(Apuntes sin revisión para orientar el aprendizaje) CÁLCULO VECTORIAL EXTREMOS DE FUNCIONES ESCALARES DE VARIABLE VECTORIAL

Transcripción

1 (Apuntes sin revisión para orientar el aprendizaje) CÁLCULO VECTORIAL EXTREMOS DE FUNCIONES ESCALARES DE VARIABLE VECTORIAL En numerosas aplicaciones de la ingeniería se presentan problemas de optimización, en los cuales se pretende determinar valores extremos de diversas funciones, tales como superficies mínimas, utilidades máximas, tiempos mínimos, volúmenes máximos costos mínimos. Definición. Sea z f( x, ) cerrada " R " del plano " " = una función continua en una región x. Entonces: i) Se dice que f tiene un máximo relativo o local en x, R f x, f x, para todo ( 0 0) si se cumple que ( ) ( 0 0) ( x, ) en una vecindad o entorno de ( x, ). 0 0 ii) Se dice que f tiene un mínimo relativo o local en f x, f x, para todo ( x0, 0) R si se cumple que ( ) ( 0 0) ( x, ) en una vecindad o entorno de ( x, ). 0 0

2 Si alguna de estas desigualdades se conserva en toda la región en estudio, entonces se habla de extremos absolutos o globales. Ejemplo. Considérese la función dada por x + 9. z x = 9 en la región

3 3 Ejemplo. dada por Sea la función z =. Se puede escribir que: ( x + ) 1 cos 1+ x + ( x ) ( x ) 1 1 cos + 1 cos + 1 cos ( x + ) 1 < = f ( 0,0) 1+ x +, en la región por lo que la función tiene un máximo absoluto en el punto ( 0,0 ) 1 cuo valor es.

4 4 Ejemplo. Considérese la función región dada por x + 4. z x = 4 en la Ejemplo. Sea la función z f( x, ) ( x 1) ( 1) todo el espacio. = = + en Para cualquier valor de " x" " " se cumple que: ( x 1) + ( 1) 0 = f( 1,1) Se trata de un paraboloide circular cuo vértice está en el punto ( 1,1, 0 ) abre hacia arriba, por lo que este punto es el mínimo absoluto de la función.

5 Ejemplo. Considérese la siguiente función: región. z = x en la 5 Ejemplo. Analizar el comportamiento de la función (, ) z f x e x = = alrededor del origen. Traza con el plano z: Traza con el plano xz : Intersección con el plano Intersección con el plano = x: = x:

6 Teorema. Sea la función z = f( x, ) continua en una región cerrada " R ". Entonces f tiene un máximo absoluto f( a, b ) un mínimo absoluto f( c, d ), donde los puntos ( ab, ) ( cd, ) pertenecen a la región " R ". Esto significa que: (, ) (, ) (, ) (, ) m = f c d f x f a b = M x R Teorema. Sea una función z f( x, ) vecindad de (, ) = continua en una x0 0. Si esta función presenta un extremo x = x =, entonces es condición relativo para 0 0 necesaria que las derivadas parciales de primer orden z z se anulen o no existan en (, ) x x. 0 0 =, entonces la función f( x, ) Prueba. Si se fija un valor 0 0 depende de una sola variable, " x ". Dado que la función tiene un extremo (máximo o mínimo) en x = x0, entonces se puede escribir que: (, ) f ( x, ) df x dx 0 = = x x= x0 ( x0, 0) de acuerdo con lo estudiado en el cálculo con una variable. De modo semejante se puede demostrar que (, ) f x ( x, ) 0 0 = 0 0 o no existe o no existe 6

7 Definición. Sea z f( x, ) región " R ". A los puntos ( x, ) = una función continua en una R, donde las primeras z z se anulan o no existen, se les derivadas parciales x denomina puntos críticos o puntos estacionarios de f. 7 Ejemplo. Obtener los puntos críticos de la función z = x 3x+ 3 3 z x

