MODELACIÓN, REPRESENTACIÓN EN VARIABLES DE ESTADO Y SIMULACIÓN CON MATLAB DE UN SISTEMA FISICO

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1 MODELACIÓN, REPRESENTACIÓN EN VARIABLES DE ESTADO Y SIMULACIÓN CON MATLAB DE UN SISTEMA FISICO Luigi Vanfretti Fumagalli lvanfretti@math.com Resumen Este documento hace una introducción a la modelación de un sistema físico sencillo utilizando el método de la variable de estado y su implementación para simulación en MATLAB, con el objetivo de introducirnos a la utilización de este paquete para el estudio de sistemas. En este documento modelaremos matemáticamente un sistema físico sencillo, un sistema mecánico, para luego utilizar MATLAB en la simulación de las respuestas de este sistema ante la aplicación de un escalón unitario. Introducción Hoy en día la modelación y la simulación han venido a simplificar de manera impredecible las tareas de diseño en ingeniería. Millones de dólares se invierten anualmente en sistemas de simulación para diferentes tipos de sistemas, los más notables son los sistemas de simulación de sistemas eléctricos de potencia que se utilizan para estudiar el comportamiento en estado transitorio como en estado permanente de estos sistemas. Es por esto de primordial importancia familiarizarse con la modelación y sobre todo con la simulación en MATLAB. Se utilizará MATLAB para analizar el modelo de variable de estado de este ejemplo y luego se obtendrá la respuesta al escalón unitario del sistema. Cabe recalcar que el modelado matemático de este sistema es muy sencillo y en realidad no se necesita de MATLAB para obtener resultados de sistemas como este, la contraparte es aceptar que el utilizar el software permite hacer análisis más profundos y resolver preguntas dada la oportunidad de modificar parámetros con facilidad y observar que ocurre al cambiar estos. El propósito de utilizar MATLAB es familiarizarse con el software que podría ser de gran utilidad cuando en un momento se presentan sistemas muy complicados cuyo Departamento de Matemática, Facultad de Ingeniería, USAC

2 Luigui Vanfretti Fumagalli modelo matemático debe ser derivado de datos eperimentales o estadísticos para lo cual MATLAB es la herramienta indicada. El modelo matemático del ejemplo a tratar es, un sistema de vagones en movimiento, representa a uno de los modelos más sencillos que se pueden obtener y corresponde con los que aparecen en la mayoría de la bibliografía. Modelación Matemática y Representación en Variables de Estado: Observe el sistema mostrado en la figura. Las variables de interés se muestran en la figura donde: M, M = Masa del carro respectivo, pq=, Posición del carro respectivo, Figura. Dos vagones con amortiguadores y resortes. u = Fuerza eterna actuando en el sistema, k, k = Constante del resorte respectivo, b, b = Coeficiente de amortiguamiento respectivo. Ahora bien, para derivar las ecuaciones que representan a este sistema se puede utilizar un diagrama de cuerpo libre, en la figura se muestra el diagrama para la masa, donde: p, q = velocidad de y M respectivamente. M Figura. Diagrama de cuerpo libre para la masa M

3 Modelación, representación en variables... 3 Se asume que los rodamientos de los vagones tienen una fricción muy pequeña y por lo tanto esta fricción está estimada en los coeficientes y b. Ahora se va a modelar al sistema recordando conceptos básicos de física: b La primera derivada del desplazamiento es la velocidad. La segunda derivada del desplazamiento es la aceleración. F = ma De estos conceptos se obtiene el sistema de ecuaciones diferenciales que rigen el comportamiento del sistema: d p() t dp() t dq() t M + b + kp() t = u() t + kq() t + b () dqt () dqt () dpt () M + ( b + b ) + ( k + k ) p() t = 0 + kp() t + b () Se observa que las ecuaciones obtenidas son ecuaciones diferenciales de segundo orden. Ahora se construye el en Espacios de Estado, definiendo a: ( t) = p( t) (3) ( t) = q( t) (4) Siendo y a la derivada de y respectivamente, de esta manera obtenemos: 3 4 () t 3 4 () t = d ( t) dp( t) = (5) = d ( t) dq( t) = (6) relacionando las ecuaciones 3 y 4 con las ecuaciones 5 y 6 se puede afirmar que: d3 () t k k b b = () t + () t 3 () t + 4 () t + u() t (7) M M M M M d3 () t k k b b = () t + () t 3 () t + 4 () t + u() t (8) M M M M M La representación matricial sugerida en [] para representar el sistema en forma matricial es la siguiente: d = A + B u Ecuación de Estado.

