Algoritmo de Aproximación por Peso para el Cambio de Base de un Número
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- Julio Rojas Bustamante
- hace 7 años
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1 Alejadro Jose Raudales Baegas Algorto de Aproxacó por Peso para el Cabo de Base de u Núero Alejadro José Raudales Baegas Itroduccó Cabar u úeró de ua base partcular a otra deseada es u problea cuyo algorto es aplaete dfuddo y coocdo, por lo que hablar de u étodo alteratvo para ello suele ser algo poco coú. El presete docueto trata específcaete sobre ello, efoca prordalete la coversó de u úero escrto e base decal que es pasado a ua base B cualquera. El algorto fue desarrollado por persoa hace varos años y desde etoces ha sdo deseo copartrlo co la coudad cetífca, específcaete co los aates de las ateátcas de los cuales esperaré sus cosejos, aportes, coetaros y crtcas que para tedrá ucha valdez e portaca. Coezare el desarrollo de dcho problea lustrado co u ejeplo la fora de eplear el algorto, explcado sultáeaete los pasos a segur, cotuado co uas líeas de prograa para su pleetacó y cocluyedo co la deostracó foral del so y el estudo de ua aplcacó. Ejeplo Supogaos que se desea pasar el úero 9 escrto e base decal a su represetacó e base 3. (9) (Y) 3 Podeos etoces escrbr la gualdad: (E). a 3. a 3... a a 3 9 Todo expresados e téros de ua base coú (la decal), etoces podeos observar que el problea se resue e ecotrar los valore de, y de todos los coefcetes a (co toado valores desde hasta ). Paso E prer lugar hay que ecotrar el valor de, esto se hace co la sguete forula (E) floor log C log B = 3
2 Alejadro Jose Raudales Baegas Dode C es el uero escrto e base decal ( 9 e uestro ejeplo) y B es la ueva base (3 e uestro caso) y floor se refere a la fucó ayor etero ([x] ) El resultado fal de esta operacó sería =3 y la ecuacó E quedaría coo sgue: (E3) a a. 3 a. 3 a a. 3 9 Paso Procedeos a ecotrar el coefcete co ayor peso a 3 para lo que utlzaos la sguete forula: (E4) a floor C a = B 3 Lo que e uestro ejeplo da gual, la ecuacó E3 ahora quedaría: (E5) 3. 3 a. 3 a. 3 a a. 3 9 Paso 3 Restaos el prer tero de la ecuacó ateror e abos lados del gual y obteeos etoces: (E6) a. 3 a. 3 a a (E7). a 3. 3 a a 3 Paso 4 Repetr los pasos dos y tres para el sguete tero (E8) C a floor C a = B (E9) 3. a. 3 a a. 3 (E) 3. a. 3 a a. 3 (E) a. 3 a a. 3 (E3) C a floor C a = B (E4) 3. a a. 3 (E5) a a. 3 (E6) C a floor C B a (E7) a 3 (E8) a 3
3 Alejadro Jose Raudales Baegas Podeos ver que a partr de la E8 cualquer otro valor de a sera gual a cero ya que C = y que todos los coefcetes so postvos. Por lo que cocluye aquí el procedeto y sabeos que =. El resultado fal sera (9) () 3 Prograa Para dejar be establecdos los pasos del algorto a cotuacó se preseta ua fucó de u prograa e de Vsual Basc dode es aplcado: Publc Fucto CaboBase(NuBaseDez As Sgle, BaseNueva As Iteger) As Double D As Iteger D C As Sgle D B As Iteger D a() As Iteger D Negatvo As Boolea D, j As Iteger D Respuesta As Strg C = NuBaseDez B = BaseNueva RE Recuerda cuado el sgo del uero es egatvo If C < The Negatvo = True C = Abs(C) Else: Negatvo = False RE Expoete del coefcete co ayor peso = It(Log(C) / Log(B)) RE Nota: el Coefcete de ayor peso es a() Resultado = "" ' el lpa el resultado RE Coeza el cclo para úeros eteros. ReD a( To ) For = To a() = It(C / B ^ ( - )) C = C - a() * B ^ ( - ) Respuesta = Respuesta + Str(a()) Next RE Coeza el cclo para úeros decales. = If C > The Respuesta = Respuesta + "." Do Whle (C > ) ReD a( To ) a() = It(C / B ^ ( - )) C = C - a() * B ^ ( - ) Respuesta = Respuesta + Str(a()) = + If > + The 3
4 Alejadro Jose Raudales Baegas sgbox "Tee uchas cfras decales", vbexclaato, "Desbordaeto" Ext Do Ed If Loop RE Coloca sgo egatvo If Negatvo = True The Respuesta = "-" + Respuesta RE Coverte la respuesta e u uero CaboBase = Val(Respuesta) Ed Fucto Deostracó Dado u úero real postvo expresado e base decal, lo podeos expresar coo Y e ua base B dode se cuple las sguetes codcoes: (C) Y R (es u uero Real) (C) B N (es u uero Natural) (C3) B> Etoces podeos decr que la sguete gualdad se cuple: (D) a. B a. B... a. B... a. k B k La cual se puede expresar de aera copacta coo: (D) a. B Sujeto a las sguetes restrccoes: (C4) Z (Es u úero etero) (C5) -k (C6) a N (Es u úero atural) (C7) B>a Podeos rescrbr D para obteer: (D3) a. B a. B De C, C3, C7 y dado que es postvo, podeos elar la suatora para trasforar la ecuacó D3 e la sguete ecuacó: (D4) a. B Dado que tato a coo B que: (D5) B a. B perteece a los úeros aturales (C y C4) teeos 4