8 8 Ejemplo. Obtener los puntos críticos de la función 3 z = 3x 3 3x + 1

9 Ejemplo. Obtener los puntos críticos de la función ( 4 ) 1 x z = x + e 9 z x

10 10 Ejemplo. Obtener los puntos críticos de la función (, ) ( 1 3 ) ( 4) z = f x = x Ejemplo. Obtener los puntos críticos de la función (, ) ln( ) z = f x = x +

11 Ejemplo. z x Obtener la derivada direccional de la función 1,1 en la dirección del vector = 4 en el punto ( ) u= i+ j. Hacer esto de dos maneras diferentes. 1 x = 1+ t 1 1 u = ; ; z() t = t + t = 1+ t 1 z = 4 1+ t z' () t = t z' () t = 1+ t Otra forma: z' ( 0) =.88 z = xi j z = i j ( 1,1 ) u 1 1 w = = i+ j u 1 1 Df w = w Df w = (, ), Df w =.88 11

12 1 Criterio de la segunda derivada para determinar máximos mínimos Teorema. Sean: - una función con segundas derivadas parciales f : continuas en una región cerrada " R " del plano " x ". x, un punto crítico de la función, contenido en " " -( 0 0) R. - u = ( u1, u) un vector unitario en el plano " x ". - Du f( x0, 0) la segunda derivada direccional de f( x, ) valuada en ( x, ). Entonces: 0 0 i) f( x0, 0) es un máximo relativo si u ( 0 0) ii) f ( x0, 0) es un mínimo relativo si u ( 0 0) iii ) f( x, ) es un punto silla si (, ) 0 0 u Df x, < 0 Df x, > 0 Df x cambia de 0 0 signo para diferentes direcciones de u iv) El criterio no decide si Df( x, ) = 0 u 0 0 Prueba. La demostración parte de tomar en consideración el criterio de la segunda derivada para el caso de una variable independiente. Una forma de expresar a la derivada direccional es la siguiente: d Df u ( x0, 0) = f( x0 + ut 1, 0 + ut ) dt = expresión que, como se observa, es una derivada ordinaria en términos de " t ". La segunda derivada direccional está dada por: t 0

13 d Df x f x ut ut u (, ) = ( +, + ) 0 0 dt t = 0 Como u ( 0, 0) cumplirse que si ( 0, 0) Df u ( x0, 0) < 0. Si ( 0, 0) Df u ( x0, 0) > 0. Y el criterio no decide si u ( 0 0) Nótese que esto se cumple para cierta dirección u = ( u, u ) Df x es una segunda derivada ordinaria, debe f x es una máximo relativo, entonces f x es un mínimo relativo, entonces 13 Df x, = Si el vector u es variable las desigualdades anteriores se conservan, entonces se cumple lo que establece el teorema. Y si las desigualdades cambian al cambiar u, entonces se trata de un punto silla. Y queda demostrado el teorema. Teorema. Sean: - una función con segundas derivadas parciales f : continuas en una región cerrada " R " del plano " x ". -( x0, 0) un punto crítico de la función, contenido en " " g x, = f x, f x, f x, - ( ) ( ) ( ) ( ) Entonces: 0 0 xx x 0 0 i) f( x0, 0) es un máximo relativo si ( 0 0) fxx ( x0, 0) < 0 ( f ( x0, 0) < 0) ii) f ( x0, 0) es un mínimo relativo si ( 0 0) fxx ( x0, 0) > 0 ( f ( x0, 0) > 0) iii) f ( x0, 0) es un punto silla si g( x0, 0) < 0 iii) El criterio no decide si g( x, ) = R. g x, > 0 g x, > 0

