Funciones Vectoriales

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1 Pntoj Crhuvilc Cálculo

2 Agend Algebr de Función Algebr de Función

3 Consideremos un prtícul en movimiento sobre un plno. Su posición en un determindo instnte t viene determindo por dos coordends x(t) e y(t) que depende de t. Si l prtícul se mueve en el espcio su posición qued determind por tres coordends x(t), y(t) y z(t) dependientes de t. En el primer cso l posición de l prtícul se describe medinte un vector de dimensión dos cuys componentes depende de t y en el segundo cso medinte un vector de tres coordends cuys componentes están en función de t. Esto nos llev considerr un tipo nuevo de funciones. 3 Algebr de Función

4 4 Algebr de Función

5 (Definición) Un función de l form r(t) = f (t) i + g(t) j Plno ò r(t) = f (t) i + g(t) j + h(t) k Espcio es un función, donde ls funciones componentes f, g y h son funciones del prmetro t. Tmbién se denotn como r(t) = (f (t), g(t)) ó r(t) = (f (t), g(t), h(t)) 5 Algebr de Función

6 Ejemplos 1. Se r : I R R 3 tl que r(t) = (1 2t, 3 + t, 1 + t) 2. Se r : I R R 3 tl que r(t) = ( cos t, b sin t3 + t, t) 3. Se r : I R R 4 tl que r(t) = ( t, t 2, t 3, 2t + 1 ) 4. Se r : I R R 3 tl que r(t) = t, t 2, 3 1 t2 25 t4 6 Algebr de Función

7 Ejemplos 1. Hllr l función que describ los límites de l región 7 Algebr de Función 2. Hllr un función cuyo domio se el intervlo [ 3, 3] y cuyo rngo se el triángulo de vértice (1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)

8 Dominio y Rngo Dd l función r : I R R n r(t) = (r 1 (t), r 2 (t),..., r n (t)) Donde r i : I R i {1, 2,..., n} Definición (Dominio) { } n Dom(r) = t I R / t Dom(r i ) i=1 8 Algebr de Función Definición (Rngo) Rng(r) = {(r 1 (t), r 2 (t),..., r n (t) / t Dom(r)}

9 Ejemplo Ejemplo Dd l función Hllr el dominio. r(t) = ( 9 t 2, 1 ) t 2 5t + 6, t [[t]] 9 Algebr de Función

10 Algebr de Definición Se r y u funciones es con dominios Dom(r) y Dom(u) respectivmente φ es un función rel con Dom(φ) entonces 1. (r ± u)(t) = r(t) ± u(t) Dom(r ± u) = Dom(r) Dom(u) 2. (r.u)(t) = r(t).u(t) Dom(r.u) = Dom(r) Dom(u) 3. (φ.r)(t) = φ(t).r(t) Dom(φ.r) = Dom(φ) Dom(r) 4. (r u)(t) = r(t) u(t) Dom(r u) = Dom(r) Dom(u) Pr R 3 10 Algebr de Función

11 Definición Decir que lim t r(t) = L signific que, pr cd ɛ > 0 dd existe un δ > 0 tl que r(t) L < ɛ, siempre que 0 < t < δ, es decir, 0 < t < δ r(t) L < ɛ Algebr de 11 Función Ejemplo ( ) Demuestre que lim t, t = (1, 2) t 1

12 Teorem Si r(t) = (f (t), g(t), h(t)) entonces lim r(t) = (lim f (t), lim g(t), lim h(t)) t t t t siempre que existn los límites de ls funciones componentes. Ejemplo Dd l función r(t) = Evlur lim t 0 r(t) ( t sin t, 2 ) t, [[t2 1]] Algebr de 12 Función

13 Teorem Si u y v son dos funciones es tles que lim lim v(t) existen, se cumple t 1. lim (u + v)(t) = lim u(t) + lim v(t) t t t 2. lim (u.v)(t) = lim u(t). lim v(t) t t t 3. lim (u v)(t) = lim u(t) lim v(t) t t t t u(t), Algebr de 13 Función

14 Función Definición Se r un función, se dice que r es un función continu en si: 1. r() está definid 2. lim r(t) existe t 3. lim r(t) = r() t Algebr de 14 Función Si lgun de ls tres condiciones no cumple entonces l función no es continu en.

15 Teorem Un función r es continu en el punto r(t) = (r 1, r 2,..., r n ) si y solo si cd r n : R R es continu en. Algebr de 15 Función

16 Definición Se r un función cuyo dominio se un intervlo I. L derivd de r en t I es el vector r r(t + t) r(t) (t) = lim t 0 t siempre que el límite exist, en cuyo cso se dice que r es diferencible en t. Algebr de Función 16

17 Teorem Se r(t) = (f (t), g(t), h(t)), donde f, g y h son funciones diferencibles, entonces r (t) = (f (t), g (t), h (t)) Algebr de Función 17

18 Definición (Vector Velocidd) El vector no nulo r (t) se le llm vector velocidd de l curv C en el punto r(t). Si un función r : I R R 3 describe el movimiento de un prticul durnte un intervlo de tiempo I = [, b], entonces r (t) es l velocidd y r (t) es l rpidez de l prtícul en el instnte t. Algebr de Función 18

19 Teorem Supongmos que u y v son funciones es diferenciles, c es un esclr y f es un función rel. Entonces: d 1. dt [u(t) + v(t)] = u (t) + v (t) d 2. dt [cu(t)] = cu (t) d 3. dt [f (t)u(t)] = f (t)u(t) + f (t)u (t) d 4. dt [u(t).v(t)] = u (t).v(t) + u(t).v (t) d 5. dt [u(t) v(t)] = u (t) v(t) + u(t) v (t) d 6. dt [u(f (t))] = u (f (t))f (t) d 7. dt [ u(t) ] = u(t).u (t), u(t) 0 u(t) Algebr de Función 19

