SOLUCIÓN GRÁFICA DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Transcripción

1 SOLUCIÓN GRÁFICA DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Muchos problemas de administración y economía están relacionados con la optimización (maximización o minimización) de una función sujeta a un sistema de igualdades o desigualdades. La función por optimizar es la función objetivo. Las funciones de ganancia y de costo son ejemplos de funciones objetivo. El sistema de igualdades o desigualdades a las que está sujeta la función objetivo reflejan las restricciones (por ejemplo, las limitaciones sobre recursos como materiales y mano de obra) impuestas a la solución (o soluciones) del problema. Los problemas de esta naturaleza se llaman problemas de programación matemática. En particular, aquellas donde la función objetivo y las restricciones se expresan como ecuaciones o desigualdades lineales se llaman problemas de programación lineal. Un problema de programación lineal Un problema de programación lineal consta de una función objetivo lineal por maximizar o minimizar, sujeta a ciertas restricciones en la forma de igualdades o desigualdades lineales. Como ejemplo de un problema de programación lineal en que la función objetivo debe maximizarse, considérese el siguiente problema de producción con dos variables El granjero López tiene 480 hectáreas en la que se puede sembrar ya sea trigo o maíz. El calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estación crucial del verano. Dados márgenes de utilidad y los requerimientos laborales mostrados a la derecha, Cuántas hectáreas de cada uno debe plantar para maximizar su utilidad? Cuál es ésta utilidad máxima? Maíz: Utilidad: $40 por hrs. Trabajo: 2hs por hrs. Trigo: Utilidad: $30 por hrs. Trabajo: 1hs por hrs. Solución: Como primer paso para la formulación matemática de este problema, se tabula la información dada (Tabla 1). Si llamamos x a las hectáreas de maíz e y a las hectáreas de trigo. Entonces la ganancia total P, en dólares, está dada por: Que es la función objetivo por maximizar. Maíz P=40x+30y Trigo Horas 2 1 Elementos disponibles Hectáreas Utilidad por unidad $40 $ La cantidad total de tiempo par hectáreas para sembrar maíz y trigo está dada por 2x+y horas que no debe exceder las 800 horas disponibles para el trabajo. Así se tiene la desigualdad: En forma análoga, la cantidad de hectáreas disponibles está dada por x+y, y ésta no puede exceder las hectáreas disponibles para el trabajo, lo que conduce a la desigualdad. x+y<480

2 Por último, si no queremos tener pérdidas, x y y no pueden ser negativa, de modo que x>0 y>0 En resumen, el problema en cuestión consiste en maximizar la función objetivo Z=40x+30y sujeta a las desigualdades x+y<480 x>0 y>0 Solución Gráfica Los problemas de programación lineal en dos variables tienen interpretaciones geométricas relativamente sencillas; por ejemplo, el sistema de restricciones lineales asociado con un problema de programación lineal bidimensional- si no es inconsistente- define una región plana cuya frontera está formada por segmentos de recta o semirrectas, por lo tanto es posible analizar tales problemas en forma gráfica. Si consideremos el problema del granjero López, es decir, de maximizar Z = 40x+ 30y sujeta a x+y<480 x>0, y>0 (7) El sistema de desigualdades (7) define la región plana S que aparece en la figura 5. Cada punto de S es un candidato para resolver este problema y se conoce como solución factible. El conjunto S se conoce como conjunto factible. El objetivo es encontrar entre todos los puntos del conjunto S- el punto o los puntos que optimicen la función objetivo P. Tal solución factible es una solución óptima y constituyen la solución del problema de programación lineal en cuestión. Como ya se ha observado, cada punto P(x,y) en S es un candidato para la solución óptima del problema en cuestión, por ejemplo, es fácil ver que el punto (200, 150) está en S y, por lo tanto, entra en la competencia. El valor de la función objetivo Z en el punto (200,150) está dado por Z=40(200)+30(150)= Ahora si se pudiera calcular el valor de Z correspondiente a cada punto de S,

