Universidad Diego Portales Facultad de Economía y Empresa

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1 Suponga que, conversando con su cuate, surge la idea de hacer una apuesta simple. Cada uno escoge decir cara ó sello. Se lanza una moneda al aire, y si sale cara, quien dijo sello le paga a quien dijo cara $1,000, mientras que si sale sello, quien dijo cara paga los $1,000. Usando nuestra nomenclatura, esta situación se describe de la siguiente forma: cada persona enfrenta una decisión en: A={no participar, participar y decir cara, participar y decir sello} Lo que tiene consecuencias asociadas, en términos de la cantidad de dinero con que terminen, de: C ={m+1,000; m; m-1,000} Donde m es la cantidad que tiene antes de la apuesta. Los estados de la naturaleza son S={cara, sello}. En la figura adjunta se representan las acciones posibles en el espacio del consumo contingente en la ocurrencia de cada estado (esto es, el nivel de consumo que el individuo alcanzaría de darse cada estado posible). La línea creciente, de 45, se denomina línea de certeza, puesto que muestra el conjunto de perfiles de consumo libres de riesgo, esto es, cuyo valor no depende del estado de la naturaleza que se materialice. A partir de esta situación nos surgen dos preguntas: 1. Si estuviesen forzados a jugar, se preferiría cara, sello o se estaría indiferente? 2. Pudiendo escoger libremente sobre qué apostar, preferiría jugar o no? La primera pregunta es idiosincrática: se refiere a la probabilidad que cada persona le asocie a que la moneda salga cara o sello. La utilidad esperada de apostar en cada alternativa es: Evidentemente, cara es mejor que sello si U(apostar a cara) U(apostar a sello), es decir, si: π cara π sello Si no hay razón para suponer que un resultado es más probable que otro (si π cara = π sello = ½ ), entonces, la persona debiera estar indiferente sobre a qué apostar. Si la moneda tuviera los dos lados iguales (por ejemplo, dos caras), una persona obligada a apostar sello lo encontraría injusto porque perdería seguro. Si se le obligara apostar a cara, sería injusto para la otra persona. Decimos que esta apuesta es justa si el individuo está indiferente entre apostar cara o sello. Observe que si la apuesta es justa, tiene un valor esperado de 0. En el ejemplo, con probabilidad ½, la persona gana $1,000, y con probabilidad ½ los pierde, de manera que si y es la ganancia o pérdida como consecuencia de la apuesta, tenemos: Diremos que una apuesta es justa si su pago tiene un valor esperado de 0. Por otra parte, se le llama juego justo a cualquier lotería o perfil de pagos riesgosos tales que su valor esperado es 0. Se llama línea de juegos justos a todos los perfiles de consumo contingente que se pueden generar a partir de alterar un determinado perfil por la vía de agregarle juegos justos. 1

2 Imagine, por ejemplo, una persona con un perfil de consumo libre de riesgo c 1= c 2=. Si esta persona acepta una lotería que paga x 1 en el estado 1 y x 2 en el estado 2, entonces su nuevo perfil de consumo es: Si la lotería es un juego justo, su valor esperado es cero: π 1 x 1 + π 2 x 2 = 0, lo que significa: Es decir, Entonces, el conjunto de todas las combinaciones posibles de consumo en los estados 1 y 2 que es posible generar a partir de por medio de la aceptación de juegos justos es: Este conjunto corresponde a la línea de juegos justos. Observe que todos estos perfiles de consumo entregan el mismo valor esperado del consumo, aunque con distintos niveles de riesgo. La segunda pregunta, entonces, la podemos reescribir como: está dispuesta una persona con un consumo seguro de m a entrar en un juego justo? Es decir, está dispuesta a dejar la seguridad de m, y reemplazarla por la posibilidad de ganar o perder, sin haber ganancia ex ante en valor esperado? La respuesta es subjetiva, de acuerdo a las siguientes posibilidades: Definición: Se dice que una persona es aversa al riesgo si, partiendo de un consumo libre de riesgo, prefiere no jugar un juego justo. Se dice amante si lo prefiere, y neutral si está indiferente. En nuestro ejemplo, como apostar a cara y a sello le son indiferentes, ambos puntos pasan por la misma curva de indiferencia. Esto responde a la pregunta número uno (Si estuviesen obligados a jugar, preferirían decir cara, sello o estarían indiferentes?), como se puede observar en el gráfico de una personal neutral al riesgo. 2

