4 Programación lineal

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "4 Programación lineal"

Transcripción

1 Programación lineal TIVIES INIILES.I. Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado. a) ( ) ( ) b) > a) 8 8 9, Solución, b) > > > > 8 > > Solución,.II. Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado. a) 8 b) > a) b) Solución [, ) > 8 > 8 > > 8 > 9 No tiene solución. 9

2 TIVIES PRPUESTS.. Representa los semiplanos determinados por las siguientes epresiones. a) c) < e) < b) d) ( ) ( ) < f) a) c) e) Semiplano con borde. El borde es una recta horizontal. b) d) Semiplano sin borde. Puntos del borde del semiplano (, ) (, ) f) Semiplano sin borde. Puntos del borde del semiplano (, ) (, ) ( ) ( ) Semiplano con borde. El borde es una recta vertical. Semiplano sin borde. Puntos del borde del semiplano (, ) (, ) Semiplano con borde. Puntos del borde del semiplano (, ) (9, ).. omprueba si los puntos siguientes están o no a un mismo lado de la recta. a) (,) (,) b) (, ) (, ) a) () < 8 > están a diferente lado de r. b) () < () < están a un mismo lado de r... Establece las epresiones algebraicas que determinan cada uno de los siguientes semiplanos. a) b) a) > b) > 9

3 .. Para cada uno de los siguientes sistemas de inecuaciones lineales, representa la solución, calcula las coordenadas de sus vértices e indica si es o no acotada. a) b) c) d) a) Solución acotada. (, ) (, ) (, ) b) Solución no acotada. (, ) (, ) (, ) c) Solución acotada. (, ) (, ) ( 8, 8 ) (, ), (, ) d) Solución no acotada. (, ) (, ).. Resuelve de forma analítica el siguiente problema de programación lineal. Ma Min z 8 sujeto a Vértices (, ), (, ), (, ), (, ) Valor de la función objetivo en los vértices z ; z ; z ; z El máimo se obtiene en,, vale, el mínimo, en,, vale. 98

4 .. Resuelve de forma analítica el siguiente problema de programación lineal. Ma Min z, sujeto a Vértices,,,, Valor de la función objetivo en los vértices z z z z, El mínimo se obtiene en,, vale,. El máimo se encuentra en cualquiera de los puntos pertenecientes al segmento de etremos, vale... Resuelve de forma gráfica el siguiente problema. Ma Min z sujeto a La región factible es acotada. La pendiente de la función objetivo es negativa. El mínimo se obtiene en el vértice, El valor mínimo de la función es z. El máimo se obtiene en el vértice, El valor máimo de la función es z..8. Resuelve de forma gráfica el siguiente problema. Ma Min z sujeto a La región factible es no acotada. La pendiente de la función objetivo es negativa. El mínimo se obtiene en el vértice, El valor mínimo de la función es z 9. uando la recta variable se mueve hacia arriba, nunca deja de tocar puntos de la región factible. Por tanto, no eiste solución óptima para el máimo. 99

5 .9. (PU) En un comercio se vende café con dos tipos de mezcla, M M. La mezcla M lleva dos partes de café natural una parte de café torrefacto, la mezcla M, una parte de café natural dos partes de café torrefacto. Por cada kilo de M se obtiene un beneficio de, euros, por cada kilo de M se obtiene un beneficio de, euros. Se cuenta con kg de café natural kg de café torrefacto para mezclar. uántos kilos de cada mezcla se deben preparar para que las ganancias sean máimas? kg de M, kg de M Función objetivo z,, Restricciones Vértices,,,; z, z, z 9, El máimo se alcanza en el vértice, es decir, cuando se preparan kg de M kg de M. La ganancia máima es de,... (PU) Para la elaboración de un alimento para el ganado, una empresa láctea puede adquirir dos productos básicos, P P, mezclarlos. La tabla siguiente muestra las unidades de nutrientes, que tiene cada kg de P P, las cantidades mínimas de, necesarias para que el producto sea adecuado el coste, en unidades monetarias, de cada kg de P P Precio P P. mínimas Halla la mejor mezcla de forma que el coste sea mínimo. kg de P, kg de P Función objetivo z Restricciones El mínimo se alcanza en el vértice (, ). Es decir, se debe mezclar kg de P con de P. El coste será de unidades monetarias.

6 EJERIIS Sistemas de inecuaciones lineales.. Para cada uno de los siguientes sistemas de inecuaciones lineales, representa el recinto correspondiente a la solución calcula las coordenadas de sus vértices. Indica si es o no acotado. a) c) e) g) b) d) f) h) 9 a) Recinto no acotado. (, ) d) Recinto no acotado. 8 (, ) b) Recinto no acotado. (, ), ; (, ) e) Recinto acotado. ( 8, ) (8, ) (, ) c) Recinto no acotado. (, ) (, ) f) Recinto acotado. (, ) (, ) (, ) (, ); (, ) g) Recinto acotado. (, ); (, ); (, ) (, ); (, ) h) Recinto acotado. 9 (, ); 9 (, ); (, ); (, ) E E(, ); F F(, ) E F

7 .. Para cada uno de los siguientes sistemas de inecuaciones, representa la solución e indica si alguna de las ecuaciones que lo forman es redundante. a) b) c) d) a) Las inecuaciones e son redundantes. Se puede prescindir de ellas. (, ) (, ) (, ) (,) b) La inecuación es redundante. Se puede prescindir de ella. (, ) (, ) (, ) c) Las inecuaciones e son redundantes. Se puede prescindir de ellas. (, ) (, ) (, ) (, ) d) La inecuación es redundante. Se puede prescindir de ella. (, ) (, ) (, ) (, )

8 .. Se considera el sistema de inecuaciones lineales 8 omprueba si la intersección de las rectas 8 es o no vértice del recinto solución. El punto de intersección de las dos rectas es 8, Este punto no es vértice del recinto solución, a que no verifica la segunda inecuación del sistema >.. Se considera el sistema de inecuaciones lineales omprueba si la intersección de las rectas es o no vértice del recinto solución. El punto de intersección de las dos rectas es, Este punto es vértice del recinto solución, a que verifica todas las inecuaciones del sistema,,.. Escribe en cada caso un sistema de inecuaciones lineales que tenga como recinto solución la figura sombreada. a) b) c) d) a) b) c) d)

9 .. En cada caso, indica si la región sombreada es acotada o no si es convea o no. a) b) c) d) a) No acotada. No convea b) No acotada. onvea c) cotada. No convea d) cotada. onvea.. ibuja en cada caso la región determinada por las siguientes condiciones. Señala también si eiste alguna condición redundante o no. a) b) c) d) a) La condición < es redundante. c) Las condiciones e son redundantes. b) La región es vacía. d) Las condiciones, son redundantes Método analítico para resolver problemas de programación lineal.8. Evalúa la función objetivo z en los vértices del recinto de la figura. Los vértices del recinto son (, ), (, ), (8, ), (, ), E(, ). El valor de la función objetivo en ellos es z z 9 z z z E 9 E

10 .9. (PU) Resuelve de forma analítica los siguientes problemas de programación lineal. a) Min z 9 sujeta a b) Min z sujeta a 8 8 a) Vértices,,,, Valor de la función objetivo z, z 9, z 8, z. El mínimo se obtiene en,, vale. b) Vértices 8 8,,8 8, (,) 8 Valor de la función objetivo z, z, z. 8 8 El mínimo se obtiene en,, vale... (PU) Resuelve de forma analítica los siguientes problemas de programación lineal. a) Ma z sujeta a b) Min z sujeta a 8 a) Vértices 8,,,8 8 (, ) Valor de la función objetivo en los vértices z 8, z, z, z El máimo se obtiene en, 8, vale. b) Vértices,, E E,, E, Valor de la función objetivo en los vértices z, z, z, z, z E El mínimo se obtiene en cualquier punto del segmento de etremos E, vale.