3 entonces el punto (o los puntos) en S que proporcione el valor máximo de Z formará el conjunto solución buscado. Por desgracia, en la mayoría de los problemas, la cantidad de candidatos es demasiado grande o, como en este problema, es infinita. Así este método no es adecuado. El método utilizado para resolver el problema del granjero López recibe el nombre de método de las esquinas. Este método sigue un procedimiento muy sencillo para resolver los problemas de programación lineal basado en el teorema1. Teorema 1 Si en problema de programación lineal tiene una solución, entonces ésta debe aparecer en un vértice, o esquina, del conjunto factible S asociado con el problema. Además, si la función objetivo P se optimiza en dos vértices adyacente de S, entonces se optimiza en todos los puntos del segmento de recta que une estos vértices, en cuyo caso existe una infinidad de soluciones al problema Método de las esquinas 1. Se grafica el conjunto factible. 2. Se encuentran las coordenadas de todas las esquinas (vértices) del conjunto factible. 3. Se evalúa la función objetivo en cada esquina. 4. Se halla el vértice que proporcione el máximo (mínimo) de la función objetivo. Si sólo existe un vértice con esta propiedad, entonces constituye una solución única del problema. Si la función objetivo se maximiza (minimiza) en dos esquinas adyacentes de S, entonces existe una infinidad de soluciones óptimas dadas por los puntos del segmento de recta determinado por estos dos vértices. Si se resuelve este problema por el metodo de las esquinas, lo unico que debemos hacer es evaluar todos los vértices del area solucion de nuestro problema, y aquel o aquellos puntos que proporcionen el máximo (mínimo) de la función objetivo seran la solucion del problema. Aplicaremos los conceptos antes emitidos al siguiente problema de nutrición, basado en los requerimientos, en el cual hay que minimizar la función objetivo. Un nutricionista asesora a un individuo que sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe ingerir al menos 2400 mg de vitamina B-1 (tiamina) y 1500 mg de vitamina B-2 (riboflavina) durante cierto período de tiempo. Existen dos píldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B. Cada píldora de la marca A contiene 40 mg de hierro, 10 mg de vitamina B-1, 5 mg de vitamina B-2 y cuesta 6 centavos. Cada píldora de la marca B contiene 10 mg de hierro, 15 mg de vitamina B-1 y de vitamina B-2, y cuesta 8 centavos (tabla siguiente). Cuáles combinaciones de píldoras debe comprar el paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menor costo? Marca A Marca B Requerimientos mínimos Hierro 40 mg 10 mg 2400 mg Vitamina B-1 10 mg 15 mg 2100 mg

4 Vitamina B-2 5 mg 15 mg 1500 mg Costo por píldora (US$) 0,06 0,08 Solución: Sea x el número de píldoras de la marca A e y el número de píldoras de la marca B por comprar. El costo Z, medido en centavos, está dado por que representa la función objetivo por minimizar. Z = 6x+ 8y La cantidad de hierro contenida en x píldoras de la marca A e y el número de píldoras de la marca B está dada por 40x+10y mg, y esto debe ser mayor o igual a 2400 mg. Esto se traduce en la desigualdad. 40x+10y>2400 Consideraciones similares con los requisitos mínimos de vitaminas B-1 y B-2 conducen a las desigualdades: 10x+15y>2100 5x+15y>1500 respectivamente. Así el problema en este caso consiste en minimizar Z=6x+8y sujeta a 40x+10y> x+15y>2100 5x+15y>1500 x>0, y>0 El conjunto factible S definido por el sistema de restricciones aparece en la figura. Los vértices del conjunto factible S son A(0,240); B(30,120); C(120; 60) y D(300,0). Los valores de la función objetivo C en estos vértices en la tabla que sigue

5 Vertice Z=6x + 8y A (0,240) 1920 B(30,120) 1140 C(120,60) 1200 D(300,0) 1800 La tabla muestra que el mínimo de la función objetivo Z=6x+8y ocurre en el vértice B(30,120) y tiene un valor de Así el paciente debe adquirir 30 píldoras de la marca A y 120 de la marca B, con un costo mínimo de $11,40. El método de las esquinas es de particular utilidad para resolver problemas de programación lineal en dos variables con un número pequeño de restricciones, como han demostrado los ejemplos anteriores, sin embargo su efectividad decrece con rapidez cuando el número de variables o de restricciones aumenta.