5 Alejadro Jose Raudales Baegas Por la propedad trastva (D6) B Aplcado Logartos a abos lados de la ecuacó: (D7) Log B Log (D8) Log Log B Ahora deostreos que: (S) B > De D (S) B > a. B a. B... a. B... a. k B k Dvdedo abos lados etre B + a (S3) > B a B... a B B... a k B k Dado que B es sepre ayor que a para cada valor de desde hasta k y aplcado los crteros de covergecas de seres, se puede ver que la desgualdad ateror es verdadera y por lo tato S es verdadero. Cocluyedo que: (D9) B > Aplcado logarto a abos lados de la ecuacó D9, teeos: (D) Log B > Log (D) > Log Log B De D8 y D cocluos que: (D) Log < Log B Dado que es etero, y e base a la defcó de la fucó ayor etero (y= floor(x) o y = [x] ) cocluos que : (EQ) floor Log Log B 5
6 Alejadro Jose Raudales Baegas Que es gual a la ecuacó E que utlzaos e el ejeplo. S copaos la expresó D3 y D4: (D3) a. B a. B (D4) a. B Dvdedo etre B a abos lados de D3 y D4, obtedreos: (D3) a B (D4) a a. B B B La cual splfcada puede ser escrta coo: (D5) a a B B Por defcó (C7) sabeos que a < B y aplcado el teorea de lte a la suatora garatzaos que: a (D6) < B Lo que os lleva a: (D7) a a < a B Por la propedad trastva: (D8) < a B De D3 y D8 cocluos que: 6
7 Alejadro Jose Raudales Baegas (D9) a < a B Dado que a es etero, y e base a la defcó de la fucó ayor etero (y= floor(x) o y = [x] ) cocluos que : (EQ) a floor B Aplcacó Al estudar e detalle el algorto ateror podeos daros cueta que es ás coplcado que el étodo tradcoal de cabo de base que se realza a través de resduos de ua sple dvsó eucldea; Adeás que para su pleetacó se requere el uso de ua fucó trascedetal (Log o LN). Basado e estas dos presas fáclete se podría arguetar que su utldad es ula y que o es ás que ua curosdad ateátca o u étodo coplcado para resolver u problea secllo. S ebargo al platear el problea desde otra perspectva os podeos dar cueta de la agtud de su alcace y ver que este es solo el prcpo por el cual se rge las reglas para resolver otros plateaetos ás coplcados y dode se verá realete la utldad del so. Para eteder lo expuesto e el párrafo ateror veaos el sguete ejeplo: Dado el úero escrto e ua base descoocda x, y que escrto de aera decal equvale al úero, ecotrar la base x. - El plateo de fora algebraca de este problea es: (E). x x - Coo podeos ver es u problea secllo que podría ser resuelto co forula cuadrátca, s ebargo utlzareos u étodo alteratvo dode se aplque los prcpos aquí desarrollados. Coezareos usado la ecuacó EQ (E) Floor l l x - S a esta expresó le aplcaos la defcó de ayor eero, teeos la ecuacó: l (E3) < 3 l x - Co lo que tedreos dos ecuacoes para L(x) (E4). lx l 7
8 Alejadro Jose Raudales Baegas (E5) l < 3lx. De dode fáclete se puede deostrar que l (E6) < l x 3 l Falete x es u valor defdo etre: l l 3 (E7) e < x e (E7).8< x< 4.69 Coo presa para poder aplcar este étodo se supoe que x es u atural, por lo que las úcas respuestas posbles e dcho tervalo so x = 3 y x = 4. Bastaría realzar ua prueba co cada uo de estos valores e E para daros cueta cual es resultado, s ebargo y co la tecó de ssteatzar u procedeto o lo hareos de esta aera, so que separareos las varables de los úeros: (E8). x x Sacado el factor coú e la parte derecha de E8 (E9). x. x Dado que x es u etero, coo se acoto aterorete, podeos asegurar co exacttud que tabé es uo de los factores del úero a la derecha del parétess, e este caso partcular o se, 3, 7 ó. Falete y basádose e la coclusó sacada a partr de E7 se sabe que la respuesta para este ejeplo partcular es 3. Cabe hacer otar que dado caso que el úero a la derecha del gual tuvera ua parte fraccoara, se procede de la sa aera co la úca dfereca que tato esta coo cualquer varable co expoete egatvo debe ser goradas Coo se puede ver este étodo se puede utlzar para resolver ua fala fta de expresoes algebracas. El problea etoces cosstrá úcaete poder clasfcar ua expresó partcular coo ebro de dcha fala; auque hasta la actualdad o he realzado gú tpo de estudo a fodo sobre las característcas de dcho grupo de aera tutva se puede adelatar las sguetes: Dada ua expresó de la sguete fora 8
9 Alejadro Jose Raudales Baegas dode x es la cógta a. x Cada a debe ser u úero Natural dferete de cero. y k so dos úeros aturales tales que -k. x es u úero Natural tal que x >a. ( esta es la ás dfícl de costatar a pror dado que se refere al valor que estaos buscado.) es u úero Real cualquera. Alejadro José Raudales 9
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