Soluciones de los ejercicios del examen de Análisis Matemático Primer curso de Ingeniería Informática - Febrero de 2005

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1 Soluciones de los ejercicios del examen de Primer curso de Ingeniería Informática - Febrero de 25 Ejercicio. A Dados los puntos A, y 2,2, calcula el camino más corto para ir de A a pasando por un punto x, del eje de abscisas. Debes de justificar que el mínimo calculado es un mínimo absoluto. Solución. Hay que calcular el mínimo absoluto de la función fx x x x en el intervalo [,2]. Como la función f es continua y [,2] es un intervalo cerrado y acotado, el teorema de valores máximos y mínimos de Weierstrass nos asegura que tiene que haber algún punto x [,2] en el cual la función f tiene un mínimo absoluto en [,2], es decir, fx fx para todo x [,2]. Dicho punto x es el que debemos calcular. El punto x puede ser uno de los extremos del intervalo o un punto interior del intervalo. Como la función f es derivable en todo R y, en particular, es derivable en ],2[ los extremos relativos de f en ],2[ deben ser ceros de la derivada f. Tenemos que f x x x x 2 x x x x 2 x x x Por tanto, los ceros de la derivada son los puntos que verifican la igualdad x x x x x 2 x x 2 2 x x 2 x x 2 x 2 2 x 2 + 9x 2 2 4x 2 9x 2 2 5x 2 6x+6 x 6 ± ± ± 24 Obtenemos así que la derivada se anula en el punto x 6 que queda fuera del intervalo [,2] y no nos interesa, y en el punto x 6/5 [,2]. Para ver si en este punto hay un extremo absoluto de f en [,2] estudiaremos la variación de f en dicho intervalo. Como para todo x [,x [ y para todo x ]x,2] se tiene que f x, y f es continua, el teorema de olzano implica que f tiene signo constante en cada uno de esos intervalos. Como f < y f 2 > se sigue que f x < para todo x [,x [ f es estrictamente decreciente en [,x ] f x > para todo x ]x,2] f es estrictamente creciente en [x,2]

2 Ejercicios del examen del 4 de febrero de 25 2 Tenemos por tanto que: x [,2] { x [,x ] fx fx x [x,2] fx fx } fx fx Hemos probado así que la función f alcanza un mínimo absoluto en [,2] en el punto x 6/5. Ejercicio 2. Sea F : R R la función definida por Fx a Calcula razonadamente F x, para x R. b Calcula el límite lím x Fx x x 2. x e t 2 dt. c Calcula una aproximación de F/2 de Taylor de orden 4 de F en a. /2 e t 2 dt mediante P 4 /2, donde P 4 x es el polinomio Solución. a Como la función ft e t 2 es continua en todo R, el Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que la función Fx x ftdt es una primitiva de f, es decir, F x fx e x2. b Usando la regla de L Hôpital, puesto que se trata de una indeterminación del tipo /, tenemos que Fx x F x lím x x 2 lím x 2x 2 lím e x2 x x donde en el último paso hemos tenido en cuenta que el límite e x2 lím x x es, por definición, la derivada en a de la función fx e x2 y, por tanto, es igual a f. Alternativamente, puede aplicarse otra vez la regla de L Hôpital para calcular dicho límite porque sigue siendo una indeterminación del tipo /. c Tenemos que Como F x e x2, F x 2xe x2, F x 2+4x 2 e x2, F 4 x 2x 8x e x2 P 4 x F+F x+ F x 2 + F 2! Obtenemos fácilmente que P 4 /2 que es la aproximación pedida F4 x 4 x x 4!

