Matemáticas IV

Transcripción

1 Matemáticas IV.

2 COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA Director General Lic. Eusebio Pillado Hernández Director Académico Lic. Jorge Alberto Ponce Salazar Director de Administración y Finanzas Lic. Oscar Rascón Acuña Director de Planeación Dr. Jorge Ángel Gastélum Islas Matemáticas IV Módulo de Aprendizaje. Copyright, 007 por Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora todos los derechos reservados. Tercera edición 00. Impreso en Méico. DIRECCIÓN ACADÉMICA Departamento de Desarrollo Curricular Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur Hermosillo, Sonora. Méico. C.P. 880 Registro ISBN, en trámite. COMISIÓN ELABORADORA: Elaboración: Ramón Ezequiel Acosta Rey. Corrector de Estilo: María Esperanza Brau Santacruz Revisión de Contenido: María del Rosario Martínez García Supervisión Académica: Nancy Vianey Morales Luna Edición: Bernardino Huerta Valdez Coordinación Técnica: Martha Elizabeth García Pérez Coordinación General: Lic. Jorge Alberto Ponce Salazar Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de diciembre de 009. Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres de Estado de Sonora Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, Méico La edición consta de 9,989 ejemplares.

3 Ubicación Curricular COMPONENTE: FORMACIÓN BÁSICA CAMPO DE CONOCIMIENTO: MATEMÁTICAS Esta asignatura se imparte en el cuarto semestre, tiene como antecedente Matemáticas III, la asignatura consecuente es Cálculo Diferencial e Integral I y se relaciona con Cálculo Diferencial e Integral I, Cálculo Diferencial e Integral II y Probabilidad y Estadística. HORAS SEMANALES: 5 CRÉDITOS: 0 DATOS DEL ALUMNO Nombre: Plantel: Grupo: Turno: Domicilio: Teléfono:

4 FUNCIONES Sus características y propiedades conllevan Clasificación y operaciones Un análisis particularizado conduce al estudio de Funciones algebraicas Funciones trascendentes No trigonométrica Estudiando Limitadas a Funciones polinomiales Se concluye con Funciones de grado 0 a 4 Bases 0 y e En especial Función eponencial Y su inversa Funciones racionales Función logarítmica Utilizando RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Utilizando 4

5 Índice Recomendaciones para el alumno... 7 Presentación... 8 UNIDAD. RELACIONES Y FUNCIONES Relaciones y funciones Clasificación y transformación de funciones Tipos de funciones Funciones inversas Funciones especiales Transformaciones de gráficas de funciones... 7 Sección de tareas... Autoevaluación... 4 Ejercicio de reforzamiento UNIDAD. FUNCIONES POLINOMIALES La función polinomial Concepto de función polinomial La función constante como caso particular de la función polinomial La función lineal como caso particular de la función polinomial La función cuadrática como caso particular de la función polinomial Funciones polinomiales de grado y Sección de tareas Autoevaluación Ejercicio de reforzamiento UNIDAD. FUNCIONES RACIONALES La función racional Concepto de función racional Gráficas de funciones racionales Variación inversa Sección de tareas... 9 Autoevaluación Ejercicio de reforzamiento UNIDAD 4. FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA Función eponencial Concepto de función eponencial Variación eponencial El número e Función logarítmica Concepto de función logarítmica Logaritmos comunes y naturales Ecuaciones eponenciales y logarítmicas Sección de tareas... Autoevaluación...5 Ejercicio de reforzamiento...7 Claves de Respuestas...9 Glosario...0 Bibliografía General... 5

6 RIEMS Introducción El Colegio de Bachilleres del estado de Sonora, en atención a los programas de estudio emitidos por la Dirección General de Bachillerato (DGB), ha venido realizando la elaboración del material didáctico de apoyo para nuestros estudiantes, con el fin de establecer en ellos los contenidos académicos a desarrollar día a día en aula, así como el enfoque educativo de nuestra Institución. Es por ello, que actualmente, se cuenta con los módulos y guías de aprendizaje para todos los semestres, basados en los contenidos establecidos en la Reforma Curricular 005. Sin embargo, de acuerdo a la reciente Reforma Integral de Educación Media Superior, la cual establece un enfoque educativo basado en competencias, es necesario conocer los fines de esta reforma, la cual se dirige a la totalidad del sistema educativo, pero orienta sus esfuerzos a los perfiles del alumno y profesor, siendo entonces el camino a seguir el desarrollo de las competencias listadas a continuación y aunque éstas deberán promoverse en todos los semestres, de manera más precisa entrará a partir de Agosto 009, en el primer semestre. Competencias Genéricas CATEGORIAS I. Se autodetermina y cuida de sí. II. Se epresa y comunica III. Piensa crítica y refleivamente IV. Aprende de forma autónoma V. Trabaja en forma colaborativa VI. Participa con responsabilidad en la sociedad COMPETENCIAS GENÉRICA. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus epresiones en distintos géneros.. Elige y practica estilos de vida saludables. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contetos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y refleiva. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, Méico y el mundo. 0. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables. 6

7 Competencias Disciplinares Básicas Matemáticas. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.. Eplica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 6. Cuantifica, representa y contrasta eperimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. 7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y tetos con símbolos matemáticos y científicos. Competencias docentes:. Organiza su formación continua a lo largo de su trayectoria profesional.. Domina y estructura los saberes para facilitar eperiencias de aprendizaje significativo.. Planifica los procesos de enseñanza y de aprendizaje atendiendo al enfoque por competencias, y los ubica en contetos disciplinares, curriculares y sociales amplios. 4. Lleva a la práctica procesos de enseñanza y de aprendizaje de manera efectiva, creativa e innovadora a su conteto institucional. 5. Evalúa los procesos de enseñanza y de aprendizaje con un enfoque formativo. 6. Construye ambientes para el aprendizaje autónomo y colaborativo. 7. Contribuye a la generación de un ambiente que facilite el desarrollo sano e integral de los estudiantes. 8. Participa en los proyectos de mejora continua de su escuela y apoya la gestión institucional. 7

