1. Ley de Grandes Números

Transcripción

1 La Ley de Grades Números Pablo Lessa 9 de octubre de Ley de Grades Números Te hago ua preguta persoal: Si estás jugado a la ruleta apostado e cada turo por egro o rojo y ves que sale 6 veces seguidas el egro, Cuál es tu siguiete apuesta? Negro o rojo? 1.1. La historia de Joseph Jagger Resulta que etre 1830 y 1892 e Iglaterra vivió u tipo llamado Joseph Jagger. No fudó ua bada i se hizo mudialmete famoso por su estilo de baile. Sio que comezó su vida trabajado e ua fábrica textil, presumiblemete (auque o hice ua ivestigació bibliográfica profuda) arreglado o mateiedo las maquias (telares mecáicos, supogo). A los 40 años de edad, ya u tipo maduro, se le ocurrió que las ruletas podría teer defectos mecáicos que hiciera que los resultados de las tiradas o fuera totalmete equiprobables. Etoces, dado el siguiete paso, le pagó a uos amigos para que aotara los resultados de todas las tiradas de u día de cada ua de las mesas de ruleta del famoso casio de Mote Carlo. Luego de aalizar los datos descubrió que había ua mesa de ruleta e la cual los úmeros 7,8,9,17,18,19, 28, y 29, saliero más frecuetemete de lo esperado durate el día. Etoces al día siguiete fue al casio de Mote Carlo y apostó a estos úmeros repetidas veces. Durate los siguietes tres días gaó 14 mil libras que equivale más o meos a u milló de dólares del día de hoy. Además se acumuló u grupo de apostadores que empezaro a copiar sus apuestas, tambié gaado diero. Esto obviamete o le gustó al casio. Así que e la oche cambiaro todas las mesas de lugar. Al día siguiete Joseph empezó a perder guita, pero después de u rato se acordó que su mesa teía ua marca distitiva, la buscó por el saló, la ecotró y empezó a gaar de uevo. Esa oche el casio desarmó todas las mesas, aceito todas las piezas mecáicas, y las volvió a armar. Al día siguiete Joseph (y sus seguidores) perdiero u poco de diero. A lo cual Joseph decidió retirarse co lo gaado (uas 64 mil 1

2 libras e total) y uca más volvió a apostar. Compró u motó de propiedades y vivió como u hombre rico hasta que su muerte ua veitea de años más tarde La moraleja Es u hecho empírico que para alguos tipos de experimetos (como tirar u dado, o hacer girar ua ruleta) los resultados idividuales parece impredecibles pero al repetir el experimeto se preseta regularidades estadísticas que sí so predecibles. Este tipo de idea o sólo es útil para los juegos de azar y otras frivolidades. La mecáica cuática y teorías físicas relacioadas so de este tipo (o da prediccioes sobre experimetos idividuales sio que predice propiedades estadísticas de largas tiras de repeticioes de dichos experimetos) La receta de Kolmogorov Para los matemáticos la secció aterior platea el siguiete problema: Cómo formalizar esta observació empírica para covertirla e matemática (co defiicioes precisas y argumetos claros)? Luego de ua larga historia se llegó a ua receta fudacioal para la teoría de probabilidades que costa e tres pasos: 1. Costruir u espacio Ω dode los putos represeta todos los resultados posibles de la secuecia de experimetos a realizar. 2. Costruir ua medida de probabilidad µ e Ω que modeliza el comportamieto del azar. 3. Itetar demostrar teoremas sobre el comportamieto de los putos de u subcojuto de Ω cuya medida para µ sea El caso de la moeda: Paso 1 Vamos a seguir la receta de Kolmogorov para modelar ua sucesió (ifiita) de tiradas de moeda. Se supoe que si la moeda sale de u lado aotamos 1 como resultado del experimeto y 0 si sale el otro lado. E este caso el cadidato atural para espacio Ω es el espacio de sucesioes de ceros y uos i.e. Ω = {0, 1} N = {ω = (ω 1, ω 2,...) : ω i {0, 1} i}. E este espacio cosideramos ua distacia d defiida como d(ω, ω ) = 2. {:ω ω } Ejercicio 1. Demostrar que (Ω, d) es u espacio métrico separable y completo. 2

