PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DISCRETAS

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1 PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DISCRETAS Objetivos generales del tema En este tema definiremos y discutiremos diversas e imortantes distribuciones discretas, es decir, funciones masa de robabilidad o funciones de distribución corresondientes a variables aleatorias discretas. Veremos las roiedades más imortantes. Distribución de Bernoulli. Distribución Binomial. Distribución Binomial Negativa. Distribución Hiergeométrica. Distribución de Poisson. Princiales contenidos 1

2 1 Introducción Recordemos que una variable aleatoria X tiene una distribución de robabilidad discreta (o simlemente una distribución discreta) si: P (X = x i )= ½ i si x = x i (i =1, 2,...) 2 Distribución de Bernoulli con i 0 y P i i =1 La distribución de Bernoulli es una distribución que toma dos valores (1 y0) con robabilidad y 1. Habitualmente esta distribución aarece en exerimentos donde se identifica el suceso 1=EXITO y 0=FRACASO. Definición 1 Una v.a. X tiene una distribución de Bernoulli si (ara algún con 0 1) P (X =1) = P (X =0) = 1 Ejemlo 2 La v.a. que define el exerimento lanzamiento de una moneda sigue una distribución de Bernoulli de arámetro. Donde es la robabilidad del suceso de interés, cara o cruz. PROPIEDADES Distribución de Bernoulli de arámetro Media µ E (X) = Varianza σ 2 Var(X) = (1 ) Desviación Tíica σ (1 ) 3 Distribución Binomial La distribución Binomial de arámetro n y (Bi(n, )) surge como una secuencia n intentos del tio de Bernoulli que verifica: Losintentossonindeendientes. Cada resultado del intento uede tomar únicamente dos resultados mutuamente excluyentes, que denotaremos or EXITO (E) o FRACASO (F). La robabilidad de éxito (y or lo tanto la de fracaso) es constante en cada intento. Así cada intento, definiendo = P (EXITO) y asignando el valor 0 cuando ocurre F y el valor 1 cuando ocurre E, se uede describir como una distribución de Bernoulli de arámetro. 2

3 Definición 3 Una v.a. X tiene una distribución Binomial si (ara algún entero ositivo n yalgún con 0 1) mide X = "n o de éxitos de un total de n si la robabilidad de éxito es " µ n P (X = k) = k (1 ) n k si k =1, 2,...,n k Distribución Binomial n =25, =0.25. La forma de la distribución binomial va aumentando hasta m =(n +1) y desués comienza a bajar. Una v.a. binomial uede ser considerada como una suma de n variables aleatorias de Bernoulli de arámetro, es decir, como la variable indicadora del número de éxitos en n ruebas de Bernoulli, es decir, si denotamos or X i el i-ésimo intento de Bernoulli, entonces, X = P n i=1 X i. Observación 4 La distribución de Bernoulli es un caso articular de la distribución Binomial con n =1. Proosición 5 Si X tiene la distribución Binomial con n (número de intentos) y (robabilidad de éxito que denotaremos or X Bi(n, )) entoncesla variable Y = n X, que reresenta el número de fracasos, es una variable de Binomial con n (número de intentos) y robabilidad de éxito 1. PROPIEDADES X Bi(n, ) Y = n X Bi(n, 1 ) Distribución Binomial de arámetros n y Media µ E (X) =n Varianza σ 2 Var(X) =n (1 ) Desviación Tíica σ n (1 ) 3

4 Ejemlo 6 En una fábrica hay 12 máquinas. Cada una de ellas está averiada un día de cada 10. Cuál es la robabilidad de que un determinado día haya más de 3 máquinas averiadas? Sea la variable X ="n o de máquinas averiadas de un total de 12 si P (avería) = 0, 1" Bi(n =12,=0.1). P (X >3) µ = 1 P (X 3) = 1 [P µ (X =0)+P (X =1)+P (X =2)+P (X =3)]= 12 = (1 0.1) (1 0.1) µ 0 µ (1 0.1) (1 0.1) = = La v.a. binomial está tabulada ara valores equeños de n. Hay tablas que dan la función de masa de robabilidad P (X = k) o bien la función de distribución P (X k), aunque sólo vienen ara valores Distribución Binomial Negativa La distribución Binomial Negativa de arámetro r y (BN (r, )) surge como una secuencia infinita de intentos del tio de Bernoulli que verifican: La secuencia de intentos es indeendiente. Cada resultado del intento uede tomar únicamente dos resultados mutuamente excluyentes, que denotaremos or EXITO (E) o FRACASO (F). La robabilidad de éxito (y or lo tanto la de fracaso) es constante en cada intento. Los intentos continúan (se ejecutan) hasta que un total de r éxitos se hayan observado. Así cada intento, definiendo = P (EXITO) y asignando el valor 0 cuando ocurre F y el valor 1 cuando ocurre E, se uede describir como una distribución de Bernoulli de arámetro. Definición 7 Una v.a. X tiene una distribución Binomial Negativa si (ara algún entero ositivo r y algún con 0 1) X = "n o de fracasos hasta el r ésimo éxito si = P (EXITO) " µ r + k 1 P (X = k) = r (1 ) k si k =0, 1, 2,... k 4