8 Recomendaciones para el alumno El presente Módulo de Aprendizaje constituye un importante apoyo para ti, en él se manejan los contenidos mínimos de la asignatura Matemáticas IV. No debes perder de vista que el Modelo Académico del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora propone un aprendizaje activo, mediante la investigación, el análisis y la discusión, así como el aprovechamiento de materiales de lectura complementarios; de ahí la importancia de atender las siguientes recomendaciones: Maneja el Módulo de Aprendizaje como teto orientador de los contenidos temáticos a revisar en clase. Utiliza el Módulo de Aprendizaje como lectura previa a cada sesión de clase. Al término de cada unidad, resuelve la autoevaluación, consulta la escala de medición del aprendizaje y realiza las actividades que en ésta se indican. Realiza los ejercicios de reforzamiento del aprendizaje para estimular y/o reafirmar los conocimientos sobre los temas ahí tratados. Utiliza la bibliografía recomendada para apoyar los temas desarrollados en cada unidad. Para comprender algunos términos o conceptos nuevos, consulta el glosario que aparece al final del módulo. Para el Colegio de Bachilleres es importante tu opinión sobre los módulos de aprendizaje. Si quieres hacer llegar tus comentarios, utiliza el portal del colegio: Presentación El presente módulo de aprendizaje corresponde a la asignatura de Matemáticas IV, fue desarrollado con un lenguaje sencillo, pensando en que es un material para uso de los alumnos especialmente, esperando con ello un aporte con claridad de los contenidos que se abordan. Los contenidos están organizados en cuatro unidades que comprenden los temas de: relaciones y funciones, funciones polinomiales, funciones racionales y funciones eponencial y logarítmica. En todas las unidades el estudiante desarrollará habilidades de comunicación al transitar por distintas formas de representación de las funciones. Es de suma importancia conocer todo lo relativo a las funciones dado que en nuestras actividades cotidianas nos encontramos ante situaciones que guardan cierta relación de correspondencia entre ellas, y aunque sean o no numéricas, nos conducen al concepto de función, con la cual es posible modelar esa dependencia para planteamientos que nos lleven a solucionar un problema. 8

9 y= f ( ) Unidad Relaciones y funciones. Objetivos: El alumno: Resolverá problemas sobre relaciones y funciones, teóricos o prácticos, mediante el manejo de la relación funcional entre dos variables, la realización de operaciones entre funciones, el uso de funciones inversas, funciones especiales, y las transformaciones de gráficas, en un ambiente escolar que favorezca la refleión y razonamiento abstracto, lógico, analógico y el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el cual se desenvuelve. Temario: La modelación de la relación de dependencia entre dos magnitudes se da, sin duda, a través de la función. Relaciones y funciones. Clasificación y transformación de funciones. A la función se le encuentra por todas partes, pues los procesos no se localizan en estado aislado, sino interrelacionados. Así, el concepto de función ocupa el punto central de todo el pensamiento matemático moderno.

10 Matemáticas IV FUNCIONES Constante Idéntica Especiales ALGEBRAICAS TRASCENDENTES Valor Absoluto Escalonada Según gráfica Según la relación entre el dominio y rango Según la estructura regla de correspondencia. Continuas y discontinuas Crecientes y decrecientes Compuestas Uno a uno Inversas Sobreyectiva Biyectiva 0

11 Relaciones y funciones.. RELACIONES Y FUNCIONES. Noción de relación y noción de función. Eisten situaciones en las que se puede observar que dos magnitudes guardan una correspondencia tal que el valor de una de ellas dependa de la otra, como se puede apreciar en los siguientes casos:. Si un objeto se mueve con una velocidad constante de metros por segundo, desde una posición que dista metros del punto de partida, las posiciones sucesivas pueden ser epresadas por la siguiente representación numérica: f Tiempo 0 4 Posición +()=5 +()=8 +()= +(4)=4 X Y Los valores de la posición dependen de los valores del tiempo.. La superficie que encierra una circunferencia dependerá de la medida del radio ( A = π r ).. El costo del recibo de luz dependerá de los kilowatts/hora consumidos en un mes. La dependencia que se observa entre dos magnitudes, puede ser epresada como ya se ha mostrado, por medio de una tabla de valores, o de una ecuación. Otra forma de epresar la relación de dependencia entre dos magnitudes es por medio de un conjunto de pares ordenados. En el curso de Matemáticas III, se definieron los lugares geométricos como un conjunto de puntos o pares ordenados que cumplen una cierta propiedad geométrica que se epresa mediante una regla en forma de ecuación, por ejemplo: Una parábola cuya ecuación es y = 4, puede ser epresada mediante un conjunto de pares ordenados o mediante una gráfica: Pares ordenados: {(0,0), (,), (,-), (,.8),(,-.8),(,.4),(.-.4)} Gráfica: y

12 Matemáticas IV Podemos definir a una relación como un conjunto de pares ordenados. La palabra clave de las matemáticas es la función, su nombre proviene del latín functio, que significa ejecución. Llegar al concepto actual de función fue un proceso de varios siglos, hasta que se obtuvo su definición moderna, la cual fue dada por el matemático alemán Peter Dirichlet en 87. Así, {(0,0), (,), (,-), (,.8),(,-.8),(,.4),(.-.4)}, representan una relación. Dentro de las relaciones hay una clase especial llamada función. Una función es una relación en la que al primer componente del par ordenado, solamente le corresponde uno y solamente un valor como segundo componente del par. Ejemplo: {(0,0),(,),(,8),(,4)} representa una función, dado que el primer elemento se corresponde sólo con un valor, mientras que en la relación dada anteriormente, podemos observar que el primer elemento del par se repite, correspondiéndose con dos diferentes segundos elementos. RELACIONES Toda función es una relación, pero no toda relación es una función. FUNCIONES Con base en el concepto dado de función, podemos identificar cuándo una gráfica la representa, si al trazar una recta vertical ésta sólo la intercepta en un punto. En caso contrario, corresponderá a una relación que no es función. 4 a) b) La gráfica no le corresponde a una función, pues la recta vertical la intercepta en más de un punto. La gráfica es de una función, dado que la recta vertical sólo la intercepta en un punto.