20 Ejercicio Utilizndo sus motores un nve espcil describe el movimiento: r(t) = (3 + t, 2 + ln t, 4 t ) Se dese que llegue l estción ubicd en P=(6,4,9), en usenci de fuerzs grvitcionles. Cuándo hy que pgr los motores?. Cuál es el vlor de?. Algebr de Función 20

21 Curvs Definición Se dice que un curv C R n es un curv prmetrizd, si existe un función α : [, b] R n tl que α([, b]) = C. A α(t) = (α 1 (t), α 2 (t),..., α n (t)) se le llm prmetrizción de l curv C. Algebr de Función 21

22 Se C un curv tl que α([, b]) = C, α : [, b] R n Definición Un curv α es un con puntos dobles si α no es inyectiv en [, b], o equivlentemente, si existen t 1, t 2 [, b], t 1 t 2 tles que α(t 1 ) = α(t 2 ). Algebr de Función 22

23 Ejemplos 1. Un curv C prmetrizd por α(t) = (t 2, t 3 t), t R 2. Un curv C prmetrizd por cos 3t sin 3t α(t) = (cos t, sin t ), t [ π, π] 2 2 Algebr de Función 23

24 Definiciones Definición Se dice que C es un curv simple sino posee puntos dobles. Definición Se dice que C es un curv cerrd si α() = α(b). Definición Se dice que C es un curv suve o regulr si posee prmetrizción α tl que α (t) 0 pr todo t [, b] Algebr de Función 24

25 Ejemplos Ejemplo Se α : [0, 3π] R 2 definid por no es un curv regulr. α(t) = (t sin(t), 1 cos t) Algebr de Función 25

26 Definición Se l función diferencil r = (r 1, r 2,..., r n ) continu en [, b], entonces b donde r(t)dt = ( b b ) b r 1 (t)dt, r 2 (t)dt,..., r n (t)dt r(t)dt = g(t) + c Algebr de Función 26 Si g (t) = r(t)

27 Primer Teorem Fundmentl del Cálculo Definición Se r : [, b] R n un función continu en [, b], entonces l función F definid por F(t) = t r(t)dt es derivble y F (t) = r(t) t [, b] t b Algebr de Función 27

28 Segundo Teorem Fundmentl de Cálculo Definición Se r : [, b] R n uns función con derivds integrbles entonces b r (t)dt = r(b) r() Algebr de Función 28

29 Propieddes Sen r, u : [, b] R n funciones es integrbles y c = (c 1, c 2,..., c n ) un vector constnte b b b b αr(t)dt = α b (r(t) ± u(t))dt = b (c.r(t))dt = c c r(t)dt = c r(t)dt b r(t)dt b α R b r(t)dt ± u(t)dt r(t)dt solo en R 3 5. Si r(t)(t) es integrble en [, b], tenemos que b b r(t)dt r(t) dt Algebr de Función 29

30 Diferencil de un Función Se r : [, b] R R n tl que r(t) = (r 1 (t), r 2 (t),..., r n (t)), definiremos el incremento de r en el punto t 0 r(t 0 ) = r(t 0 + h) r(t 0 ), Interpretción pr n = 3 t 0, t 0 + h I Algebr de Función 30

31 Continución... Si definimos r(t 0 + h) r(t 0 ) r φ(t 0 ; h) = (t 0 ), h 0, si h = 0 si h 0 entonces se puede escribir r(t 0 ; h) = r(t 0 + h) r(t 0 ) = hr (t 0 ) +hφ(t 0 ; h) }{{} dr(t 0 ) Algebr de Función 31

32 Continución... r(t 0 + h) = r(t 0 ) + dr(t 0 ) + hφ(t 0, h) Si lim hφ(t 0, h) = 0 r(t 0 ) dr(t 0 ) h 0 r(t 0 + h) r(t 0 ) + dr(t 0 ) r(t 0 + h) r(t 0 ) + r (t 0 ).h Al vector hr (t 0 ) se denomin el diferencil de r en t 0 hr (t 0 ) = dr(t 0 ) = r (t 0 )dt Algebr de Función 32 Ejemplo Si r(t) = (sin t, t 3 2, e 4t 1), proximr r(0.25)

33 Longitud de Arco Teorem Si C es un curv suve dd por r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, en un intervlo [, b], entonces l longitud de rco de C en el intervlo es s = b b [x (t)] 2 + [y (t)] 2 + [z (t)] 2 = r (t) dt Algebr de Función Ejemplo Hllr l longitud de rco de l hélice circulr r(t) = (cos t, sin t, t) desde el punto (1, 0, 0) l punto (1, 0, 2π) 33

34 Prmetro Longitud de Arco Pr estudir ls propieddes geométrics de un curv, el prámetro decudo es menudo l longitud de rco S. Definición Se C un curv suve dd por r(t) definid en [, b], l función longitud de rco está ddo por s(t) = t r (t) dt t [, b] Algebr de Función A l longitud de rco s se llm prmetro longitud de rco. Notción: 34 ds dt = s (t) = r (t)

35 Ejemplo Se C un curv descrit por l función r(t) = (3 3t, 4t), 0 t 1, describir l curv C en términos de l longitud de rco. Not: Si t es culquier prmetro tl que r (t) = 1, entonces t es prámetro longitud de rco. Algebr de Función 35

36 Ejercicio Un tryectori está dd por l función ( ) 2 g(s) = s rctn(s), 2 ln(s2 + 1), rctn(s) Determinr si el prmetro s es l longitud de rco. Algebr de Función

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