14 14 Prueba. La primera derivada direccional se puede escribir como: (, ) (, ) (, ) Df x = f u= f f u u = uf + uf u x 1 1 x la segunda derivada direccional equivale a: ( ) Df x, = uf + uuf + uf u 1 xx 1 x Se toma f xx como factor común se obtiene: f D f( x, ) = f u + uu + u x u xx 1 1 fxx Se completa el trinomio cuadrado perfecto : D f x f u uu f u f u f u f fx u Duf( x, ) = f xx u1 + u + ( fxxf fx) fxx fxx f x x x u (, ) = xx fxx f f xx fxx xx Esta expresión se cumple siempre cuando 0 xx Si se hubiera factorizado f f xx f se tendría que, para f 0 f u D f x f u u f f f x 1 (, ) = ( ) u xx x f f Se observa que el signo de la segunda derivada direccional depende de la expresión por una parte del signo f f xx de f xx (o de f ) por la otra. Si se hace g( x ) = f f f se aplica el teorema anterior, se tiene que:, xx x f x

15 ( ) i) g x, > 0 el signo de 0 0 de f xx o f como sigue: Df depende del signo f xx < 0 (o f < 0 ) Df u < 0 máximo relativo f xx > 0 (o f > 0) Df u > 0 mínimo relativo ii) g( x0, 0) < 0 existen direcciones para las cuales D < 0 direcciones para las que D > 0. Por lo tanto se u tiene un punto silla. ( ) iii) g x0, 0 = 0 el signo de únicamente del signo de f o de u u Df u 15 depende xx f pero cuando menos habrá una dirección en donde se anule el primer sumando, lo que hace cero a Df entonces el criterio no decide. u Ejemplo. Determinar la naturaleza de los puntos críticos de la siguiente función: 3 z = 3x 3 3x + 1 En un ejemplo anterior se obtuvieron los puntos críticos que son: ( 0,0,1 ), ( 0,, 3 ), ( 3, 1, 3 ), ( 3, 1, 3)

16 16 Ejemplo. función: Determinar los extremos relativos de la siguiente 3 (, ) 4 z = f x = x x+

17 17 Ejemplo. Obtener los tres números cuo producto sea máximo si su suma es nueve.

18 18 Ejemplo. Una caja rectangular descansa sobre el plano " x " con un vértice en el origen. Obtener el volumen máximo de la caja cuo vértice opuesto al del origen está situado en el plano 6x+ 4+ 3z = 4.

19 19 Ejemplo. Determinar los extremos absolutos relativos, así como los puntos silla, de la función: 3 3 (, ) z = f x = x x x sobre la región limitada por 0 x 1 0 1

20 0 z x ( 1,1, 1)

21 1 Ejemplo. Obtener los extremos relativos de la función: (, ) ( ) z = f x = senx + sen + sen x + 0 x π ; 0 π

22 Criterio de la segunda derivada con la Matriz Jacobiana La segunda derivada direccional se expresa como: D f = u f + u u f + u f u 1 xx 1 x El segundo miembro es una forma cuádrica que se puede expresar matricialmente como: en donde f xx fx u T 1 Du f = u1 u = u Hu f u x f T u es la matriz transpuesta de u la matriz H fxx fx = fx f es una matriz simétrica denominada matriz hessiana, su determinante, al que se le denomina hessiano, es el siguiente: fxx fx Δ H = = fxxf f f f x x

23 3 Como H es una matriz simétrica, puede transformarse en una matriz diagonal ( ) H' = diag λ, λ 1 de acuerdo con el Teorema Espectral del álgebra lineal que afirma que toda matriz simétrica " M " se puede transformar en una matriz diagonal " D " formada por los valores característicos de " M ". Y esto se logra mediante unas matriz ortonormal " P ", formada por los vectores característicos ortonormalizados de " M " que diagonaliza a la matriz " M "; esto es, 1 T ( ) T D = P MP ; P = P Si se aplica este teorema a la matriz hessiana, se tiene que: T H' = P HP H = PH' P al sustituir este resultado en la expresión matricial de llega a: u ( ) ( ) ' T T T T D f = u PH ' P u = u P H u P T Si se hace v u P v1 v = = T D u f = v H ' v o sea λ1 0 v1 Du f = v1 v 0 λ v de donde D f = λ v + λ v u 1 1 T T Df u se, entonces se tiene que En esta expresión se ve que el signo de la segunda derivada direccional depende únicamente de los signos de los valores λ λ ; este es otro método para obtener característicos 1 los extremos relativos de una función escalar de variable