11 Método gráfico para resolver problemas de programación lineal.. (PU) Resuelve de forma gráfica los siguientes problemas de programación lineal. a) Min z sujeta a b) Ma z sujeta a 8 a) La región factible es acotada. La pendiente de la función objetivo es negativa. El mínimo se obtiene en el vértice,, vale z. b) La región factible es acotada. La pendiente de la función objetivo es negativa. El máimo se obtiene en el vértice 8,, vale z... (PU) Resuelve de forma gráfica los siguientes problemas de programación lineal. a) Máimo mínimo de z sujeta a b) Máimo mínimo de z sujeta a 9 a) La región factible es no acotada. La condición es redundante. La pendiente de la función objetivo es negativa. El mínimo se obtiene en el vértice,, vale z. No eiste el máimo. b) La región factible es no acotada. La pendiente de la función objetivo es negativa. El mínimo se obtiene en todos los puntos del segmento de etremos, vale z. No ha máimo. E F

12 .. omprueba que la función f(, ) no alcanza ni máimo ni mínimo si está sujeta a las restricciones La región factible es no acotada. La pendiente de la función objetivo es negativa. Según se desplaza la recta k tanto hacia arriba como hacia abajo, toca en todo momento a la región factible. Por tanto, los problemas de maimizar de minimizar carecen de solución óptima. z.. ibuja la región determinada por las condiciones Halla el máimo el mínimo de la función de dos variables f(, ) cuando está sujeta a las anteriores condiciones. Resuelve el problema por el método geométrico teniendo en cuenta que la pendiente de la función objetivo es negativa. La región factible es acotada. La pendiente de la función objetivo es positiva. Por tanto, el máimo se alcanza en el último vértice por el que pasan las rectas paralelas a k cuando se desplazan hacia abajo, el mínimo, en el último vértice que tocan cuando se desplazan hacia arriba. Máimo en E,, vale. Mínimo en,, vale 8. z E.. ibuja la región determinada por las condiciones Halla el máimo el mínimo de la función de dos variables f(, ) cuando está sujeta a las anteriores condiciones. Resuelve el problema por el método geométrico teniendo en cuenta que la pendiente de la función objetivo es negativa. La región factible es no acotada. La pendiente de la función objetivo es positiva. Por tanto, el máimo se alcanza en el último vértice por el que pasan las rectas paralelas a k cuando se desplazan hacia abajo, el mínimo, en el último vértice que tocan cuando se desplazan hacia arriba. Máimo en,, vale. El mínimo no eiste. z

13 PRLEMS..(PU) Una empresa cuenta con tres empleados que trabajan durante horas semanales para elaborar dos tipos de guitarras eléctricas, G G. ada unidad de G requiere tres horas de trabajo, cada unidad de G, cuatro. Independientemente del tipo que sea, cada guitarra proporciona un beneficio de euros. Un estudio de mercado señala que no se deben producir en total más de guitarras semanales. etermina la producción para que los beneficios sean máimos. unidades de G unidades de G Función objetivo z Restricciones El máimo se obtiene en todos los puntos del segmento de etremos (8, ) (, ) El beneficio que se obtiene asciende a euros...(pu) Se desea fabricar comida para gatos de dos clases diferentes gama alta gama media. La comida está formada por una mezcla de carne, cereales grasa animal en diferentes proporciones, según la gama. La mezcla de gama alta inclue kg de carne, kg de cereales kg de grasa animal por paquete, produce un beneficio de euros, mientras que la mezcla de gama media inclue kg de carne, kg de cereales kg de grasa animal por paquete, produce un beneficio de euros. Se cuenta con un total de kg de carne, de cereales 8 de grasa animal para elaborar las mezclas. uántos paquetes de cada gama se deberán fabricar para que el beneficio producido sea máimo? paquetes de gama alta paquetes de gama media Función objetivo z Restricciones 8 z El máimo se encuentra en el vértice (, ) 8 Se deben fabricar paquetes de gama alta de gama baja, se obtiene un beneficio de euros. 8

14 .8. (PU) En una empresa se editan revistas de dos tipos de información deportiva de cultura. ada revista de información deportiva precisa dos cartuchos de tinta negra uno de color se vende a euros. ada revista de cultura precisa dos cartuchos de tinta negra dos de color se vende a euros. Se dispone de cartuchos de cada clase. uántas revistas de cada tipo se deben editar para ingresar el máimo posible? revistas de información deportiva revistas de cultura Función objetivo z Restricciones El máimo es el vértice (, ) El máimo de ingresos se obtiene al editar revistas de cultura ninguna de información deportiva, ascienden a euros..9. (PU) Para iluminar una sala de pintura es preciso colocar suficientes bombillas que sumen un total de vatios como mínimo. En el mercado se pueden adquirir bombillas incandescentes tradicionales de 9 vatios al precio de euro la unidad bombillas de bajo consumo de 9 vatios (equivalentes a vatios) al precio de euros la unidad. ebido a la estructura del espacio, el número total de bombillas no puede ser maor de. Por otra parte, las normas del untamiento imponen que, para este tipo de salas, el número de bombillas de bajo consumo no puede ser inferior a la mitad del de bombillas tradicionales. alcula el número de bombillas de cada clase que se debe colocar para que el coste sea mínimo. bombillas de 9 w bombillas de 9 w (equivalentes a w) Función objetivo z 9 Restricciones 9 El mínimo es el vértice (, ) El mínimo gasto se obtiene al iluminar la sala con bombillas de 9 w de bajo consumo de 9 w. El coste mínimo es de euros. z 9

15 .. (PU) os jóvenes empresarios se disponen a abrir un negocio de informática. Montarán comercializarán dos tipos de ordenador el tipo llevará una unidad de memoria de pequeña capacidad un disco duro; el tipo llevará una unidad de memoria de alta capacidad dos discos duros. En total se cuenta con unidades de memoria de pequeña capacidad, unidades de memoria de alta capacidad 8 discos duros. Por cada ordenador de tipo esperan obtener euros de beneficios, por cada ordenador de tipo, euros. a) uál es la mejor decisión sobre el número de ordenadores a montar de cada tipo? b) uáles serían los beneficios en ese caso? c) on esta producción, habría algún ecedente en el material mencionado? a) ordenadores de tipo ordenadores de tipo Función objetivo z Restricciones 8 El máimo es el vértice (, ) 8 La mejor decisión es montar ordenadores de tipo de tipo. b) Para este caso se obtendrían unos beneficios de euros. c) on esta producción sobrarán unidades de memoria de alta capacidad... (PU) En un taller de confección se van a elaborar trajes de cocinero de camarero. Se dispone para ello de m de algodón, m de fibra sintética m de lana. Para hacer cada traje de cocinero se precisan m de algodón, m de fibra sintética m de lana. ada unidad de este tipo deja euros de beneficios. Para hacer cada traje de camarero se precisan m de algodón, m de fibra sintética m de lana. ada unidad de este tipo deja euros de beneficios. Se deben confeccionar maor o igual número de trajes de camarero que de cocinero, como mínimo, se deben hacer un traje de cocinero dos de camarero. El total no podrá ser superior a. a) uántos trajes de cada tipo se deberán confeccionar de forma que el beneficio sea máimo? b) Sobrará algún tipo de material? c) Ha alguna condición redundante? a) trajes de cocinero trajes de camarero Función objetivo z Restricciones El máimo es el vértice (, 8) El beneficio máimo se obtiene confeccionando traje de cocinero 8 de camarero, es de euros. b) Sobran m de algodón m de lana. c) Las condiciones son redundantes.