13 Relaciones y funciones Diversas formas de representación de una función. Una función puede ser representada a través de una ecuación, una tabla de valores, un conjunto de pares ordenados o mediante una gráfica. Sea la función y = + 5, la relación de dependencia entre los valores de las variables puede ser epresada mediante la siguiente tabla: X - 0 y = + 5 ( ) ( ) + 5 = (0) (0) + 5 = 5 () () + 5 = 5 La cual nos conduce a la forma del siguiente conjunto de pares ordenados: {(-,),(0,5),(,5),(,9)} los cuales a su vez si se llevan a un sistema cartesiano nos produce la gráfica de la función. y La forma simbólica para epresar la eistencia de una función es mediante la igualdad y = f (), donde f () ; representa la regla que define a la función. En el siguiente ejemplo y = + 5 ; la regla que define a la función es: cada valor de, multiplicarlo por y luego a este resultado sumarle 5. Los diferentes resultados de la función que se obtienen con la regla de correspondencia que la define corresponden a las variaciones de y. Una función puede ser epresada en forma eplícita o en forma implícita. Por ejemplo, la función dada en el ejemplo anterior está dada en forma eplícita. Si asociamos sus términos en un solo lado de la igualdad, entonces tendremos la forma implícita y + 5 = 0. En geometría analítica se manejó la ecuación de la recta en la forma: a) Eplícita: Pendiente-ordenada en el origen y = m + b b) Implícita: Forma general A + By + c = 0 Ambos casos epresan una función y dada en términos de [ y = f () ]

14 Matemáticas IV Entonces, se pasa de la forma implícita a la eplícita, despejando y de A+By+C=0: C y = ( A ) ( ) B + B A+By+c Dominio, codominio o rango. Se llama dominio al conjunto de números reales que se le pueden asignar a la variable que epresa la regla de correspondencia de la función y que producen un resultado definido. La variable que participa en la regla de correspondencia de la función se le conoce con el nombre de variable independiente. El dominio de una función se puede definir como el conjunto de valores que se le pueden asignar a la variable independiente y para los cuales queda definida la función. En la función f ( ) =, el dominio estará formado solamente por los valores de 4 que produzcan un resultado definido, por lo que se ecluirá el caso cuando =4, pues no es posible la división entre cero. Entonces, en las funciones racionales se deben ecluir los valores de, para los que se anula el denominador. En la función g( ) 9 =, el dominio estará formado por todos los valores de que produzcan un resultado no negativo en el radicando (9- ); en este caso el dominio estará formado por todos los valores de, que sean menores e iguales que y mayores e iguales que -. Observemos que para valores mayores que, el resultado en el radicando es negativo, y lo mismo sucede para valores menores que -. Las funciones que en su regla de correspondencia contienen un radical, el dominio estará formado por el conjunto de valores que no produzcan un resultado negativo en el radicando. 4

15 Relaciones y funciones Si la regla de correspondencia que define a la función es un polinomio, entonces el dominio quedará formado por todos los números reales, pues su estructura no presenta restricciones. Ejemplo: La función y = acepta en su dominio a todos los números reales. Para su graficación es recomendable considerar una muestra de números negativos y de positivos incluyendo al cero. Se llama codominio o rango de una función al conjunto de valores que se obtienen cuando los elementos del dominio son sustituidos en la regla de correspondencia de la función. Entonces el codominio está formado por los valores que alcanza la función, o sea, por el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente. A manera de conclusión podemos afirmar que: Una función se puede comparar con un procedimiento en el que cada uno de los valores de entrada (dominio) se somete a una regla f() para producir un valor de salida (codominio o valor de y). Ejemplo: f()= + - Entrada X= Regla de correspondencia + = () + - Salida f( )= y= 5

16 Matemáticas IV De manera individual contesta cada uno de los siguientes ejercicios y muestra tus resultados al profesor. EJERCICIO. Determina cuál de las siguientes relaciones representa a una función y eplica el por qué. a) {(,-), (,), (,5), (,-)} b) {(-,), (-,0), (0,), (,), (,)}. Anota bajo cada gráfica si se trata de una función o de una relación Halla el dominio de cada una de las siguientes funciones algebraicas: a) f ( ) = b) f ( ) = c) f ( ) = d) g ( ) = 4 e) f( ) = 4 f) y + 8y = 5 g) f () = Grafica cada una de las funciones anteriores y escribe su codominio. 5. La función S = f n) = ( n + n) ( modela la recaudación de una rifa conocida como rascadito, en la que se paga en pesos la cantidad entera que aparezca desde hasta n. Cuánto se recaudaría si la rifa fuera de? a) 5 números. b) 50 números. c) 00 números. 6

17 Relaciones y funciones. CLASIFICACIÓN Y TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES.... Tipos de Funciones. Algebraicas y trascendentes. Las funciones se pueden clasificar de diferentes maneras. Primeramente, según el tipo de operaciones que se tienen que realizar para obtener sus valores, se clasifican en algebraicas y trascendentes: Las funciones algebraicas se refieren a aquellas cuya regla de correspondencia puede ser epresada por medio de un polinomio, una epresión racional (cociente de dos polinomios) o una epresión irracional (forma radical). Las funciones trascendentes se refieren a las funciones cuya regla de correspondencia no es algebraica, como las funciones trigonométricas (vistas en el curso de Matemáticas II), las funciones eponenciales y las logarítmicas. Esta clasificación se puede resumir en el siguiente cuadro: FUNCIONES ALGEBRAICAS POLINOMINALES RACIONALES IRRACIONALES TRASCENDENTES TRIGONOMÉTRICAS EXPONENCIALES LOGARÍTMICAS Continuas y discontinuas Según su gráfica, las funciones pueden clasificarse en continuas y discontinuas. Gráficamente se prueba que una función es continua si se puede trazar sin levantar el lápiz del papel, pues en caso contrario corresponderá a la de una función discontinua. Si consideramos la función f ( ) =, al hacer su gráfica podemos observar que se puede hacer de un solo trazo, por lo que se trata de una función continua. f() Las condiciones que debe de satisfacer una función para que sea continua, se formalizarán en el curso de cálculo diferencial

