interior del techo son radiativos puros. Los intercambios de calor por convección y radiación con el exterior se resumen con la ayuda de un sólo coeficiente h = 30W/m 2 K. La temperatura exterior es de T 0 = 295K. La conducción t ermica de las tejas, de espesor e = 3cm es = 1W/mK Servirán para el primer caso, las simetrías de la situación. Caso 1 Por simetría T 1 = T 2 y el factor de forma F 12 = F 13 = F 21 = F 23 = 1/2. El balance térmico en el interior del granero, sobre la cara 3, σt 4 3 = 1 2 σt σt 4 2 (1) Luego, T 3 = T 1 = T 2. El balance de calor aplicado sobre el conjunto de las dos placas del techo (1 y 2): E S S = 2hS(T 1 T 0 ) (2) Como todas las caras del interior del techo se hallan a la misma temperatura, no hay transferencia de calor y, por ende, no hay gradiente de temperatura de T 1 a T 1. T 1 = T 1. Luego, se deduce el valor para T 3 directamente de la ecuación (2). T 3 = T 1 = T 1 = T 0 + E S = 2h 34,5 C. Caso 2 Los rayos del sol caen perpendiculares a S 1. El balance térmico en el interior es igual que en (1) σt 4 3 = 1 2 σt σt 4 2 Sobre cada placa realizamos el balance térmico de la superficies internas y externas 1. s / Placa 1: s / Placa 2: e (T 1 T 1 ) = σt σt σt 3 4 interior (3) e (T 1 T 1 ) = E S h(t 1 T 0 ) exterior (4) e (T 2 T 2 ) = σt σt σt 3 4 interior (5) e (T 2 T 2 ) = 0 h(t 2 T 0 ) exterior (6) 1 Recordar que h involucra radiación y convección externas.

5 Tenemos entonces 5 incógnitas T 1, T 2, T 3, T 1, T 2 y 5 ecuaciones a resolver. Podemos hallar T 3 resolviendo el sistema no lineal o bien, podemos simplificar las ecuaciones haciendo uso de una linearización de las mismas. Para ello, decimos que: Ti 4 Tj 4 Tm(T 3 i T j ). En este ejemplo T m = T 0 + E S. 2h Se llega entonces a que T 3 35 C.

6

7 Bibliografía [1] Mills, Transferencia de Calor, Ed Irwin 7