16 .. (PU) Una empresaria desea invertir los beneficios de euros obtenidos en su negocio en dos tipos de acciones,. El tipo produce un interés anual esperado del %, el tipo, del %. omo máimo desea invertir euros en, como mínimo, euros en. demás, desea que la inversión en sea superior a dos veces media la inversión en. ómo deberá realizar la inversión para que las ganancias sean máimas? euros en acciones de tipo euros en acciones de tipo Función objetivo z,, Restricciones El máimo es el vértice (, ),, Para obtener el máimo beneficio deben invertirse euros en acciones de tipo en las de tipo. El beneficio obtenido en ese caso asciende a 8 euros... (PU) Una empresa de siderurgia cuenta con tres tipos de recursos productivos para fabricar dos tipos de aleaciones de hierro, horas de trabajo de personal 88 toneladas, respectivamente, de dos materias primas, M M, que se deben mezclar. Para fabricar una unidad de la aleación se precisan horas de trabajo de personal, toneladas de M toneladas de M. Para fabricar una unidad de la aleación se precisan horas de trabajo de personal, toneladas de M toneladas de M. Gracias a un estudio de mercado, se supone que por cada unidad de se obtendrán unos beneficios de unidades monetarias, por cada unidad de se obtendrán unidades monetarias. a) Halla la producción que maimiza los beneficios. b) Indica si se genera algún tipo de ecedente en los recursos productivos. c) Si se produce una rebaja del % en los beneficios obtenidos por cada unidad de se mantienen los obtenidos por cada unidad de, cómo variará la producción óptima? a) unidades de unidades de Función objetivo z 88 Restricciones 88 El máimo es el vértice (, ) El máimo de beneficios se obtiene cuando se producen unidades de unidades de, es de u m. b) No sobra nada. c) La nueva función objetivo es z En este caso, el máimo de producción se obtiene en cualquier punto del segmento de etremos, vale 9 u m.

17 .. (PU) Una empresa que empaqueta comercializa cajas de cereales tiene dos factorías situadas en en. Un hipermercado le encarga que, mensualmente, le provea como mínimo de cajas de cereales normales, cajas de cereales con chocolate 8 cajas de cereales con miel. La factoría produce en una hora cajas de cereales normales, cajas de cereales con chocolate cajas de cereales con miel a un coste de euros. La factoría produce, también en una hora,, 9 cajas, respectivamente, de cada tipo de cereal a un coste de 8 euros por hora. a) alcula el número de horas que debe trabajar cada factoría para abastecer la demanda de forma que el coste sea mínimo. b) alcula el valor de dicho coste mínimo. a) número de horas que trabaja la factoría. número de horas que trabaja la factoría. Función objetivo z 8 Restricciones 9 8 El mínimo se encuentra en 9 8 (;,8) Por tanto, no se deben trabajar ninguna hora en,8 horas en para que el coste sea mínimo. b) El coste mínimo será de 9, euros... En cierta zona de una comunidad autónoma ha tres fábricas de televisores,,, que proveen de aparatos a dos ciudades,. Las producciones de las fábricas son Las demandas de las ciudades son Los costes de transporte, en euros, de cada unidad desde un punto de origen a uno de destino son 8 Halla cuántos televisores deben llevarse desde cada fábrica a cada ciudad para que el coste total de los gastos de transporte sea mínimo. alcula dicho coste mínimo. Total Total Función objetivo z 8( ) ( ) ( ) ( ) Restricciones El coste mínimo se obtiene en (, ). Por tanto, han de llevarse televisores de a, de a, de a de a. El coste para esos valores es de euros.

18 ..Las fábricas de automóviles de Fráncfort de Milán proveen de un cierto modelo a las ciudades de París, Viena Praga. Las producciones de las fábricas son Las demandas de las ciudades son Fráncfort Milán París Viena Praga Los costes de transporte, en unidades monetarias, de cada automóvil desde un punto de origen a uno de destino son París Viena Praga Fráncfort Milán Halla cuántos automóviles deben llevarse desde cada fábrica a cada ciudad para que el coste total de los gastos de transporte sea mínimo calcula dicho coste mínimo. París Viena Praga Total Fráncfort Milán Total Función objetivo z ( ) ( ) ( ) ( ) Restricciones El mínimo se encuentra en todos los puntos pertenecientes al segmento de etremos (, ) (, ). os ejemplos de solución son París Viena Praga Fráncfort Milán París Viena Praga Fráncfort Milán El coste mínimo será de euros.

19 .. (PU) En un comedor escolar se desea diseñar un menú para los alumnos que debe cumplir las siguientes especificaciones. El número de calorías no ha de ser inferior a. ebe contener un total de, al menos, g de proteínas. ebe contener un total de, al menos, 8 g de grasas. Para ello se dispone de dos platos con las siguientes características. er plato ( g).º plato ( g) alorías Proteínas Grasas 8 El precio de g del segundo plato es doble del de g del primer plato. Halla cuántos gramos se deben servir de cada plato para que el coste sea mínimo. Se sirven gramos del primer plato gramos del segundo. Función objetivo z 8 Restriccione 8 El mínimo es segundo. 8 (,;,8) deben servir gramos del primer plato 8 del.8. Una compañía que ofrece servicios de coneión rápida a internet quiere iniciar una campaña de captación de clientes mediante una serie de llamadas telefónicas elegidas al azar. Las llamadas se pueden realizar a propietarios de viviendas de dos localidades diferentes,. Por anteriores estudios de mercado se sabe que la probabilidad de que un vecino de la localidad acepte el servicio es de,, de que lo haga un vecino de la localidad, de,. El mencionado estudio indica también que, como mucho, se deberán realizar llamadas a vecinos de a vecinos de. El total de llamadas no puede superar la cantidad de, por lo menos, se deberá llamar a vecinos de cada ciudad. demás dado el coste de las llamadas, el número de vecinos consultados de no podrá ser superior al de consultados de. alcula el número de llamadas que se deberán hacer a a para maimizar el número de futuros clientes. número de llamadas a número de llamadas a Función objetivo z,, Restricciones El máimo se encuentra en (, ) Por tanto, se deben realizar llamadas a a para maimizar el número de futuros clientes.

20 PRFUNIZIÓN.9. Resuelve el problema de programación lineal entera. Máimo z 8 Sujeto a Z,, donde 9 El máimo se encuentra en el punto, 9 vale z,... Resuelve el problema de programación lineal entera. Máimo z Sujeto a Z, donde l ser una región no acotada no tendría máimo. El mínimo se encuentra en el punto (, ) vale z... ado el siguiente problema de programación lineal. Máimo z λ sujeto a 9 Halla los valores de λ para los cuales la solución óptima del problema se encuentra en el vértice (, ). uánto vale z en este caso? La región factible tiene por vértices 9 (, ) 9 (, ) (, ) (, ) El valor de z en los vértices es z λ, z λ, z, z. Para que el máimo se encuentre en debe ocurrir λ λ λ λ λ λ λ λ Por tanto, el valor de λ debe ser superior o igual a. En este caso, z λ. z z

21 .. ado el siguiente problema de programación lineal Mínimo z λ sujeto a Halla los valores de λ para los cuales la solución óptima del problema se encuentra en el vértice (, ). uánto vale z en este caso? La región factible tiene por vértices (, ) (, ) (, ) (, ) El valor de z en los vértices es z λ, z λ, z 9 λ, z. Para que el máimo se encuentre en debe ocurrir 9 9 λ λ λ 9 λ λ λ λ 9 λ λ El valor de λ debe estar entre. En este caso, la función z 9 λ. RELIN NTEST Elige la respuesta correcta en cada caso.. Se consideran los puntos M(, ) N(, ), el semiplano determinado por la epresión > ) El origen de coordenadas pertenece al semiplano. ) Los dos puntos M N pertenecen al semiplano. ) El punto M pertenece, pero el N no. ) El punto N pertenece, pero el M no. E) Ninguno de los dos puntos pertenece al semiplano. La respuesta correcta es la ) El punto N pertenece, pero el M no... La recta k se desplaza de forma paralela desde el origen de coordenadas hacia la parte positiva del eje. ) El valor de k es menor cuanto maor es la distancia que separa a la recta del origen de coordenadas. ) El valor de k es maor cuanto maor es la distancia que separa a la recta del origen de coordenadas. ) El valor de k permanece constante. ) Todas las anteriores afirmaciones son ciertas. E) Todas las anteriores afirmaciones son falsas. La respuesta correcta es la ) El valor de k es maor cuanto maor es la distancia que separa a la recta del origen de coordenadas, a que al ser los coeficientes de de positivos, el valor de k es maor cuanto más se aleje la recta del origen de coordenadas en el sentido positivo del eje.