18 Matemáticas IV En cambio, en la gráfica de la función racional, discontinua en = 0. y =, se observa que es la de una función y Crecientes y decrecientes Las funciones pueden generar gráficas que son crecientes o decrecientes. Que una función sea creciente significa que los valores de f() crecen conforme crece. Las siguientes gráficas corresponden a funciones crecientes: f(b) f(b) f(a) - a b f(b) f(a) - a b f(a) - - a b - - Una función será creciente si al evaluarla en dos valores a y b de su dominio tal que a < b se cumple que f (a) < f (b). Que una función sea decreciente significa que los valores de f() decrecen conforme crece. Una función será decreciente si al evaluarla en dos valores a y b de su dominio tal que a < b se cumple que f (a) > f (b). De manera similar, las siguientes gráficas corresponden a funciones decrecientes:

19 Relaciones y funciones En equipos de dos alumnos, resuelve los siguientes planteamientos y luego presenta los resultados obtenidos a tu profesor para su comparación con los del resto de los equipos formados. Finalmente, anota la conclusión grupal en cada caso analizado. EJERCICIO ) Investiga el significado de trascendente y eplica cómo se relaciona este significado con relación a las funciones algebraicas. ) Presenta una gráfica que represente a una función continua y otra a una discontinua. ) Determina para qué valor de la siguiente función es discontinua. 6 f () = 4 a) Simplifica el cociente dado en la regla de correspondencia anterior y escribe el resultado. b) Grafica por separado la función dada en ) y la obtenida en a), y comprueba que sólo son diferentes en el punto de discontinuidad. 4) Escribe una representación tabular de una función que cumpla con las condiciones para ser creciente y muéstralo gráficamente. 5) Haz un bosquejo de la gráfica (trazo) de una función que cumpla con las siguientes condiciones: a) Discontinua en = y decreciente. b) Continua, creciente para valores de entre - y - y decreciente para valores de entre 0 y. Uno a uno, sobreyectivas y biyectivas. En los diferentes tipos de funciones, cuando se considera la forma como está asociado el dominio con su rango, se pueden clasificar en:. Funciones uno a uno o inyectivas.. Sobreyectivas o suprayectivas.. Biyectivas o biunívocas. TAREA Página. Una función es uno a uno (inyectiva) si cada valor del dominio está asociado con eactamente un valor del rango. La condición dada anteriormente nos asegura que si se produjera que f(a)=f (b), sería porque a=b. La función lineal f() = -, es un ejemplo de una función uno a uno, porque para dos valores diferentes de su dominio se tienen eactamente dos valores diferentes de su rango o contradominio. Por ejemplo: Si =, se tiene que f () = -; y si =, se tiene que f () = 9

20 Matemáticas IV Una función será sobreyectiva cuando un mismo valor del rango se corresponde con al menos un valor del dominio. Cuando se conoce la gráfica de una función, una manera de saber cómo están asociados los valores de su dominio con los del rango es aplicando la prueba de la recta horizontal, para ver en cuántos puntos ésta corta a la gráfica. La frase cuando mucho implica eactamente uno o ningún elemento. Mientras que la frase cuando menos implica uno, dos o más elementos. Si corta a la gráfica en cuando mucho un punto, entonces la función será inyectiva o uno a uno. Si corta a la gráfica en más de un punto, entonces la función será sobreyectiva o suprayectiva. En estas funciones, un valor del rango se asocia con cuando menos un valor del dominio. Y= Y= La función es uno a uno. Cada valor del dominio está asociado a eactamente un valor del rango La función es sobreyectiva. El mismo valor del rango se asocia son al menos un valor del dominio. Cuando una función cumple con las condiciones dadas tanto para las inyectivas como para las suprayectivas, recibe el nombre de biyectiva. Un ejemplo de estas funciones lo encontramos en las lineales, cuya gráfica es una recta. y Hay funciones inyectivas que son sobreyectivas, pero no toda función sobreyectiva es inyectiva. Esta gráfica Es inyectiva porque cada valor del dominio está asociado con un valor del rango. Es sobreyectiva porque cada valor del rango está asociado a un valor del dominio Por lo que también es: Biyectiva. Una función es biyectiva cuando además de ser sobreyectiva también es inyectiva. 0

21 Relaciones y funciones En forma individual contesta los siguientes ejercicios, compara los resultados con tus compañeros de al lado y, después, muéstralos a tu profesor para su evaluación.. Es biyectiva la función gráfica correspondiente. y =? Justifica tus respuestas apoyándote en la EJERCICIO. Clasifica cada una de las siguientes funciones como inyectivas, sobreyectivas o biyectivas según sea el caso: a) y = +. b) c) y = 9. f ( ) =. d) y = +.. Consideremos la cantidad de alumnos y el número de escritorios disponibles en un salón de clases, describe brevemente bajo qué circunstancias se produce: a) Una correspondencia inyectiva o uno a uno. b) Una función sobreyectiva. c) Una función biyectiva. 4. Entre los libros de una biblioteca y la correspondiente clave que se le asigna, se produce una relación sobreyectiva? Eplica tu respuesta.... Funciones Inversas. Noción de función inversa. Una función uno a uno nos asegura la formación de una segunda función al invertir los pares ordenados. Ejemplo: Si consideramos la función f: {(0,), (,), (,5), (,0), (4,7)}, la cual es uno a uno, podemos definir ahora la función f - : {(,0),(,),(5,),(0,),(7,4)}. A esta segunda función que resulta del intercambio de su dominio y rango, se le conoce con el nombre de función inversa. En la notación f, empleada para indicar la inversa de una función, el valor - no se debe confundir con un eponente, pues no se trata de una potencia sino de una representación simbólica.. Obtención de parejas ordenadas y de la regla de correspondencia La función y su inversa, gráficamente muestran una simetría con respecto a la recta y=. Así, si epresamos la función y = + 5 como un conjunto de parejas ordenadas, obtenemos f = {(-,-), (-,), (0,5), (,8), (,)}.

