Estimación por el método generalizado de momentos (MGM).

Transcripción

1 Estimación por el método generalizado de momentos (MGM). Siga J.Muro(27/10/2003) 1

2 Método generalizado de momentos (MGM). Intuición. Principio MGM. Obtención de estimadores MGM. Propiedades de los estimadores. Contrastes de especificación. J.Muro(27/10/2003) 2

3 Intuición. Qué restricciones en los momentos poblacionales se encuentran implícitas en la formulación de un modelo econométrico? Procedimientos de estimación sustentados en el principio de analogía. Manski (1992). Un ejemplo: el modelo de regresión lineal clásico (MRLC). Siga J.Muro(27/10/2003) 3

4 Intuición. Qué implican los supuestos del modelo de regresión lineal clásico (MRLC). Y=Xβ+u. E (X u)=0. (v. no estocásticas o ctes. en muestras repetidas). Restricciones en los momentos poblacionales y en los momentos muestrales (las restricciones muestrales mimetizan el comportamiento de las restricciones poblacionales). 1/N(X e)=0. Ecuaciones normales de la regresión por MCO. Atrás J.Muro(27/10/2003) 4

5 Principio MGM. Uso de restricciones, generalmente de ortogonalidad, en los momentos poblacionales y su traslación al comportamiento mimético de los momentos muestrales. En particular cuando r>k (sobreidentificación). Atrás J.Muro(27/10/2003) 5

6 Obtención de estimadores MGM. Formulación de las restricciones muestrales. Problemas de identificación. Estimador de distancia mínima. Estimador por el método MGM. Atrás J.Muro(27/10/2003) 6

7 Restricciones muestrales. Y i = h(x i,β)+u i. Modelo no lineal, donde β es (k*1). Restricciones de ortogonalidad o en los momentos de la población: E[g j (Y i,x i,θ)]=0, j=1,2,3...r. Ej. En el caso de que las funciones fueran lineales. E(z i u i )=0. Donde z i es (1*N). Restricciones muestrales: 1/N Σ g j (Y i,x i,θ). Siga J.Muro(27/10/2003) 7

8 Restricciones muestrales. Para funciones lineales. 1/N(Z e)=0. Donde e(x, β )={e i }; e i =Y i -h(x i,β), i=1,2,..n. Z {z i } es (N*r). Nº de restricciones: r k. Atrás J.Muro(27/10/2003) 8

9 Identificación. Sólo son necesarias k restricciones muestrales para la estimación. Definimos una combinación lineal de las restricciones iniciales de ortogonalidad que reduzca su número a k. Atrás J.Muro(27/10/2003) 9

10 Estimador de distancia mínima. Minimizar Ψ = m(β) W -1 m (β). Donde m(β)=1/n(z e). Por lo que, Ψ= 1/N 2 (e Z) W -1 (Z e). El carácter de W define el tipo de estimador. Ej. Si W=Z Z, el estimador es el estimador no lineal por variables instrumentales. NLIV, Amemiya (1974). Atrás J.Muro(27/10/2003) 10

11 Estimador MGM. Hansen (1982); Newey-McFadden (1994). W=var asint.[m(β)]=var asint.[1/n(z e)]. W es una matriz r*r simétrica definida positiva, que si es estocástica converge en probabilidad hacia una W no estocástica. W es en general dependiente de X, β, (a través de e). Así para su cálculo inicial se necesita una estimación previa de β por un procedimiento consistente. A esta estimación previa se le suele llamar la primera etapa del método MGM. Ej. Si en Y i =h(x i,β)+u i se cumple E(u)=0; E(uu )=Σ. Entonces, W=1/N 2 (Z ΣZ). Siga J.Muro(27/10/2003) 11

12 Estimador MGM. El estimador MGM se obtiene como la solución del sistema de condiciones de primer orden (optimización no lineal). Atrás J.Muro(27/10/2003) 12

13 Propiedades de los estimadores. Hansen (1982). Estimadores consistentes y con distribución asintótica normal pero no eficientes. En general: ˆ d 1 N( θ MGM θ0) N(0, A ) Expresión de la matriz de varianzas y covarianzas Se suele emplear una tercera fase para mejorar la eficiencia asintótica de los estimadores. Atrás J.Muro(27/10/2003) 13

14 J.Muro(27/10/2003) 14. ' 1 lim. ' 1 lim ' = = = = = = N i N j j i N N i i N h h E N S h E N H H S H A θ θ θ Atrás

15 Contrastes de especificación Contraste de restricciones de sobreidentificación. Sargan (1958). Contrastes de momentos condicionales. Siga J.Muro(27/10/2003) 15

16 Contraste de restricciones de sobreidentificación Disponemos de r restricciones para estimar k parámetros. Se cumplen las restricciones de sobreidentificación? Nuestro método implica que m [ ] 1 var. asint.( m( ˆ)) m( ˆ) ~ 2 r k ( θˆ)' θ θ χ H 0 Atrás J.Muro(27/10/2003) 16

17 Amemiya, T. (1974). The nonlinear two-stage least squares estimator, Journal of Econometrics, 2, págs Hansen, L. (1982). Large sample properties of Generalized Method of Moments estimators, Econometrica, 50, págs Manski, C. (1992). Analog estimation methods in Econometrics. Londres. Chapman y Hall. Newey,W.K y D. McFadden (1994). Large sample estimation and hypothesis testing. En Engle y McFadden(Ed.) Handbook of Econometrics, 4, North Holland, Amsterdam. Sargan, D. (1958) The estimation of economic relationships using instrumental variables, Econometrica, 26, págs Atrás J.Muro(27/10/2003) 21 J.Muro(27/10/2003) 17