3 Así, un mapa de curvas de indiferencia convexo representa a un averso al riesgo, uno cóncavo a un amante del riesgo, y uno lineal a una persona neutral al riesgo. Recordemos que un individuo averso al riesgo tiene una función de utilidad esperada U(c 1, c 2) cuasicóncava y una TMS decreciente. Uno neutral al riesgo, por su parte, tiene una TMS constante, que no depende del nivel de riesgo asumido ni tampoco de su nivel de consumo. Observe que TMS constante equivale a decir u (c) es constante ( por qué?). Es decir, si: U (c) = a Entonces, U(c) = ac + b La cual es la forma general de la función Bernoulli de una persona neutral al riesgo. Es importante notar que la curva de indiferencia de cualquier individuo, sea averso, amante o neutral al riesgo, es tangente a la línea de juegos justos en la línea de certeza. Es decir: Esto significa que, partiendo de una posición sin riesgo, localmente toda persona (independientemente de sus preferencias) está indiferente entre aceptar o no un juego justo, esto es, localmente es neutral al riesgo. En el caso de certidumbre, decíamos que la función de utilidad U(a) era ordinal, esto es, que cualquier transformación monótona creciente de ella representaba las mismas preferencias. Lo mismo es cierto de la función de utilidad esperada, que también juzga acciones, pero no de la función Bernoulli, que juzga consecuencias, como veremos a continuación. En este caso, sólo una transformación lineal preserva el 3

4 orden de preferencias. Esto significa que cualquier transformación lineal de la función Bernoulli representa la misma preferencia: Con α>0 Ejemplo Simple: Si la función Bernoulli u(c) = ln c representa la preferencia de un individuo y hay dos estados de la naturaleza, escribimos la utilidad esperada como: Entonces la función: Representa la misma preferencia. En el ejemplo del automovilista, vemos que cualquier transformación lineal de u sigue entregando el mismo valor crítico: A partir del cual conviene seguir de largo. Si v(c) = α +β u(c), entonces: 4

5 Por lo tanto, u(c) = c define a un neutral al riesgo, de manera que: Por el contrario, si u(c s) es cóncava, entonces: Y la TMS es decreciente: Lo que ocurre solo si u (c) < 0 (Utilidad marginal decreciente estricta). Así, una función Bernoulli cóncava representa a un averso al riesgo, una lineal a un neutral y una convexa a un amante, como se representa en la siguiente figura: Una transformación cóncava de produce una función más cóncava, y por lo tanto representa a una persona más aversa, esto es, a otra preferencia. En otras palabras, en el caso de la función de Bernoulli no es cierto que cualquier transformación monótona creciente de ella represente las mismas preferencias, por lo que no basta que la función de Bernoulli sea cuasicóncava para afirmar que el individuo es averso al riesgo. 5

6 Es por esto que las medidas del grado de aversión al riesgo son en realidad medidas del grado de concavidad de la función Bernoulli. Hay dos medidas locales de aversión al riesgo que se ocupan comúnmente: el grado de aversión absoluta al riesgo, y el grado de aversión relativa al riesgo, definidos respectivamente por las fórmulas: Paradoja de San Petersburgo. El riesgo es comúnmente considerado un mal: los individuos típicamente prefieren la certidumbre. El siguiente es un argumento ofrecido por el matemático Daniel Bernoulli para justificar la concavidad de las funciones de Bernoulli (las cuales, como adivinó, deben su nombre a él), y por tanto, de acuerdo a nuestra discusión anterior, la aversión al riesgo como actitud universal de la gente. Bernoulli propuso en 1738 dos siglos antes del desarrollo de la utilidad esperada la siguiente paradoja: se le ofrece a una persona la posibilidad de participar (previo pago) en una lotería. La lotería consiste en que la persona debe lanzar una moneda al aire; si sale sello, recibe un premio de $2. Si sale cara, lanza la moneda de nuevo. Cada vez que lanza la moneda, el premio en caso de sello se duplica. La pregunta es cuánto debiera estar dispuesta a pagar una persona por el derecho a participar en esta lotería. Para un matemático como Bernoulli, la pregunta de si una persona debiera estar dispuesta a pagar o no el valor esperado de la lotería tenía sentido como punto de referencia, toda vez que el valor de $1 con probabilidad 1 ciertamente es $1, esto es, el valor esperado bajo certidumbre es intuitivo. Los infinitos resultados posibles de la lotería son de la forma {sello en el primer lanzamiento, sello en el segundo, sello en el tercero,...}. Sea k la variable aleatoria número del lanzamiento en que sale sello por primera vez. Entonces, el premio en k es 2 k, y la probabilidad de que sea k es (1/2) k. El valor esperado de la lotería es entonces: Ésa es la paradoja: si no parece razonable que una persona pague un millón de dólares por entrar a una lotería en que va a ganar menos que eso con una probabilidad tan alta, mucho menos querrá pagar 500 veces esa suma. Pero de acuerdo al cálculo anterior, cualquier suma finita es una subestimación del valor de la lotería. La solución que Bernoulli propone consiste en representar el valor que la persona le atribuye al premio no directamente, sino evaluado por una función u(2 k ). Si esa función es cóncava, entonces la suma converge y, de hecho, el valor de la lotería puede ser pequeño e intuitivamente razonable. Por ejemplo, si la utilidad esperada de la lotería es: Dos pesos y medio es sin duda una cifra más razonable que infinito como valor de la lotería. La función u(c) es, naturalmente, la función de Bernoulli. 6

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