22 Matemáticas IV Las parejas ordenadas que definen a la correspondiente función inversa son: f = {(-,-), (,-), (5,0), (8,), (,)}. Vistas gráficamente las dos, nos quedan de la siguiente forma: y 6. y = f ( ) = y = f () = Como puedes observar, hallar la inversa de una función definida como un conjunto de pares ordenados es fácil, pero cuando está dada en la forma eplícita, y=f(), cómo se obtiene la regla de correspondencia de su inversa? El procedimiento mostrado anteriormente de invertir el dominio y el rango, cuando la función está definida como un conjunto de pares ordenados, sugiere: ) Cambiar el nombre de las variables, quedando entonces epresada la función en la forma =f (y). ) Pero como no estamos acostumbrados a considerar a la variable y como independiente, entonces para que siga teniendo el papel de dependiente, la despejamos de la forma obtenida como =f (y). Ejemplo: Para hallar la inversa de la función y = + 5 TAREA Página. ) Cambiamos el nombre de las variables: = y =f (y) 5 ) Despejamos la variable y; y = y= f - () Dominio y rango Lo que hemos observado hasta aquí es que el dominio de la función dada se convierte en el rango de la función inversa, y el rango de la función dada es el dominio de la función inversa. Toda función biunívoca (uno a uno) tiene una inversa.

23 Relaciones y funciones En forma individual, contesta y/o resuelve lo siguiente, argumentando la teoría en la que se soporten tus respuestas. Presenta los resultados a tu profesor. EJERCICIO 4. Para cada una de las siguientes representaciones de una función determina si su inversa es también una función. Razona tu respuesta. a) y b) f() = +5 c) Cuál de las tres funciones dadas en el ejercicio es sobreyectiva? Argumenta tu respuesta.. Una función sobreyectiva no tiene inversa que sea también función. Cómo podemos lograr que en una función sobreyectiva su inversa sea también función? 4. Traza la gráfica de las funciones siguientes y la de su correspondiente función inversa, empleando el mismo sistema de coordenadas. a) + y = b) f()= 4 + c) y = 5 5. Dibuja la inversa de la siguiente función: A partir de su dominio y rango. y TAREAS y Páginas 5 y

24 Matemáticas IV... Funciones Especiales. Dentro del grupo de las funciones algebraicas eisten cuatro tipos que pueden clasificarse como especiales, que son: La función constante, la idéntica, la de valor absoluto y la escalonada. Función constante, idéntica y valor absoluto. Una función constante es sobreyectiva, ya que el mismo valor del rango o codominio queda asociado con todos los valores del dominio. Ejemplos de funciones constantes: y=, f()=5, y=-, etcétera. Las gráficas de las funciones constantes son horizontales y, por tanto, paralelas al eje. En forma general, su ecuación queda epresada de la forma y = k, 6 y 4 f () = Se llama función idéntica o identidad a la función biyectiva, cuya ecuación es y=. El nombre de idéntica lo recibe porque su dominio es idéntico al rango o codominio, por lo que su gráfica corresponde a una recta que pasa por el origen de coordenadas, formando un ángulo de 45º con respecto al eje. y 45º - - X - - 4

25 Relaciones y funciones La función valor absoluto tiene por ecuación y =, y tiene la propiedad de que todos los elementos del codominio o rango siempre son positivos, ( y 0 ), esto es que los valores negativos del dominio cambian a valores positivos en el rango, como se observa en su gráfica: y 6 4 f () = -5 5 Obtenida de la forma tabular: X Y Funciones escalonadas La función escalonada se define por partes, donde cada parte corresponde a una función constante. Su representación gráfica es de la forma siguiente: La gráfica presenta una discontinuidad de saltos. Cada escalón es la gráfica de una función constante, es decir, que se trata de funciones constantes por trozos. En otras palabras, las funciones escalonadas se pueden describir como aquellas cuyas gráficas se forman por partes de rectas horizontales, lo que hace que presenten la discontinuidad de saltos. Observemos que en la gráfica, para =00, el valor de la función que se lee en la gráfica es 000; dado que 00 es un valor del dominio de la función constante (escalón); f (00)=

26 Matemáticas IV En la gráfica de la función máimo entero, el círculo en blanco indica que en ese punto no está definida la función, mientras que el círculo negro, la función tiene el valor que corresponde a la ordenada para el valor correspondiente de. Eiste otro tipo de función escalonada llamada función máimo entero, cuya gráfica está formada por una serie de segmentos unitarios (longitud uno), faltándole a cada uno su etremo derecho, como se muestra en la siguiente gráfica. La función máimo entero se epresa como f()= []; donde el símbolo [ ] indica el máimo entero menor que, o igual a. Por ejemplo: [.] = porque es el máimo entero menor o igual a., [0.64] = 0 porque 0 es el máimo entero menor o igual a 0.64 Para indicar una función compuesta con f y g, también se emplea el símbolo f o g en lugar de f [g()] ó, Se emplea g o f en lugar de g [f()].. Funciones compuestas. Las funciones compuestas se pueden crear cuando en la variable independiente de una de las funciones se sustituye la regla de correspondencia de la otra función. Así, por ejemplo, con la función f, definida por f()= + y la función g, por g()=, se pueden crear diferentes funciones compuestas, dependiendo de la función que sea tomada como la nueva variable independiente.. Si la función g se sustituye en la regla de correspondencia de la función f. y= f [g()]= ( - )+. Si la función f se sustituye en la regla de correspondencia de la función g. y= g [f()] = ( + ) -. Si la función f se sustituye en su misma regla de correspondencia. y= f [f()] = ( + ) + 4. Si la función g se sustituye en su misma regla de correspondencia. y= g [g()] = ( - ) - TAREA 5 Página 9. La función compuesta creada con una función y su inversa siempre da como resultado la de identidad. La función y = ( ) = f + 5, tiene como inversa f () = 5 f [f ()] = ( 5 ) + 5 = 5+ 5 y =. Función identidad 6