3 Ejercicio 2. Demostrar que (Ω, d) es homeomorfo al habitual cojuto Cator terario e [0, 1], i.e. C = C dode C 0 = [0, 1], C 1 = [0, 1/3] [2/3, 1], C 2 = [0, 1/9] [2/9, 1/3] [2/3, 7/9] [8/9, 1], El caso de la moeda: Paso σ-álgebras Ua probabilidad es ua fució µ que asiga a alguos subcojutos de Ω u úmero etre 0 y 1 y que cumple ciertas reglas razoables. Por motivos técicos e los cuales prefiero o etrar o se puede defiir ua tal µ sobre todos los subcojutos de ω. Esto complica u poco la teoría (estamos obligados a itroducir las temidas σ-álgebras) pero o debería impedir a adie etederla. Defiicio 1 (σ-álgebra). Ua σ-álgebra F es u subcojuto de 2 Ω (i.e. el cojuto de todos los subcojutos de Ω) que es o vacío, y cerrado bajo complemetos y uioes umerables (i.e. si A F etoces Ω \ A tambié, y si A 1,..., A,... F etoces A tambié). Ejercicio 3. Mostrar que si A 2 Ω existe ua míima σ-álgebra que cotiee a A. Es decir, la itersecció σ(a) de todas las σ-álgebras que cotiee a A es ua σ-álgebra. Notar que 2 Ω es ua σ-álgebra o sea que dicha itersecció o es vacía. Dada ua sucesió fiita a 1,..., a de ceros y uos, defiimos el cilidro [a 1,..., a ] como el subcojuto de Ω formado por aquellas sucesioes que empieza co (a 1,..., a ). Notemos que para cada las uioes fiitas de cilidros de largo forma ua σ-álgebra fiita (i.e. co fiitos cojutos), deotamos esta σ-álgebra por F. Defiicio 2 (Boreliaos). La σ-álgebra más importate e cualquier espacio métrico completo y separable es la llamada σ-álgebra de Borel que es aquella geerada por los abiertos. Deotamos por B(Ω) la σ-álgebra de Borel de Ω Probabilidades Ahora estamos listos para defiir probabilidades. Ua probabilidad e Ω es ua fució µ : B(Ω) [0, 1] que cumple las siguietes dos propiedades 1. µ(ω) = 1 2. µ( A ) = µ(a ) para toda sucesió de Boreliaos dos a dos disjutos A 1, A 2,.... A veces se cosidera probabilidades co domiio e otras σ-álgebras pero la úica razó para hacer esto es para extederlas a todo B(Ω). El puto técico (que obliga a itroducir las σ-álgebras e primer lugar) es que o existe igua probabilidad o trivial e la σ-álgebra 2 Ω. Por otro lado, es trivial costruir probabilidades e σ-álgebras fiitas como las F. El teorema básico que permite costruir probabilidades es el siguiete. 3

4 Teorema 1 (Teorema de Extesió de Tulcea). Sea F, = 1, 2,... ua sucesió creciete de sub-σ-álgebras de la σ-álgebra de Borel B(Ω) de algú espacio métrico separable y completo. Además supogamos que la uió de los F geera B(Ω) y que para toda sucesió decreciete de Boreliaos o vacíos A F la itersecció A es o vacía. Dada ua sucesió µ, = 1, 2,... de probabilidades tales que µ está defiida e F, y la restricció de µ +1 a F coicide co µ para todo, existe ua úica probabilidad Boreliaa µ que coicide co cada µ e F. Ejercicio 4. Verificar que la sucesió de σ-álgebras F geeradas por los cilidros de largo que hemos defiido e Ω = {0, 1} N satisface las hipótesis del teorema de Tulcea. Co los ateriores prerrequisitos técicos podemos fialmete costruir las probabilidades que modela el experimeto de tirar ua misma moeda repetidas veces. Ejercicio 5. Demostrar que para cada p [0, 1] existe ua úica probabilidad e Ω tal que para todo y toda sucesió de ceros y uos a 0,..., a se cumple µ p ([a 0,..., a ]) = p k (1 p) k dode k es el úmero de uos e la sucesió Itegrales y Esperaza Dada ua probabilidad e Ω y ua fució f : Ω R medible (i.e. preima- de todo Boreliao de R es Boreliao e Ω) deotamos por E µ (f) o por ge f(ω)dµ(ω) la itegral de Lebesgue (tambié llamada esperaza o valor esperado de f respecto a µ) de f respecto a µ si esta es fiita (i.e. si la parte positiva y egativa de f so itegrables). Recordemos que si f toma fiitos valores x 1,..., x la itegral o esperaza se defie como E µ (f) = µ({ω : f(ω) = x k })x k. k=1 Si f es o egativa se defie E µ (f) como el supremo de las esperazas de fucioes medibles o egativas que toma fiitos valores y so meores o iguales a f e todo puto (este supremo podría ser + ). E geeral si E µ ( f ) < + se defie E µ (f) = E µ (f + ) E µ (f ) dode f + coicide co f dode f es positiva y vale 0 e el resto, y f coicide co f si f es egativa y vale 0 e el resto. Ejercicio 6. Demostrar que si f : Ω R es cotiua etoces E µ (f) = lím µ([a 0,..., a ])f(a 0,..., a, 0, 0,...) para toda probabilidad µ. + a 1,...,a {0,1} 4

