LECCION Nº 01. Competencia Especifica Conocimiento de terminos utilizados en geometría, utilización, clasificacio y tipos de angulos.

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1 UNIVERSIDD PRIVD DE MOQUEGU JOSE CRLOS MRITEGUI LECCION Nº 1 Competencia Especifica Conocimiento de terminos utilizados en geometría, utilización, clasificacio y tipos de angulos. 1. Conceptos Fundamentales e Importancia del Estudio de la Geometría 1.1. Punto: Elemento geométrico que tiene posición pero no dimensión, sin embargo las palabras posición y dimensión no se definen, por lo tanto la palabra punto no se define. Representación Grafica Se lo hace por medio de una marca (. ó x ) Denominación Por medio de una letra mayúscula. ejemplo:. (x,y) C(x, y, z) 1.2. Recta: Es una figura geométrica, en la cual un punto que se encuentra entre otros dos tiene la misma distancia a estos; se prolonga indefinidamente en ambas direcciones. Denominación Por medio de dos letras mayúsculas que representan a dos puntos cualquiera en la recta. o por medio de una letra mayúscula cerca de la recta. L L 1.3. Puntos Colineales: Son los puntos, elementos de una misma recta Plano: Un plano esta determinado por: Tres puntos no colineales. Una recta y un punto externo. Dos rectas que se intersecan. Dos rectas paralelas. Representacion Grafica 26 EDUC INTERCTIV

2 UNIVERSIDD PRIVD DE MOQUEGU JOSE CRLOS MRITEGUI Denominación Por medio de letras mayúsculas en los vértices de una representación gráfica. C C D 1.5. Segmento: La parte de la recta entre y, incluido los puntos y se llama segmento. Representacion Grafica Denominación Por los extremos del segmento: El numero que expresa a que distancia se encuentra de se llama medida o longitud de. usaremos el símbolo m para denotar la longitud de. 2. Operaciones Con Segmentos Consiste en encontrar un segmento de longitud igual a la suma de las longitudes de los segmentos dados. Ejercicios: P Q m PQ = mp + m + mq m P = mp mp m = mpq mp mq 1) M P H) M = M P + P PM = P M T) PM = PM = P + M 2 2PM = P + PM PM = P + P 2 EDUC INTERCTIV 27

3 UNIVERSIDD PRIVD DE MOQUEGU JOSE CRLOS MRITEGUI 2) P M H) M = M PM = P M P - P PM = -P + M T) PM = 2PM = P P 2 PM = P P 2 3) Sobre un recta se toman los puntos,, C, D, E, F, consecutivamente, de modo que E = 5/8 F. Calcular F sabiendo que : C + D + CE + DF = 39u. H ) E = 5/8F C + D + CE + DF = 39u C + D + CE + DE + EF = 39u T ) F = F + D + DE = 39u F + E = 39u F + 5/8F = 39u 13/8F = 39u F = 2 4) C D E F E = D + DE H) = C DE = EF E = FC + C EF 2E = D + FC T) E = D + FC E = 2 D + CF 2 5) C M D H) = C CD = 2C M = C + CD C +M - MD M = MD M = + 2C C +M-MD T) M = + C M = + C 6) C D C + CD H) = D 2-2D + 1 = 2 (D 1)(D 1)= D 2-2D + 1 = D = 1 T) D =? 28 EDUC INTERCTIV

4 UNIVERSIDD PRIVD DE MOQUEGU JOSE CRLOS MRITEGUI = D - D = D/2 2 = D 2(D D) = D 2D 2 = D -2 = - D 2 = D 7) C D H) C = CD T) C 2 =. D + D 2 C = + C 4 C = D CD 2C = + D 2C = + + D (2C) 2 = (2 + D) 2 4C 2 = D + D 2 C 2 = 4 2 /4+ 4.D/4 + D 2 /4 C 2 = 2 +.D + D 2 /4 C 2 = 2 + (D ) + D 2 /4 C 2 = 2 +.D 2 + D 2 /4 C 2 =.D + D 2 /4 8) M C H) M = MC = M - M T) 2 + C 2 = 2(M 2 + M 2 ) C = M + MC 2 = ( M M ) 2 C 2 = ( M + MC ) 2 2 = M 2 2M.M + M 2 C 2 = M 2 + 2M.MC + MC C 2 = 2M 2 + 2M C 2 = 2(M 2 + M 2 ) 9) C D H) C = DC = a C = + C C = m C = D - CD D = b 2C = + D T) m = ab + (b a) 2 /4 2C = + + D 2C 2 = ( 2 + D ) 2 4C 2 = D + D 2 C 2 = 2 +.D +D 2 /4 C 2 = 2 + (D ) + D 2 /4 EDUC INTERCTIV 29