27 Relaciones y funciones En binas, realiza los ejercicios indicados, compara los resultados con los de tus compañeros y muéstralos a tu profesor. EJERCICIO 5. Traza la gráfica en cada caso e identifica el tipo de función. a) f() = 5 b) c) y = g ( ) = si 0 si < 0 si 0 si >. Con la función f ) = + 5 y su correspondiente inversa, obtén la función ( compuesta y comprueba que el resultado es igual a la función identidad f [ f ( )] = { }. La gráfica obtenida en.b), se corresponde con la de valor absoluto? Escribe tu conclusión...4. Transformación de gráficas de funciones. Desde geometría plana se conoce la propiedad de las figuras de poder desplazarse manteniendo su forma y tamaño, misma situación que ocurre con las gráficas de las funciones, cuando se mueven en el plano cartesiano. Las transformaciones de la gráfica de una función ocurren cuando ésta se desplaza en el plano o se refleja con relación a una recta. El desplazamiento o refleión produce un cambio en la regla de correspondencia de la función, transformándola a otra que contiene valores constantes que se identifican con el nombre de parámetros. Ejemplos de funciones que contienen parámetros en su regla de correspondencia: y = y = m+ b Parámetros 7

28 Matemáticas IV Traslaciones horizontales y verticales. I. Si la función f() se cambia por f() + c, el parámetro c produce una traslación vertical de la gráfica de f(). A la nueva función que se forma le llamaremos g()= f()+c y y g()=f() + f()= f()= g()=f() Gráficas de f()= y de g()= +. Gráficas de f()= y de g()=. Al comparar las gráficas de las funciones, se deducen los siguientes efectos del parámetro c cuando éste se suma a f().. Si c > 0 la gráfica de f() se traslada hacia arriba c unidades.. Si c < 0 la gráfica de f() se traslada hacia abajo c unidades. II. Si f() se cambia por f(+c), la gráfica de f() se desplazará horizontalmente a la izquierda o a la derecha, dando origen a la formación de la nueva función transformada: g() = f(+c), como se visualiza el siguiente ejemplo: g()=f(+) 4 4 f()= f()= g()=f(-)

29 Relaciones y funciones Si comparamos la gráfica punteada con la gráfica de trazo continuo, podemos visualizar los efectos del parámetro sobre la nueva posición en el plano de la gráfica de f(), cuando se transforma en la función g()= f(+c): a) Si c > 0; la gráfica de la función f() se desplaza hacia la izquierda c unidades. b) Si c < 0; la gráfica de la función f() se desplaza hacia la derecha c unidades. Refleión respecto a los ejes y a la recta a 45º. La ecuación de una función f() puede ser transformada cuando introducimos en ella el signo menos. Hay dos formas de introducir el signo menos en la regla de correspondencia de una función: a) Cuando cambiamos f() por f (-) En este caso, la función f() se refleja con respecto al eje y, (efecto equivalente a que el eje y fuese un espejo). y 6 4 f(-)= - f()= b) Cuando cambiamos f() por f(). En este caso la función f() se refleja con respecto al eje de las. 6 4 f()= 4 f()= g()=-f() -6 9

30 Matemáticas IV c) La refleión de f() con respecto a la recta de 45º, se produce cuando en el mismo sistema de coordenadas la graficamos junto con su inversa. Ejemplo, si graficamos la función f() =, en el dominio 0, la gráfica de su inversa será la imagen reflejada con respecto a la recta de 45º Observa que el dominio ha sido restringido en f() para que la gráfica resultante sea uno a uno, y así poder asegurar la correspondiente función inversa. 4 f ( ) = EJERCICIO 6 En forma individual realiza los ejercicios que se presentan a continuación, si surge alguna duda consulta tus apuntes y a tu profesor. Compara los resultados con los de tus compañeros.. Tomando como base la gráfica de ( ) siguientes funciones: a) g ( ) = + b) y = ( ) c) h ( ) = +. Traza la refleión de la gráfica de la función de 45º (función identidad y=). f =, grafica cada una de las y = con respecto a la recta TAREA 6. Cuál es la ecuación que corresponde a la gráfica reflejada en el ejercicio? Página 4. Ojo! Recuerda que debes resolver la auto evaluación y los ejercicios de reforzamiento; esto te ayudará a enriquecer los temas vistos en clase. 0

31 Relaciones y funciones TAREA Nombre No. de lista Grupo Turno Fecha INSTRUCCIONES: En forma individual, realiza cada una de los siguientes ejercicios y entrega los resultados a tu profesor.. Clasifica el siguiente conjunto de parejas ordenadas {( 5, ),(, ), (,0)(,, )(, 5,)(, 5, )} como una función o una relación y argumenta tu respuesta.. Analiza el dominio y la gráfica de las siguientes funciones y escribe sobre la raya si son continuas o discontinuas: a) y= {(,), (,5), (,7), (.5, 8)}. b) f() = +. c) g() = 9.. Escribe el dominio restringido para que la relación {( 7, ),(, ), (,0 ), (, ),(7,),(7,)} conjunto de pares ordenados que correspondan a una función., aporte el 4. Elabora un mapa conceptual que contenga las clasificaciones de las funciones vistas en esta primera unidad del curso. 5. Según el trazo que corresponde a una función creciente, describe las condiciones que se cumplen para dos valores de su dominio con respecto al rango. De igual forma para una función decreciente. 6. Una función tiene la siguiente regla de correspondencia: cada valor de se aumenta en dos, luego el resultado se eleva al cuadrado y finalmente se restan cinco unidades. Escribe la función, como: a. Una tabla de valores. b. Un conjunto de pares ordenados. c. Una gráfica. d. Una ecuación.