24 vectorial z f( x, ) =, el cual se puede generalizar a funciones con más de dos argumentos. Para obtener los valores característicos λ 1 λ se calcula det H λ I se iguala a cero para cada punto crítico. Los ( ) signos de λ 1 λ determinarán entonces la naturaleza del punto crítico. Ejemplo. Determinar los extremos relativos de la función 3 3 (, ) 3 z = f x = x x+ 4

25 5 z x Ejemplo. Una caja rectangular sin tapa debe ser construida para tener un volumen de fondo es de opuestos de 3 1 m. El costo del material del $ 400 / m, de $ 300 / m para dos lados $ 00 / m para los otros dos lados opuestos. Determinar las dimensiones de la caja para que el costo de los materiales empleados en su construcción sea mínimo.

26 6 Ejemplo. Verificar que el campo escalar u= x + + z 4xz tiene un punto crítico en ( 1,1,1, 1) determinar la naturaleza de dicho punto crítico, analizando los valores característicos de la matriz jacobiana.

27 7 Ejemplo. función Analizar la naturaleza de los puntos críticos de la v = 4 w x z

28 8 Ejemplo. Para conducir agua para riego a través de una barranca, es necesario construir un canal de sección trapezoidal, con hoja de un determinado tipo de lámina cuo ancho es de 80 cm. Calcular la longitud de la sección del canal en su base, así como el ángulo de inclinación de sus taludes, de tal forma que el canal tenga máxima capacidad.

29 9 Optimización de funciones con restricciones Multiplicadores de Lagrange Supóngase que se pretende obtener el máximo volumen de una caja rectangular con caras paralelas a los planos coordenados que está inscrito en el elipsoide 16x 4 9z =. En la siguiente figura se muestra en forma aproximada la parte de la caja inscrita en el elipsoide, en el primer octante. z x z + + = P( x,, z ) x

30 El volumen de la caja está dado por V = 8 xz a esta función, con tres argumentos, se le llama función objetivo a que es la que se pretende optimizar. El volumen de la caja está sujeto a la restricción 16x z = 144. Si se despeja en esta expresión a la variable " z " para tener una función del volumen en términos de dos variables independientes, se tiene que ( ) z = x 9 1 z = x 4 3 por lo que el volumen queda como 8x V = x 4 3 Como se observa, la obtención de las primeras segundas derivadas parciales se dificulta mucho. También podría darse el caso de que no sea factible despejar variables en las restricciones. Para estos casos se han desarrollado métodos especiales uno de los más convenientes es el conocido como Multiplicadores de Lagrange. Se partirá de las siguientes definiciones, considerando siempre que el número de restricciones en menor que l número de variables del problema a resolver. = = 1,,, una función n ( ) Definición. Sea z f r f( x x x ) escalar de variable vectorial, continua diferenciable, sujeta a las restricciones: ( ) ( ) ( ) g x, x,, x 0; g x, x,, x 0 g x, x,, x n 1 n m 1 n sea el problema: m< n 30

31 Optimizar z f( r) ( 1) ( ) i ( ) = sujeta a g r 0 i = 1,,, m < n Entonces: i) A este problema se le denomina problema de programación. ii) A la expresión matemática ( 1 ) de lo que se quiere optimizar se le llama función objetivo. iii) A la región formada por todos los puntos que cumplen se le llama región permisible. con las restricciones ( ) Ejemplo. Sea (,, ) 0 g x z = la ecuación de una superficie " S " que no pasa por el origen de coordenadas. Determinar los puntos de esta superficie que estén más próximos al origen. 3 Solución. Un punto ( xz,, ) está a una distancia " r " del origen sí únicamente si pertenece a la esfera x + + z = r, que es una superficie de nivel de la f x,, z = x + + z la que será función ( ) ( ) 1 minimizada (función objetivo). Si se comienza con r = 0 se va incrementando su valor, el primer punto de contacto entre la esfera " S ", será el punto más próximo de " S " al origen. La ecuación g( x,, z ) = 0, que representa a la superficie " S ", es la parte activa de la restricción. Si " S " tiene un plano tangente en un punto de contacto, este plano debe también ser tangente a la superficie de nivel de " f ". Por lo tanto, el vector gradiente de la superficie 31