5 UNIVERSIDD PRIVD DE MOQUEGU JOSE CRLOS MRITEGUI C 2 = 2 +.D 2 +D 2 /4 C 2 =.D + D 2 /4 m = ab + (b a) 2 /4 1) C D H1).CD = 2D.C T) 2/ + 1/D = 3/C 1).C = 2D.C H2).CD = 7C.D (D C) = 2D(C ) T) 1/D + 7/ = 8/C.D.C = 2D.C 2D..D + 2D..C = 2D.C 3.D =.C + D.C 3.D = C( + D) 3/C = 2D/.D + /.D 3/C = 2/ + 1/D 2).CD = 7C.D (D C) = 7(C )D.D.C = (7C 7)D.D.C = 7C.D.7.D 8.D = 7C.D +.C 8.D = C(7D + ) 8/C = 7D/.D + /.D 8/C = 7/ + /D 11) C D E C + D + CE = 44u H) C + D + CE = 44u E CE + E DE + CE = 44u E = 25u 2E 2 = 44u DE = 2 2(25u) 3 = 44u T) =? 5u 3 = 44u - 3 = 44u 5u = -6 / -3 = 2 Problemas de auto evaluación Cuestionario 1.- Sea una recta en la que se tima los puntos,, C, y D, de tal manera que: +C=28m. Calcular la longitud del segmento MC, si m es el punto medio de Solución: x = 14m 2.- En una recta sean los puntos consecutivos,, C, D y E; tal que F sea el punto medio de y G punto medio de DE. demás = C y CD = DE. También + DE = 1. Calcular FG. Solución: FG = 15 3 EDUC INTERCTIV

6 UNIVERSIDD PRIVD DE MOQUEGU JOSE CRLOS MRITEGUI 3.- En una recta, se toman los puntos consecutivos,, C, D, de tal manera que C = 28 y D = 36. Calcular la longitud del segmento MN, siendo M y N Puntos medio de y CD, respectivamente. Solución: MN = NGULO 4.- En una recta se toman los puntos consecutivos,, C y D, de tal manera que: 1/ + 1/D = 2/C donde = 2, CD = 3. Calcular la longitud C. 5.- En una recta se dan los puntos consecutivos,, C y D. Hallar D, sabiendo que C + D = 16m, y C = 4m. Definición: Es una forma geométrica que está formada por dos rayos o líneas rectas que se cortan en un mismo punto. Solución: C = 1 Solución: D = 12m C 3.1. Elementos de un ngulo Lados del ngulo: Son los rayos que forman el ángulo. y C Vértice: Es el origen común de los rayos Origen (punto ) Denominacion 1) La letra del vértice entre las otras dos: C ; C 2) Por la letra del vértice: ; ^ 3) Por una letra, o número en el ángulo: α ; ^ Medidas de los ngulos RDIN (rad.): Es la medida de un ángulo, cuyo arco subtendido es igual al radio del circulo. EDUC INTERCTIV 31

7 UNIVERSIDD PRIVD DE MOQUEGU JOSE CRLOS MRITEGUI GRDO SEXGESIML ( ): Si a un círculo se lo divide en 36 partes de igual medida, a cada una de estas partes se le denomina grado Clasificación de los Ángulos gudo: Su medida es menor a π/2 rad (<9º) Recto: Su medida es igual a π/2 rad (=9º) Obtuso: Su medida es mayor a π/2 rad y menor a π (>9º y <18º) Ángulos de Lados Colineales (LLNO): Su medida es igual a π rad. (=18º) Ángulos complementarios: Son dos ángulos cuya suma de medidas es igual a π/2 rad. (=9º) cada ángulo se lo llama complemento del otro. m^1+ m^2 = π/2 rad Ángulos Suplementarios: Son dos ángulos cuya suma de medidas es igual a π rad. (=18º). cada ángulo se lo llama suplemento del otro. 32 EDUC INTERCTIV