32 Matemáticas IV

33 Relaciones y funciones TAREA Nombre No. de lista Grupo Turno Fecha INSTRUCCIONES: Encuentra la respuesta correcta que corresponde a cada uno de los siguientes ejercicios.. Aplica el criterio de la recta horizontal y determine cuál de las gráficas corresponde a una función uno a uno. a) b c Y d 5. Epresa la inversa de f ( ) = + 4, como un conjunto de pares ordenados, y construye su gráfica.

34 Matemáticas IV. Escribe la ecuación que corresponde a la inversa de cada una de las siguientes funciones. Grafícalas en el mismo sistema coordenado. ) f () = + ) y = + ; ) f ( ) = 4) 5) + y = + 4 f() = 4. La función y = + no es uno a uno, bajo qué restricción de su dominio se transforma en una función uno a uno? a) Muestra tu respuesta gráficamente. b) Grafica la función inversa correspondiente. 5. Para cada gráfica traza la que corresponde a y = f(). f ( ) f ()

35 Relaciones y funciones TAREA Nombre No. de lista Grupo Turno Fecha INSTRUCCIONES: Evalúa las funciones y entrega a tu profesor los resultados encontrados.. Con la lista de cotejo que se presenta a la derecha, evalúa las funciones cuyas gráficas se muestran, escribiendo al pie de ellas dentro de cada cuadro la letra que corresponda a la característica que presentan. Uno a uno I Sobreyectiva S Biyectiva B Continua C Creciente Cr Decreciente D Creciente y decreciente y CD _ y

36 Matemáticas IV a) Según los resultados obtenidos, las dos funciones que tienen inversa son: y. Por qué?.. Con base en la gráfica que se muestra, obtén la gráfica reflejada a la función idéntica y =. y Gráfica de y = Revisión: Observaciones: 6

37 Relaciones y funciones TAREA 4 Nombre No. de lista Grupo Turno Fecha INSTRUCCIONES: Realiza la actividad que se indica y además resuelve los ejercicios que se plantean.. En equipos de tres alumnos, investiga en los departamentos de mensajería los costos de envío de un paquete según su peso, y en forma individual: a) Concentra los datos obtenidos empleando la forma tabular. b) Escribe el dominio y el rango de la función investigada. c) Grafica los datos investigados. d) A qué tipo de función corresponde la gráfica obtenida?.. Grafica la función definida de la siguiente manera: f ( ) = 4 si es mayor oigual que si es mayor oigual que si es mayor oigual que, pero menor que 0 pero menor que 5 5 pero menor que 8 a) Describe su dominio y rango. Dominio: ; Rango:.. En cada caso grafica la función que se indica: a) y = [ + ] b) y = [] + 7

38 Matemáticas IV Revisión: Observaciones: 8

39 Relaciones y funciones TAREA 5 Nombre No. de lista Grupo Turno Fecha INSTRUCCIONES: En forma individual resuelve cada una de las cuestiones que se plantean.. Si el área de una circunferencia es A(r)=π r y si r (d)=d/, determina la función compuesta: A = [f (d)].. En una tienda se observa la siguiente promoción: En la compra de un juego de maletas obtenga un 0% de descuento, y además un descuento adicional de 5 pesos". Si consideramos las funciones c()= 0.8 y p()= -5. a) Calcula c [p()] y p [c()]. b) Cuál de los resultados obtenidos determina el pago del juego de maletas?. c) Cuánto se pagará por un juego de maletas con precio de lista de 650 pesos?.. Encuentra la función compuesta que se indica en cada caso, si f() = ; g() = + a) f [g()]=. b) f ο f =. c) g ο f =. d) g [g()]=. 4. Escribe una función irracional y comprueba que la función compuesta que se obtiene con su inversa, corresponde a la función identidad o idéntica. Función irracional:. Función inversa:. Función compuesta:. 9

40 Matemáticas IV Revisión: Observaciones: 40

41 Relaciones y funciones TAREA 6 Nombre No. de lista Grupo Turno Fecha INSTRUCCIONES: Realiza las actividades que se te indican.. Elabora un resumen sobre las modificaciones que se producen en la gráfica de una función cuando se introducen parámetros en su ecuación.. Ilustra con un ejemplo cada caso contenido en el resumen elaborado.. Las gráficas que se muestran son transformaciones de la función y =. Determina el valor del parámetro y escribe la ecuación de la nueva función: Parámetro:. Ecuación de la función F() = Parámetro:. Ecuación de la función h() = Parámetro:. Ecuación de la función g() = Parámetro:. Ecuación de la función H() =. 4

42 Matemáticas IV 4. A partir del conocimiento de las gráficas de las funciones básicas, realiza un bosquejo de las transformaciones geométricas que corresponden a cada una de las siguientes funciones: ) y=(+) ) f()= 4 ) f () = + 4) g() = - + ) ) ) 4) _ Revisión: Observaciones: 4

43 Relaciones y funciones AUTOEVALUACIÓN Nombre No. de lista Grupo Turno Fecha INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo de la opción que consideres correcta.. Es el par ordenado que se requiere eliminar de la relación {(,5),(,7),(,9),(4,),(, ) }, para que nos quede la representación de una función. (,7) (,9) (4,) (,-). Es la ecuación que corresponde a una función discontinua. y = y = y = y =. Cuando una función es el valor de entrada en otra función, la obtenida se llama: Inversa. Compuesta. Mita. Simple. 4. Las gráficas de una función y su inversa son simétricas con respecto a: El eje. El eje y. Y =. Ambos ejes. 5. Si el costo de un teléfono celular que tiene el 0% de descuento está dado por la función C( ) = 0. 0, mientras que el IVA relativo al impuesto está dado por I ( ) = 0. 5 ; entonces la I C es: epresión que corresponde a [ ( )] 0.5(0.9).5 0.5(-0.9) 0.0(0.9) 4