5 Proosición 8 Si X tiene la distribución Binomial Negativa con r (número de éxitos) y (robabilidad de éxito) que denotaremos or X BN (r, ) entonces la variable Y = X + r, que reresenta el número de ruebas ara del éxito r-ésimo, tiene una distribución relacionada con X or: µ k 1 P (Y = k) =P (X = k r) = r (1 ) k r si k = r, r +1,r+2,... k r Observación 9 La distribución Binomial Negativa con r =1es conocida en la literatura or distribución geométrica de arámetro y mide el número de fracasos antes del rimer éxito. PROPIEDADES Distribución Binomial Negativa de arámetros r y (1 ) Media µ E (X) =r Varianza σ 2 (1 ) Var(X) =r 2 r (1 ) Desviación Tíica σ 5 Distribución Hiergeométrica La distribución Hiergeométrica de arámetros k, n y N (HG(k, n, N)) surge en situaciones en donde el modelo aroximado de robabilidad se corresonde con muestreo sin reemlazamiento de una oblación dicotómica (Exito y Fracaso) finita. Concretamente, las suosiciones que llevan a considerar esta distribución son: La oblación o conjunto donde deba hacerse el muestreo consta de N individuos o elementos a seleccionar. Cada individuo uede ser caracterizado como un éxito (E) o fracaso (F). Se selecciona una muestra de n individuos de entre los k individuos marcados como éxito y los N k restantes marcados como fracaso. Hay selección equirobable en cada aso. Definición 10 Una v.a. X tiene una distribución Hiergeométrica si (ara algunos enteros ositivos k, n y N) X = "n o de individuos de un total de n con cierta característica (éxito) si en N hay un total de k" 5

6 P (X = x) = µ µ k N k x n k µ si max {0,n (n k)} x min (n, k) N n Proosición 11 Podemos aroximar la distribución Hiergeométrica a la distribución Binomial, uesto que cuando N es grande (N > 10n) odemos suoner que X Bi(n, ) con = k N. PROPIEDADES Distribución Hiergeométrica de arámetros k, n y N Media µ E (X) =n Varianza σ 2 Var(X) =nq N n Desviación Tíica σ r nq N n N 1 N 1 Ejemlo 12 De cada tornillos fabricados or una determinada máquina hay 2 defectuosos. Para realizar el control de calidad se observan 150 tornillos y se rechaza el lote si el número de defectuosos es mayor que 1. Calcular la robabilidad de que el lote sea rechazado. Sea X ="n o de defectuosos de un total de n =150si en N =2.000 hay un total de k =2" HG(k =2,n= 150,N =2.000) Se ide P (X >1) = 1 [P (X =0)+P (X =1)]= µ µ µ µ = µ + µ Como los cálculos son comlicados, se va a aroximar la v.a. X or una binomial Bi n = 150,= =0.001 P (X µ >1) = 1 [P (X =0)+P (X =1)]= µ 150 = ( ) ( ) Distribución de Poisson Consideremos sucesos ("éxitos") que ocurren aleatoriamente a lo largo del tiemodysealav.a. X ="n o de sucesos en el intervalo de tiemo (0,t)". La distribución de Poisson de arámetro λ surge en los llamados rocesos de Poisson que se resenta en relación con el acontecimiento de éxitos de un tio articular 6

7 durante un intervalo continuo de tiemo. Las suosiciones de un roceso de Poisson, durante un intervalo de tiemo que emieza en t =0son: Existe un arámetro λ tal que ara cualquier intervalo corto de tiemo 4t, la robabilidad de que ocurra exactamente un éxito es λ4t. La robabilidad de que se roduzca más de un éxito en el intervalo 4t es o (4t) 1. El número de éxitos ocurrido en un intervalo 4t es indeendiente del número ocurrido antes de este intervalo de tiemo. Definición 14 Una v.a. X tiene una distribución de Poisson si (ara algún λ con λ 0) X = n o de éxitos en un intervalo de tiemo si el n o medio es λ λ λk P (X = k) = e si k =0, 1, 2,... k! Proosición 15 Sea X Poisson(λ 1 ), Y P oisson (λ 2 ) indeendientes, entonces la variable X + Y Poisson(λ 1 + λ 2 ) Proosición 16 Se uede considerar que una v.a. Poisson(λ) es límite de una binomial Bi(n, ) si <0.1 y n < 5 Proosición 17 La distribución de Poisson resenta su máximo en los untos x = λ y x = λ 1. 1 Definición 13 o (4t) si o(4t) lim =0 t 4t 7

8 PROPIEDADES Distribución de Poisson de arámetros λ Media µ E (X) =λ Varianza σ 2 Var(X) =λ Desviación Tíica σ λ Ejemlo 18 En un taller se averían una media de 2 máquinas a la semana. Calcula la robabilidad de que no haya ninguna avería en una semana. Y de que haya menos de 6 en un mes? Sea X ="n o de averías en una semana si de media hay λ =2" Poisson(λ =2). Entonces 2 20 P (X =0)=e 0! =0.14 Sienunasemanahay2averíasdemedia,entoncesenunmeshay2 4 =8 averías de media. Sea entonces Y ="n o de averías en un mes si de media hay λ =8" Poisson(λ =8) P (Y 5) = P (Y =0)+ + P (Y =5)=e + + e 2 0! 5! =