22 .. El interior del triángulo de vértices (, ), (, ) (, ) queda determinado por las siguientes condiciones. ) ) ) ) E) Ninguna de las anteriores opciones es cierta. La solución correcta es la ),,. Los lados del triángulo son,,... La región factible determinada por las restricciones 8 es ) ) ) ) E) ninguna de las anteriores opciones es cierta. Se observa al estudiar la intersección de los cuatro semiplanos que la solución correcta es la )... La solución del problema de programación lineal Mínimo z. Sujeta a se alcanza en, ), ), ), ), E) El problema no tiene solución. La solución correcta es la E) El problema no tiene solución. omo el coeficiente de la función objetivo de es negativo, el mínimo se alcanza en el último punto donde toca la recta k a la región factible en su desplazamiento hacia la parte positiva del eje. Se observa que nunca deja de tocarla.

23 Señala en cada caso las respuestas correctas.. Se considera la región factible determinada por las restricciones {,,,, }. ) El punto (9, ) pertenece a la región factible. ) El punto (9, ) es uno de los vértices de la región factible. ) El punto, 9 es un vértice de la región factible. ) El punto (, ) pertenece a la región factible. E) El punto (, ) es uno de los vértices de la región factible. Las soluciones correctas son la ) El punto, 9 es un vértice de la región factible, la ) El punto (, ) pertenece a la región factible. El punto (9, ) no pertenece a la región factible, a que no verifica la.ª inecuación. Tampoco puede ser, por tanto, vértice. El punto, 9 es un vértice, a que verifica todas las inecuaciones es solución de las dos primeras ecuaciones. El punto (, ) pertenece a la región factible, a que verifica todas las inecuaciones, pero no es solución de un sistema de dos ecuaciones, por tanto, no es vértice.. Se considera un problema de programación lineal con dos variables. ) Si el punto (a, b) es una solución óptima del problema, entonces obligatoriamente es un vértice de la región factible. ) Si el punto (a, b) es la única solución óptima del problema, entonces (a, b) obligatoriamente pertenece a la región factible. ) Si el punto (a, b) es la única solución óptima del problema, entonces es obligatoriamente un vértice de la región factible. ) Si (a, b) no pertenece a la región factible, entonces no puede ser solución del problema. E) Todas las anteriores opciones son ciertas. Las soluciones correctas son la ) Si el punto (a, b) es la única solución óptima del problema, entonces (a, b) obligatoriamente pertenece a la región factible; la ) Si el punto (a, b) es la única solución óptima del problema, entonces es obligatoriamente un vértice de la región factible, la ) Si (a, b) no pertenece a la región factible, entonces no puede ser solución del problema. Una solución puede ser óptima no ser vértice, a que puede ser una de las infinitas soluciones de un problema de programación lineal. Sin embargo, si es única, debe ser vértice. bviamente, para que sea solución óptima, lo primero que debe verificar es que pertenezca a la región factible. 8

24 Elige la relación correcta entre las dos afirmaciones dadas.8. Se considera un problema de programación lineal con dos variables tal que la región factible no es vacía. a)el problema no tiene solución. b) La región factible es no acotada. ) a es equivalente a b. ) a implica b, pero b no implica a. ) b implica a, pero a no implica b. ) a b no se pueden dar a la vez. E) Nada de lo anterior es cierto. La solución correcta es la ) a implica b, pero b no implica a. uando la región factible es acotada, el problema de programación lineal siempre tiene por lo menos una solución. Pero puede ocurrir que la región sea no acotada el problema tenga solución. Señala el dato innecesario para contestar.9. La región factible correspondiente a un problema de programación lineal está determinada por las siguientes restricciones. a) b) c) d) ) La restricción a es redundante. ) La restricción b es redundante. ) La restricción c es redundante. ) La restricción d es redundante. E) Ninguna de las cuatro restricciones es redundante. l dibujar la región factible se obtiene que la solución correcta es la ) La restricción b es redundante. naliza si la información suministrada es suficiente para contestar a la cuestión.. La región factible de un determinado problema de programación lineal es acotada. La función objetivo es f(, ) a b. Se afirma que el máimo de dicha función se alcanza en el último vértice que la recta a b k toca a la región factible en su desplazamiento paralelo en dirección hacia del eje. ) a >, b > ) a <, b > ) Tanto la información como la son suficientes para asegurar que la afirmación es correcta. ) La información es suficiente, pero la no. ) La información es suficiente, pero la no. ) Son necesarias las dos informaciones juntas. E) Hacen falta más datos. La solución correcta es la ) Tanto la información como la son suficientes para asegurar que la afirmación es correcta l ser positivo el coeficiente de en la función objetivo, el máimo de dicha función se alcanza en el último vértice que la recta a b k toca a la región factible en su desplazamiento paralelo en dirección hacia del eje. 9

4 Programación lineal

4 Programación lineal 4 Programación lineal TIVIES INIILES 4.I. Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado. a) ( ) 4( ) b) > 6 a) 6 4 8 6 4 8 6 9, Solución:, b) > 6 6 6 > 6 6 6 6 > 6 6 6 > 6 8 > 0 > Solución:, 4.II.

Más detalles

Programación Lineal. f(x,y) = 2 x + y. Cuántas soluciones hay? Solución:

Programación Lineal. f(x,y) = 2 x + y. Cuántas soluciones hay? Solución: Programación Lineal 2 x + y 2 1.- alcula los puntos del recinto 2x y 2 que hacen mínima o máxima la función y 2 f(x,y) = 2 x + y. uántas soluciones hay? Solución: Representemos el sistema de inecuaciones

Más detalles

UNIDAD 6.- PROGRAMACIÓN LINEAL

UNIDAD 6.- PROGRAMACIÓN LINEAL UNIDAD 6.- PROGRAMACIÓN LINEAL 1. INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Una inecuación de primer grado con dos incógnitas es una inecuación que en forma reducida se puede expresar de la siguiente forma:

Más detalles

Programación lineal. 1. Dibuja la región del plano definida por las siguientes inecuaciones: x 0, 0 y 2, y + 2x 4. Solución:

Programación lineal. 1. Dibuja la región del plano definida por las siguientes inecuaciones: x 0, 0 y 2, y + 2x 4. Solución: 1 LRJS05 1. Dibuja la región del plano definida por las siguientes inecuaciones: 0, 0 y 2, y + 2 4 Representando las rectas asociadas a cada una de las inecuaciones dadas se obtiene la región sombreada

Más detalles

UNIDAD 4 Programación lineal

UNIDAD 4 Programación lineal UNIDD 4 Programación lineal Pág. 1 de 8 1 Un mayorista de frutos secos tiene almacenados 1 800 kilos de avellanas y 420 kilos de almendras para hacer dos tipos de mezclas, que embala en cajas como se indica

Más detalles

Introducción a la Programación Lineal

Introducción a la Programación Lineal UNIDAD 0 Introducción a la Programación Lineal. Modelo de Programación Lineal con dos variables Ejemplo: (La compañía Reddy Mikks) Reddy Mikks produce pinturas para interiores y eteriores, M y M. La tabla

Más detalles

PROGRAMACIÓN LINEAL. Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc.

PROGRAMACIÓN LINEAL. Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc. PROGRAMACIÓN LINEAL La programación lineal da respuesta a situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.

Más detalles

Tema 7: Geometría Analítica. Rectas.

Tema 7: Geometría Analítica. Rectas. Tema 7: Geometría Analítica. Rectas. En este tema nos centraremos en estudiar la geometría en el plano, así como los elementos que en este aparecen como son los puntos, segmentos, vectores y rectas. Estudiaremos

Más detalles

EJERCICIOS PROGRAMACIÓN LINEAL

EJERCICIOS PROGRAMACIÓN LINEAL EJERCICIOS PROGRAMACIÓN LINEAL 1.- Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L 1 y L 2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L 1 y de 30 minutos para

Más detalles

EJEMPLO 1. Solución: Definimos las variables originales como: = número de conejos. x = número de pollos.