44 Matemáticas IV 6. Si en y = f() se cambia por (-) entonces la nueva función obtenida g()= f(-) nos indica que la gráfica de la función y=f(): Se desplaza unidades hacia arriba. Se desplaza unidades hacia la izquierda. Se desplaza unidades hacia abajo. Se desplaza unidades hacia la derecha. 7. La gráfica de y = +, corresponde a una transformación geométrica de la gráfica de cuando ésta, se refleja con respecto al eje:: y y sube una unidad. y sube una unidad. y y baja una unidad. y baja una unidad. f ( ) =, 8. Las ofertas de pago por la adquisición de un producto en una subasta, van cambiando en forma creciente conforme transcurre el tiempo. Este proceso se describe con la gráfica de la función: Identidad. Constante. Valor absoluto. Escalonada. 9. La función h( ) = f ( ) es la refleión de la función ( ) Al eje. Al eje y. A ambos ejes. A la recta a 45º. f respecto: 0. La aceleración que se produce en un cuerpo en caída libre, con respecto al tiempo, queda epresado por una función: Identidad. Constante. Valor absoluto. Escalonada. ESCALA DE MEDICIÓN DEL APRENDIZAJE Si todas tus respuestas fueron correctas: ecelente, por lo que te invitamos a continuar con esa dedicación. Si tienes de 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es necesario que nuevamente repases los temas. Consulta las claves de respuestas en la página 9. Si contestaste correctamente 7 o menos reactivos, tu aprendizaje es insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu profesor. 44

45 Relaciones y funciones EJERCICIO DE REFORZAMIENTO Nombre Núm. de lista Grupo Turno Núm. de Epediente Fecha INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes ejercicios y pon a prueba tus aprendizajes y destrezas.. En la siguiente tabla formada con los valores de entrada y valores de salida, eiste una regla de correspondencia que los relaciona. Entrada Salida a) Completa los valores que faltan. b) Cuál es la vigésima salida de la tabla? c) Epresa como un conjunto de parejas ordenadas los valores dados en la tabla. d) Representa gráficamente las parejas ordenadas en un sistema coordenado. e) Divide cada valor de salida entre el correspondiente valor de entrada y anota los residuos de la división. f) De acuerdo con los resultados obtenidos en el inciso anterior, se puede visualizar la regla de correspondencia de la función dada en la forma tabular. Anota la regla. g) Escribe la ecuación que representa a la función de los valores de la tabla. h) Encuentra la función inversa correspondiente.. Tomando como referencia la gráfica de la función y = ( ) = f ( ) + g.. Con la función f()= +5 y la función g()= Sen(), obtén: a) H()=f[g()] b) C()=g[f()] c) h()=fof, obtén la gráfica de la función 45

46 Matemáticas IV Revisión: Observaciones: 46

47 C Unidad Funciones polinomiales Objetivos: El alumno: t Resolverá problemas de funciones polinomiales, teóricos o prácticos, utilizando sus propiedades algebraicas y geométricas, en un ambiente escolar que favorezca la refleión sobre el análisis y razonamiento práctico, así como el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el entorno en que se desenvuelve. Temario: La función polinomial. Es a través de las funciones como se pueden modelar situaciones de muy variada naturaleza.

48 Matemáticas IV FUNCIONES POLINOMIALES Gráfica y característica FUNCIÓN CONSTANTE FUNCIÓN LINEAL FUNCIÓN CUADRÁTICA FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADO Y 4 MODELAJE DE PROBLEMAS RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. RAÍCES REALES Y COMPLEJAS 48

49 Funciones polinomiales.. LA FUNCIÓN POLINOMIAL Las funciones epresadas en la forma de ecuación, se utilizan como medio para modelar situaciones en las que se observa la relación entre magnitudes. Si te fijas en los siguientes casos, en cada uno de ellos se encuentra inmersa la función que lo modela.. Cuando las siembras de trigo de la región del Mayo sufren la invasión de la plaga conocida como chahuiztle, ésta las afecta a un ritmo constante de. hectáreas por día. Si en una siembra de 50 hectáreas se ha detectado chahuiztle, epresa la función que indique el número de hectáreas que son invadidas en días. Si representamos con y el número de hectáreas invadidas, entonces, el valor constante de. corresponde a la comparación y, dando la ecuación y =. ; de donde la función correspondiente es: y =. o f() =. La relación entre el número de lados y diagonales de un polígono se muestra en la siguiente tabla: y Cómo puedes describir esta relación por medio de una función? Solución. En la tabla se observa que los valores de se incrementan de uno en uno. Buscamos un patrón característico para los valores de las diferencias en y, hasta obtener un resultado constante. 49

50 Matemáticas IV Como las primeras diferencias entre los valores de y no resultaron iguales, se concluye en primer término que la función no es lineal. Los valores iguales se obtienen hasta las segundas diferencias, entonces se trata de una función cuadrática. Para obtenerla sustituimos en la función tipo y = a + b + c, los valores de tres parejas y luego resolvemos el sistema de ecuaciones que resulta: f () = a() + b() + c = 0 f (4) = a(4) + b(4) + c = f (5) = a(5) + b(5) + c = 5 Simplificando: 9a + b +c = 0 6a + 4b + c = 5a + 5b + c = 5 Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos: a= B= C= 0 El modelo buscado es y= ( ) = - Que en tu curso de matemáticas del segundo semestre lo manejaste como D = n(n-)/. En los casos anteriores, los resultados que se han obtenido corresponden a casos particulares de una función polinomial.... Concepto de función polinomial. Notación y características. Una función polinomial es una función de la forma n n f = a + a + + a, donde todos los eponentes de son ( ) n n + a0,,..., a números enteros no negativos y an an a, 0 son números reales. Grado de una función polinomial. La función lineal también se escribe como y = m + b Y la función cuadrática como y = a + b + c La representación general de la función polinomial nos dice que, según la eistencia del término de la potencia con mayor eponente, se determina el grado del polinomio que forma parte de su regla de correspondencia, así de: n n f ( ) = an + an + + a + a0 se generan: a) La función constante (grado cero); ( ) a0 f = a +, cuando n= b) La función lineal (grado ); ( ) 0 f =, cuando n=0 a f = a +, cuando n= + a a c) La función cuadrática ( grado ); ( ) 0 50