Capítulo Estimación del modelo de Nelson y Siegel Introducción Estimación del modelo de Nelson y Siegel

Transcripción

1 Capítulo Estmacón del modelo de Nelson y Segel Introduccón Estmacón del modelo de Nelson y Segel Tratamento prevo a la estmacón Defncón del crtero de optmzacón Procedmento de estmacón del vector de parámetros del modelo Bondad de ajuste Formas de las curvas

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3 Capítulo 4 Estmacón del modelo de Nelson y Segel 4.1. Introduccón Tal como se ha señalado en el prmer capítulo, el modelo que defne la curva de tpos de nterés vendrá determnado por el objetvo de análss que se desee realzar. En el campo fnancero, se aplcan dstntos métodos para estmar los tpos forward. La fnaldad radca en consegur la precsón adecuada en la determnacón de los tpos de nterés. Sn embargo, para el análss de polítca monetara es más mportante captar la tendenca de la estructura temporal, no sendo necesara una precsón tan rgurosa. Ello permte ncrementar la smplcdad en la estmacón. Tanto el modelo de Nelson y Segel (1987) como el de Svensson (1994) son amplamente usados en el contexto de polítca monetara (véase tabla 1 del prmer capítulo). Ambos suelen proporconar buenos resultados en térmnos de bondad del ajuste y permten estructuras temporales flexbles y suaves. Dado que el objetvo de este estudo es contrastar empírcamente la ntegracón de los mercados fnanceros a través de la varable tpo de nterés, se consdera adecuada la aplcacón de esta metodología. En partcular, el modelo elegdo en este trabajo, para estmar las curvas semanales de tpos de nterés, es el defndo por Nelson y Segel (1987), prncpalmente porque la mayoría de curvas de rendmento presentan una únca curvatura. Se han estmado estructuras temporales medante el modelo de Svensson (1994), sn embargo, este modelo ha generado problemas de

4 92 Comparacón de curvas de tpos de nterés. Efectos de la ntegracón fnancera sobreparametrzacón, ya que no es frecuente encontrar curvas que presenten la segunda curvatura que defne el modelo. En la segunda seccón del capítulo se desarrolla la metodología utlzada para ajustar la curva de tpos de nterés medante el modelo de Nelson y Segel. Esta metodología se dvde en varas etapas. En prmer lugar, se descrbe el proceso de depuracón de los datos. Posterormente, se defne el crtero de optmzacón aplcado, que equvale a la mnmzacón de la suma ponderada de los errores al cuadrado entre los precos de los títulos y los precos ajustados por el modelo. Por últmo, se detalla como se han estmado los parámetros medante un algortmo de Newton. Prevamente se determna como se han obtendo los valores ncales de los parámetros en este algortmo. 1 En la tercera seccón del capítulo se analza la bondad de los ajustes entre la estructura temporal de tpos estmada y las tasas de rendmento. Fnalmente, en la cuarta seccón, se dentfcan las formas de las curvas más frecuentes que se dan en cada país y año Estmacón del modelo de Nelson y Segel El total de curvas a estmar ascende a 4.064, correspondentes a cada una de las semanas comprenddas entre 1992 y 2004, ambos nclusve, para cada uno de los ses países consderados. Antes de proceder a la estmacón de los parámetros que defnen el modelo, ha sdo necesaro depurar los datos, elmnando aquellas tasas de rendmento (TIR) consderadas anómalas. A contnuacón, se descrbe como se ha realzado el proceso de depuracón de la nformacón Tratamento prevo a la estmacón Para evtar obtener resultados erróneos generados por la sensbldad del modelo ante observacones anómalas, ha sdo necesaro depurar los datos de forma preva a la estmacón de los parámetros. Para determnar cuales son los valores a elmnar, se ha utlzado la curva de rendmentos como aproxmacón a la estructura temporal de tpos de nterés. 1 El algortmo de estmacón semanal de los parámetros del modelo de Nelson y Segel se ha programado con el procedmento IML de SAS.