EJEMPLO 1. Solución: Definimos las variables originales como: = número de conejos. x = número de pollos. EJEMPLO. En una granja agrícola se desea criar conejos y pollos como complemento en su economía de forma que no se superen en conjunto las 8 horas mensuales destinadas a esta actividad. Su almacén sólo

Más detalles

Funciones 1. D = Dom ( f ) = x R / f(x) R. Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: x x

Funciones 1. D = Dom ( f ) = x R / f(x) R. Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: x x Funciones. DEFINICIÓN Y TERMINOLOGÍA.. Definición de función real de variable real. "Es toda correspondencia, f, entre un subconjunto D de números reales y R (o una parte de R), con la condición de que

Más detalles

Programación Lineal. Ejercicio nº 1.- a) Representa gráficamente las soluciones de la inecuación: 2x y 3

Programación Lineal. Ejercicio nº 1.- a) Representa gráficamente las soluciones de la inecuación: 2x y 3 Programación Lineal Ejercicio nº.- a) Representa gráficamente las soluciones de la inecuación: b) Averigua cuál es la inecuación cuas soluciones corresponden al siguiente semiplano: Ejercicio nº.- a) Representa

Más detalles

Localizando el punto de intersección

Localizando el punto de intersección Localizando el punto de intersección Realiza las siguientes actividades, mientras trabajas con el tutorial. 1. En la gráfica de una función, los valores de la variable están en el eje horizontal y los

Más detalles

Problemas de programación lineal.

Problemas de programación lineal. Matemáticas 2º Bach CCSS. Problemas Tema 2. Programación Lineal. Pág 1/12 Problemas de programación lineal. 1. Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante

Más detalles

TEMA 4 PROGRAMACIÓN LINEAL

TEMA 4 PROGRAMACIÓN LINEAL Tema Programación lineal Ejercicios resueltos - Matemáticas CCSSII º Bach TEMA PROGRAMACIÓN LINEAL INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA EJERCICIO : a) Halla la inecuación que corresponde al siguiente

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 3: PROGRAMACIÓN LINEAL

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 3: PROGRAMACIÓN LINEAL PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 3: PROGRAMACIÓN LINEAL Junio, Ejercicio 1, Opción A Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B Reserva 2, Ejercicio

Más detalles

Módulo Programación lineal. 3 Medio Diferenciado

Módulo Programación lineal. 3 Medio Diferenciado Módulo Programación lineal 3 Medio Diferenciado Profesor: Galo Páez Nombre: Curso :. Sabemos que una ecuación lineal de dos variables tiene la forma con ó y representa siempre una recta en el plano. Ahora

Más detalles

Inecuaciones. Objetivos

Inecuaciones. Objetivos 5 Inecuaciones Objetivos En esta quincena aprenderás a: Resolver inecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita. Resolver sistemas de ecuaciones con una incógnita. Resolver de forma gráfica inecuaciones

Más detalles

Z Optima X 1 + X 2 5 Z 1 -X 1 + 2X Región factible. Figura 1

Z Optima X 1 + X 2 5 Z 1 -X 1 + 2X Región factible. Figura 1 Método Gráfico El procedimiento geométrico, es únicamente adecuado para resolver problemas muy pequeños (con no más de dos variables debido al problema de dimensionalidad). Este método provee una gran

Más detalles

CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO BARILOCHE TALLER DE MATEMATICA INGRESO 2016 LIC. ENFERMERÍA PRACTICO UNIDAD 3

CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO BARILOCHE TALLER DE MATEMATICA INGRESO 2016 LIC. ENFERMERÍA PRACTICO UNIDAD 3 PRACTICO UNIDAD 3 Nota: Los ejercicios propuestos en los prácticos deben servirle para afianzar y practicar temas. Si nota que algunos ejercicios ya los sabe hacer bien, continúe con otros que le impliquen

Más detalles

En primer lugar voy a trasladar el enunciado a lenguaje matemático. Me fijo en lo que me preguntan: a una variable la llamo x y a otra y.

En primer lugar voy a trasladar el enunciado a lenguaje matemático. Me fijo en lo que me preguntan: a una variable la llamo x y a otra y. PROGRAMACIÓN LINEAL EJERCICIO TIPO Una confitería se elaboran tartas de nata y de manzana. Cada tarta de nata requiere medio kilo de azúcar y 8 huevos; y una de manzana, 1 kg de azúcar y 6 huevos. En la

Más detalles

El ejercicio presenta dos opciones, A y B. El alumno deberá elegir y desarrollar una de ellas, sin mezclar contenidos. OPCIÓN A

El ejercicio presenta dos opciones, A y B. El alumno deberá elegir y desarrollar una de ellas, sin mezclar contenidos. OPCIÓN A Prueba de Acceso a la Universidad. JUNIO 00. Bachillerato de iencias Sociales. El ejercicio presenta dos opciones A y B. El alumno deberá elegir y desarrollar una de ellas sin mezclar contenidos. OPIÓN

Más detalles

III. Escribir las Restricciones en formas de Inecuaciones. A B C X (Grupo 1) Y (Grupo 2) Total

III. Escribir las Restricciones en formas de Inecuaciones. A B C X (Grupo 1) Y (Grupo 2) Total EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL. 1. (JUN 02) Un proyecto de asfaltado puede llevarse a cabo por dos grupos diferentes de una misma empresa: G1 y G2. Se trata de asfaltar tres zonas: A, B y

Más detalles

2 4. c d. Se verifica: a + 2b = 1

2 4. c d. Se verifica: a + 2b = 1 Pruebas de Acceso a la Universidad. SEPTIEMBRE 0. Bachillerato de Ciencias Sociales. El alumno debe responder a una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máxima.

Más detalles

CANTABRIA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / ÁLGEBRA / BLOQUE 1 / OPCIÓN A

CANTABRIA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / ÁLGEBRA / BLOQUE 1 / OPCIÓN A CANTABRIA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / ÁLGEBRA / BLOQUE 1 / OPCIÓN A BLOQUE 1 OPCIÓN A Un fabricante de coches lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo

Más detalles

Introducción a la programación lineal

Introducción a la programación lineal Introducción a la programación lineal La programación lineal se aplica a modelos de optimización en los que las funciones objetivo y restricción son estrictamente lineales. La técnica se aplica en una

Más detalles

INECUACIONES: Ejercicio 1.- Resuelve las siguientes inecuaciones lineales con una incógnita:

INECUACIONES: Ejercicio 1.- Resuelve las siguientes inecuaciones lineales con una incógnita: RELACIÓN DE EJERCICIOS TEMA 4.- Inecuaciones 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I INECUACIONES: Ejercicio 1.- Resuelve las siguientes inecuaciones lineales con una incógnita:

Más detalles

UTALCA IMAFI. Resolver los siguientes ejercicios utilizando el método gráfico. Para ello:

UTALCA IMAFI. Resolver los siguientes ejercicios utilizando el método gráfico. Para ello: Resolver los siguientes ejercicios utilizando el método gráfico. Para ello: (a). Modelar matemáticamente la situación planteada. (b). Graficar, en un mismo sistema de coordenadas, todas las restricciones

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL - Año 2012

ÁLGEBRA LINEAL - Año 2012 UNIVERSIDAD NACIONAL DE RÍO CUARTO FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ÁLGEBRA LINEAL - Año 0 Notas de Cátedra correspondientes a la UNIDAD SIETE PROGRAMACIÓN LINEAL * INECUACIONES Se denomina inecuación a

Más detalles

Tema II: Programación Lineal

Tema II: Programación Lineal Tema II: Programación Lineal Contenido: Solución a problemas de P.L. por el método gráfico. Objetivo: Al finalizar la clase los alumnos deben estar en capacidad de: Representar gráficamente la solución

Más detalles

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE LA RECTA

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE LA RECTA C u r s o : Matemática Material N 8 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 5 UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE LA RECTA SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL Para determinar la posición de los puntos de un plano usando

Más detalles

Ejercicios y problemas

Ejercicios y problemas Ejercicios problemas Problemas 28. Un granjero desea crear una granja de pollos de dos razas,a B. Dispone de 9 000 para invertir de un espacio con una capacidad limitada para 7 000 pollos. Cada pollo de

Más detalles

Examen de Matemáticas Aplicadas a las CC. Sociales II (Marzo 2013) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos

Examen de Matemáticas Aplicadas a las CC. Sociales II (Marzo 2013) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos Eamen de Matemáticas Aplicadas a las CC. Sociales II (Marzo 2013) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos Problema 1 (3 puntos)dado el sistema a+ y+ 3z = 0 + ay+ 2z = 1 + ay+ 3z = 1 a) (2 puntos). Discutir

Más detalles

La concentración de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una

La concentración de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una ANÁLISIS MATEMÁTICO. PAU CASTILLA Y LEÓN A) EJERCICIOS DE APLICACIÓN A LAS CCSS La concentración de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una ciudad viene dada por la función C ( ) 90

Más detalles

Funciones. Rectas y parábolas

Funciones. Rectas y parábolas 0 Funciones. Rectas y parábolas. Funciones Dado el rectángulo de la figura, calcula: el perímetro. el área. P I E N S A C A L C U L A Perímetro = ( + ) = 6 Área = = Indica cuál de las siguientes gráficas

Más detalles

MATEMÁTICAS-FACSÍMIL N 16

MATEMÁTICAS-FACSÍMIL N 16 MTEMÁTIS-FSÍMIL N 16 1. Si 1 1 = 8 e y =, cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? 8 ) = y ) > y ) 1 = y ) + y = = y y. Según la siguiente tabla de frecuencia, la afirmación correcta es: ) Mediana

Más detalles

Preparando la selectividad

Preparando la selectividad Preparando la selectividad PRUEBA nº 2. Ver enunciados Ver Soluciones Opción A Ver Soluciones Opción B Se elegirá el ejercicio A o el ejercicio B, del que se harán los TRES problemas propuestos. LOS TRES

Más detalles

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE LA RECTA

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE LA RECTA C u r s o : Matemática Material N 18 UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE LA RECTA GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 15 SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL Para determinar la posición de los puntos de un plano usando

Más detalles

ECUACIÓN DE LA RECTA

ECUACIÓN DE LA RECTA MATEMÁTICA SEMANA 2 ECUACIÓN DE LA RECTA Todos los derechos de autor son de la exclusiva propiedad de IACC o de los otorgantes de sus licencias. No está permitido copiar, reproducir, reeditar, descargar,

Más detalles

PROGRAMACIÓN LINEAL. Página 102. Página 103

PROGRAMACIÓN LINEAL. Página 102. Página 103 4 PROGRAMACIÓN LINEAL Página 0 Problema Para representar y x, representa la recta y x =. Después, para decidir a cuál de los dos semiplanos corresponde la inecuación, toma un punto cualquiera exterior

Más detalles

PROGRAMACIÓN LINEAL. y x Ì 2. Representa, de forma análoga, las siguientes inecuaciones: a) x +5y > 10 b) x + 2y Ì 16 c) 2x + y Ì 20.

PROGRAMACIÓN LINEAL. y x Ì 2. Representa, de forma análoga, las siguientes inecuaciones: a) x +5y > 10 b) x + 2y Ì 16 c) 2x + y Ì 20. PROGRAMACIÓN LINEAL Página 99 REFLEXIONA Y RESUELVE Resolución de inecuaciones lineales Para representar y x Ì 2, representa la recta y x = 2. Después, para decidir a cuál de los dos semiplanos corresponde

Más detalles

Profesorado de Nivel Medio y Superior en Biología Matemática - 1º Cuatrimestre Año 2013 FUNCIÓN CUADRÁTICA

Profesorado de Nivel Medio y Superior en Biología Matemática - 1º Cuatrimestre Año 2013 FUNCIÓN CUADRÁTICA Matemática - º Cuatrimestre Año 0 FUNCIÓN CUADRÁTICA Hemos definido anteriormente la función lineal como una función f: R R de la forma f()a+b con a R y b R, que se representa en el plano mediante una

Más detalles

JUNIO Bloque A

JUNIO Bloque A Selectividad Junio 009 JUNIO 009 Bloque A 1.- Estudia el siguiente sistema en función del parámetro a. Resuélvelo siempre que sea posible, dejando las soluciones en función de parámetros si fuera necesario.

Más detalles

Por Sustitución: y= 2x+6 x + 3 (2x+6) = 4 x + 6x + 18 = 4 7x = -14 x= -2 y=2 (-2)+6 y=2. Por Igualación: 6x+18=4-x 7x=-14 x= -2 y=2 (-2)+6 y=2

Por Sustitución: y= 2x+6 x + 3 (2x+6) = 4 x + 6x + 18 = 4 7x = -14 x= -2 y=2 (-2)+6 y=2. Por Igualación: 6x+18=4-x 7x=-14 x= -2 y=2 (-2)+6 y=2 Tema 5: Sistemas de Ecuaciones y de Inecuaciones. Programación lineal. 5.1 Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es de la forma: Un par de valores

Más detalles

La recta se define como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que al tomarse de dos en dos se obtiene la misma pendiente.

La recta se define como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que al tomarse de dos en dos se obtiene la misma pendiente. Formas de la ecuación de una recta. Hasta el momento, se han dado algunas características de la recta tales como la distancia entre dos puntos, su pendiente, su ángulo de inclinación, relación entre ellas,

Más detalles

Proteinas Hidratos Grasas Coste/kg A B MATEMATIZACIÓN DEL PROBLEMA. A B Necesidades

Proteinas Hidratos Grasas Coste/kg A B MATEMATIZACIÓN DEL PROBLEMA. A B Necesidades PROGRAMACIÓN LINEAL 1. Imaginemos que las necesidades semanales mínimas de una persona en proteínas, hidratos de carbono y grasas son, respectivamente, 8, 12 y 9 unidades. Supongamos que debemos obtener

Más detalles

7 Aplicaciones de las derivadas

7 Aplicaciones de las derivadas Solucionario 7 Aplicaciones de las derivadas ACTIVIDADES INICIALES 7.I. Calcula el volumen del cilindro que está inscrito en el cono de la figura: cm 8 cm Aplicando el Teorema de Pitágoras, se calcula

Más detalles

EJERCICIO DE MAXIMIZACION

EJERCICIO DE MAXIMIZACION PROGRAMACION LINEAL Programación lineal es una técnica matemática que sirve para investigar, para así, hallar la solución a un problema dado dentro de un conjunto de soluciones factibles y es la operación

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA Ejercicio -Sea f: R R la función definida por f ( ) = + a + b + a) [ 5 puntos] Determina a, b R sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (, ) y tiene un punto de infleión

Más detalles

1. ESQUEMA - RESUMEN Página 2 2. EJERCICIOS DE INICIACIÓN Página 4 3. EJERCICIOS DE DESARROLLO Página EJERCICIOS DE REFUERZO Página 22

1. ESQUEMA - RESUMEN Página 2 2. EJERCICIOS DE INICIACIÓN Página 4 3. EJERCICIOS DE DESARROLLO Página EJERCICIOS DE REFUERZO Página 22 1. ESQUEMA - RESUMEN Página 2 2. EJERIIOS DE INIIAIÓN Página 4 3. EJERIIOS DE DESARROLLO Página 10 4. EJERIIOS DE REFUERZO Página 22 1 1. ESQUEMA - RESUMEN Página 1.1. OORDENADAS Y GRÁFIAS ARTESIANAS.

Más detalles

EJERCICIOS PAU MAT II CC SOC. ARAGÓN Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.com

EJERCICIOS PAU MAT II CC SOC. ARAGÓN Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.com PROGRAMACIÓN LINEAL 1- Un deportista solamente puede tomar para desayunar barritas de chocolate y barritas de cereales. Cada barrita de chocolate proporciona 40 gramos de hidratos de carbono, 30 gramos

Más detalles

PHPSimplex es una herramienta online para resolver problemas de programación lineal. Su uso es libre y gratuito. http://www.phpsimplex.