8 UNIVERSIDD PRIVD DE MOQUEGU JOSE CRLOS MRITEGUI m^1+m^2 = π rad Consecutivos: Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común. β Opuestos por el vértice: Son dos ángulos no adyacentes, formados cuando dos rectas se intersecan C ^1 y ^2 ^3 y ^4 4. Ángulos formados por dos rectas cortadas por una transversal Ángulos internos Ángulos conjugados internos 3, 4, 5, 6 4 y 6 3 y 5 Ángulos externos 1, 2, 7, 8 EDUC INTERCTIV 33

9 UNIVERSIDD PRIVD DE MOQUEGU JOSE CRLOS MRITEGUI Ángulos conjugados externos 1 y 7 Ángulos alternos internos 2 y 8 3 y 6 4 y 5 Ángulos alternos externos 1 y 8 2 y 7 Ángulos correspondientes 1 y 5, 2 y 6, 3 y 7, 4 y 8 Congruencia de ángulos Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida. Si m^ = m^ TEOREMS Teorema # 1: Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes. H) 1 y 2 son ángulos opuestos por el vértice T) Demostracion firmaciones Razones 1.- m^1 + m^3 = 18º Por ser ángulos suplementarios 2.- m^2 + m^3 = 18º Por ser ángulos suplementarios 3.- m^1 + m^3 = m^2 + m^3 Igualando afirmaciones 1 y m^1 = m^2 Términos semejantes Por tener la misma medida Teorema # 2 Los ángulos internos, alternos externos y correspondientes, formados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal, son congruentes. Teorema # 3 Las bisectrices de dos ángulos suplementarios son perpendiculares entre si. Teorema # 4 34 EDUC INTERCTIV

10 UNIVERSIDD PRIVD DE MOQUEGU JOSE CRLOS MRITEGUI Las bisectrices de dos ángulos opuestos por en vértice, son colineales. Teorema # 5 Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos, son congruentes (paralelos en el mismo sentido) o suplementarios. P Ejercicio Q 1. - Uno de los ángulos complementarios, aumentado en π/6 rad es igual al otro. Cuanto mide cada ángulo?. H) ^α y ^β son complementarios T) m^α =? m ^β =? firmaciones Razones 1.- m^α + m^β = 9º Por ser ángulos complementarios 2.- m^α + 3º = m^β Por hipótesis 3.- 2m α = 6º Sumando afirmaciones 1 y m^α = 3º Multiplicando por ½ 5.- m^β = 6º Remplazando afirmación 4 en 1 y operaciones 2. - La diferencia de dos ángulos suplementarios es π/3 rad. Hallar el complemento del ángulo menor. H) m ^β - m ^α = 6º m ^β + m ^α =18º T) m ^α β firmaciones Razones 1.- m^β + m^α = 18º Por ser ángulos suplementario 2.- m^β - m^α = 6º Por hipótesis 3.- 2m^β = 24º Sumando afirmación 1 y m^β = 12º Simplificando 5.- m^α = 6º Remplazando afirmación 4 en Si al suplemento de un ángulo se le disminuye el sextuplo de su complemento, resulta la mitad del valor del ángulo. Hallar el suplemento del suplemento del suplemento del complemento del complemento del complemento del ángulo. EDUC INTERCTIV 35

11 UNIVERSIDD PRIVD DE MOQUEGU JOSE CRLOS MRITEGUI Solución: (18º - ) 6(9º - ) = /2 18º = / = /2 2(5-36) = 1-72 = 9 = 72 = 8º luego reemplazando en: 18 {18 [18-(9-(9-8)))]} = 17º 4.- El suplemento del complemento de un ángulo es igual a 3/2 de la diferencia entre el suplemento y el complemento de dicho ángulo. Hallar el ángulo Solución: 18-(9 X) = 3/2[(18 X) (9 X)] 9 + X = 3/2[18 X 9 + X] 9 + X = 3/2(9) 9 + X = 135º X = 135º - 9º X = 45º 5.- Hallar la medida de un ángulo, tal que el triple de su complemento sea igual al suplemento de su mitad. Solución: 3(9 X) = 18 X/2 27 3X = 18 X/2 9º = 5X/2 X = 36º 36 EDUC INTERCTIV

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