5 Capítulo 4 Estmacón del modelo de Nelson y Segel 93 Las curvas de rendmento son un nstrumento prevo a la obtencón de los parámetros de la estructura temporal de tpos de nterés. La tasa de rendmento r t, de un título en un momento t puede calcularse drectamente despejándola de la ecuacón: M ( ) m ( ) M P = C 1 + r + N 1+ r. (1) t, t, t, m = 1 A partr del preco del título P t, y conocdo el cupón pago de los dstntos cupones m =1...M y el vencmento C, el nomnal del título N, el momento de M, se obtene la tasa de rendmento gualando ambas partes de la ecuacón (1). Para ello se utlza el algortmo del gradente. Calculadas las TIR para cada título, se supone dato anómalo de forma genérca, aquel título que presenta una tasa nterna de rendmento muy elevada o muy baja, s se compara con la de otros títulos con vencmento smlar (Geyer y Mader, 1999). Algunos datos anómalos pueden ser orgnados por el hecho de que los precos de los títulos que se han utlzados son precos medos de contratacón y no precos de lqudacón. 2 Cuando el vencmento del título es nferor al año, la TIR puede dvergr notablemente en funcón del preco utlzado en su cálculo ante una pequeña modfcacón del plazo. Contraramente, no suele darse tanta dferenca cuando el vencmento es mayor, pues el error relatvo es menor. Después de estudar el comportamento de las TIR en una muestra de semanas representatva del período y de los países analzados, se realzan dos procesos de depuracón de los títulos. En prmer lugar, para cada semana analzada, se suprmen todos aquellos títulos que cumplen las tres condcones sguentes: 1. Títulos con vencmento nferor al medo año. 2. La desvacón típca de las tasas de rendmento con vencmento nferor al medo año en la semana de estudo es superor al 0, La TIR del título a elmnar cumple las sguentes condcones: TIR > m + 0,75 s t t t TIR < m 0,75 s, t t t 2 La fecha de contratacón es la que ndca el boletín mentras que la fecha de lqudacón presenta un margen de algunos días hábles que depende del país emsor.

6 94 Comparacón de curvas de tpos de nterés. Efectos de la ntegracón fnancera donde m t corresponde al valor medo de las tasas de rendmento con un vencmento nferor al año para una determnada semana t y s t equvale a la desvacón estándar de estos msmos datos. Posterormente, se realza un segundo proceso de depuracón a partr de los gráfcos de las curvas de rendmento semanales. Se elmnan, de forma arbtrara, todas aquellas observacones con TIR negatvas o que quedan alejadas de la propa curva de rendmentos. En el gráfco 7, a modo de ejemplo, se lustra con un círculo todas aquellas observacones que se han elmnado en la prmera semana del año 1997 en Franca. De no haber sdo elmnados, estos valores dstorsonarían consderablemente el vector de parámetros estmado en el modelo de Nelson y Segel. Hay que destacar que todos los títulos que han sdo excludos pertenecen al corto o medo plazo (nferor a 5 años en este caso). Gráfco 7. Curva de rendmentos de la semana 1 del año 1997 en Franca. 0,08 0,07 0,06 0,05 Rendmento 0,04 0,03 0,02 0,01 0-0,01-0, Vencmento (años)

7 Capítulo 4 Estmacón del modelo de Nelson y Segel Defncón del crtero de optmzacón Los dstntos modelos que defnen la estructura temporal de tpos de nterés tenen como objetvo estmar los tpos al contado, los tpos a plazo o la funcón de descuento a partr de títulos de deuda públca. En realdad dchos tpos (al contado, a plazo o funcón de descuento) no se conocen y la únca nformacón dsponble para un período del tempo t es la relaconada con el preco de un título ( P t, ), su nomnal o prncpal ( N ), el cupón ( C ), las fechas de pago de dchos cupones (m =1...M ) y el vencmento (M ), para un conjunto de títulos =1,2,...,n. Con la nformacón conocda y a partr la ecuacón (19) del prmer capítulo, el preco teórco de un título puede defnrse como: M P = C δ + N δ. (2) t, tm, tm, m = 1 Susttuyendo el factor de descuento δ tm, por la expresón equvalente que defne el modelo de Nelson y Segel (véase ecuacón 3 del capítulo 2): m m δm ( β) = exp β0m ( β1+ β2) τ1 1 exp + β2mexp, (3) τ 1 τ1 se obtene la funcón del preco teórco de un título en un momento del tempo t : 3 M m m Pt, = C exp β0, tm ( β1, t+ β2, t) τ1, t 1 exp + β2, tmexp + m = 1 τ 1, t τ 1, t M M + N exp β0, tm ( β1, t + β2, t) τ1, t 1 exp + β2mexp + τ 1, t τ 1, t ε t,, (4) donde ε t, son los errores aleatoros ndependentes e gualmente dstrbudos (d) medante una normal con meda 0 y varanza 2 σ ε para =1,,n t,, sendo n t, el número de títulos en la semana t. 3 La varable t está expresada en semanas puesto que las estmacones de la curva presentan perodcdad semanal.