PHPSimplex es una herramienta online para resolver problemas de programación lineal. Su uso es libre y gratuito. http://www.phpsimplex. IES de MOS Ejercicios Programación Lineal PHPSimplex es una herramienta online para resolver problemas de programación lineal. Su uso es libre y gratuito. http://www.phpsimplex.com 1. Dada la región del

Más detalles

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO PLANTEL IGNACIO RAMÍREZ CALZADA DE LA ESCUELA PREPARATORIA PROBLEMARIO GEOMETRÍA ANALÍTICA

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO PLANTEL IGNACIO RAMÍREZ CALZADA DE LA ESCUELA PREPARATORIA PROBLEMARIO GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO PLANTEL IGNACIO RAMÍREZ CALZADA DE LA ESCUELA PREPARATORIA PROBLEMARIO GEOMETRÍA ANALÍTICA ELABORO: ING. ROBERTO MERCADO DORANTES SEPTIEMBRE 2008 Sistemas coordenados

Más detalles

Geometría Analítica Agosto 2016

Geometría Analítica Agosto 2016 Laboratorio #1 Distancia entre dos puntos I.- Demostrar que los puntos dados no son colineales. 1) A (0, 5), B(3, 1), C( 11, 27) 2) A (1, 4), B( 2, 10), C(5, 5) II.- Demostrar que los puntos dados forman

Más detalles

5.- Problemas de programación no lineal.

5.- Problemas de programación no lineal. Programación Matemática para Economistas 7 5.- Problemas de programación no lineal..- Resolver el problema Min ( ) + ( y ) s.a 9 5 y 5 Solución: En general en la resolución de un problema de programación

Más detalles

AYUDAS SOBRE LA LINEA RECTA

AYUDAS SOBRE LA LINEA RECTA AYUDAS SOBRE LA LINEA RECTA AYUDA : Grafiquemos la función Solución: Se debe escoger algunos números que representan a la variable x, para obtener el valor de la variable y respectivamente así: El proceso:

Más detalles

Inecuaciones: Actividades de recuperación.

Inecuaciones: Actividades de recuperación. Inecuaciones: Actividades de recuperación. 1.- Escribe la inecuación que corresponde a los siguientes enunciados: a) El perímetro de un triángulo equilátero es menor que 4. (x = lado del triángulo) b)

Más detalles

2. (a) Calcula los puntos del recinto 2x y[20 que hacen mínima la función f(x, y) = 2x + y. Cuántas soluciones hay? (7 puntos)

2. (a) Calcula los puntos del recinto 2x y[20 que hacen mínima la función f(x, y) = 2x + y. Cuántas soluciones hay? (7 puntos) Alumno... Fecha: 25 Noviembre 2011 Opción A 1. En una empresa se produce queso y mantequilla. Para fabricar una unidad de queso se necesitan 10 unidades de leche y 6 unidades de mano de obra y para fabricar

Más detalles

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA. 1. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto ( 2, 2) tiene como vector director el vector

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA. 1. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto ( 2, 2) tiene como vector director el vector EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto (, ) tiene como vector director el vector v i j A y x a + vt La ecuación paramétrica de una recta es

Más detalles

FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA. Folleto De Trabajo Para La Clase ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES

FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA. Folleto De Trabajo Para La Clase ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA Folleto De Trabajo Para La Clase ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES NOMBRE ID SECCIÓN SALÓN Prof. Eveln Dávila Contenido TEMA: Ecuaciones Lineales En Dos Variables... Solución

Más detalles

I.E.S. CUADERNO Nº 5 NOMBRE: FECHA: / / Inecuaciones. Resolver inecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita.

I.E.S. CUADERNO Nº 5 NOMBRE: FECHA: / / Inecuaciones. Resolver inecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita. Inecuaciones Contenidos 1. Inecuaciones de primer grado con una incógnita Definiciones Inecuaciones equivalentes Resolución Sistemas de inecuaciones 2. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita Resolución

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis, y programación lineal resueltos.

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis, y programación lineal resueltos. Análisis, y programación lineal resueltos. Problema 1: Se considera la función f(x) = ax 3 + b ln x siendo a y b parámetros reales. Determina los valores de a y bsabiendo que f(1) = 2 y que la derivada

Más detalles

Ecuaciones Lineales en Dos Variables

Ecuaciones Lineales en Dos Variables Ecuaciones Lineales en Dos Variables Una ecuación lineal en dos variables tiene la forma general a + b + c = 0; donde a, b, c representan números reales las tres no pueden ser iguales a cero a la misma

Más detalles

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA Sugerencias para quien imparte el curso En los ejemplos que se proponen, se debe tratar en la medida de lo posible que el propio alumno encuentre las respuestas y llegue a

Más detalles

Examen de Matemáticas Aplicadas a las CC. Sociales II (Septiembre 2009) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos

Examen de Matemáticas Aplicadas a las CC. Sociales II (Septiembre 2009) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos Examen de Matemáticas Aplicadas a las CC. Sociales II (Septiembre 2009) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos Problema 1 (3 puntos) Una carpintería vende paneles de contrachapado de dos tipos A y B.

Más detalles

DE LA GRÁFICA A LA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

DE LA GRÁFICA A LA EXPRESIÓN ALGEBRAICA De la gráfica a la expresión algebraica DE LA GRÁFICA A LA EXPRESIÓN ALGEBRAICA Rectas, Parábolas, Hipérbolas, Exponenciales Logarítmicas LA RECTA Comencemos localizando el punto donde la recta corta al

Más detalles

BLOQUE 2 : GEOMETRÍA

BLOQUE 2 : GEOMETRÍA BLOQUE 2 : GEOMETRÍA EJERCICIO 1 Dado el plano Л : x + 2y z = 2, el punto P( 2,3,2) perteneciente al plano Л y la recta r de ecuación:, a) Determina la posición relativa de r y Л. b) Calcula la ecuación

Más detalles

Modelos de Programación Matemática

Modelos de Programación Matemática Modelos de Programación Matemática Las proposiciones matemáticas, en cuanto tienen que ver con la realidad, no son ciertas; y en cuanto que son ciertas, no tienen nada que ver con la realidad A. Einstein

Más detalles

ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS

ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS Ejercicio 1 De la función se sabe que tiene un máximo en, y que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa y tiene un punto de inflexión en el punto

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas)

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Análisis (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Problema 1: Sea la función Determina: a) El dominio de definición. b) Las asíntotas si existen. c) El o los intervalos de

Más detalles

NIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : GEOGRAFÍA AYUD. C. ESCOBEDO C. AÑO : 2009 GEOMETRÍA ANALÍTICA

NIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : GEOGRAFÍA AYUD. C. ESCOBEDO C. AÑO : 2009 GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO ESCUELA DE GEOGRAFÍA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA CONSTRUCCIÓN ASIGNATURA : MATEMATICAS MATERIAL DE APOYO NIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS

Más detalles

UNIDAD 4 SOLUCIÓN GRÁFICA DE PROBLEMAS DE P. L. de dos dimensiones. especiales.

UNIDAD 4 SOLUCIÓN GRÁFICA DE PROBLEMAS DE P. L. de dos dimensiones. especiales. UNIDAD 4 SOLUCIÓN GRÁFICA DE PROBLEMAS DE P. L. de dos dimensiones especiales. Investigación de operaciones Introducción Después de construir modelos matemáticos de programación lineal, necesitamos desarrollar

Más detalles

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS Eamen Global Análisis Matemáticas II Curso 010-011 I E S ATENEA SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL PRIMERA EVALUACIÓN ANÁLISIS Curso 010-011 1-I-011 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES

Más detalles

UNIDAD 8 Geometría analítica

UNIDAD 8 Geometría analítica Pág. 1 de 5 I. Sabes hallar puntos medios de segmentos, puntos simétricos de otros y ver si varios puntos están alineados? 1 Los puntos A( 1, 3), B(2, 6), C (7, 2) y D( 5, 3) son vértices de un cuadrilátero.