5 Ejercicio 7 (Fubii). Demostrar que si f : Ω R sólo depede de las primeras coordeadas y g : Ω R depede de las coordeadas + 1, + 2,..., + m etoces E µp (fg) = E µp (f) E µp (g) para todo p [0, 1]. U teorema importate para costrucció de medidas es el siguiete Teorema 2 (Teorema de Riesz). Sea X u espacio métrico completo y separable y E : C c (X) R ua fució lieal que asocia a cada fució cotiua de X e R u úmero real, y además asocia u úmero o egativo a cada fució o egativa y cumple E(1) = 1. Etoces existe ua probabilidad µ e X tal que E(f) = E µ (f) para toda fució cotiua de soporte compacto f : X R. Sorpredetemete el teorema aterior es más fácil de demostrar e {0, 1} N que e u espacio métrico completo y separable geeral. La demostració más elegate del teorema pasa por reducir el caso geeral al caso {0, 1} N El caso de la moeda: Paso 3 Estamos e codicioes de euciar uo de los dos teoremas básicos de la teoría de probabilidades (el otro, el teorema cetral del límite, o será discutido e estas otas). Teorema 3 (Ley de Grades Números). Para todo p [0, 1] se cumple }) ω ω µ p ({ω Ω : lím = p = 1. + U puto importate para verificar es que la teoría que estamos desarrollado (dode las probabilidades sólo está defiidas para Boreliaos) es suficietemete rica como para hacer que el euciado del aterior teorema tega setido. Ejercicio 8. Demostrar que el cojuto {ω Ω : lím ω1+ +ω Boreliao. = 1/2} es U puto clave de la demostració de la ley de grades úmeros es el siguiete lema que puede iterpretarse diciedo que o se puede dar ifiitas capas a ua pared co sólo u litro de pitura. Ejercicio 9 (Borel-Catelli). Sea µ ua probabilidad e Ω y A ua familia de Boreliaos tales que µ(a ) < +. Etoces se cumple =1 µ ({ω Ω : ω A para ifiitos }) = 0. 5

6 Si más preámbulos: Demostració de la ley de grades úmeros. Dado ɛ > 0 defiamos para cada el cojuto A = {ω Ω : ω1+ +ω p > ɛ}. La idea es mostrar que la serie de µ p (A ) coverge (y luego lo mismo para la sucesió de Boreliaos B defiidos e forma similar a los A pero cambiado > por <, pero la prueba es la misma). Usado Borel-Catelli se cocluye que el cojuto de los ω tales que evetualmete ω1+ +ω p ɛ mide 1. Cómo esto vale para todo ɛ > 0 se cocluye el teorema (itersectado los cojutos de medida 1 obteidos para umerables valores de ɛ > 0). Para estimar µ p (A ) usamos propiedades básicas de la itegral (Fubii y u que E µ (f) E µ (g) si f g). Las fucioes ivolucradas e las itegrales so las proyeccioes sobre las coordeadas, i.e. X : Ω R defiidas por X (ω) = ω dode ω = (ω 1,..., ω,...). El primer paso es la siguiete observació válida para cualquier t > 0 (uso la otació 1 A para la fució que toma el valor 1 e A y 0 e Ω \ A, i.e. la idicatriz de A) µ p (A ) = E µ (1 A ) E µ (exp(t(x X (p + ɛ)))) dode la última desigualdad es porque 1 A toma el valor 1 e A pero exp(t(x X (p + ɛ))) 1 e este cojuto (por defiició de A ). Luego se usa Fubii y e el lado derecho (X sólo depede de la coordeada ) y se obtiee (poiedo q = 1 p): µ p (A ) e t(p+ɛ) E µ ( e tx 1 ) = e t(p+ɛ) (pe t + q). Ahora el truco reside e aalizar la fució t pe t + q y otar que si t > 0 es suficietemete chico se tiee pe t + q e (p+ɛ/2)t (comparado derivadas e 0). Es decir para algú t > 0 suficietemete chico se cumple µ p (A ) e tɛ/2 lo cual es suficiete para mostrar µ p (A ) < + cocluyedo la demostració Equidistribució de dígitos decimales E el itervalo [0, 1] existe ua úica probabilidad Boreliaa µ E µ coicide co la itegral habitual (de Riema) e las fucioes cotiuas. Esta probabilidad, que cumple µ([a, b]) = b a para todo [a, b] [0, 1], habitualmete es llamada la distribució uiforme e [0, 1] o la medida de Lebesgue. 6

7 Cada puto x [0, 1] tiee asociado ua expasió decimal, e.g. 1/3 = 0, Además los úicos putos que tiee más de ua expasió decimal so racioales y por lo tato forma u cojuto de µ-medida ula. Usado la ley de grades úmeros (la versió para 10 símbolos e lugar de 2) se obtiee el siguiete corolario. Corolario 1. Sea µ la distribució uiforme e [0, 1], etoces existe u cojuto Boreliao A [0, 1] probabilidad 1 para µ tal que si x A etoces cada dígito aparece co frecuecia 1/10 e la expasió decimal de x. 7