8 96 Comparacón de curvas de tpos de nterés. Efectos de la ntegracón fnancera Como prmera aproxmacón, para estmar el vector de parámetros βt = ( β0, t, β1, t, β2, t, τ1, t) correspondente a la semana t, se mnmza la suma de errores al cuadrado (SEC) entre el preco observado de un título en un momento dado ( t, ) P y el preco ajustado por el modelo ( ˆ, t ) P : n t ( β ) ( β ) nt (, ) (,, ) 2 2,, (5) SEC ˆ = e ˆ = P Pˆ. t t t t t t = 1 = 1 Los parámetros estmados se obtenen medante la mnmzacón de la suma de cuadrados defnda anterormente. Dado que se trata de una ecuacón no lneal, el sstema de ecuacones normales: SEC β tk, t = 0 para k = 0,1,2, SEC τ t,1 t = 0, resultante para obtener los parámetros, no puede resolverse numércamente. Por lo tanto, el proceso de mnmzacón se realza medante el algortmo de Newton, que se descrbe más detalladamente en la sguente seccón. Una vez estmados los parámetros del modelo tras la mnmzacón de la suma de cuadrados de los errores, pueden calcularse los precos ajustados como: M ˆ ˆ, 0, ( ˆ ˆ m 1, 2, ) ˆ m P exp ˆ t= C β tm β t+ β t τ1, t 1 exp + β2mexp + m 1 ˆ ˆ = τ 1, t τ 1, t exp ˆ 0, ( ˆ ˆ M 1, 2, ) ˆ ˆ M + N β tm β t + β t τ1, t 1 exp + β2, tmexp ˆ τ, ˆ 1, t τ 1, t (6) y obtener la tasa de rendmento ajustada r ˆt, susttuyendo en la ecuacón (1) los precos teórcos por los ajustados. Tal y como se ha demostrado en el capítulo segundo, los cambos de curvatura y de pendente se producen báscamente en el corto y medo plazo. En general, el ajuste en el largo plazo es bastante

9 Capítulo 4 Estmacón del modelo de Nelson y Segel 97 bueno, ya que la funcón, por defncón, es asntótca. Sn embargo, a veces, la curva estmada no ajusta muy ben en el tramo del corto y medo plazo, tramo donde debe recoger la pendente y la curvatura. Esto sucede porque los precos son menos sensbles al tpo de nterés que las tasas de rendmento. Como alternatva para mejorar el ajuste en el corto y medo plazo, algunos trabajos proponen utlzar un error en preco ponderado por algún factor nversamente proporconal al plazo. Es habtual ponderar por la nversa de la duracón del título (Rcart y Scsc, 1995; Bolder y Strélsk, 1999). En este estudo se utlza como crtero de ponderacón de los errores el sguente peso: α t, = nt 1 d t, 1 d s= 1 ts,, donde d t, es la duracón del título de la semana t, que en este caso se corresponde con la duracón modfcada propuesta por Hcks (1946). Ésta se defne como: d t, P 1 P t, =. r t, t, Con la ncorporacón de esta ponderacón se consgue que en la estmacón de una determnada semana se dé más peso a los errores generado en el tramo del corto y medo plazo que en los errores del largo plazo. La nversa de la duracón mplca que a menor vencmento, mayor peso. La suma de cuadrados ponderada (SECP) que fnalmente se mnmza para obtener el vector de parámetros estmados corresponde a: n t ( ) ( ) nt ( ) ( ) 2 2,,,,,,,. (7) SECP ˆ β = α e ˆ β = α P Pˆ t t t t t t t t = 1 = 1 La defncón teórca de los parámetros del modelo oblga a rechazar valores negatvos en β t, 0 y τ t,1, ya que t, 0 β recoge el tpo de nterés para plazos nfntos y τ t, 1 está relaconado con la