Más detalles

Un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita es el conjunto formado por dos o más inecuaciones lineales de la forma:

Un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita es el conjunto formado por dos o más inecuaciones lineales de la forma: MATEMÁTICAS BÁSICAS SISTEMAS DE DESIGUALDADES SISTEMAS DE DOS INECUACIONES Y DOS INCÓGNITAS Un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita es el conjunto formado por dos o más inecuaciones lineales

Más detalles

EJERCICIOS UNIDAD 4: PROGRAMACIÓN LINEAL

EJERCICIOS UNIDAD 4: PROGRAMACIÓN LINEAL EJERCICIOS UNIDAD 4: PROGRAMACIÓN LINEAL 1. (001-M1;Sept-B-1) (3 puntos) Cierta sala de espectáculos tiene una capacidad máxima de 1500 personas, entre adultos y niños; el número de niños asistentes no

Más detalles

Pruebas de Acceso a las Universidades de Castilla y León

Pruebas de Acceso a las Universidades de Castilla y León Pruebas de Acceso a las Universidades de Castilla y León MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES EJERCICIO Nº páginas 2 Tablas OPTATIVIDAD: EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS DOS OPCIONES Y DESARROLLAR

Más detalles

Estudio de funciones mediante límites y derivadas

Estudio de funciones mediante límites y derivadas Estudio de funciones mediante límites y derivadas CVS0. El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los kilómetros recorridos. Por un

Más detalles

Aplicación: cálculo de áreas XII APLICACIÓN: CÁLCULO DE ÁREAS

Aplicación: cálculo de áreas XII APLICACIÓN: CÁLCULO DE ÁREAS XII APLICACIÓN: CÁLCULO DE ÁREAS El estudiante, hasta este momento de sus estudios, está familiarizado con el cálculo de áreas de figuras geométricas regulares a través del uso de fórmulas, como el cuadrado,

Más detalles

Ministerio de Educación Nuevo Bachillerato Ecuatoriano. Programación lineal

Ministerio de Educación Nuevo Bachillerato Ecuatoriano. Programación lineal Ministerio de Educación Nuevo Bachillerato Ecuatoriano Programación lineal Con el fin de motivar a sus estudiantes, un profesor de Matemática decide proporcionarles dos paquetes de golosinas: uno con 2

Más detalles

PROBLEMAS PROGRAMACION LINEAL SELECTIVIDAD 2º BTO CCSS

PROBLEMAS PROGRAMACION LINEAL SELECTIVIDAD 2º BTO CCSS PROBLEMAS PROGRAMACION LINEAL SELECTIVIDAD 2º BTO CCSS 1. Los 400 alumnos de un colegio van a ir de excursión. Para ello se contrata el viaje a una empresa que dispone de 8 autobuses de 40 plazas y 10

Más detalles

PSU Matemática NM-4 Guía 23: Isometrías. Nombre: Curso: Fecha: -

PSU Matemática NM-4 Guía 23: Isometrías. Nombre: Curso: Fecha: - Centro Educacional San Carlos de Aragón. Dpto. Matemática. Prof. Ximena Gallegos H. PSU Matemática NM- Guía : Isometrías Nombre: Curso: Fecha: - Contenido: Isometrías. Aprendizaje Esperado: Analiza traslaciones

Más detalles

PROGRAMACIÓN LINEAL. 8.1. Introducción. 8.2. Inecuaciones lineales con 2 variables

PROGRAMACIÓN LINEAL. 8.1. Introducción. 8.2. Inecuaciones lineales con 2 variables Capítulo 8 PROGRAMACIÓN LINEAL 8.1. Introducción La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver

Más detalles

Colegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas

Colegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas Geometría. Problema 1: Calcula la distancia del punto P(1, 1, 1) a la recta Problema 2: Dadas las rectas, se pide: a) Analiza su posición relativa. b) Halla la ecuación general del plano π que contiene

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD OPCIÓN A

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD OPCIÓN A DE 00 OPCIÓN A (3 puntos) Una fábrica produce dos tipos de relojes: de pulsera, que vende a 90 euros la unidad, y de bolsillo, que vende a 10 euros cada uno. La capacidad máxima diaria de fabricación es

Más detalles

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 1 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Planteamiento y resolución de los problemas de optimización Se quiere construir una caja, sin tapa, partiendo de una lámina rectangular de cm de larga por de ancha. Para ello

Más detalles

Funciones y sus gráficas

Funciones y sus gráficas y sus gráficas Marzo de 2006 Índice 1 polinómicas función constante función lineal función afín función cuadrática 2 racionales función de proporcionalidad inversa función racional 3 exponenciales 4 Ejemplos

Más detalles

Universidad de Managua Al más alto nivel

Universidad de Managua Al más alto nivel Universidad de Managua Al más alto nivel Profesor: MSc. Julio Rito Vargas Avilés. Curso de Programación Lineal MÉTODO GRÁFICO PARA PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Estudiantes: Facultad de Ciencias Económicas

Más detalles

PENDIENTE MEDIDA DE LA INCLINACIÓN

PENDIENTE MEDIDA DE LA INCLINACIÓN Capítulo 2 PENDIENTE MEDIDA DE LA INCLINACIÓN 2.1.2 2.1.4 Los alumnos utilizaron la ecuación = m + b para graficar rectas describir patrones en los cursos anteriores. La Lección 2.1.1 es un repaso. Cuando

Más detalles

1. Funciones y sus gráficas

1. Funciones y sus gráficas FUNCIONES 1. Funciones sus gráficas Función es una relación entre dos variables a las que, en general se les llama e. es la variable independiente. es la variable dependiente. La función asocia a cada

Más detalles

APUNTE: Introducción a la Programación Lineal

APUNTE: Introducción a la Programación Lineal APUNTE: Introducción a la Programación Lineal UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asignatura: Matemática Carreras: Lic. en Administración Profesor: Prof. Mabel Chrestia Semestre: do Año: 06 Definición La

Más detalles

El análisis cartesiano (René Descartes ) descubrió que las ecuaciones pueden tener una representación gráfica.

El análisis cartesiano (René Descartes ) descubrió que las ecuaciones pueden tener una representación gráfica. Capítulo 4. Estudio de la línea recta El análisis cartesiano (René Descartes 1596-1650) descubrió que las ecuaciones pueden tener una representación gráfica. Para lograr esa representación gráfica es necesario

Más detalles

Interpretación geométrica de la derivada

Interpretación geométrica de la derivada Interpretación geométrica de la derivada El matemático francés ierre de Fermat (60 665) al estudiar máimos mínimos de ciertas funciones observó que en aquellos puntos en los que la curva presenta un máimo

Más detalles

Localizando pares ordenados

Localizando pares ordenados DMINI DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDUL 2: Ecuaciones funciones lineales Localizando pares ordenados Realiza las siguientes actividades, mientras trabajas con el tutorial.. La recta numérica horizontal se conoce

Más detalles

El alumno debe responder a una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máxima. OPCIÓN A

El alumno debe responder a una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máxima. OPCIÓN A Prueba de Acceso a la Universidad SEPTIEMBRE Bachillerato de Ciencias Sociales El alumno debe responder a una de las dos opciones propuestas, A o B En cada pregunta se señala la puntuación máima OPCIÓN

Más detalles

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y

Más detalles

PENDIENTE MEDIDA DE LA INCLINACIÓN 2.1.2 2.1.4

PENDIENTE MEDIDA DE LA INCLINACIÓN 2.1.2 2.1.4 PENDIENTE MEDIDA DE LA INCLINACIÓN 2.1.2 2.1.4 Los alumnos utilizaron la ecuación = m + b para graficar rectas describir patrones en los cursos anteriores. La Lección 2.1.1 es un repaso. Cuando la ecuación

Más detalles

1 Si los puntos ( 6, 2), ( 2, 6) y (2, 2) son vértices de un cuadrado, cuál es el cuarto vértice?

1 Si los puntos ( 6, 2), ( 2, 6) y (2, 2) son vértices de un cuadrado, cuál es el cuarto vértice? Pág. 1 Puntos 1 Si los puntos ( 6, 2), ( 2, 6) y (2, 2) son vértices de un cuadrado, cuál es el cuarto vértice? 2 Los puntos ( 2, 3), (1, 2) y ( 2, 1) son vértices de un rombo. Cuáles son las coordenadas

Más detalles

MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II INSTRUCCIONES Y CRITERIOS GENERALES DE CALIFICACIÓN

MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II INSTRUCCIONES Y CRITERIOS GENERALES DE CALIFICACIÓN UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MODELO DE EXAMEN CURSO 2014-2015 MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

Más detalles