3 Ejercicios del examen del 4 de febrero de 25 Ejercicio. Sea Γ la curva intersección de la esfera x 2 + y 2 + z 2 y el plano x+y+z. Calcula los puntos de Γ que están más cerca y más lejos del punto,2,. Justifica que los resultados obtenidos son valores máximos y mínimos absolutos. Solución. Se trata, claro está, de un problema de extremos condicionados pues nos piden calcular el mínimo y el máximo absolutos de la función x 2 +x 2 2 +z 2, que nos da la distancia de un punto x,y,z al punto,2,, cuando el punto x,y,z está en la circunferencia intersección de la esfera x 2 + y 2 + z 2 con el plano x+y+z. A efectos de cálculo, podemos ignorar la raíz cuadrada y considerar la función fx,y,z x 2 +x 2 2 +z 2 Tenemos dos condiciones. Formamos la función de Lagrange. Fx,y,z,λ,µ x 2 +x 2 2 +z 2 + λx 2 + y 2 + z 2 +µx+y+z Calculamos los puntos críticos de la función de Lagrange. x 2x +2λx+µ y 2y 2+2λy+µ 2 z 2z +2λz+µ λ x2 + y 2 + z 2 4 µ x+y+z 5 Haciendo la diferencia entre las ecuaciones y 2, y entre las 2 y obtenemos: x y2λ+2+2 y z2λ+2+2 Estas ecuaciones implican que 2λ+2 y también que x y2λ+2 y z2λ+2, por lo que obtenemos que x y y z, es decir, x 2y z. Sustituyendo esta igualdad en la ecuación 5, resulta y, por lo que y /. Por tanto la ecuación 5 implica que x+z 2/, esto es, z 2/ x. Sustituyendo en la ecuación 4 obtenemos que x / x2 9x 2 6x 2 x ± Conocido el valor de x calculamos z por la igualdad z 2/ x. Obtenemos así los puntos + A,,,,, + Como la función f es continua y la curva Γ es un conjunto cerrado coincide con su frontera y acotado está contenido en la esfera unidad, es decir, Γ es un compacto en R, el teorema de Weierstrass de

4 Ejercicios del examen del 4 de febrero de 25 4 valores máximos y mínimos asegura que tiene que haber puntos en Γ donde la función f alcance un máximo y un mínimo absolutos. Sabemos también, por el teorema de Lagrange para el cálculo de extremos condicionados, que dichos extremos deben ser puntos críticos de la función de Lagrange. Concluimos que los puntos buscados tiene que ser necesariamente los puntos A y. Para saber cuál de ellos es el máximo y cuál es el mínimo absolutos evaluamos la función an ambos puntos y obtenemos fa + 4, f 4 Concluimos que en el punto A es el punto de Γ que está más lejos del punto,2, y el punto es el punto de Γ que está más cerca del punto,2,. Ejercicio 4. Calcula el volumen de la región de R situada sobre el plano XY, que queda bajo la gráfica de la función z 4 x2 y 2 x 2 + y 2 /2, es interior al cilindro x 2 + y 2 y exterior al cilindro x 2 + y 2. Solución. Representemos con la letra Ω la región de R que se describe en el enunciado. Dicha región es un conjunto de tipo I en R pues, representando por A el conjunto de R 2 dado por A { x,y R 2 : x 2 + y 2, x 2 + y 2 } proyección de Ω sobre el plano XY tenemos que Ω {x,y,z R : x,y A, z 4 x2 y 2 } x 2 + y 2 /2 Por tanto el volumen de Ω viene dado por la integral I A 4 x 2 y 2 x 2 + y 2 dx,y /2 la cual se calcula fácilmente. Pasando a coordenadas polares tenemos que I 4 ρ 2 ρ ρdρ,ϑ 4 ρ dρ, ϑ

5 Ejercicios del examen del 4 de febrero de 25 5 Figura : El conjunto A donde es el conjunto dado por { ρ,ϑ R + ] π,π[: ρ,ρsenϑ A } { ρ,ϑ R + ] π,π[: ρ 2 } Por tanto { ρ,ϑ R + ] π,π[: ρ 2, /2 } {ρ,ϑ : ρ 2, π/ ϑ π/} 4 ρ dρ,ϑ π/ π/ [ 2 π/ π/ 4 ρ dρ ] dϑ π/ π/ [ 2 4 ] ρ2 dϑ ρ ρ dϑ π 2 2 π/ π/ dϑ Todo lo que queda es calcular la integral última. Se trata de una típica y sencilla integral racional trigonométrica que es impar en coseno. Sabemos que el cambio de variable senϑ t la racionaliza. Aprovechamos también que la función coseno es par. π/ π/ π/ dϑ 2 cos 2 ϑ dϑ 2 [senϑ t] 2 [ log +u u /2 π/ ] u /2 u sen 2 ϑ dϑ u 2 du /2 +u + u 2+ log 2 du Finalmente obtenemos I π log 2

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