10 98 Comparacón de curvas de tpos de nterés. Efectos de la ntegracón fnancera poscón de la curvatura. Además, debe cumplrse que el tpo de nterés a corto plazo, equvalente a la suma de parámetros c = β0 + β1, sea sempre postvo. Una vez obtendo el vector de parámetros estmado ˆt β, susttuyendo sus valores en la expresón (3) pueden calcularse los factores de descuento para cualquer vencmento m. Los tpos al contado y forward tambén pueden obtenerse susttuyendo el valor de los parámetros estmados en las expresones (1) y (2) del capítulo Procedmento de estmacón del vector de parámetros del modelo La mnmzacón de la funcón objetvo se realza por el método de Newton, que supone aplcar un procedmento teratvo que, en general, se representa del sguente modo: β = β + H j+ 1 j j Φ β j j, (8) donde Φ se corresponde con la funcón a optmzar y H es la matrz de segundas dervadas de la funcón Φ respecto al vector de parámetros β. 4 Para ncalzar el procedmento teratvo defndo en la expresón (8) es necesaro establecer un valor para el vector de parámetros ncales β 0, a partr del cual, teracón tras teracón, van obtenéndose dstntos vectores de parámetros. El procedmento se detene cuando se alcanza el crtero de convergenca defndo por el analsta. Dcho crtero de convergenca habtualmente está lgado a la mejora de la funcón objetvo que debe ser cas nula, o ben, está relaconado con la dferenca entre los parámetros obtendos en una teracón y la sguente, que tambén debe stuarse próxma a cero. Partcularmente, en este trabajo se ha utlzado este últmo crtero de convergenca. Al estmar los parámetros del modelo de Nelson y Segel por el método de Newton, se ha manfestado la problemátca relaconada con el valor dado al vector de parámetros ncales. Este vector nfluye sgnfcatvamente en el vector de parámetros estmados que cumplen el crtero de convergenca. En muchas ocasones, s el vector de parámetros ncales se stúa lejos del óptmo, el 4 Véase Greene (1998).

11 Capítulo 4 Estmacón del modelo de Nelson y Segel 99 algortmo no converge aunque se realcen muchas teracones. Por este motvo, se consdera relevante descrbr como se ha calculado el vector de parámetros ncales. La dfcultad descrta se acentúa en aquellos períodos donde hay nestabldad en los mercados fnanceros. En los años anterores a la Unón Monetara Europea, la varacón del tpo de nterés es elevada, sobre todo en los países que ntegran esta unón. Posterormente, dcha nestabldad se repte en Estados Undos a fnales de 2001, cuando tenen lugar los atentados terrorstas del 11-S. Esta stuacón afecta a la varacón de los parámetros de forma sgnfcatva entre una semana y otra. Cuando hay establdad en el mercado fnancero, en general los parámetros varían muy poco a lo largo del tempo, por lo que es posble obtener una mejor estmacón. En períodos de establdad, normalmente los parámetros obtendos en una semana son adecuados como valores ncales para estmar los de la semana sguente. El paso prevo de depuracón de datos, descrto en la seccón anteror, es mportante en el sentdo de que las observacones anómalas poseen una nfluenca real en los valores de los parámetros estmados. Sn embargo, la preva elmnacón de los datos anómalos, no es sufcente para evtar la sensbldad de los parámetros respecto a los valores ncales. Tal como es conocdo, la relacón entre la curva de tpos de nterés o cupón cero y la curva de rendmentos se dferencan por el sesgo del cupón (véase capítulo 1). De modo que, la curva de rendmentos es una aproxmacón para estmar los tpos de nterés y comparar la bondad de ajuste. En este sentdo, la curva de TIR es un buen punto de partda para defnr unos valores ncales. Una forma de hallar estos valores es a partr del sgnfcado de los parámetros. Incalmente pueden darse valores a β 0 y β 1 según las tasas de rendmento a corto y largo plazo de una determnada semana. Una vez conocdos estos dos parámetros, puede calcularse el parámetro β 2, sempre y cuando haya un máxmo o mínmo en la curva de rendmentos. Gráfcamente, cuando se dspone de un número elevado de datos, puede buscarse aproxmadamente las coordenadas de la funcón en dcho punto estaconaro, (r,m). Según se demuestra en el anexo 1, en el punto estaconaro, β 1 r = β0 + β2 exp 1+. β2