32 g( x,, z ) = 0 superficie de nivel f( x,, z), debe ser paralelo al vector gradiente de la = r. Entonces existe una constante " λ " tal que f = λ g, es decir, que fx i+ f j+ fz k + λ gx i+ g j+ gz k = 0 i+ 0 j+ 0k de donde se obtienen las ecuaciones: fx + λgx = 0 f + λg = 0 f z + λg = z 0 (,, ) = 0 ; ( restricción) g x z Si se resuelve este sistema de ecuaciones, se obtienen los puntos en los que la distancia al origen es mínima. De manera semejante, con una función objetivo dos restricciones, se podría llegar a: f = λ g + λ g 1 1 al correspondiente sistema de ecuaciones: fx = λ1g1 x + λgx f = λ1g1 + λg fz = λ1g1 z + λgz g1 ( x,, z) = 0 ; restricciones g ( x,, z) = 0 ( ) que al ser resuelto deviene en los puntos críticos cua naturaleza optimizará el problema planteado. 3

33 Teorema. Sea " " continua diferenciable ( ) r0 D la región permisible de una función z = f r, un entorno o vecindad de D sujeta a las restricciones g r = k = m < n Entonces L = 0, es decir, k ( ) 0 1,,,. 33 L x i ( ) = 0 i = 1,,, n; g r = 0 k = 1,,, m < n k Estas dos expresiones forman un sistema de n+ m ecuaciones, a partir del cual pueden ser determinadas las incógnitas x1,, xn, λ1,, λm. Aquí x 1,, xn son las coordenadas del punto en el que puede haber un extremo condicionado. Conclusión. El problema de la búsqueda de un extremo condicionado se reduce al análisis del extremo corriente de la función de Lagrange, definida como: ( 1,, n, λ1,, λm) = ( 1,, n) + λk k( 1,, n) L x x f x x g x x A los escalares λ k ; k = 1,, m se les denomina Multiplicadores de Lagrange. En este método, las condiciones necesarias para la existencia de un extremo condicionado se expresan por medio del sistema de n+ m ecuaciones L x i ( ) = 0 i = 1,,, n ; g r = 0 k = 1,,, m < n Ahora se presentarán algunos problemas para aplicar este método o el criterio de la segunda derivada. k m k= 1

34 34 Ejemplo. Calcular tres números positivos cua suma sea 1 cuo producto sea máximo. Ejemplo. Determinar las dimensiones del paralelepípedo rectangular de máximo volumen que se puede inscribir en el elipsoide x z = 36.

35 35 Ejemplo. Se tiene un plano en el espacio 3 cua ecuación es z = 6 4x 3. Determinar los extremos condicionados de x + = 1. este plano en su intersección con el cilindro

36 36 Ejemplo. Obtener la distancia mínima que existe entre el origen la recta de intersección de los planos x+ z = 4 x+ = 8.

37 Ejemplo. Determinar los extremos absolutos de la función en la región x 4 ( ) f x, = x 3 criterio de la segunda derivada Resolver con Lagrange con el 37

38 38 Ejemplo. Para conducir agua para riego a través de una barranca, se desea construir un canal de sección trapezoidal con hojas de un cierto tipo de lámina. Si el ancho de las hojas es de 4 pulgadas, calcular la longitud de la sección en su base, así como el ángulo de inclinación de sus lados, de tal forma que el canal tenga capacidad máxima.

39 39 Ejemplo. Determinar el máximo absoluto el mínimo absoluto f x, = x x+. de la función ( )