4 4 Luigui Vanfretti Fumagalli donde el vector de estado está dado por: p q dp = = 3 4 dq la matriz que representa a las funciones del sistema es: A k k b b = M M M M k ( k + k ) b ( b + b ) M M M M y el vector de perturbación será: B 0 0 = M 0 Sabiendo que u es la fuerza eterna que actúa sobre el sistema se crea la Ecuación de Salida escogiendo a una de las variables de estado como salida tomando en cuenta que: y = C Si se escoge a p, el desplazamiento del vagón, como salida: y = Aplicación de MATLAB: Simulación El script file construido para la simulación de la respuesta al escalón unitario se muestra a continuación. Se notará que los valores de los parámetros utilizados para la simulación fueron: M = ( slug), M = ( slug), lb k ( ) =0 =50 pies, lb k ( ) pies,

5 Modelación, representación en variables... 5 lb seg b ( pies ) = lb seg b ( pies ) =,. Figura 3. Script del desplazamiento del vagón. La figura 4 representa la respuesta al escalón unitario, note que cuanto la amplitud del escalón es u = la posición en estado permanente del vagón es de 0. pies. Como ya se había descrito antes la ecuación de salida para obtener la respuesta del desplazamiento del vagón está dada por: y = 0 0 0

6 6 Luigui Vanfretti Fumagalli Figura 4. Script del desplazamiento del vagón. Se desea obtener la respuesta del vagón, es decir la respuesta al escalón unitario del vagón, debiéndose modificar lo siguiente: y = Esta es la ecuación de salida que representa al desplazamiento del segundo vagón dado por la respuesta al escalón unitario. El script file resultante será el de la figura 5, en el que se observa, en la fila 8 la representación de la ecuación de Salida.

7 Modelación, representación en variables... 7 El gráfico de respuesta al escalón unitario es el de la figura 6. Figura 5. Script del desplazamiento del vagón. Figura 6. Desplazamiento del vagón.

8 8 Luigui Vanfretti Fumagalli De manera similar se obtienen las respuestas de las velocidades de los vagones, observar el script de la figura7, los cambios necesarios al la ecuación de salida son: Para la velocidad del vagón : y = unitario. El cambio en la ecuación de salida, ahora corresponde a 3 la respuesta al escalón Para la velocidad del vagón : y = Se puede notar que para obtener la respuesta de la velocidad del segundo vagón se debe estimar la salida de 4. El script realizado para visualizar las dos respuestas al escalón de la velocidad de los vagones y utilizó la función subplot para colocar en la misma ventana las dos respuestas. El script incluye los cambios a la ecuación de salida, fueron realizados en la fila 8 para el primer vagón y en la fila 4 para el segundo vagón. Las respuestas de las velocidades se muestran en la figura 8. Figura 7. Script de la velocidad de los vagones.

9 Modelación, representación en variables... 9 Figura 8. Respuesta de la velocidad de los vagones. MATLAB es una marca registrada de Mathworks, obtenga información de MATLAB en: Los script files utilizados para este artículo se encuentran en la página del Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ingeniería: mate.ing usac.edu.gt, bajo el link de estudiantes, en la sección todos los archivos. También se encuentra una copia de este manuscrito en la citada página. Se utilizó la versión 6.0 de MATLAB para el desarrollo del documento y el levantado de teto original se realizó en L A T E X, la conversión de L A T E X a Word se realizó con TeWord. Para obtener información de los mfiles de este documento o para realizar cualquier pregunta acerca del mismo, escriba a: lvanfretti@math.com 4 Referencias [] B. Kuo, Sistemas de Control Automático, Editorial Pearson, Méico, 996. [] K. Ogata, Ingeniería de Control Moderna, Editorial Pearson, Méico, 998. [3] S. Chapman, MATLAB Programing for Engineers, Editorial Brooks/Cole, California, 00.