12 100 Comparacón de curvas de tpos de nterés. Efectos de la ntegracón fnancera Conocdos β 0 y β 1, de la ecuacón anteror se obtene el valor ncal para β 2. El valor ncal para el últmo parámetro, τ 1, se obtene de la sguente ecuacón, m τ 1 β1 = 1 β 2. Sn embargo, no sempre la curva presenta un punto de estaconaro y en estos casos no hay unos valores ncales. La únca forma de hallar los valores óptmos es r probando hasta que la curva estmada y la de rendmentos sean smlares. Es frecuente probar con un rango amplo de valores y dstntas combnacones para escoger el mejor resultado, sn embargo, el coste temporal de este procedmento es muy elevado. Es de utldad ver la forma de la curva de rendmentos para conocer los sgnos y condcones que deben cumplr los dstntos parámetros. Estas relacones son las expuestas en la tabla 1 del capítulo segundo. Una vez obtendos los parámetros estmados de la prmera semana del año 1992 de un determnado país, éstos pueden utlzarse como parámetros ncales en el procedmento teratvo asocado a la estmacón de los parámetros en la sguente semana de este msmo país. Supuestamente, esta nterconexón entre dos semanas consecutvas podría repetrse de forma correlatva para todas las semanas del período No obstante, la varabldad de los mercados fnanceros entre los años 1992 y 1998 provoca certa dfcultad en la estmacón. Muchas veces es necesaro r reajustando los parámetros ncales semana a semana. A partr del año 1999, especalmente en los países que ntegran la Unón Monetara Europea, la obtencón de los parámetros se smplfca bastante gracas a la establdad e ntegracón de los mercados. Cabe señalar que a partr de los atentados del 11-S en Estados Undos, y durante algunas semanas posterores, se genera una ncertdumbre en los mercados que se refleja drectamente en el grado de dfcultad para lograr los parámetros estmados. En el anexo 2 se presenta el análss descrptvo de los parámetros semanales estmados para cada año y país estudado.

13 Capítulo 4 Estmacón del modelo de Nelson y Segel Bondad de ajuste Tal y como se ha descrto anterormente, para estmar los parámetros que defnen el modelo de Nelson y Segel, se mnmza la suma de cuadrados ponderados de los errores entre los precos observados y ajustados. Sn embargo, el objetvo fnal es el de obtener unos parámetros que permtan ajustar la estructura de los tpos de nterés cada semana. En este sentdo, además de mnmzar los errores en precos, tambén es adecuado valorar la cuantía de los errores entre la curva de rendmentos y la curva de tpos estmada por el modelo. Es por ello que se calcula, para cada país y cada semana, el error al cuadrado medo de las tasas de rendmento según: ECM t = n t, ( rt, rˆ t, ) = 1 n t, 2. (9) De la tabla 1 a la 6 se muestra, para cada año y cada uno de los países analzados, algunos estadístcos descrptvos obtendos a partr de los ECM t semanales. Se destaca que, en general, los errores medos semanales obtendos son reducdos. Tabla 1. Error generado en el ajuste de Alemana. Año Meda Desvacón Medana Mínmo Máxmo E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-05

14 102 Comparacón de curvas de tpos de nterés. Efectos de la ntegracón fnancera Tabla 2. Error generado en el ajuste de España. Año Meda Desvacón Medana Mínmo Máxmo E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-05 Tabla 3. Error generado en el ajuste de Franca. Año Meda Desvacón Medana Mínmo Máxmo E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Tabla 4. Error generado en el ajuste de Itala. Año Meda Desvacón Medana Mínmo Máxmo E E E E E E E E E E E (contnua en págna sguente)

15 Capítulo 4 Estmacón del modelo de Nelson y Segel 103 (contnuacón tabla 4) E E E E E E E E E E E E E Tabla 5. Error generado en el ajuste del Reno Undo. Año Meda Desvacón Medana Mínmo Máxmo E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Tabla 6. Error generado en el ajuste de Estados Undos. Año Meda Desvacón Medana Mínmo Máxmo E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E

16 104 Comparacón de curvas de tpos de nterés. Efectos de la ntegracón fnancera 4.4. Formas de las curvas En funcón de los valores y la relacón entre los parámetros estmados semanalmente, la curva de tpos defnda según el modelo de Nelson y Segel toma dstntas formas, las cuáles ya se han defndo en la tabla 1 del capítulo 2. Las posbles formas se enumeran a contnuacón: 1. Crecente, cóncava. 2. Crecente. 3. Decrecente, convexa. 4. Decrecente. 5. Forma de, por encma de β Forma de, cruza β Forma de, por debajo de β Forma de, cruza β 0. De la tabla 7 a la 12 se muestra, para cada año y país analzado, las frecuencas en las que se dan cada una de las ocho formas defndas de la curva de tpos de nterés. Se destaca que las formas más frecuentes en los países de la UME son la 2 y la 7, es decr, curvas crecentes o ben, curvas convexas por debajo de β 0. Estas dos formas, conjuntamente, se dan alrededor de un 70% del total de las 673 semanas analzadas en cada país. En el Reno Undo además de las formas 2 (crecente) y 7 (forma convexa por debajo de β 0 ), tambén se observa a menudo la forma 5 (forma cóncava por encma de β 0 ). En Estados Undos, junto a las formas 2 y 7, tambén se encuentra frecuentemente la forma 6 (forma cóncava cruzando β 0 ). Fnalmente, añadr que las formas puramente decrecentes, formas 3 y 4, que suponen un tpo a corto mayor que el tpo a largo plazo, se dan en los países de la Unón Monetara durante el año 1992 mayortaramente, aunque tambén aparecen en el Reno Undo en 1992 y a lo largo de los años 1999, 2000 y En el capítulo sguente se explca detalladamente la relacón entre el tpo a corto y a largo plazo.

17 Capítulo 4 Estmacón del modelo de Nelson y Segel 105 Tabla 7. Frecuenca de las formas de la curva de tpos de nterés en Alemana Porcentaje sobre el total % 5 1% % 6 0% % 7 38% % 8 8%

18 106 Comparacón de curvas de tpos de nterés. Efectos de la ntegracón fnancera Tabla 8. Frecuenca de las formas de la curva de tpos de nterés en España Porcentaje sobre el total % 5 1% % 6 4% % 7 39% % 8 6%

19 Capítulo 4 Estmacón del modelo de Nelson y Segel 107 Tabla 9. Frecuenca de las formas de la curva de tpos de nterés en Franca Porcentaje sobre el total ,7% 5 0,1% ,8% 6 0,0% ,2% 7 37,3% ,4% 8 4,6%

20 108 Comparacón de curvas de tpos de nterés. Efectos de la ntegracón fnancera Tabla 10. Frecuenca de las formas de la curva de tpos de nterés en Itala Porcentaje sobre el total % 5 3% % 6 10% % 7 32% % 8 0%

21 Capítulo 4 Estmacón del modelo de Nelson y Segel 109 Tabla 11. Frecuenca de las formas de la curva de tpos de nterés en el Reno Undo Porcentaje sobre el total % 5 26% % 6 8% % 7 30% % 8 4%

22 110 Comparacón de curvas de tpos de nterés. Efectos de la ntegracón fnancera Tabla 12. Frecuenca de las formas de la curva de tpos de nterés en Estados Undos Porcentaje sobre el total % 5 1% % 6 21% % 7 32% % 8 2%